华理高数答案第3章

第3章 （之1） 第13次作业

教学内容：§3.1微分 **1. ．

求，设　dy x x x x y x

),4

0(2tan )

(cos )(sin π

<

<+= 解: dy y x dx ='()

[]{}

dx x x x x x x x 2sec 2tan sin )ln(cos cos )(cos 2sin +?-=　.

**2. 设　求．y x e e dy x x ()ln()=++--241

解:

du u du du dy dy e

u x

2211,+===-则　令　dx e

e x x

4212--+-=　.

**3. 设　且处处可微求?????(),(),ln ()()x x d x x >????

?

?

0 解:

)

()

(ln x x u ??=

记， 则du u x x d )()()(ln ????'=??

??

??dx x x x x u )()

(ln )()()(2

??????'-'?'= []dx x x x x x ??

????'?-'=

)()(ln )(ln 1)()

(2??????　.

**4. ．的微分所确定隐函数求由方程dy x y y a axy y x )(,)0(033

3

=>=-+ 解: 由033

3

=-+axy y x , 得 0)d d (3d 3d 32

2

=+-+y x x y a y y x x

x ax

y x ay y d d 22

--=∴.

**5. .)(0)cos(sin dy x y y y x x y 的微分所确定隐函数求由方程==+- 解: 0)()sin(cos sin =+?+++?dy dx y x xdx y x dy 由　

得　dy y x x y x x y dx =-

++++cos sin()

sin sin()

.

**6. .263的近似值用微分方法计算 解:127)()()()(0003-=?=??'+≈∴=x x x

x f x f x f x x f ．，令　

959.227

1

3263

=-

≈.

**7..151cos ,0

的值计算用微分代替增量

解: f x x x x ()cos ===

==

．，000150561180ππ

?, 8747.0360

23180)150(sin 150cos )151(000-≈--=?-≈π

πf .

**8.cm cm cm 005.02.55一层厚的空心铁球的表面上镀外半径为在一个内半径为

量。

个金球中含铁和金的质，试用微分法分别求这，金的密度为已知铁的密度为的金33g/cm 9.18g/cm 86.7,

解: ，．．，86.72.053

41113

==?==ρπr r r V

)(6.4932086.7486.712

11g r r m ≈?=???≈ππ，

，，，9.18005.02.5222==?=ρr r

)(1.32005.0)2.5(49.1822g m =??≈π.

**9. ，要使周期，摆长，其中单摆振动周期cm 8.9cm/s 98022===l g g

l

T π

?,01.0摆长需增长多少增大s

解: l gl dT T ?=

≈?π

)(31.001.014

.398

cm T gl

l ≈?≈

?≈

?　π

.

**10.设扇形的圆心角

60=α，半径cm R 100=，如果R 保持不变，α减少

03'，问扇形面积约改变多少？如果 60=α不变，R 增加cm 1，问扇形面积

约改变多少？

解：扇形面积公式为2

2

1R S α=

， （1） 视α为变量，则63.43)360(21)d d (2-=-?=??≈?πααR S S 。 （2） 视R 为变量，则7.10411003

d d =??=??=??≈?π

αR R R R S S .

**11.测得一个角大小为

45，若已知其相对误差为%3，问由此计算这个角的正弦函数值所

产生的绝对误差和相对误差各是多少？

解：设角度为x ，于是x y sin =，由微分近似计算，有

（1）01666.0%3422%3445cos cos =??=??

?

????=??=??'≈?ππ x x x y y ； （2）%356.2sin =??'≈?x

x

y y y .

第3章 （之2）

第14次作业

教学内容：§3.2微分中值定理

**1. .arcsin )(]1,1[的值时应用拉格朗日中值定理内对函数试求在ξ=-x x f

解：在上连续在内可导f x x ()arcsin [,],(,)=--1111 即在满足拉格朗日中值定理的条件f x ()[,]-11

又'=-f x x ()1

12

令'=-=----=f f f ()()()()ξξ

π

11111122

得到内的解(,)-=±-

1114

2

ξπ

即存在ξπξπ12

22

14

14

=-

=--

,,使

)2,1()1(1)

1()1()(=----='i f f f i ，ξ.

