2014高考函数的奇偶性与周期公式推导方法
迎战2014年高考数学 函数的奇偶性与周期公式推导方法
一、奇函数、偶函数
对于函数)(x f ,其定义域关于原点对称:
1、对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=-f (x )〔或f (x )+ f (-x )=0〕,则称)(x f 为奇函数.
2、对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=f (x )〔或f (x )-f (-x )=0〕,则称)(x f 为偶函数. 二、判断函数的奇偶性 1、定义法
①判断有解析式的函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性:
(1)f (x )=|x+1|-|x -1|; (2)f (x )=(1+x )·
11x
x
-+; (3)2
1()|2|2x f x x -=+-; (4)(1)(0),()(1)(0).
x x x f x x x x -=?
+>?
剖析:根据函数奇偶性的定义进行判断.
解:(1)函数的定义域x ∈(-∞,+∞),对称于原点.
∵f (-x )=|-x+1|-|-x -1|=|x -1|-|x+1|=-(|x+1|-|x -1|)=-f (x ), ∴f (x )=|x+1|-|x -1|是奇函数. 先确定函数的定义域.由
11x
x
+-≥0,得-1≤x <1,其定义域不对称于原点,所以)(x f 既不是奇函数也不是偶函数。 解::函数1()(1)
1x
f x x x
-=++定义域 -1<x <1 ∵1()(1)
1x f x x x -=++=221.(1)11x
x x x
-+=-+
∴22()1()1()f x x x f x -=--=-= ∴1()(1)
1x
f x x x
-=++是偶函数 (3)去掉绝对值符号,根据定义判断.
由??
?≠-+≥-,02|2|,012x x 得???-≠≠≤≤-.40,
11x x x 且
故f (x )的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有x+2>0.从而有
f (x )= 2
122x x -+-=
21x x -,这时有f (-x )=21()x x
---=-2
1x x -=-f (x ),故f (x )为奇函数.
(4)∵函数f (x )的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且当x >0时,-x <0, ∴f (-x )=(-x )[1-(-x )]=-x (1+x )=-f (x )(x >0). 当x <0时,-x >0,∴f (-x )=-x (1-x )=-f (x )(x <0). 故函数f (x )为奇函数.
评述:(1)分段函数的奇偶性应分段证明.(2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.
②证明抽象函数的奇偶性
例2、已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的a ,b ∈R 都满足:f (a ·b )=af (b )+bf (a ). 求f (0),f (1)的值; (2)判断f (x )的奇偶性,并证明你的结论.
分析:应用公式f (a ·b )=af (b )+bf (a ),取a 、b 的一些特殊的值进行计算. 解:(1)f (0)=f (0·0)=0·f (0)+0·f (0)=0; 由f (1)=f (1·1)=1·f (1)+1·f (1), 得f (1)=0. (2)f (x )是奇函数.
证明:因为f (1)=f [(-1) 2 ]=-f (-1)-f (-1)=0, 所以f (-1)=0,
f (-x )=f (-1·x )=-f (x )+xf (-1)=-f (x ). 因此,f (x )为奇函数.
点评:研究抽象函数的奇偶性,应紧紧围绕题目所给的抽象函数的性质进行研究.如果觉得所给抽象函数的性质符合某些已知函数(如二次函数等)的性质,可以用已知函数替代抽象函数进行思考,探索求解思路。
例3、定义在区间)1,1(-上的函数)(x f 满足:对任意的)1,1(,-∈y x ,都有
()()(
)1x y
f x f y f xy
++=+.求证:()f x 为奇函数; [思路点拨]欲证明()f x 为奇函数,就要证明()()f x f x -=-,但这是抽象函数,应设法充分利用条件“对任意的)1,1(,-∈y x ,都有()()()1x y
f x f y f xy
++=+”中的y x ,进行合理“赋值”
[解析]令x = y = 0,则 f (0) + f (0) = 00
()10
f ++= f (0) ∴ f (0) = 0
令x ∈(-1, 1) ∴-x ∈(-1, 1)
∴ )(x f + f (-x) = f (2
1x x
x --) = f (0) = 0
∴ f (-x) =-()f x
∴ ()f x 在(-1,1)上为奇函数
点评:对于抽象函数的奇偶性问题,解决的关键是巧妙进行“赋值”,而抽象函数的不等式问题,要灵活利用已知条件,尤其是f (x1) -f (x2) = f (x1) + f (-x2)
奇偶函数的性质及其应用
1、奇偶函数图象的对称性
(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。
(2)若)(x a f y +=是偶函数?)()(x a f x a f -=+?)(x f 的图象关于直线a x =对称; 若)(x b f y +=是奇函数?)()(x b f x b f +-=-?)(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称;
例、若函数)(x f 在),4(+∞上为减函数,且对任意的R x ∈,有)4()4(x f x f -=+,则 A 、)3()2(f f > B 、)5()2(f f > C 、)5()3(f f > D 、)6()3(f f > 2、(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数。
(2)奇函数的和、差仍为奇函数,奇数(偶数)个奇函数的积、商(分母不为0)为奇(偶)函数。
