固体物理(胡安)第二版课后习题答案 完整版 校核版

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第一章 晶体的结构及其对称性

1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式格子。为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元

胞。

解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。因为如图点A 和点B 的格点在晶格结构中所处的地位不同，并

不完全等价，平移A →B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。

1.2在正交直角坐标系中，若矢量k l j l i l R l

321++=，i ，j ，k 为单位向量。

()3,2,1=i l i 为整数。问下列情况属于什么点阵？

（a ）当i l

为全奇或全偶时；

（b ）当i l

之和为偶数时。 解：

112233123l R l a l a l a l i l j l k

=++=++()...2,1,0,,321±±=l l l

当l 为全奇或全偶时为面心立方结构点阵，当321l l l ++之和为偶数时是面心立方结构 1.3 在上题中若

=

++321l l l 奇数位上有负离子，

=

++321l l l 偶数位上有正离

子，问这一离子晶体属于什么结构？ 解：是离子晶体，属于氯化钠结构。

1.4 （a ）分别证明，面心立方（fcc ）和体心立方（bcc ）点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等，对fcc 为

，对bcc 为

（b ）在金刚石结构中，作任意原子与其四个最近邻原子的连线。证明任意两条线之间夹角θ均为

'

1c o s

109273a r c ??-= ???

'1c o s

10927

3a r c ??-= ???

解:（1）对于面心立方

()12a a j k =+()22a a i k =+()

32

a a i j =+

1322

2

a a a a ===

()

1212121

602a a COS a a a a ??=

== ()

2323231

602

a a COS a a a a ??=

== ()

1360COS a a ?=

（2）对于体心立方

()12

a a i j k =-++()22a a i j k =-+()

32a

a i j k =+-

12332

a a a a ===

()

12'12121

129273

a a COS a a a a ??=

=-=

()'1313131

129273

a a COS a a a a ??=

=-= ()

'2312927COS a a ?=

（3）对于金刚石晶胞

()134

a i j k η=

++()

23

4a i j k η=-- ()

2

212

12

2122

314934a COS a ηηηηηη-??===-

1.5 证明：在六角晶系中密勒指数为（h,k,l ）的晶面族间距为

2

1

22

2

2

2

34-

??

????+???? ?

?++=c l a k hk h d

证明: a b a == 元胞基矢的体积

a ai =

cos60cos301322

b a i j ai aj

=-+=-+

c ck =

200

3302220

0a a a a c c

Ω=-

= 倒格子基矢 )

3

3(2][2j i a c b a +=Ω?=*

ππ j

a

a c b

334][2ππ=Ω?=*

k

c b a c

ππ2][2=Ω?=*

倒格矢：

***hkl G ha kb lc =++ 晶面间距

***

222

c

l b k a h G

d hkl

hkl ++=

=

π

π

(

)(

)(

)

2

222222222ha kb lc

h a k b l c hk a b kl b c hl a c

*

*

*

*

*

**

**

***++=+++?+?+?2

2

423a a π*??= ???2

2423b a π*??= ???2

22c c π*??= ?

??

2223a b a π*

*

???= ?

??

0b c **

?=0a c **?= 1

2

2

2

2

22221

2222

2

242424242333343hkl

d h k l hk a a a a h k kl l a c ππππ--??????????=+++??

? ? ? ?????????????

????++=+?? ??

???

1.6 证明：底心正交的倒点阵仍为底心正交的。

证明：简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体 底心正交点阵的惯用晶胞如图：

1a ax =222a b a x y =+3a cz =2450,,,,

3333

m ππππ

θ== 初级晶胞体积: 2c abc

V =

倒易点阵的基矢：1232112c b a a x y V a

b ππ??

=

?=- ???

23124y c b a a V c ππ=

?=31222c b a a Z V c

ππ=?= 这组基矢确定的面是正交底心点阵

1.7 证明：正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。

证明：倒易点阵初级元胞的体积:c V 是初基元胞的体积

()

123c V b b b =??