**2. 成立内使则在设))(()()(,1

)(,0,a b f a f b f b x a x

x f ab b a -'=-<<=<<ξ

ξ的点 （ ）

的具体数值有关

与是否存在 不存在有两点 只有一点 b a D C B A ,,)(,)()()(

答　()C

***3.设()()()()()d x c x b x a x x f ----=（其中d c b a <<<），不用求()x f '，说明方程

()0='x f 有几个实根，指出它们所在的区间。

解：显然，()x f 在[][][]d c c b b a ,,,,,三个闭区间上连续，且在()()()d c c b b a ,,,,,内可导，又因为有()()()()0====d f c f b f a f ，由罗尔中值定理，至少存在三点

()()()d c c b b a ,,,,,321∈∈∈ξξξ，

使得()()()0321='='='ξξξf f f .

又()x f '是一个实系数一元三次多项式函数，所以方程()0='x f 在实数范围内最多只有 三个根，亦即321,,ξξξ。它们的所在区间为 ()()()d c c b b a ,,,,,321∈∈∈ξξξ.

**4.若已知方程011

1=+++--x a x a x a n n n n 有一个正根0x ，证明方程

()011211=++-+---a x a n x na n n n n

至少有一个小于0x 的正根.

证：考虑闭区间[]0,0x ，显然函数()x a x a x a x F n n n n 11

1+++=-- 在[]0,0x 上连续，在

()0,0x 内可导，且有()()00x F F =。所以由罗尔中值定理值必存在一个()0,0x ∈ξ，使得()0='ξF .

***5.设()x f 在??????-

2,2ππ上连续，在??? ??-2,2ππ内可导，试证：存在??

?

??-∈2,2ππξ，使 ()()ξξξξsin cos f f ='.

证：令()()x x f x g cos =，显然()x g 在??????-

2,2ππ上连续，在??

?

??-2,2ππ内可导，且022=??? ??=??? ??-ππg g 。由罗尔中值定理知，存在???

??-∈2,2ππξ，使得()0='ξg ，即()()0sin cos =-'ξξξξf f .

***6.证明下列不等式：

()b a a

b a b b a <<-<<-0,1ln 1.

证：令()x x f ln =，显然()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导，故由拉格朗日定理，知必存

在一个()b a ,∈ξ，使得 ()()()ξ

ξ1

='=--f a b a f b f ()*

由()*式，显然有 ()()a

a b a f b f b 1

11<=--<

ξ， 即 ()()a a b a b a f b f a a b -<

=-<-ln ， 亦即 1ln 1-<<-a

b a b b a ，证毕.

****7.设()x f 在[]1,1-上可微，且()()M x f f <'=,00。试证明：在[]1,1-上恒成立

()M x f <（其中0>M 是常数）。

证： 对任意的[]1,1-∈x )0(≠x ，显然()x f 在由0与x 构成的闭区间]0,[x 或],0[x 上满足拉格朗日条件,所以，在0与x 之间必存在一个ξ，使得

())0()0()(-'=-x f f x f ξ , ()*

由已知，()M x f <'，及1≤x ，代入()*式，即得 ()()()M f x f x f <'?=-ξ0；

而当0=x 时，M f <=0)0(，

于是可得对任意的[]1,1-∈x ，都有 ()M x f <.

**8. 使证明存在上可导在设),,(,],[)(b a b a x f ∈ξ

[])()(3)

()(123

3ξξξξf f b f a f a b a b '+=- ，

其中

)()(3

3b f a a f b )()(33a f a b f b -=.

中值定理，上可导，利用拉格朗日在，则证明：令],[)()()(3b a x F x f x x F =))(()()(),(a b F a F b F b a -'=-∈ξξ，使则至少存在 ))](()(3[)()(3233a b f f a f a b f b -'+=-ξξξξ即，

[])()(3)

()(123

3ξξξξf f b f a f a b a b '+=- 即

.

***9. 若()a x f x ='+∞

→lim ，计算极限()()[]x f x f x -++∞

→100lim .

解：依题意，函数)(x f 在闭区间[]100,+x x 上必连续，在()100,+x x 内必可导，故符合Lagrange 中值定理的条件。所以，)100,(+∈?x x ξ，使

])100)[(('lim )]()100([lim x x f x f x f x x -+=-++∞

→+∞

→ξ，

其中 100+<

a f 100100)('lim =?=+∞

→ξξ上式.

****10.设()x f 在[]b a ,上具有1阶连续导数，()x f ''在()b a ,内存在，且()()0==b f a f 。又存在常数()b a c ,∈，使()0>c f 。试证，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0<''ξf .

