MATLAB齿轮泵的优化设计

基于MATLAB齿轮泵的优化设计

目录

（一）摘要 (2)

（二）前言 (2)

（三）齿轮泵优化设计数学模型的建立 (2)

3.1目标函数和设计变量 (2)

3.2约束条件 (3)

（四）利用MATLAB优化工具箱求解 (5)

4.1MATLAB 优化工具箱简介 (5)

4.2 MATLAB 优化模型 (5)

4.3结果分析 (7)

（五）结论 (7)

（六）参考文献 (7)

（一）摘要：

以体积最小为目标函数，建立了满足一定约束条件的外啮合齿轮泵的优化设计数学模型。在此基础上编制了m 文件，利用MATLAB 优化工具箱对齿轮泵结构参数进行优化，并对优化结果进行了分析。结果表明，与原结构相比，优化后的齿轮泵重量减轻，可大大降低制造成本.

关键词：外啮合齿轮泵；优化设计MATLAB 软件

(二)前言：

齿轮泵是一种常见液压元件，具有外形尺寸小、自吸性能好、耐冲击等优点。近年来，随着用户对齿轮泵的性能要求不断提高，齿轮泵生产厂家希望提高设计效率、降低生产成本的要求也越来越迫切。齿轮泵的传统设计方法存在设计周期长、设计结果不合理的的缺点，不能满足当前的实际需要。机械最优化设计,就是在给定的性能参数以及工作环境条件下,在机械产品的性态、几何尺寸关系或其他因素的限制范围内,选取适当的设计变量,建立目标函数并使其获得最优值的一种新的设计方法。本文采用此方法对齿轮泵进行优化设计。

（三）齿轮泵优化设计数学模型的建立

3.1.设计变量及目标函数

本设计所研究齿轮泵的相关参数如下:齿轮材料:20CrMnTi;工作压力:13 MPa;输出流量:40 L/min;转速:500 r/min;机械效率:91%;容积效率:91%;设计寿命:1 a;初始优化参数:m=4,z=5.

本设计是以齿轮泵的体积最小为目标,由于齿轮和轴的尺寸是决定齿轮泵体积的依据,因此可按它们体积最小的原则来建立目标函数。影响齿轮泵体积的因素主要是模数m,齿数z,中心距a,分度圆直径D,齿宽b,轴直径d,壳体内轴的长度l,设计变量应是独立的参数,所以选取b,z,m,d,l 作为设计变量,取设计变量X=[x1,x2,x3,x4,x5]T=[b,z,m,d,l]T 。因为需要优化的齿轮泵的主、从动轮参数大小相同,即传动比i=1。根据齿轮泵几何尺寸及齿轮泵结构尺寸的计算公式,并认为壳体内的轴长等于齿宽,现只考虑一个齿轮及轴的体积,简化后的体积 V=1/4πb(D2-d2)+1/4πld2 (1)

化简后建立目标函数

)(4/1)(f 52424123221x x x x x x x p V x +-??== (2)

齿轮泵结构如图1所示

图1

3.2约束条件

(1)根切约束

按允许轻微根切设计,齿根强度消弱不大,变位ξ应满足

g1(X)=14-x217-ξ≤0 (3)

取值ξ=0.08,代入式(3)并化简可得

g1(X)=12.64-x2≤0 (4)

(2)齿宽约束

齿宽过大会增大轴承负荷和增高齿面轴向接触,所以一般限制齿宽b<9 m g2(X)=x1-9x3≤0 (5)

(3)齿顶圆齿厚约束

齿轮泵采用正变位齿轮,齿顶趋于变尖,一般要

顶圆齿厚s满足

g3(X)=0.15x3-s≤0 (6)

取值s=6.28 mm,代入式(6)并化简可得

g3(X)=x3-41.867≤0 (7)

(4)传动要求

动力传动的齿轮模数应不大于2 mm,得

g4(X)=2-x3≤0 (8)

(5)齿轮啮合径向间隙约束

齿轮啮合径向间隙δ过小,易产生啮合干涉,

将降低容积效率,所以有

g5(X)=|δ-0.15x3|-0.1x3≤0 (9)

取值δ=0.08 mm,代入式(9)并化简可得

g5(X)=|0.08-0.15x3|-0.1x3≤0 (10)

(6)排量约束

理论排量qL应大于给定的公称排量qt

g6(X)=qt-qL≤0 (11)

由qt=2πmbz=2.828x1x2x3,取qL=0.037 L/r,代入式(11)并化简可得g6(X)=76.432x1x2x23-1≤0 (12)

(7)速度约束

为防止气蚀,减小振动和噪声,齿顶圆速度应小于

允许的极限值vmax,要求

g7(X)=πmzn60000-vmax≤0 (13)