1232c b a a V π=

?2312c b a a V π=?3122c

b a a V π=?

()123c V a a a =??而

()()

(

)()

{}

2

233112

2

3121311222c c b b a a a a V a a a a a a a a V ππ??

?=??? ???

???

???=??-?? ???????

()()()()A B C D A B D C A B C D ???=??-??????????

由于()0113

=??a a a ()2

1231212c b b a a a a V π???=???? ?????

而()312c V a a a =?()2

23

12c

b b a V π∴?=

()

()()()

()

2

123

1

13

12323

222c

c c b b b a b V a a a V V πππ?=

?=

?=

或:()()()

3

1231232b b b a a a π?=?

现在证明：()b

b b b b a 3

2

1

1

2

1

2???

=π()

b b b b b a

3

2

1

1

3

2

2???=π()

b b b b b a 3

2

1

2

1

3

2???=π 又()2

2312c

b b a V π?=

令

()()

()()

2

1

1

1

2

3

2

1123

2212c b b c b b b a V b b b π

ππ?=????=??

??????

又：()

()3

123

2c

b b b V π??=

代入

()

()3

111322c c

V c a a V ππ??=

=??????

同理 (

)

(

)

23211322a b b b b b c

=???=π

(

)

(

)

33

212132a b b b b b c

=???=π

1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。

解： ''2cos A B a ma θ==cos 12

m

θ=≤

30,,22m ππθ==2451,,,,

3333

m ππππ

θ== 2,,2m θππ==

1.9 试解释为什么：

（a ）四角（四方）晶系中没有底心四角和面心四角点阵。 （b ）立方晶系中没有底心立方点阵。 （c ）六角晶中只有简单六角点阵。 解：（a ）因为四方晶系加底心，会失去4次轴。

（b ）因为立方晶系加底心，将失去

3次轴。

（c ） 六角晶系加底心会失去6次轴。

1.10 证明：在氯化钠型离子晶体中晶面族（h,k,l ）的衍射强度为

22,,A B hkl A B f f I f f ?+?

?

-??

??

当（h,k,l ）为偶数时当（h,k,l ）为奇数时0，其它情况 其中A f 、B f 分别为正负离子的散射因子。如何用此结果说明KCL 晶体中h,k,l 均为奇数的衍射消失？

证明：Nacl 初基原胞中有Na +和Cl -两种离子。

()111r :0,0,0,,222i A B ??

???

A 、

B 分别代表

和。

因此几何结构因子：

()()

()11223312321232

2

123123,,,,i i i i h x h x h x i i

h h h A B A

B A B F h h h f e f f e

f f h h h f f h h h ππ-++-++==++++?=?-++?∑为偶为奇

射强度：()2

123I F h h h ∝,对于123h h h ++为奇数的衍射面A B f f =则会消

光。

1.11 试讨论金刚石结构晶体的消光法则。

解：金刚石结构中，金刚石单胞有8个碳原子，坐标为：

()1111111113333313131330,0,0,,,0,,0,,0,,,,,,,,,,,,,,,,,222222444444444444444????????????????

? ? ? ? ? ? ? ?????????????????

几何结构因子 ()

112233

2j j j i n h x h x h x hkl j F f e

π-++=∑

()()(){}

()()()()1exp exp exp 1exp 2exp 2exp exp 12hkl F f i n h k i n k l i n l k f i n h k l i n h k i n k l i l h πππππππ=+-++-++-+??????????????

??+-++?

???????

?????-?++-++-++????????????????

()()()(){}1exp sin 1cos cos 22hkl n n F f i h k l i h k l n h k n k l ππππ????=+-++-++++++???????

?hkl I ∝()()2

221cos sin 22hkl f hkl hkl

n n F I h k l h k l ππ??????=++++++??????????

