多目标决策
单目标决策问题前三章已经进行了较为详细的探讨。从合理行为假设引出的效用函数，提供了对这 类问题进行合理分析的方法
和程序。
但在实际工作中所遇到的的决策分析问题，
却常常要考虑多个目标。
这些目标有的相互联系，有的相互制约，有的相互冲突，因而形成一种异常复杂的结构体系，使得决策 问题变得非常复杂。
总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，尤其是在经济、管理、系统工程、控制论和 运筹学等领域中得到了更多
的研究和关注。
13.1基本概念
多目标决策和单目标决策的根本区别在于目标的数量。单目标决策，只要比较各待选方案的期望效 用值哪个最大即可，而多目
标问题就不如此简单了。
例13.1房屋设计
某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定地址及总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要 求根据以下5个目标综合
选出最佳的设计方案：
低造价（每
平方米造价不低于 抗震性能 建造时间 结构合理
造型美观 这三个方案的具体评价表如下。
表13.1
三种房屋设计方案的目标值
具体目标
方案1 (A 1)
方案2 (A 2)
方案3 (A 3)
低造价（元/平方米） 500 700 600 抗震性能（里氏级） 6.5 5.5 6.5 建造时间（年） 2
1.5
1
结构合理（定性）
中 优 良 造型美观（定性）
良
优
中
由表中可见，可供选择的三个方案各有优缺点。某一个方案对其中一个目标来说是最优者，从另一
个目标角度来看就不见得是最优，可能是次优。比如从造价低这个具体目标出发，则方案 1较好；如从
合理美观的目标出发，方案 2就不错；但如果从牢固性看，显然方案
3最可靠等等。
1. 多目标决策问题的基本特点
例13.1就是一个多目标决策问题。类似的例子可以举出很多。多目标决策问题除了目标不至一个 这一明显的特点外，最显
着的有以下两点：目标间的不可公度性和目标间的矛盾性。
目标间的不可公度性 是指各个目标没有统一的度量标准，因而难以直接进行比较。例如房屋设计 问题中，造价的单位是元/平
方米，建造时间的单位是年，而结构、造型等则为定性指标。
500元，不高于 700元）； （抗震能力不低于里氏 5级不高于7级）；
（越快越好）；
（单元划分、生活设施及使用面积比例等）
；
（评价越高越好） 1) 2) 3) 4)
5)
f i (x *) f i (x)
i 1,2, ,n
(13.1.1)
目标间的矛盾性 是指如果选择一种方案以改进某一目标的值，可能会使另一目标的值变坏。如房 屋设计中造型、抗震性能的提高可能会使房屋建造成本提高。
2. 多目标问题的三个基本要素
一个多目标决策问题一般包括目标体系、备选方案和决策准则三个基本因素。 目标体系一是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构;
备选方案一是指决策者根据实际问题设计出的解决问题的方案。有的被选方案是明确的、有限的, 而有的备选方案不是明确的，还有待于在决策过程中根据一系列约束条件解出。
决策准则一是指用于选择的方案的标准。通常有两类，一类是最优准则，可以把所有方案依某个准 则排序。另一类是满意准则，它牺牲了最优性使问题简化，把所有方案分为几个有序的子集。如“可接 受”与“不可接受”；“好的”、“可接受的”、“不可接受的”与“坏的”。
3. 几个基本概念
1）劣解和非劣解
劣解：如某方案的各目标均劣于其他目标，则该方案可以直接舍去。这种通过比较可直接舍弃的方 案称为劣解。 非劣解：既不能立即舍去，又不能立即确定为最优的方案称为非劣解。非劣解在多目标决策中起非 常重要的作用。 单目标决策问题中的任意两个方案都 可比较优劣，但在多目标时任何两个解不一 定都可以比较出其优劣。 如图13.1 ,希望f 1 和f 2两个目标越大越好，则方案 之。如果是非劣解，因为没有别的解比它优， 就无法简单淘汰。倘若非劣解只有一个，当 然就选它。问题是在一般情况下非劣解远不止一个，
对于m 个目标，一般用m 个目标函数f 1（x ）, f 2
（x ）,L , f m （x ）刻划，其中x 表示方案，而x 的约束就 是备选方案范围。
最优解：设最优解为x ，它满足
f 2（第二目标值）
方案D 和E 相比就无法简单定出其优劣。 但是方案E 和方案I 比较，显然E 比I 劣。 而对方案I 和H 来说，没有其它方案比它们 更好。而其它的解，有的两对之间无法比较， 但总能找到令一个解比它们优。 类解就叫非劣解，而 A 、B 、C 、 G 叫作劣解。 如果能够判别某一解是劣解，
I 、
H 这一 D 、E 、F 、
f i （第一目标值）
则可淘汰
图13.1 劣解与非劣解
这就有待于决策者选择，选出来的解叫选好解。
2）选好解
在处理多目标决策时，先找最优解，若无最优解，就尽力在各待选方案中找出非劣解，然后权衡非 劣解，从中找出一个比较满意的方案。这个比较满意的方案就称为选好解。