证：依题意，()x f 在[]c a ,及[]b c ,上均满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在

()()b c c a ,,,21∈∈ξξ，使得()()()()()()0,021<--='>--=

'c

b c f b f f a c a f c f f ξξ。又()x f 在[]b a ,上具有一阶连续导数，且()x f '在()b a ,内可导，所以，()x f '在[]21,ξξ上必满足拉格朗

日中值定理的条件。所以，存在()()b a ,,21?∈ξξξ，使得()()()01

212<-'-'=

''ξξξξξf f f .

****选做题. ，证明内在且上可导在设函数1

)(),1(,1)(0,],1[)(<'<

证明令:()()ln F x f x x =-

()()[,],,(),()()(,),()()ln ()(,),()ln ,,()()()[,](,)()1101101021100

12121212则在上连续可导由则利用闭区间上连续函数的零值定理得至少存在使 即再证在内最多存在一个使反证设存在使则在上满足罗尔定理的条件

则至少存在使F x e f x F F e e F f e f x x e F x F x F x x x c x x F c <

ξξξ

即即这与在内矛盾故在内最多只有一个使'='='<=f c c

cf c e xf x e f (),(),(,)()!

(,)()ln .

1

1111ξξξ 结合得在内有且仅有一个使(),(,),()ln .11e x f x x =

第3章 （之3）

第15次作业

教学内容: §3.3.1 00型 3.3.2 ∞

∞型

1. 填空题

*（1）若0≠p ，则px

px x

x x cos sin 1cos sin 1lim 0-+-+→________=.

解：

p

1. **（2）_______)

e 1ln()

e 1ln(lim 11=+--+-∞→x x x .

解：2

e -。

2. 选择题。 **（1）若)()(lim

x g x f x x →是0

0待定型，则“A x g x f x x =''→)()(lim

0”是“A x g x f x x =→)()

(lim 0”的（ B ） （A ）充要条件； (B)充分条件，非必要条件；

（C ）必要条件，非充分条件； (D) 既非充分条件，也非必要条件.

**（2）若)()(lim

x g x f x x →是∞∞的未定型，且A x g x f x x =''→)()(lim 0，则=→)(ln )

(ln lim 0x g x f x x

（ B ）

（A ）A ln ； （B ）1； (C)2A ； (D)2

1A .

***3 求极限 x

x x x x x arctan 3

3e 2e lim 220---+-→.

解：原式==+-

---→2

201116e 2e 2lim x x

x x x 2203e e lim 2x

x x x x ---→ x x x x 23e e 2lim 220-+=-→ 31

e e 4lim

20=-=--→x

x x .

4 求下列极限:

**（1）+→0lim x )0()

sin ln()sin ln(>>a b bx ax ； **（2）∞→x lim )43ln()

35ln(236+-++x x x x .

解：（1）原式 bx b ax a x cos cot lim

0+→=ax

b bx

a x tan tan lim 0+→=1=.

（2）)431ln(ln )751ln(ln lim 22

636x x x x x x x +-++++=∞→原式=++

++

-+→∞lim

ln()ln ln()

ln x x x x x x x 3157

113436

222

=3.

****5. x

e

x x

x -+→10)1(lim

.

解： ])1[(lim )00()1(lim

101

0'+=-+→→x

x x

x x x e x 21

0)1()

1)](1ln()1([lim x

x x x x x x

x ++++-=→ 2]21)1ln(1lim [])1ln()1(lim

[02

e

x x e x x x x e x x -

=-+-=++-=→→.

***6. 若已知()x f '在0=x 连续，且有()00=f ，2)0(='f ，求极限

()()[]2

lim

x

x f f x f x ?→. 解：x x f f x x f x x f f x x f x x f f x f x x x x )]

([lim )(lim )]([)(lim )]([)(lim

00020

→→→→?=?=? 82)]0('[)]0('[)0(')('1

)](['lim 1)('lim

33200

===?=??=→→f f f x f x f f x f x x .

***7. 设()x f 具有2阶连续导数，且()00=f ，试证()x g 有1阶连续导数，其中

()()()??

?

??=≠=.0,0,0,'x f x x

x f x g 证明：依题意，当0≠x 时，2

)

()(')('x

x f x x f x g -?=

均连续. 故只需证明 )0(')('lim 0

g x g x =→ 即可.

由导数定义，有

)0("212)0(')('lim )0(')(lim )

0(')

(lim 0)

0()(lim )0('02

000f x f x f x x f x f x f x

x f x g x g g x x x x =-=-=-=--=→→→→ 又 )0(')0(''21

2)(')(')(''lim )()('lim

)('lim 02

g f x x f x f x x f x x f x x f x g x x x ==-+=-=→→→. 故命题得证.