衍射强度不为零：（1）nh nk nl 都为基数。

（2）nh nk nl 都为偶数（包括零）,且

()1

2

nh nk nl ++也为偶数。

如不满足以上条件，则这些面的衍射消失，例如金刚石不可能找到（3，2，1）或（2，2，1）的一级衍射斑，也不可能有（4，4，2）这样的二级衍射斑点。

1.12

证明：在倒易空间中，当

落于一倒格矢垂直平分面上时，发生布拉格反射。

证明：当波矢满足2

2h k k k +=时有

02h h k k k ???+= ? ??? ∴令'

h k k k =+

∴'K 刚好是h k 中垂直面的反射波。 又∵12h

d k π=

,由图知：

2sin sin 2

h k k π

θθλ

==

2sin d m θλ∴= (其中'

h h k mk =) D E ε=

1.13 试证明：具有四面体对称性的晶体，其介电常数为一标量介电常量：

0αβαβεεδ=

证明： 由D E ε=1112132122

233132

33εεεεεεεε

εε??

?= ? ???

各物理量在新旧坐标中：'''D E ε='p AD ='E AE =

1D A AE A AE εε-+==(由于对称操作''D E ε=)

'1A A A A εεε-+∴==

x A 是绕X(a)轴转动90是一个对称的操作100001010x A ??

??=??

??-?? y A 是绕Y(b)轴转动90也是一个对称操作001010100y A -??

??=??

???? 将代入'A A εε+=11

222323

330

00

0εεεεεε??

?= ? ?-?

?

再将

代入'A A εε+=111111000000εεεε?? ?

= ? ?

?

?

1.14 若

的立方结构如图所示，设

原子的散射因子为

，原子的散射因子

为，

（a ）求其几何结构因子?hkl F =

（b ）找出（h,k,l ）晶面族的X 光衍射强度分别在什么情况下有

2

2

3A

B hkl A B

F f I F f ?+?∞?-?? (c)设 A B f f =，问衍射面指数中哪些反射消失？试举出五种最简单的。

解：

结构中，单胞中含有3个B 原子，1个A 原子。

()

123

2j j j i hx kx lx hkl j F f e

π-++=∑

取()1111110,0,0,,0,0,0,,222222A B ??????

???????????

∴()()()()

i h k i k l i h l hkl A B F f f e e e πππ-+-+-+=+++ 当h+k 与h+l ，k+l 均为偶数时 3hkl A B F f f =+

当h+k ，h+l ，k+l 其中两个为奇数，一个为偶数时 hkl A B F f f =-

当A B f f =时有 （0，0，1） （0，1，0） （1，0，0） （0，1，1） （1，1，0）（1，0，1） 衍射面指数的消光。 1.15 在某立方晶系的铜

射线粉末相中，观察到的衍射角有下列关系：

128

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222222222222

3:4:8:11:12:16:19:20sin :sin ...sin 111200220113

222400331420θθθ==+++++++++++++++++++++++

（a ）试确定对应于这些衍射角的晶面的衍射面指数；

（b ）问该立方晶体是简立方、面立方还是体心立方？ 解：2

2

2

hkl a d h k l

=

++ 又 2sin hkl d n θλ=

()()()222sin 2a

nh nk nl θ

λ

∴

=

??++??

sin θ∴∝

()()()

222

nh nk nl ++

128

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222222222222

3:4:8:11:12:16:19:20sin :sin ...sin 111200220113

222400331420θθθ==+++++++++++++++++++++++

∴ h k l = (1,1,1) (2,0,0) (2,2,0)…… ∴该立方晶体是面心立方.

第二章 晶体的结合

2.1 导出NaCl 型离子晶体中排斥势指数的下列关系式：

4

002

4181kR n e πεα?=+ (SI 单位)

其中k 为体变模量，设已知NaC 晶体的10202.410/,0.281k N m R nm =?=，求NaCl 的n=?