(4)奇函数与偶函数的积为奇函数。
(5)定义在(-∞,+∞)上的任意函数)(x f 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和。
(1)若)(x f 是奇函数且在0=x 处有定义,则0)0(=f 。(逆否命题可判断一个函数不是奇函数)
(2)奇函数的反函数也为奇函数。
(3)若0)(=x f ,则)(x f 既是奇函数又是偶函数,若)0()(≠=m m x f ,则)(x f 是偶函数。
函数的周期性
1、定义:对于函数()f x ,如果存在一个非零常数T ,使得定义域内的每一个x 值,都满足)()(x f T x f =+,那么函数()f x 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期。 周期性不仅仅是三角函数的专利,抽象函数的周期性是高考热点,主要难点是抽象函数周期的发现,主要有几种情况:
2、抽象函数的周期
(1)若函数)(x f 满足)()(x b f x a f ±=± )(b a ≠,则)(x f 的周期是T b a =- (2)若函数)(x f 满足)()(x b f x a f ±-=± )(b a ≠,则)(x f 的周期是2T b a =- (3)若函数)(x f 满足1)()(±=±?±x b f x a f )(b a ≠,则)(x f 的周期是2T b a =- (4)函数图象有a x =,)(b a b x ≠=两条对称轴型,即()f x a +=()f a x -,
()f b x +=()f b x -,则()f x 的周期是2T b a =-
(5)函数()f x 满足1()
()()1()
f x a f x a a b f x b +++=
≠-+,则()f x 的周期是2T b a =-
证明:(1)
(2)对于定义域中任意x 满足)(0)()(b a x b f x a f ≠=+++,则有)()]22([x f a b x f =-+,故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=
(3)若)(1)()(b a b x f a x f ≠=+?+,则得)]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+,所以函数
)(x f 的周期是a b T 22-=;同理若)(1)()(b a b x f a x f ≠-=+?+,则)(x f 的周期是
)(2a b T -=
(4)函数图象有a x =,)(b a b x ≠=两条对称轴,即)()(x a f x a f -=+,
)()(x b f x b f -=+,从而得)()]22([x f a b x f =-+,故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=
(5)由
)
()(1)
(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=
+得
)2(1)2(b x f a x f +-=+,进而得1)2()2(-=+?+b x f a x f ,由前面的结论得)(x f 的周期是)(4a b T -=
例、已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()1f x f x +?=对于x R ∈恒成立,且()0f x >,则(119)f =
[解析]由(2)()1f x f x +?=得到
)(1
)2(x f x f =
+,从而得)()4(x f x f =+,可见)(x f 是以4
为周期的函数,从而)3()3294()119(f f f =+?=,又由已知等式得
)1(1
)3(f f =
又由()
f x 是R 上的偶函数得)1()1(-=f f ,又在已知等式中令1-=x 得1)1()1(=-?f f ,即1)1(=f ,所以1)119(=f
例、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( ). A .-1 B. 0 C. 1 D. 2
函数的周期公式推导步骤及习题
f(x+a)= -f(x) ,f(x+a)=
1
f(x)
,f(x+a)=-
1
f(x)
, 这几个式子的周期为什么是2a?
1. f(x+a)= -f(x)
2. f(x+a)=
1 f(x)
3. f(x+a)= -
1 f(x)
4. f(x+a)=f(x)+1 f(x)-1
5. f(x+a)= f(x+a)= 1-f(x) 1+f(x)
6. f(x+a)= f(x+a)=f(x-a)
这几个式子的周期为什么是2a?
推导步骤如下
1.f(x+a)= -f(x) (1)
两边x用x-a代
左边=f(x)= 右边= -f(x-a) (2)
把(2)带入(1)
得f(x+a)= -f(x)= f(x-a)
即f(x+a)=f(x-a)
x用x+a代得
f(x)=f(x+2a)
所以周期是2a
这类的题目都是x用另一个函数带
只要最后是f(x)=f(x+周期)
习题练习
1.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)= f(x),当x∈(0.2)时,f(x)=2x2 则,f(7)=() A.-2 B. 2 C. -98 D. 98
2. 设定义在R上的函数f(x)满足f(x). f(x+2)=1
3.若f(1)=2 求f(99)=
A.13
B. 2
C. 13/2
D. 2/13
3. 已知f(x)在R上是奇函数,且f(x)满足f(x+2)=-f(x),f(6)=()
A.-1
B. 0
C. 1
D. 2
4. 设f(x)在R上是任意函数,下列叙述是正确的是()
A. f(x). f(-x)是奇函数
B. f(x).| f(-x)|是奇函数
C. f(x)-f(-x)是偶函数
D. f(x)+ f(-x)是偶函数
《函数的奇偶性与周期性》教案
教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数
二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用
三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个.