第3章 （之4） 第15次作业

教学内容: §3.3.3几点注意 §3.3.4 ∞?0型与∞-∞型 §3.3.5∞

1型，0

∞型及0

0型

§3.3.6洛必达法则在求数列极限中的应用

1．填空题

**（1）_________e lim 2

1

100

=→x x x

；

解：∞+ . **（2）=???

?

?

?++→x

x

x x x c

b a 103lim _________，其中a ，b ，

c 为正的常数； 答案3abc

***（3）(

)

=+++∞

→x

x x

x x c

b a 1lim __________，其中a ，b ，

c 为正的常数；

答案),,max(c b a ***（4）若31

111lim --→=??

?

??++e ax x a x x ，则______=a

答案-2

2．选择题

**（1）+∞→x lim 2

2

sin

x x （ B ）

（A ）等于0； (B)等于2； (C)为无穷大；

（D ）不存在，也不为无穷大.

***（2）求极限x

x x x

x sin sin lim 120+→时，下列各种解法中正确的是 （C ）

（A ）因为x

x x x x x

x x x x cos 1cos sin 2lim sin sin lim 1

10120+-=+→→不存在，所以原极限不存在；

（B ）因为x x x x x x x x x x x 1020120sin lim sin lim sin sin lim →→→+=+，而其中x x 1

sin lim →不存在，所以原极限不存在；

（C ）因为0sin lim 2

0=+→x

x x x ，而x x x 1sin 00）时（≠→是有界量，所以原极限为0； （D ）因为0→x 时，分子是二阶无穷小，而分母是一阶无穷小，所以原极限为0.

3．求下列极限。

***（1）+∞→x lim )1ln()e 1ln(x

b

ax

+

+ （b a ,为常数，0>a ）；

解：[]

)1ln(e 1(e ln lim )

x

b ax ax x ++=-+∞→原式

?????

???????++++=-+∞→)1ln()e 1ln()1ln(lim x b x b x b ab ax x ab ab =+=0.

***（2）∞→x lim )1csc (22x

x -； 解：原式)sin 11(lim 1220t

t t

x t -=→420222

20)2cos 1(21lim sin sin lim t t t t t t t t t --=-=→→ 31

1222cos 2lim 422sin lim 2030-=-=-=→→t

t t t t t t . **（3）)1

)1ln(1(

lim 0x

x x +-→. 解：原式=0lim →x )1ln()1ln(x x x x --+=0lim →x 2)1ln(x

x x --+=0lim →x x x 2111---

=0lim →x 21)1(2=-x x x .

4. 求下列极限： **（1） ;)(cos lim 1

x x x +

→

解：

?????

?-=??????=+++→→→)21.cos sin (lim exp )cos ln 1(lim exp )(cos lim 001

00

x x x x x x x x x

x 210

e sin lim 21exp -→=???

?

??-=+x x x .

***（2）;sin lim 2csc 0?

???????

??→

解：???

? ??-=????

?

?

?

???????

??=???

?

??→→→2020csc 0ln sin ln lim exp sin sin ln

lim exp sin lim 2?????

??????

? ???? ??-=???? ??-=???

? ?

?

-=→→→30201sin cos 0sin cos lim 21exp sin sin cos lim 21exp 2lim

exp 0

??????????????

?? 61

0e 3sin cos cos lim 21exp 20-→=???

? ??--=??????.

**（3）;arcsin 2

lim arccos 1

01x

x x ?

?

? ??-→π

解：

π

ππ2

220101arccos 1

01e 1111arcsin 1lim exp arccos )arcsin 2ln(lim exp arcsin 2lim 00

--→-→-→=??????

?

??---?=??????

??=??

? ??x x x x x x x x x

x .

5. 求下列极限：

**（1） x

x x ln

11

lim +→+.

解：20

ln

11

e ]21

11lim exp[]ln 1ln lim exp[lim =?=+=+

+

+→→+→x x x x

x x x x x

x ；

***（2）1

01)

(ln lim -+→x x x .

解：原式))]1ln(ln(lim ex p[1)]ln(ln )1(lim ex p[000

10

u u x u x x u x +-=-+

→+→

1e ]ln lim exp[0

===+→u u u .

6. 求下列极限： **（1） x

x x 1)

e 2(lim -+∞

→+;

解：原式??????+-=+∞→)e 2ln(1lim ex p x x x ??