解：NaCl 晶体排斥势指数的关系，设晶体有N 个元胞。

则晶体的内能：][)6(2n n r

B

r A N r b r e N U +-=+-=α 其中：2e A α=，26b B =对于NaCl 结构32Nr r =，（32r 为元胞的体积） ∴dr Nr dr 26=

0222

100001066r n du

du dr du N A nB dV

dr dv Nr dr Nr r r +??

=

==-= ???

∴ 在0r 为平衡位置处：

1

01--=n r n

A B 由 ()40

22

202

21811810

r

e n dr u d Nr dr

u

d r k r r α-=

=

=

∴11824

0+=e kr n α （如取SI ） 11842

4

00+?=e k

kr n απε 对于NaCl 、CsCl 、ZnS 结构

a =1.747、1.762、1.638

210/104.2m N k ?=nm r 281.00=

∴可求n

2.2 带±e 电荷的两种离子相间排成一维晶格，设N 为元胞数，B/

为排斥势，

为正负离子间最短的平衡值。证明，当N 有很大时有： （a ）马德隆常数2ln 2α=；

（b ）结合能()2002ln 2114Ne U R R n πε??=- ???;

（c ）当压缩晶格时

，

),

且，则需做

功,其中

()2

00

21ln 24n N C e R πε-=

解：（a ）一维原子链，正负离子的距离为a ，相距为的两个离子间的相互作用势能：

n ij

ij ij r b r q r u +=π4)(2 R a r j ij = (R 为邻近间距总离子间的相互作用势能)

???

?

????-???? ??±-==

∑∑∑''

02,1142)(2

j j n j n j j

i ij a b R a R q N

r u N U πε

∑±

='

1

j j

a u 为离子晶格的马德隆常数 ??????+-+-=???? ??±=∑...4131211121j a u

...4

32)1ln(4

32+-+-=+x x x x x

令 1=x (4)

1

312112ln +-+-= ∴2ln 2=u

(b) 利用平衡条件

00

=R dR

du

∴n

R Nq b n 1

22ln -=

∴)1(2ln 2)(1

02

n n nR R R Nq R u ---=)1

1(2ln 2)(020

n

R Nq R u --= (c) ()()()()

22

1000212R R du d u

u R u R R R R R dR dR

R ==+

-+-

+

由于外力做的功等于晶体内能的增量，外力做功的主项

()()()202

200

21R R R dR u

d R u R u w -=

-=

将()δ-=10R R 代入：()δδ?-?=022]12[ln 2

1

NR q n w

晶体被压缩单位长度的过程中，外力做功的主项：

()δδδc R q n NR w 21

2ln 12122

020=???

?????-= 设e δδ=时外力为，外力与晶体(格)的形变成正比.

()δα02NR F =，()e e NR F δα02=，为比例函数.

()()

020

2

2002211

222e e

NR e e e W Fdx NR NR d NR NR F δδαδδ

αδδα

=

=

==?

?

此即为离子链被压缩02e NR δ的过程中外力做功。

()e e e NR c

W δδ022

=所以压缩2N

时外力()[]2

212ln R n q C F e

e e δδ-== 2.3 量子固体

在量子固体中，起主导作用的排斥能是原子的零点能，考虑晶态

的一

个粗略一维模型，即每个氦原子局限在一段长为L 的线段上，每段内的基态波函数取为半波长为L 的自由粒子波函数。 （a ） 试求每个粒子的零点振动能；

（b ）推导维持该线不发生膨胀所需力的表达式；

（c ）在平衡时，动能所引致的膨胀倾向被范德瓦尔斯相互作用所平衡，

非常粗略的给出最近邻间的范德瓦尔斯能

为

，其中L 以cm 表示，求L 的平衡值。

解：(a)根据量子力学，限制在L

线段内的自由

原子的波函数有

ik x Ae =ψ形式 λ

π

2=

k 又2

λ

=

L 的波函数为基态波函数L

L k π

π==

220，所以基态波函数 x L

i Ae

π

ψ=0每个原子的零点动能也就是基态平均动能.