单目标决策主要是通过对各方案两两比较，即通过辨优的方法求得最优方案。而多目标决策除了需 要辩优以确定哪些方案是劣解或非劣解外，还需要通过权衡的方法来求得决策者认为比较满意的解。权 衡的过程实际上就反映了决策者的主观价值和意图。
13.2 决策方法
解决多目标决策问题的方法目前已有不少，本节主要介绍以下三种：化多目标为单目标的方法、重 排次序法、分层序列法。决策的一般步骤为，第一步，判断各个方案的非劣性，从所有方案中找出全部 非劣方案，即满意方案。第二步，在全部非劣方案中寻找最优解或选好解。
13.2.1化多目标为单目标的方法
由于直接求多目标决策问题比较困难，而单目标决策问题又较易求解，因此就出现了先把多目标问 题转换成单目标问题然后再进行求解的许多方法。下面介绍几种较为常见的方法。
1）主要目标优化兼顾其它目标的方法
设有m
个目标f
1（x ）, f 2（x ）,….,f m （x ）, x R 均要求为最优，但在这 m 个目标中有一个是主要目标, 例如为f 1（x ），并
要求其为最大。在这种情况下，只要使其它目标值处于一定的数值范围内，即 就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题：
max f 1(x)
x R
{x f i f i (x) f i ,i 2,3,..., m; x R}
例13.2 设某厂生产A 、B 两种产品以供应市场的需要。生产两种产品所需的设备台时、原料等消
13.2所示。在制定生产计划时工厂决策者考虑了如下三个目标： A 的产量必 11个单位。
问题，今若将利润最大作为主要目标，则后面两个目标只要符合要求即可。这样，
上述问题就可变换成 单目标决策问题，并可用线性规戈甌行求解。
设X 1为产品A 的产量，X 2为产品B 的产量，则上述利润最大作为主要目标，
其它两个目标可作为约
束条件，其数学模型如下：
max z 4x 1 3.2x 2
(13.2.1)
耗定额及其质量和单位产品利润等如表
第一，计划期内生产产品所获得的利润为最大；第二，为满足市场对不同产品的需要，产品 须为产品
B 的产量的1.5倍；第三，为充分利用设备台时，设备台时的使用时间不得少于
13.2
产品消
耗、利润
然，上述 题是一 标决策
显 决策问 个多目
max F(x)=
m
i f i
(x)
i 1
(13.2.3)
计算所有方案的F(X )值，从中找出最大值的方案，即为最优方案。
在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同，或有些目标值要求最大而有些要求最小，则可 首先将目标值变换成效用值或无量纲值，然后再用线性加权和法计算新的目标函数值并进行比较，以决 定方案取舍。
3)平方和加权法
设有m 个目标的决策问题，现要求各方案的目标值
f 1(x), f 2(x),…，f m (x)与规定的m 个满意值f 1* ,
f 2* ,…，f m *的差距尽可能小，这时可以重新设计一个总的目标函数：
m
F(x)= i (f i (x) f i )2
i 1
(13.2.4)
并要求min F(x)，其中j 是第i(i=l,2,…)个目标的权重系数。
f k+1 (x),
4)乘除法
当有m
个目标f
1(x) ,
f 2(x),…，f m (x)时，其中目标f 1(x) , f 2(x),…，f k (x)的值要求越小越好，目标f k (x),
…，f m (X)的值要求越大越好，并假定 f k (x), f k+1(x),…，f m (X)都大于0。于是可以采用如下目标函
F(x)=
f 1
(X) f 2
(x)
f k (X) f k1(X)f k 2(X)
f m (x)
(13.2.5)
并要求 min F(x)。
功效系数法
5) 设有m 个目标f 1(x) , f 2(x),…，f m (x)，其中k 1个目标要求最大,
k 2个目标要求最小。赋予这些目标
f i (x), f 2(x),…，f m (x)以一定的功效系数
d i (i=1,2,…,m), 0 d i
当第i 个目标达到最满意时 d i =1,
最不满意时d i =o ，其它情形d i 则为0,1之间的某个值。描述d i 与f i (x)关系的函数叫作功效函数， 表示。
不同性质或不同要求的目标可以选择不同类型的功效函数，如线性功效函数、指数型功效函数等。 图13.2所示为线性功效函数的两种类型。图
13.2a 所示为要求目标值越大越好的一种类型，
即f i 值越大,
d i 也越大。图13.2b 为要求目标值越小越好的一种类型，即
f i 越小，d i 越大。
用 d i =F(f i )
2X 1 4X 2 12(设备台式约束)
3x 1
3x 2
12(原料约束)
st. X 1 1.5X 2
0(目标约束)
(13.2.2)
2x 1 4x 2 11(目标约束)
X 1,X 2
(线性规划问题及后面所介绍的目标规划问题的求解过程请参阅《运筹学》有关部分。
2)线性加权和法
设有一多目标决策问题，共有
f 1(x), f 2(x),…，f m (x)等m 个目标，则可以对目标 系数i (i=1, 2,…，m ),然后构成一个新的目标函数如下：
f i (x)分别给以权重