????+-=+∞→x

x x e 2e lim exp 1e -=. ***（2）)

2ln(302

)

(tan lim x x x --→ππ

.

解：原式????

????--?

=????????-∞-→-→22tan sec 3lim exp )2ln(tan ln 3lim exp 202020

x x x x x x x ππππ 3

e -=.

7．求下列极限：

**（1）),1,1,0,0(11lim 21

0b a b a b a xb xa

x x

x

x ≠≠≠>>???

?

?

?++→；

解：

原式=+-+??????→lim ()x x x x x x a b xb 01

112

x

xb b a b a x xb x x x x x x x x x x

xb b a x )1()(101)(1lim +-?

-+→??

????+-+=

b

a e b

a ==-ln ln .

**（2）)

1ln(2

3

lim x x x ++∞

→；

解：原式32

2

330

e 312lim exp )1ln(ln 2lim exp =??

????+?=??????+∞+∞→+∞→x x x x x x x .

****8. 求极限???

???--+∞

→1)11(

lim 12

x x x x x 。 解：??

????-=-+∞→1e lim 11ln 12

x x x x x 原式=+-??????→∞lim ln x x x x x 2111

=+--→∞lim

ln()ln()

x x x x

11111t

t t t )1ln()1ln(lim 0--+=→=--=112(). ***9.

+∞

→x lim )(1

112

+-x x a

a x 0(>a ，)1≠a ；

解：原式=?-→+∞

++lim ()()

x x x x x a

a

2

11

111

a x x x a x a

x x x x x x ln )

1(1lim 1lim lim 2)

1(1

21

1+=???

? ??-?=+∞→++∞→++∞

→ a ln =.

****10. 3cos sin 0cos e sin e lim x

x

x x x x x x -→；

解：x u x x u u u f u u f u

u sin cos e )1()(e )(21==+='=，，，令，

之间与介于，211212)(e )1()()(u u u u u f u f ξξξ-+=-

)0,0(cos sin lim e )1(lim e cos e sin lim 3003

cos sin 0→→-+=-→→→ξξξx x

x

x x x x x x x x x x x x 当

=?=→131

3

02lim sin x x x x .

***11. 求极限 2

)1sin

(lim n n n

n ∞

→； 解：首先可求：2

2

1

0)sin (lim 1

)

1sin (lim t t x x t

t t

x x

x +→+∞→=

?

???

??????

-=??????-=??????=+++→→→t t t t t t t t t t t t t 21sin cos lim exp ln sin ln lim exp sin ln 1lim exp 02020 ??

????

-=??????-=++→→30202sin cos lim ex p sin 2sin cos lim ex p t t t t t t t t t t t 6

1

20206sin lim exp 6cos sin cos lim exp -→→=??

????-=??????--=++e t t t t t t t t t t ，

61

2

)1sin (lim -∞→=∴e n n n n .

也可直接用公式

6

1

3

33

0301

])(!31lim exp[)sin lim exp()sin (

lim 2-

→→→=-+-

=-=+

++e t

t t o t t t

t

t t t t t t t .

第3章 （之5） 第17次作业

教学内容: 3.4.1泰勒公式

*1. )()(),(21cos 332

则=+-=x R x R x x

之间与介于式中

)0(!4cos )(!4cos )(!3sin )(!3sin )(4433x x D x C x B x A ξξξξξ--

答:C

**2. 日型余项中拉格朗的泰勒展开式设∑=+-=

n

k n k k

x R x x a

x f x f 0

0)()()()(=)(x R n

( )

[][]。

；

；

；

)10()()!

1()()()10()(!

)()()10()()!1()()()10()()!

1()

()(1000)1(0

00)

(1

00)1(1

0)1(<<-+-+<<--+<<-++<<-+++++++θθθθθθθθn n n

n n n n n x x n x x x f D x

x n x x x f C x x n x x f B x x n x f A

答:D

**3. 求,,,,3210a a a a 使当 1→x 时,有

))1(()1()1()1(103

332210-+-+-+-+=x o x a x a x a a x . 解: 10

ln )

1(1010-=x x e

)])1((10ln )1(!

31

10ln )1(!2110ln )1(1[1033322-+-+-+

-+=x o x x x ,10ln 3

5,10ln 5,10ln 10,10332

210====∴a a a a

设 x

x f 10)(=, 可知给定式子为函数)(x f 在基点10=x 处带皮亚诺余项的三阶泰勒公式, 则根据泰勒公式的系数计算公式有

,

10ln 10)1(,10)1(10='===f a f a

10ln 3

5!3)1(,10ln 5!2)1(3

322='''==''=

f a f a .