2

20

*

00

0222*0

82mL d dx dx d m T L L

=???? ??-=????τψψψψ (b) 因零点动能会引起线段的膨胀，为了保持长度为L 的线段结构，必

须增加力

32

2248mL

mL dL d dL T d p =???? ??-=><-= 有范德瓦尔斯相互作用时，体系总能量()U T U L =<>+ U （L ）是范德瓦尔斯能：6601.610U L erg --=??

(c) 平衡时：0

2

6037

0060 1.6104L dU dL mL L -??

==-?? ??? 480

4010

813.5cm L -?

=的平衡值 A L 91.40=

第三章 晶格动力学和晶体的热学性质

3.1 在同类原子组成的一位点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，

其力常数如下图所示相间变化，且12ββ>.试证明：在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为

()1

22112122

124sin 211ka M ββββωββ???????? ?????+????=±-??+????

????

????

解：用s V 和s r 分别表示第S 个初基原胞中两个原子相对平衡位置的位移.

()()()()121121s s s s s s s s s s Mu u V u V MV V u V u ββββ-+?=----???

??=----????

令()t ska i s ue u ω-=()i ska t s V Ve ω-=

∴()()212122

121200ika ika M u e V e u M c c V ωββββββω--??

????-+++=????????????++-+=???????? ()()

212122

12120ika

ika M e e M ωββββββωββ---++∴=+-+ ()()2

2

21212ika

M e ωββββ-??-+=+??

()22212

12121

2212122

1212cos 4sin 211ka

M

M

ka M ββωββββββββββ+=

±

++????????+??=±-????+??

???

?????

3.2 具有两维立方点阵的某简单晶格，设原子的质量为M ，晶格常数为a ，最近

邻原子间相互作用的恢复力常数为c ，假定原子垂直于点阵平面作横振动，

试证明：此二维系统的格波色散关系为()222cos cos x y M c k a k a ω=-- 解：只考虑最近邻作用第（l ，m ）个原子受四个原子的作用.

()()m l m l u u c m l ,,1:,1-++()()m l m l u u c m l ,1,:,1--- ()()m l m l u u c m l ,1,:1,-++()()1,,:1,---m l m l u u c m l

运动方程： ()()[]m l m l m l m l m l m l lm

u u u u u u c dt u d m ,1,1,,,1,12

222-++-+=-+-+ 设 ()0exp lm x y u u i lk a mk a t ω??=+-??

(

)()

24

22cos cos y y x

x

ik a

ik a

ik a ik a x y c e e e

e

c k a k a ω--=-+++-=--

3.3 求：

（a ）一维单原子点阵振动的声子谱密度()ρω，并作图； （b ）一维双原子点阵振动的声子谱密度()ρω，并作图. 解：一维单原子链：

12

sin 2qa M β

ω??

= ???

()()2//2s

L d q dq ρωωπ∴=

∑

13S n =（有个3n 色散关系）

一维单原子链 1S =

()1

221

12

cos 22

L

11cos 2

L a qa M M

a qa

ρωπ

ββ

π

∴=

?=

一维双原子链: ()1

2222

4111sin 2m M mM qa mM m M ωβ±????+??=±-????+????

????

()112

2

22

4111sin 2m M

mM qa mM m M ωβ

+?

??

?????+??∴=+-??????+????????

?

???

()1

422

4111sin 2m M mM qa mM m M ωβ-????+??∴=--????+????

????

()()()

()

3

24

22

3

24

2

L 21/1/21414111{1/{{1[1sin ]2sin cos }422221414111/{1[1sin ]2sin cos }42222d d dq dq L

mM mM mM qa a qa qa m M m M m M mM mM a qa qa qa m M m M ωωρωπβπ

+

---??∴=?+????