记max f i(x)= f imax，min f i (x)=f imin，若要求
个目标的功效系数d i的值为
d i(f i(x)) yx) ：imin
f i max f i min
若要求f i(X)越小越好，则可设d i(f imin) 1, d i(f imax) 0,第i个目标的功效系数
f i min
a)目标值愈大愈好的类型b) 目标值愈小愈好的类型
d i(f i(x)) 1 単(13.2.7)
i max ' i min
同理，对于指数型功效函数的两种类型，亦可类似地确定d i的取值。
当求出n个目标的功效系数后，即可设计一个总的功效系数，设以
D m d1d2d m (13.2.8)
max D。
作为总的目标函数，并使
从上述计算D的公式可知，D的数值介于0、1之间。当D = 1时，方案为最满意，
为最差。另外，当某方案第i目标的功效系数d i=0时，就会导致D = 0，这样也就不会选择该方案了。
D =0时，方案
13.2.2 重排次序法
重排次序法是直接对多目标决策问题的待选方案的解重排次序，然后决定解的取舍，直到最后找到“选好解”。
下面举例说明重排次序法的求解过程。
例13.3 设某新建厂选择厂址共有n个方案m个目标。由于对m个目标重视程度不同，事先可按定方法确定每个目标的权重系数。若用f ij表示第i方案第j目标的目标值，则可列表如表13.3所示。
.目标(j) 方案
f1 f2 …f j …f m-1 f m
入1 入2 入j 入m-1 入m
f11
f21
f12
f22
f1j
f2j
f1,m-1
f2,m-1
f1,m
f2,m
表13.3 n个方案的m个目标值
f i(x )越大越好，则可设 d i ( f i min ) 0，d i( f i max) 1，第i
(13.2.6)
d i的值为
这种方法有解的前提是 R l , R 2,…，R m-1等集合非空，并且不止一个元素。但这在解决实际问题中 很难做到。于是又提出了
一种允许宽容的方法。所谓“宽容”是指，当求解后一目标最优时，不必要求 前一目标也达到严格最优，而是在一个对最优解有宽容的集合中寻找。这样就变成了求一系列带宽容的 条件极值问题，也就是
R ' {x|f i (x) a i maxf i (x),x Rj i=1,2,…,m-1, R 。
R
而a i >0是一个宽容限度，可以事前给定。
(1)无量纲化。为了便于重排次序，可先将不同量纲的目标值 法是：对目标f j ，如要求越大越好，则先从 n 个待选方案中找出第 最小值为最差值。即 f ij 变成无量纲的数值y ij 。变换的方 j 个目标的最大值确定为最好值，而其 max f ij f i b j , min f j [in 」 DJ [in 」 f i w j 并相应地规定 而其它方案的无量纲值可根据相应的 f 的取值用线性插值的方法求得。
对于目标f i ，如要求越小越好，则可先从n 个方案中的第j 个目标中找最小值为最好值， 而其最大值 为最差值。可规定 f i b j 1
, f i w j y i w j 100
。其它方案的无量纲值可类似求得。这样就能把
所有的f ij 变换成无量纲的y ij.。 (2) 通过对n 个方案的两两比较，即可从中找出一组“非劣解” ，记作｛B ｝，然后对该组非劣解作进 一步比较。 (3) 通过对非劣解｛B ｝的分析比较，从中找出一“选好解”，最简单的方法是设一新的目标函数 m F i i y ij , i {B}
j 1
(13.2.9) 若F i 值为最大，则方案i 为最优方案。 13.2.3分层序列法 将重要的目标排在前面，例如已知排成f 1(x),f 2(X),…, f m (x)。然后对第1个目标求最优，找出所有最优解集合，用 R 1表示，接着在集合 R 1范围内求第2个目
标的最优解，并将这时的最优解集合用 R 2表示，依此类推，直到求出第m 个目标的最优解为止。 将上述 过程用数学语言描述，即 分层序列法是把目标按照重要程度重新排序, f 2(X ⑵)max f 2(x)
x R
()
f 2(x (2)
) min f 2(x)
x R |
()
13.3多目标风险决策分析模型
假设有n 个目标，m 个备选方案（A ,A,…，Am ）,第i 个备选方案A 面临h 个自然状态，这h 个自
ik
1）
, i!2）
,..., ik n ）
。该模型可表述为图13.3。
各方案中各目标的期望收益值分别为
这样，便把有限个方案的多目标风险型决策问题转化成为有限方案的多目标确定型决策问题:
然状态发生的概率分别为
P i1, P i2，..., P ih 。方案 A 在其第 k 个自然状态下的
n 个后果值分别为
E(A m )
P
m a
m
( P m1
p
ml m )
(1) (2) (n) m1 m1 m1 (1) (2) (n) m2
m2 m2
(1) (2)
(n) ml m ml m
ml m
(13.3.1)
def
E(A)
E(A) A 1 a 11 a
12 a
1 n
E(A 2)
A 2 a
21
a
22
a
2n
E(A m ) A m
a
m1
a
m2
a
mn
(13.3.2)
m n