中考数学专题之相似三角形大题篇
中考数学专题之相似三角形大题篇(附答案) 题型一:相似三角形证明等量
(★★)例1:如图所示,已知AB∥CD,AD,BC交于点E,F为BC上一点,且∠EAF=
∠C.
求证:(1)∠EAF=∠B;
(2)AF2=FE·FB.
题型二:构造相似三角线求解面积
(★★)已知:如图,梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,AB=3,BC=11,DC=6.请
问:在BC上若存在点P,使得△ABP与△PCD相似,求BP的长及它们的面积比.
题型三:存在性问题
(★★★)如图,已知在等腰△ABC 中,∠A =∠B =30°,过点C 作CD ⊥AC 交AB 于点D . (1)尺规作图:过A ,D ,C 三点作⊙O (只要求作出图形,保留痕迹,不要求写作法); (2)若过A ,D ,C 三点的圆的半径为3,则线段BC 上是否存在一点P ,使得以P ,D ,
B 为顶点的三角形与△BCO 相似,若存在,求出DP 的长;若不存在,请说明理由.
题型四:动点问题
(★★★)如图2-5-15所示,等边三角形ABC 的边长为6,点D 、E 分别在边AB ,AC
上,且AD=AE=2,若点F 从点B 开始以每秒二个单位长度的速度沿射线BC 方向运动,设点F 运动的时间为t 秒,当t >0时,直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ,GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ,AB 与GH 相交于点O .
⑴ 设△EGA 的面积为S ,写出S 与 t 的函数解析式; ⑵ 当t 为何值时,AB ⊥GH ; ⑶ 请你证明△GFH 的面积为定值.
B
A
C
二、专题过关
(★★)检测题1:如图所示,⊙O 的内接△ABC 中,∠BAC =45°,∠ABC =15°,AD ∥OC 并交BC 的延长线于D 点,OC 交AB 于E 点.
(1)求∠D 的度数;
(2)求证:AC 2=AD ·CE .
(★★★)检测题2:已知:如图①,②,在矩形ABCD 中,AB =4,BC =8,P ,Q 分别是边BC ,CD 上的点.(1)如图①,若AP PQ ⊥,BP =2,求CQ 的长;(2)如图②,若2=CQ
BP
,且E ,F ,G 分别为AP ,PQ ,PC 的中点,求四边形EPGF 的面积.
6 y
x
O C D
B -3 =-x
A
(★★★)检测题3: 矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示,A 、C 两点的坐标分别为A (6,0),C (0,-3),直线y =-4
3
x 与BC 边相交于D 点. (1)求点D 的坐标;
(2)若抛物线y =ax
2-
4
9
x 经过点A ,试确定此抛物线的表达式; (3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ,点P 为对称轴上一动点,以P 、O 、
M 为顶点的三角形与△OCD 相似,求符合条件的点P 的坐标.
(★★★)检测题4:如图所示,在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0,6),(8,0),动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动,同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P ,Q 移动的时间为t 秒.
(1)求直线AB 的解析式;
(2)当t 为何值时,△APQ 与△ABO 相似? (3)当t 为何值时,△APQ 的面积为5
24
个平方单位?
答案:
提醒一:提示:证明△AFE ∽△BFA
题型二:答案:BP=2或9或
3
11
,面积比为1:3或3:2或1:2
题型三:解:(1)作出圆心O , ………………………………………………………………1分
以点O 为圆心,OA 长为半径作圆.…………………………………………1分 (2)证明:∵CD ⊥AC ,∴∠ACD =90°.
∴AD 是⊙O 的直径……………1分 连结OC ,∵∠A =∠B =30°, ∴∠ACB =120°,又∵OA =OC , ∴∠ACO =∠A =30°,…………1分 ∴∠BCO =∠ACB -∠ACO
=120°-30°=90°. ………………1分 ∴BC ⊥OC ,
∴BC 是⊙O 的切线. ……………………………………………1分
(3)存在. ……………………………………………………………………………1分
∵∠BCD =∠ACB -∠ACD =120°-90°=30°, ∴∠BCD =∠B , 即DB =DC .
又∵在Rt△ACD 中,DC=AD 330sin =
??, ∴BD = 3. ……………1分
解法一:①过点D 作DP 1// OC ,则△P 1D B ∽△COB , BO
BD
CO D P =
1, ∵BO =BD +OD =32,
∴P 1D =
BO
BD
×OC =33×3 =32. ……………………………1分
②过点D 作DP 2⊥AB ,则△BDP 2∽△BCO , ∴BC
BD
OC D P =2, ∵BC =,322=-CO BO
∴133
3
2=?=?=
OC BC BD D P .………………………………………1分 解法二:①当△B P 1D ∽△BCO 时,∠DP 1B =∠OCB =90°.
在Rt△B P 1D 中,
O
P 2
P 1
D
C
B
A
DP 1=2
3
30sin =
??BD . ………………1分 ②当△B D P 2∽△BCO 时,∠P 2DB =∠OCB =90°. 在Rt△B P 2D 中,
DP 2=130tan =??BD . ……………1分
题型四:
答案:(1)t s 4
3
=,(2)当t=4时,AB⊥HG ,(3)不论t 为何值,39=s
检测题1:略
检测题2:答案:(1)CQ=3 (2)四边形EPGF 的面积为4
检测题3:答案:(1)D (4,-3)
(2)x x y
4
9
832-= (3)P 1(3,0),P 2(3,4)
检测题4:答案:(1)
64
3+-=x y ,(2) 当t =2.4秒时,△APQ 与△ABO 相似 (3)当t =2秒,或t =3秒时,△APQ 的面积为5分之24个平方单位.