-=+-??+++-+--??++3.4 设某三维晶体光频声子的色散关系为()20q Aq ωω=-，试证明，其声子谱密度为

()()120min 03220

min ,40,0,V

A ωωωωωπρωωωωω?-<

??

=>??

式中22

3

min 06N V πωω??

=- ???

A, N 为晶体的原胞数.

解：()()

3

2c

s q s

V ds

α

ρωωπ=

?∑?

第支α格波的模式密度

32c

s q V ds α

πω

??

其中s α为第α支格波的等频面.

又因为在q=0附近 ()20q Aq ωω=-

等频面是一个球面. 又22q A q Aq ω?=-=

()1

2

23/22

31

4242c c

s q V V q ds Aq A α

ωωπππω

-=

?=??

3.5 使用德拜近似讨论同类原子所组成的下列系统的低温比热容为

（a ）在一维系统中v C T ∝；

（b ）在二维系统中2v C T ∝；

解：对于一维简单格子，按德拜模型：qv ω= d 范围内包含22dqL dqL Ld dL V

ω

πππ=

==

()0

L

D d N a

ωωω==

?

（N 为原子数目） 0V a

π

ω∴= 比热容：

()()

()

()

2

/2

/2

/20

/22/2

1121B B B B D K T V B K T B K T B K T B x T

B x e D d

C k K T e L e k d V K T e Tk e x dx

V

e ωωωωωωωωωωωππΘ??= ???-??

??= ? ?????-=

-??

?

B

D k

ω=

ΘB x K T

ω

=

在高温时：()

2

2

011x x

e x x e

→∴

≈-

V B B L

C k Nk a =

= 低温时 ∞

→ΘT D /()

()2

2

222

111x x x nx n x e x x e e x ne e -∞

-==-=-∑

()

2

2

2

210

1231x nx

n x

e xdx

ne

x dx n e

π∞

∞

-====-∑∑?

?223B V TK C V

π=

对于二维简单格子：()()

2

2s

q s s

dl q

ω

ρωωπ=

?∑?

vq ω= ，所以格波等频（能）线为圆. ()()

()222

2222S

dl S q s V V

V ωπω

ρωπππ=

?==?

二维介质有两支格波,一支声学波,一支光学波.

()()2p s D V ωωρωπ==

222

211

p L V V V τ=+

()()

2

2

/0

/21

1m

m

B B K T

K T

p

d S E d e

V

e

ωωωωρωωω

ωωπ==--?

?

()20

2m

m

p

S V d N d ωωωπρωωω==?

?

12

4m p N V S ωπ?

?∴= ??

?

()

()

2

/2

20

/2

3

/2

20

11B m

B D k T V B k T p B x T

B x

p s

e d C k V k T e k T s e x dx

V e

ωωωωωωππΘ??=

???-??=

?

??

-?

?

B

m

D k ω =

Θ 当温度较高时：1x e x ≈+

()

2

3/2

20

2

22122D x T

B B V x p B B D

p B

sk k T e x dx

C V e sk k T V T Nk ππΘ??= ?

??

-Θ??= ???=?

当温度较低时：

()

()3

3

2

3

1

11

6631x nx

x n n e x ne

x dx n

e ?∞

∞

∞

∞

-====-∑∑

?

? 2

V C AT =()3

22

63B

p SK A V ?π=

3.6 设某特殊二维系统声子频率()32

K Aq ω= ,试证明，此系统的

（a ）平均振动能量正比于73

T ； （b ）声子比热容及熵正比于43

T .

解：3.7题中 μ

/d V CT

C =U ∝1

+μ

d

T

对于二维系统2=d 2

3=

μ

V C ∝34T 同理熵：S ∝3

4T

U ∝1

2713/2

3

d

T

T

T μ

++==

3.7 设d 维简单晶格中，频率与q μ成正比，试证明

（a ）简正模（声子谱）密度()1

d

B μρωω-=；

（b ）比热容μ

d

v CT C =.B 、C 为常数. 解：μ

ωkq =-1q d dq

μω

∝d q k ω=1'1d d d Kdq c q ω--== ()/d

d

S dS d dq

ρωω∝

?

d S 为d 维空间等频球面.

