高三数学模拟试卷3

高三数学模拟试卷3

一：选择题。

1.已知集合{|1}A x x =<，2{|320}B x x x =++≤，则(A B ?= ) A. ? B. {|1}x x < C. {|21}x x -≤≤- D. {|2x x <-或11}x -<<

2.设复数z 满足()212(z i i i ?+=-+为虚数单位)，则(z = )

A. i -

B. i

C. 1-

D. 1

3.设函数ln ,1

(),1

x x x f x e x -?≤-?=?>-??，则()()2f f -的值为( )

A. 1e

B. 2e

C. 12

D. 2

4.已知m n ，是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A. 若m α?，n α?，//m β，//n β，则//αβ B. 若αβ⊥，//n α，则n β⊥

C. 若//αβ，//m α，则//m β

D. 若m α⊥，n β?，//m n ，则αβ⊥

5.已知实数x y ，满足约束条件2220220y x y x y ≤??

--≤??+-≥?

，则x y +的最大值为( )

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

2

6.已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，则“a b >”是“双曲线C 的焦点在x 轴上”的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 7.函数()()2

sin 1

x

f x x x ππ=

-≤≤+的图象可能是( ) A. B. C. D.

8.已知1F ，2F 是椭圆与22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，

且满足112AF BF =，2AB BF =，则该椭圆的离心率是( )

A.

12

B.

3 C.

3 D.

59.已知实数a b c d ,,,

均为正数，满足1a b +=，1c d +=，则11

abc d

+的最小值是( ) A. 10

B. 9

C. 2

D.

3310.已知三棱锥P ABC -的所有棱长为1.M 是底面ABC 内部一个动点(包括边界)，且M 到三个侧面P AB ，PBC ，PAC 的距离1h ，2h ，3h 成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是( ) A. αβ=

B. βγ=

C. αβ<

D. βγ<

二：填空题。

11.已知随机变量ξ的分布如表所示，则()E ξ=______，()D ξ=______．

12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______，表面积为______

13.若6

21ax x ??+ ??

?的展开式中，3x 的系数为6

，则

a =______，常数项

的值为______

．

14.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，,b c ，60A =，且

ABC ，则a =______，若b c +=则ABC

的面积为______．

15.沿着一条笔直的

公路有9根电线杆，现要移除2根，且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留，则不同的移除方法有______种.

16.已知向量a ，b 满足2a b =，2a b -=，则a b ?的取值范围为______．

17.设函数()()2

,f x x a x b a b R =+++∈，当[

]

2,2x ∈-时，记()f x 的最大值为(),M a b ，则()

,M a b 的最小值为______．

三：解答题。

18.已知函数()2

2sin .f x x x =+

(Ⅰ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间；

(Ⅱ)求()f x 在区间0,2π??

????

上的最大值．

4

正视图

侧视图

俯视图

19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，4CD =，

2PA AB BC AD ====，Q 为棱PC 上的一点，且1

3PQ PC =．

(Ⅰ)证明：平面QBD ⊥平面ABCD ；

(Ⅱ)求直线QD 与平面PBC 所成角正弦值．

20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n

n S a bn =?+-（,a b R ∈且*n N ∈）

(Ⅰ)当1a =，1b =时，求数列{}n S 的

前n 项和n T ：

(Ⅱ)若{}n a 是等比数列，证明：

312

12231

1n n n a a a S S S S S S ++++?+<．

21.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点()2,8M -，且MF =

(Ⅰ)求抛物线方程；

(Ⅱ)设,A B 是抛物线上的两点，当F 为ABM 的垂心时，求直线AB 的方程．

22.设a R ∈，已知函数()()2

ln 11f x x x ax a x =+-++，()1,x ∈+∞．

(Ⅰ)若()0f x >恒成立，求a 的范围

(Ⅱ)证明：存在实数a 使得()f x 有唯一零点．

高三数学模拟试卷3

一：选择题。

1.已知集合{|1}A x x =<，2{|320}B x x x =++≤，则(A B ?= ) A. ?