取vmax=20 m/s,n=500 r/min,代入式(13)并化简

可得

g7(X)=0.026x2x3-20≤0 (14)

(8)轮齿强度约束

齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值,得

g8(X)=σH-[σH]≤0 (15)

g9(X)=σF-[σF]≤0 (16)

接触应力σH和弯曲应力σF的计算公式分别为

σH=2.5ZuZE2KTφdd3 (17)

σF=KTYFYSφdm3z2 (18)

式中[σH]———σH的许用值,取[σH]=1 282.5MPa;

[σF]———[σF]的许用值,取[σF]=385.7MPa;

K———载荷系数,取K=2.225;

Zu———齿数比系数,取Zu=u+1u=1.414;

ZE———材料系数,取ZE=189.8;

φd———齿宽系数,取φd=1;

YF———齿形系数,取YF=3;

YS———齿根应力集中系数,取YS=1.5;

T———传动扭矩,取T=150 N·mm。

将上述数值代入式(15)及式(16)中并化简可得

g8(X)=1x34-12.812≤0 (19)

g9(X)=7.789x22x33-1≤0 (20)

(9)轴的强度约束

轴在危险截面处的弯曲应力σ不大于许用值

[σ-1],得

g10(X)=σ-[σ-1]≤0 (21)

将σ=10M2+(αT)2d3=1.23×106x34MPa,

[σ-1]=60 MPa代入式(21)并化简得

g10(X)=2.06×104x34-1≤0 (22)

(10)关于壳体内轴长度的约束

g11(X)=x1-x5+0.02≤0 (23)

（四）利用MATLAB优化工具箱求解

4.1MATLAB 优化工具箱简介

MATLAB 优化工具箱是MATLAB 软件集成的一个优化模块，该模块提供了各种优化函数，可以求解线性规划、非线性规划和多目标规划问题。使用者只需按照MATLAB 语法格式将优化问题的数学模型转化为MATLAB 的优化模型，就可以求解优化问题。使用MATLAB 工具箱可避免繁琐的优化程序编制和调试过程，为优化方法在工程中的实际应用提供了方便快捷的途径。

4.2 MATLAB 优化模型

（1）根据上文导出的外啮合齿轮泵优化数学模型和MATLAB 的语法格式。编写约束函数m文件,并以confun.m的文件名命名。

function [c,ceq] =confun(x)

c=[12.64-x(2);

x(1)-9*x(3);

x(3)-41.867;

2-x(3);

abs(0.08-0.15*x(3))-0.1*x(3);

76.432*x(1)*x(2)*x(3)^2-1;

0.026*x(2)*x(3)-20;

1/(x(4)^3)-12.812;

7.789/((x(2)^2)* x(3)^3)-1;

20600/x(4)^3-1;

x(1)-x(5)+0.02];

ceq = [];

（2）在Matlab的command窗口中编写优化程序

命令。

clear

x0=[60,15,4,30,60.5];

fun='3.142*(x(1)*x(2)^2*x(3)^2-x(1)*x(4)^2+x(4)^2*x(5))p4';

lb=[55,12,3,25,55];

ub = [80,25,8,50,70];

options=optimset('display','iter');

[x,fval,exitflag,output]=fmincon(@objfun,x0,[],[],[],[],lb,ub,@confun ,options)

（3）最终的运行结果

x = 52.8694 15.0000 3.7306 30.0000 60.5000

fval =

1.3556e+27

4.3结果分析

对参数进行圆整,得到如下优化前后的的对比如下所示。优化设计前后齿轮泵各参数

齿宽齿数模数齿轮轴

直径

壳体内

轴长

优化前参数60 15 4 30 60.5

优化后参数53 15 3.75 30 60.5

（五）结论

从优化结果可以看出,经优化后该型号齿轮泵的尺寸,在保证其结构性能及满足约束条件的前提下,得到了明显的优化。由此可以看出,应用MAT-LAB优化工具箱进行优化设计问题求解,编程工作量小,初始参数输入简单,符合工程设计语言,提高了设计效率。尤其是对于某些工程问题,用一种预先选定的方法很可能得不到最优解,运用MATLAB语言优化工具箱来求解优化问题就显得简单方便。同时,与传统的求解结果相比较不仅提高了设计精度,而且优化工具箱的优化算法更具有可靠性。

（六）参考文献

[1]梁尚名.现代机械优化设计方法[M].北京:化学工程出版社,

2005.

[2]刘惟信.机械最优化设计[M].2版.北京:清华大学出版社,2002.

[3]李人厚.精通MATLAB综合辅导与指南[M].西安:西安交通大学

出版社,1998.

[4]昊宗泽.机械设计手册:上册[K].北京.机械工业出版社,2002.

[5]宋俊,王淑莲.液压元件与优化[M].北京:机械工业出版社,1999.