()11d d q q q

μμρω---∝∝1

q μ

ω∝()1d

μρωω-∝

()()1

/01

''0

2

2

/0

1

1

1B D B B d

V k T d

d B B B d K T d

B K T B dE d d

C dT dt e d d c K T K T K T dT e d K K T e μ

ωμμωωμ

μωωωωωωωωω

-∞

+∞

=

=-???? ? ?

?????=-??= ???-??

? ωωd g dq cq q dz d )()(1==-1')(-=d c g ωω

'1/0

'1

1

()1

D

B D B d k T

d

d B B B d

k T

U c d e

d k T k T

c k T e

ωωωω

ω

ωω

ωω

-+=-???? ? ?????

=

-?

?

令x T k B =ω

?-=D x x d d B e dx x T k c U 0'1

)( 当0→T 时 1d U T +∝d v C T ∝

这时 1

''()d

g c μ

ωω

-=

()1

''/0

1''

/0

1

1D

B D B d

k T

d

d

B B B d k T U c d e

d c k T k T k T

e ωμ

?μ

μωωμ

ω

ωω

ωω-+=-???? ? ?????=-?

?

故在低温时1

d

U T

μ

+∝/d V V

U C T T μ

???=∝ ?

??? 3.8 求在一维单原子链中，m ωω>（截止频率）格波的阻尼系数α与ω的关系.

m

ar ωωαcosh

2= 解：单原子链： ()i qna q t n U Ae ω-???

?

=1q BZ ∈

()1

2

sin 2q qa M β

ω=2

m M βω= 当m ωω>时 1

sin 12

qa >，q 必定为复数，令12q q iq =+

()12121211111

sin sin cosh cos sinh 22222

m q iq a q aar q a i q a q a ωω=+=+ 11cos 02q a ∴=11122q a h π??=± ???1122n q h K a a ππ?

?=±=± ?

?

? 将1q a

π

=

带入2cosh m

q i ar a a π

ω

ω=

+ ()2cosh 2cosh

1m m

i i ar na t a a n nar i i t

in na i t n

na i t

U Ae Ae e

e Ae e e A e e πωωωωωπ

ωπωω????

+-??

???????

----====-

2m

arcsh

ω

αω= 为指数衰减因子.

3.9 Gr üneisen 常量.()()()2,2

211p n n p n p n

U U e f pa pa --??--≈-??????

（a ）证明频率为的声子模的自由能为ln 2sinh 2B b K T K T ω

??

????

?????

； （b ）如果是体积的相对变化，则晶体的自由能可以写为

()()

21,ln 2sinh 22B q b q F T B K T K T ω??

???????=?+?????????

?∑

其中B 体积的弹性模量，假定()

q ω与体积关系为

()()?-=γωωq q

d ，γ为Gr üneisen

常量，如果认为与模无关，证明，当()()]2coth[2

1T

K q q B B q

ωωγ ∑=?时，F 对为

极小，并证明利用热能密度，可将它写为()/U T B γ?=； （c ）根据Debye 证明：ln ln V θ

γ?=-

? .其中D B

K ωθ=(

解：考虑频率为的声子模，配分函数为

120

22221...11B B B B B B B B n K T

n K T

K T K T

K T

K T

K T

K T

Z e

e

e

e e

e e

e

ωωωωω

ωω

ω??

+ ??

?∞

-=-

---

--

=??=+++ ? ???=

??- ? ??

?

=

-∑

自由能： ????

?

?=-=T K T K z T K F B B B 2sinh 2ln ln ω 晶体的自由能为：()(),ln 2sinh 2K B K B F r T E r K T K T ω??

=+ ??

?∑