B. {|1}x x <

C. {|21}x x -≤≤-

D. {|2x x <-或1}x l -<<

【答案】C 【解析】 【分析】

利用一元二次不等式的解法化简集合B ,再由交集的定义求解即可. 【详解】

集合{|1}A x x =<，

2{|320}{|21}B x x x x x =++≤=-≤≤-， {|21}A B x x ∴?=-≤≤-．故选C ．

【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2.设复数z 满足()212(z i i i ?+=-+为虚数单位)，则(z = ) A. i - B. i

C. 1-

D. 1

【答案】B 【解析】 【分析】

把已知等式变形，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得结果.

【详解】由()212z i i ?+=-+， 得()()()()1221252225

i i i i

z i i i i -+--+=

===++-．故选B ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3.设函数()ln ,1,1x x x

f x e x ≤--??=>-???

，则()()2f f -的值为( )

A.

1

e

B.

2e

C.

12

D. 2

【答案】C 【解析】 【分析】

由分段函数，先求()2f -=ln2，然后根据判断范围再由分段函数另一段求出值 【详解】21-≤-，()2f -=ln2， ln21>-，即()()()2ln2f

f f -==1 2

【点睛】本题主要考察分段函数求函数值，这类题目，需要判断自变量所在范围，然后带入相应的解析式解答即可

4.已知m n ，是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A. 若m α?，n α?，//m β，//n β，则//αβ B. 若αβ⊥，//n α，则n β⊥ C. 若//αβ，//m α，则//m β

D. 若m α⊥，n β?，//m n ，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】

利用α与β相交或平行判断A ；根据n 与β相交、平行或n β?判断B ；根据//m β或m β?判断C ；由面面垂直的判定定理得αβ⊥．

【详解】由m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得： 若m α?，n α?，//m β，//n β，则α与β相交或平行，故A 错误； 若αβ⊥，//n α，则n 与β相交、平行或n β?，故B 错误； 若//αβ，//m α，则//m β或m β?，故C 错误；

若m α⊥，n β?，//m n ，则由面面垂直判定定理得αβ⊥，故D 正确．故选D ．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.

5.已知实数x y ，满足约束条件2220220y x y x y ≤?

?

--≤??+-≥?

，则x y +的最大值为( )

A. 1

B. 4

C. 2

D.

32

【答案】B 【解析】 【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.

【详解】作出实数,x y 满足约束条件2220220y x y x y ≤??

--≤??+-≥?

对应的平面区域如图(阴影部分)

由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，

由图象可知当直线y x z =-+经过点A 时，直线y x z =-+的截距最大，

此时z 最大.由2

220y x y =?

--=??

解得()2,2A ．

代入目标函数z x y =+得224z =+=． 即目标函数z x y =+的最大值为4．故选B ．

【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步

骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

6.已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，则“a b >”是“双曲线C 的焦点在x 轴上”的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件 C .

充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合22

221(0,0)x y a b a b

-=>>总表示焦点在x 轴上判断即可．

【详解】双曲线C 的焦点在x 轴上a b ?≥或a b <，

a b a b >?≥或a b <， a b ≥或a b <推不出a b >，

∴“a b >”是“双曲线C 的焦点在x 轴上”的充分不必要条件．故选A ．

【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ??.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 7.函数()()2

sin 1

x

f x x x ππ=

-≤≤+的图象可能是( ) A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】

利用排除法,由()f x 是奇函数排除C ；03f π??>

???排除D ；103f π??

-<-< ???

排除B ；从而可得结果. 【详解】因为()()()()2

2sin ()1

1

x sinx

f x f x x x x ππ--=

=-

=--≤≤-++，可得()f x 奇函数.排除C ；

当3

x π

=

时，03f π??

>

???

，点在x 轴的上方，排除D ； 当3

x π

=-

时，103f π??

-<-

< ???

，排除B ；故选A ． 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +

-

→→→+∞→-∞时函

数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

8.已知1F ，2F 是椭圆与22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，

且满足112AF BF =，2AB BF =，则该椭圆的离心率是( ) A.

1

2

B.