考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 .
函数的奇偶性与周期性练习题
函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数,则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-,则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 (A )3y x = (B) 1y x =+ (C )21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是() A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数,则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 .
函数的奇偶性及周期性综合运用
函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],
函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意: 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若f (x )是奇函数,且在x =0处有定义,则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数,则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)判断函数f (x )的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个x , 均有f (-x )=-f (x )、f (-x )=f (x ), 而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)、f (-x 0)=f (x 0). (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0=f . (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域,
1.10基本初等函数奇偶性和周期性
1.10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点:①能够正确判断函数的奇偶性和周期性;②运用基本初等函数的性质解题。 一.基础练习 1. 写出下列函数中,奇函数是________;偶函数是________;非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2. 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++,系数,,,a b c d 满足__________时,()f x 是奇函数; 满足___________时,它是偶函数. 3. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,则(2)f =________. 4. 函数sin 2y x =的周期是________;tan y x π=的周期是________. 5. 已知函数()f x 是定义在(-3,3)上的奇函数,当03x << ()f x 图象如右,则不等式 ()0f x x >的解集是____________. 二、例题讲解 例1:判断下列函数的奇偶性 (1)2 ()2||3f x x x =-- (2)22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--? (3)()|3|f x x x =+- 例2:含有字母的函数性质问题. (1)设函数()(),()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数,则实数a=____________. (2)函数2 ()(2)3f x ax b x =+-+是定义在[,34]a a --上的偶函数,则log a b =__________. (3)定义在(1,1)-上的奇函数()f x ,满足在(1,1)-上单调递减,若2 (1)(1)0f a f a -+-<,则实数a 的范围是____________. (4)若函数2 ()cos ,[, ]22f x x x x ππ =-∈- ,且(2)()63 f a f ππ ->,实数a 的范围是____________.
函数的奇偶性和周期性
精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号11sh11sx00 学员编号: 年级:高二课时数:3 学员姓名:辅导科目:数学学科教师: 课题函数的奇偶性和周期性 授课日期及时段 教学目标 1、理解函数的周期性与奇偶性的概念 2、能根据函数的周期性求函数值或在相关区间上的函数解析式 3、会判断函数的奇偶性,并会结合周期性与奇偶性解决相关问题 教学内容 一、知识点梳理及运用 知识点一、函数的奇偶性 1、定义:设() y f x =,x A ∈,如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为奇函数;如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为偶函数 2、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称 3、() f x是偶函数?() f x的图象关于y轴对称 () f x是奇函数?() f x的图象关于原点对称 4、若奇函数() f x的定义域包含0,则(0)0 f= 5、判断函数奇偶性的方法: ①定义法:首先判断其定义域是否关于原点对称 若不对称,则为非奇非偶函数 若对称,则再判断()() f x f x =-或()() f x f x =-是否成立 ②性质法:设() f x,() g x的定义域分别是 12 , D D,那么在它们的公共定义域 12 D D D =?上: 奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇?奇=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 典型例题 例1、(判断奇偶性)判断下列函数的奇偶性 (1)35 ()35 f x x x =+(2)2 ()3||1 f x x x =-+(3) 2 2 (0) () (0) x x x f x x x x ?+< ? =? -+> ?? (4)()|1||1| f x x x =+--
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性:对于函数 )(x f y =,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有 )()(x f T x f =+都成立,那么就把函数)(x f y =叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义(略),请用图形来理解。 3、 对称性: 我们知道:偶函数关于y (即x=0)轴对称,偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的 探讨:(1)函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证:设点),(11y x 在 )(x f y =上,通过)2()(x a f x f -=可知,)2()(111x a f x f y -==, 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上,而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成:)()(x b f x a f -=+,函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 (2)函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证:设点),(11y x 在 )(x f y =上,即) (11x f y =,通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知, b x f x a f 2)()2(11=+-,所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-,所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上,而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成:c x b f x a f =-++)()(,函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 (3)函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称,即关于任一个x 值,都有两个 y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0,则 有可能会出现关于 b y =对称,比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性: (1)函数 )(x f y =满足如下关系系,则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+(等式右边加负号亦成立)