**4. 阶麦克劳林展开式的求3arctan )(x x f =(带皮亚诺余项).

解: ，，　0)0(arctan )(==f x x f

，

， 1)0(11

)(2

='+=

'f x x f ，， 0)0()1(2)(2

2=''+-=''f x x

x f

3

22

42222)

1(62)1(2)1(22)1(2)(x x x x x x x x f ++-=++?++-='''， 2)0(-='''f ，

)(3

1

)(!32)(3333x o x x x o x x x f +-=+-=.

**5. 求函数 ()x

x x f e =的 n 阶麦克劳林公式（带拉格朗日余项）.

解：由 ()()()()()()x n x f x x f x x f x n x x

++=+=''+='+1e ,,2e ,1e )1( ，知

()()()()()()()()()1)1()(2

!1!

00!20000++++++-''+

-'+=n n n n x n f x n f x f x f f x f ξ ()()()132

!11e !11!

21+++++-+

+++=n n

x n n x n x x x ξξ ， ()之间，在x 0ξ. 说明:其中ξ也可以表示为 )10(<<θθx .

**6.求函数x x f 1

)(=在基点30=x 处带拉格朗日余项的四阶泰勒公式. 解: ,272

)3(,2)(,91)3(,1)(,31)3(,1)(32=

''=''-='-='==f x

x f f x x f f x x f 6)5()4(5)4(4!

5)(,243!4)3(,!4)(,81!3)3(,!3)(x

x f f x x f f x x f -==

=-='''-='''

,)3(1

)1(2431)3(811)3(271)3(91311)(56432---+---+--==

x x x x x x x f ξ

其中ξ在3与x 之间.

第3章 （之6） 第18次作业

教学内容：3.4.2几个常用函数的泰勒公式 3.4.3泰勒公式的应用

1. 利用泰勒公式求下列极限：

****（1）42

02

e

cos lim

x

x x x -

→-　. 解: cos ()x x x o x =-

++12124

24

4 )()2(!2121e 42

22

2

x o x x x +-+-=-

4

4424420)(8121)(24121lim x x o x x x o x x x ????

??++--?????

?++-=→原式

4440)

(81241lim x x o x x +??

? ??-=→12

1-=　.

***（2）30)

1(sin e lim x

x x x x x +-→； 解： 3233

2

2030)()](!3)][(!21[lim )1(sin e lim x

x x x o x x x o x x x x x x x x

x +-+-+++=+-→→ 3131lim )()](!32[lim 3303233

32

0==+-+-++=→→x x

x

x x x o x x x x x x .

****（3）

()

2e

cos 1

12lim 2

22

x x x x x x -++-→； 解：原式

()

()()[]

?

?

????++-??????+-+??????+-+-=→22222442201!211812112lim x o x x o x

x x o x x x x

()

()

1212381lim

2224

4

0-=?

?????+-+=→x o x x x o x x .

**** (4) )]11ln(212[lim

2x x x x x +--∞→. 解: 令t x 1=, 根据 )(3

121)1ln(3

32t o t t t t ++-=+, 可得

原式

()3

3

3220320

20)

(3121[22lim

)1ln(22lim 1ln 2121lim t t o t t t t t t t t t t t t t t t t ++---=+--=???

???+--=→→→ 3

2-=.

****2. 设

)(x f ''在a x =点连续，0)(=a f ，0)(≠'a f ，求a

x a x a x a f x f -→??

??

??-'1))(()

(lim .

解：???

?

??---'→a x a x a f x f a x 1]1))(()([lim exp 原式＝ ])

)(()

)(()([lim ex p[2a x a f a x a f x f a x -'-'-=→ ])

(2)()

()([lim ex p[a x a f a f x f a x -''-'=→

)

(2)(a f a f e

'''＝

***3. ,,)1()(00阶导数处有连续的在阶导数的某邻域内有在设n x n x x f -

。，求

且n

x x n x x x f x f x f

x f x f )

()

()(lim

0)()()(000)

1(000

--===''='→- 解: n

n n x x n

x x x x x f x x f x f x x x f x f )()

()()(n!

1)(lim )()

()(lim

000)

(0000

---??+

=--→→ξ

(之间与在0x x ξ)

!)(lim

)

(0

n f

n x x ξ→=)(!

10)

(x f n n =.