3 C.

3 D.

5 【答案】B 【解析】 【分析】

由112AF BF =，2AB BF =，利用椭圆的定义，求得1AF a =，2AF a =，3

2

AB a =

， 可得2112cos 332

a

BAF a ∠==，1sin c OAF a ∠=，由二倍角公式列方程可得结果. 【详解】

由题意可得：122F B BF a +=，2AB BF =，可得1AF a =，2AF a =，3

2

AB a =

，122F F c =， 2112cos 332

a

BAF a ∠==，1sin c OAF a ∠=，212BAF OAF ∠=∠, 可得

2112()3c a =-，可得3c e a ==．故选B ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用以及椭圆的离心，属于难题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．

9.已知实数a b c d ,,,

均为正数，满足1a b +=，1c d +=，则11

abc d

+的最小值是( ) A. 10 B. 9

C. 2

D. 3

3【答案】B

【解析】 【分析】

利用基本不等式求得

14ab ≥，则

()1111414c d abc d c d c d ??

+≥?+=+?+ ???

，展开后再利用基本不等式可求得

11

abc d

+的最小值． 【详解】

1a b +=，1c d +=，21(

)24a b ab +∴≤=，14ab ∴≥，当且仅当1

2

a b ==时，取等号． 则

()1111414445529d c d c c d abc d c d c d c d c d ??

+≥?+=+?+=++≥+?= ???

， 当且仅当12a b ==

时，且23c =，13d =时，

11

abc d

+的最小值为9，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.

10.已知三棱锥P ABC -的所有棱长为1.M 是底面ABC 内部一个动点(包括边界)，且M 到三个侧面

P AB ，PBC ，PAC 的距离1h ，2h ，3h 成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分

别为α，β，γ，则下列正确的是( )

A. αβ=

B. βγ=

C. αβ<

D. βγ<

【答案】D 【解析】 【分析】

利用公式cos cos cos θαβ=将问题转化为：比较MO 与AB ，BC ，AC 夹角的大小，

然后判断M 到AB ，BC ，AC 的距离123d d d <<，在ABC 中确定M 所在区域，利用数形结合可以解决．

【详解】依题意知正四面体P ABC -的顶点P 在底面ABC 的射影是正三角形ABC 的中心O ，

则cos cos cos PMO MO α=∠?<，AB >，其中MO <，AB >表示直线MO 、AB 的夹角，

cos cos cos PMO MO β=∠?<，BC >，其中MO <，BC >表示直线MO 、BC 的夹角，

cos cos cos PMO MO γ=∠?<，AC >，其中MO <，AC >表示直线MO AC 、的夹角，

由于PMO ∠是公共的，因此题意即比较MO 与AB ，BC ，AC 夹角的大小， 设M 到AB ，BC ，AC 的距离为1d ，2d ，3d 则1

1sin h d θ

=

，其中θ是正四面体相邻两个面所成角22

sin 3

θ=

， 所以1d ，2d ，3d 成单调递增的等差数列，然后在ABC 中解决问题 由于123d d d <<，结合角平分线性质可知M 在如图阴影区域(不包括边界)

从图中可以看出，MO 、BC 所成角小于MO AC 、所成角，所以βγ<，故选D ．

【点睛】本题考查了异面直线及其所成角，以及公式cos cos cos θαβ=的应用，考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题．若直线l 与其在平面γ内的射影'l 所成的角为θ，平面内任意直线m 与l 、'l 成的角为,αβ，则cos cos cos θαβ=.

二：填空题。

11.已知随机变量ξ的分布如表所示，则()E ξ=______，()D ξ=______．

ξ

1-

1

P m

1

3

【答案】 (1). 13- (2). 89

【解析】 【分析】

利用分布列求解m ，求出期望，利用方差公式求方差． 【详解】由随机变量ξ的分布可得1

13m +=，可得23

m =， 所以()211

11333

E ξ=-?

+?=-． ()2

2

121181133339D ξ?

???=-+?++?= ? ??

???．

故答案为：13-；

89

． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键．

12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______，表面积为______

【答案】 (1). 24 (2). 60 【解析】 【分析】

由三视图还原几何体，可知原几何体为直三棱柱，底面为直角三角形，从而根据三视图中数据，结合棱柱的体积与表面积公式可求几何体的体积和表面积． 【详解】由三视图还原几何体如图：

该几何体为直三棱柱，底面为直角三角形， 则其体积为

1

434242

???=． 表面积为1

344454243602

?+?+?+???=． 故答案为24；60．

【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定几何体的形状.

13.若6

21ax x ??+ ??

?的展开式中，3x 的系数为6，则a =______，常数项的值为______． 【答案】 (1). 1 (2). 15 【解析】 【分析】

在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得3x 的系数，再根据3x 的系数为6，求得a 的值；在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项的值.

【详解】6

21ax x ??+ ???

的展开式的通项公式为66316r r r

r T C a x --+=??，

令633r -=，求得1r =，可得3x 的系数为566a =，1a ；

令630r -=，求得2r ，可得常数项的值为41515a =，

故答案为：1；15.

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

14.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，,b c ，60A =，且ABC 3则a =______，

若33b c +=ABC 的面积为______．

【答案】 (1). 3 (2). 【解析】 【分析】

由已知利用正弦定理可求a 的值，进而根据余弦定理可求bc 的值，由三角形面积公式即可得结果．

【详解】

60A =，且ABC 外接圆半径R

∴由正弦定理

2sin a

R A

=，

可得2sin 2sin603a R A ===，

b c +=

∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，

可得：2

2

2

9()3273b c bc b c bc bc =+-=+-=-，解得：6bc =，

11sin 62222ABC

S

bc A ∴=

=??=

．

故答案为3． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

15.沿着一条笔直的公路有9根电线杆，现要移除2根，且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留，则不同的移除方法有______种. 【答案】21 【解析】 【分析】

把6根电线杆放好，7个空选择两个放入需要移除的电线杆，这样这两根需要移除的电线杆中间至少有一根，然后再把余下一根放到这两根中间去，问题得以解决．

【详解】把6根电线杆放好，7个空，选择两个放入需要移除的电线杆， 这样这两根需要移除的电线杆中间至少有一根， 然后再把余下一根放到这两根中间去，

所以有2

721C =种方法，故答案为21．

【点睛】本题考查了排列组合在实际生活中的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题．

16.已知向量a ，b 满足2a b =，2a b -=，则a b ?的取值范围为______． 【答案】8

,89??-????

【解析】 【分析】

设θ为向量a ，b 的夹角，将2a b -=平方化为2254a b b ?=-，结合2a b =可得2252cos 4b b θ-=，由此得到24

49

b ≤≤，从而可得结果. 【详解】

2a b -=，

2224a b a b ∴+-?=，

又2a b =，

224a b ∴=， 2254a b b ∴?=-，

又2224a b a b +-?=， 设θ为向量a ，b 的夹角，

2252cos 4b b θ∴-=，

又1cos 1θ-≤≤，

24

49b ∴≤≤， 216

54169b ∴-≤-≤，

8

89

a b ∴-≤?≤，

故答案为8,8.9??

-

????

【点睛】本题考查了向量的数量积的运算及三角函数的有界性，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ?=；二是向量的平方等于向量模的平方2

2

a a =.

17.设函数()()2

,f x x a x b a b R =+++∈，当[]

2,2x ∈-时，记()f x 的最大值为(),M a b ，则()

,M a b

的最小值为______． 【答案】25

8

【解析】 【分析】

由题意可得()f x 在[]

2,2-的最大值为()2f -，()2f ，12f ??- ???，12f ??

???

中之一，可得四个不等式，相

加，再由绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值．

【详解】去绝对值，()2

f x x a x b =±+±+，利用二次函数的性质可得，

()f x 在[]2,2-的最大值为()2f -，()2f ，12f ??- ???，12f ??

???

中之一，

所以可得()(),242M a b f a b ≥-=++-+，

()(),242M a b f a b ≥=+++， ()11

1,242M a b f a b ??≥=+++ ???，

()11

1,24

2M a b f a b ??≥-=++-+ ???，

上面四个式子相加可得()111

4,2422422M a b a a b b b b ????≥++

++-+++++- ? ?????

11125

24(22,4222

≥-

++++= 即有()25

,8

M a b ≥

， 可得(),M a b 的最小值为

258．故答案为258

． 【点睛】本题考查函数的最值求法、绝对值不等式的性质，以及转化思想的应用，属于难题．转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将函数最值问题转化为绝对值不等式问题.

三：解答题。

18.已知函数()2

2sin .f x x x =+

(Ⅰ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间；

(Ⅱ)求()f x 在区间0,2π??

????

上的最大值．

【答案】(Ⅰ)最小正周期T π=，单调递增区间为,63k k ππππ?

?

-+????，k Z ∈；(Ⅱ)3.

【解析】 【分析】

(Ⅰ)利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简()2216f x sin x π?

?=-+ ??

?，由周期公式计算得()f x 的最

小正周期，由2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤-

≤+

，k Z ∈可解得函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)由x 的范围

求出26x π

-的范围，进一步求出sin 26x π?

?- ??

?的范围，从而可得结果．

【详解】(Ⅰ()2

)2sin 1cos2f x x x x x =+=+-

12cos212sin 2126x x x π??

?=-+=-+? ??????

． ()f x ∴的最小正周期22

T π

π=

=， 令2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-≤-

≤+

，k Z ∈，

得6

3

k x k π

π

ππ-

≤≤+

，k Z ∈，

()f x ∴的单调递增区间为,63k k ππππ?

?-+???

?，k Z ∈；

(Ⅱ)0,2x π??

∈????

时，52,666x πππ??-∈-????，

1sin 2,162x π?

???-∈- ????

???，

所以2sin 26x π??

-

??

?

的最大值为2， ()2216f x sin x π??∴=-+ ???在区间0,2π??

????

上的最大值为3．

【点睛】本题考查正弦函数的周期性及单调性，考查了正弦函数的值域，属于基础题．函数sin()y A x ω?=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ω?+看作是一个整体，由

22

k x π

πω?+≤+≤

()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222

k x k ππ

πω?π-+≤+≤+求得增区间；

19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，4CD =，2PA AB BC AD ====，

Q 为棱PC 上的一点，且1

3

PQ PC =．

(Ⅰ)证明：平面QBD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值．

【答案】(Ⅰ)见证明；（2）(Ⅱ)321

14

. 【解析】 【分析】

(Ⅰ)连结AC BD 、，交于点O ，推导出//QO PA ，QO ⊥平面ABCD ，由此能证明平面QBD ⊥平面

ABCD ；(Ⅱ)过D 作平面P BC 的垂线，垂足为H ，则DQH ∠即为直线QD 与平面PBC 所成角，设

为θ，设DH h =，由Q BCD D BCQ V V --=，求出421

7

h =，由此能求出直线QD 与平面PBC 所成角的正

弦值．

【详解】(Ⅰ)连结AC ，BD ，交于点O ，

则由ABO ∽CDO ，得1

3

AO AC =

， 1

3

PQ PC =，//QO PA ∴，

PA ⊥平面ABCD ，QO ∴⊥平面ABCD ，

又QO ?平面QBD ，∴平面QBD ⊥平面ABCD ．

(Ⅱ)过D 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，

则DQH ∠即为直线QD 与平面PBC 所成角，设为θ， 设DH h =，Q BCD D BCQ V V --=，

11

33BCD BCQ S QO S h

∴?=?，

即141333

h ?=， 解得7

h =

， 2228

3

QD QO OD =+=

，

∴直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值sin 14

h DQ θ=

=

． 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题．求线面角的方法：1、传统法：根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、向量法：对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解. 20.已知数列{}

n a 的

前n 项和为n S ，且满足21n

n S a bn =?+-（,a b R ∈且*n N ∈）

(Ⅰ)当1a =，1b =时，求数列{}n S 的前n 项和n T ： (Ⅱ)若{}n a 是等比数列，证明：

312

12231

1n n n a a a S S S S S S ++++?+<． 【答案】(Ⅰ1

211

)2222

n n T n n +=-+-;(Ⅱ)证明见解析.

【解析】 【分析】

(Ⅰ)当1a =，1b =时，21n n S n =+-，运用分组求和方法，结合等差数列和等比数列的求和公式，计

算可得所求和；(Ⅱ) 可得1121a S a b ==+-，2n ≥时，1

12n n n n a S S a b --=-=?+，运用等比数列的