2019年北京市东城区高三一模数学试卷及答案(文科)

东城区2018-2019学年度综合练习（一）

高三数学 （文科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

（1）已知复数z 满足(1i)2z -=，则z 等于

（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- （2）命题“0x ?∈R ，20log 0x ≤”的否定为

（A ）0x ?∈R ，20log 0x > （B ）0x ?∈R ，20log 0x ≥ （C ）x ?∈R ，2log 0x ≥ （D ）x ?∈R ，2log 0x >

（3）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()

f x 的大致图像为

（A ）

（B ） （C ） （D ）

（4）给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； ②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；

③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；

④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面． 其中为真命题的是

（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）②和④ （5）已知函数()sin y x =ω+?(0,0)2

πω>

为

（A ）(2,3π （B ）(2,6π

（C ）1(,23π （D ）1(,26

π

（6）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为

（A ）5n ≤ （B ）6n ≤ （C ）7n ≤ （D ）8n ≤

（7）已知函数1

31()()2

x

f x x =-，那么在下列区间中含有函数

()f x 零点的为

（A ）1(0,)3 （B ）11(,)32

（C ）1(,1)2

（D ）(1,2)

（8）空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，

该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点

A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P

到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值为 （A ）3 （B ）323- （C ）36- （D ）33-

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）抛物线2

8y x =的焦点坐标为 ．

（10）在等差数列{}n a 中，若1232,13a a a =+=，则456a a a ++= ． （11）已知向量a ，b ，c 满足-+=20a b c ，且⊥a c ，||2=a ，||1=c ，

则||=b ． （12）已知π(,π)2α∈,π1

tan()47

α+=

,则sin cos αα+= ． （13）设2

2,1,

()log (1),1,

x

a a x f x x x ?≤?=?->??且1f =，则a = ； ((2))f f = ．

75 80 85 90 95 100 分数

频率

0.01

0.02

C

（14）设不等式组??

?

??+-≤≥≥k kx y y x 4,0,0在直角坐标系中所表示的区域的面积为S ，则当1k >时，

1

-k kS

的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．4

cos 5

C =，2cos c b A =． （Ⅰ）求证：A B =； （Ⅱ）若△ABC 的面积15

2

S =，求c 的值．

（16）（本小题共13分）

已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．

（17）（本小题共13分）

某高校在2019年的自主招生考试成绩 中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩 分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)， 第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组 [95，100]得到的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；

(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组

中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面

试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?

(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第

4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．

(18)（本小题共14分）

已知函数3

2

()f x x ax x c =+-+，且2

'()3

a f =． （Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅲ）设函数x

e x x

f x

g ?-=])([)(3

，若函数)(x g 在]2,3[-∈x 上单调递增，求实数c 的

取值范围．

（19）（本小题共14分）

已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为1

2

，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且3

A P P

B =，求实数m 的取值范围．

（20）(本小题共13分)

对于)2(≥∈n n *

N ，定义一个如下数阵：

??

??

?

?

?

??=nn n n n n nn a a a a a a a a a A 2122221

112

11

其中对任意的n i ≤≤1，n j ≤≤1，当i 能整除j 时，1=ij a ；当i 不能整除j 时，

0=ij a ．

（Ⅰ）当4n =时，试写出数阵44A ； （Ⅱ）设nj j j n

i ij

a a a a

j t +++==

∑= 211

)(．若][x 表示不超过x 的最大整数，

求证：

∑=n

j j t 1

)(∑==n

i i

n

1

][

．

C

北京市东城区2018-2019学年度第二学期综合练习（一）

高三数学参考答案 （文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）A （2）D （3）C （4）D （5）A （6）B （7）B （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）(2,0) （10）42

（11） （12）5

1- （13）7；6

（14）32

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

（Ⅰ）证明：因为2cos c b A =，由正弦定理得sin 2sin cos C B A =?， 所以sin()2sin cos A B B A +=?， sin()0A B -=，

在△ABC 中，因为0πA <<，0πB <<， 所以ππA B -<-<

所以A B =． ……………………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a b =．

因为4cos 5C =

，所以3

sin 5

C =． 因为△ABC 的面积152S =

，所以115

sin 22

S ab C ==，5a b ==． 由余弦定理2

2

2

2cos 10c a b ab C =+-=

所以c =． ……………………13分

（16）（共13分）

（Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 所以EO ∥PC ． 因为EO ?平面BDE PC ?平面BDE 所以PC ∥平面BDE ．

(6)

（Ⅱ）证明：连结OP 因为PB PD =，

所以OP BD ⊥．

在菱形ABCD 中，BD AC ⊥ 因为OP

AC O =

所以BD ⊥平面PAC 因为BD ?平面BDE

所以平面PAC ⊥平面BDE ． ……………………13分

（17）（共13分）

解：(Ⅰ)由题设可知，第3组的频率为0.0650.3?=， 第4组的频率为0.0450.2?=，

第5组的频率为0.0250.1?=．

……………………3分

(Ⅱ)第3组的人数为0.310030?=， 第4组的人数为0.210020?=，

第5组的人数为0.110010?=．

因为第3，4，5组共有60名学生，

所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：

第3组：30

6360

?=， 第4组：

20

6260?=， 第5组：

10

6160

?=． 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人． ……………………8分 (Ⅲ)设第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ，

第4组的2位同学为1B ，2B ， 第5组的1位同学为1C ． 则从六位同学中抽两位同学有：

1213111211(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C

23212221(,),(,),(,),(,),A A A B A B A C

313231(,),(,),(,),A B A B A C 121121(,),(,),(,),

B B B

C B C

共15种可能．

其中第4组的2位同学为1B ，2B 至少有一位同学入选的有：

11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B

3112321121(,),(,),(,),(,),(,),A B B B A B B C B C 共9种可能，

所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为

93155

=． ……………………13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）由3

2

()f x x ax x c =+-+，得2

'()321f x x ax =+-．

当32

=

x 时，得22222'()3()2'()()13333

a f f ==?+?-， 解之，得1a =-． ……………………4分 （Ⅱ）因为3

2

()f x x x x c =--+．

从而2

1

'()3213()(1)3

f x x x x x =--=+-，列表如下：

所以)(x f 的单调递增区间是)3

,(--∞和),1(∞+；

)(x f 的单调递减区间是)1,3

1

(-． ……………………9分

（Ⅲ）函数3

2

()(())()x

x

g x f x x e x x c e =-?=--+?，

有2')(21)()x x g x x e x x c e =--+--+（

=2(31)x

x x c e --+-， 因为函数在区间]2,3[-∈x 上单调递增，

等价于2

()310h x x x c =--+-≥在]2,3[-∈x 上恒成立， 只要0)2(≥h ，解得11c ≥，

所以c 的取值范围是11c ≥． ……………………14分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：22

221(0)x y a b a b

+=>>

由题意：22212231

c a a a c b c a b c ?==????

+=?=????==+??

?

所求椭圆方程为：22

143

x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）若过点(0,)P m

的斜率不存在，则2m =±

． 若过点(0,)P m 的直线斜率为k

，即：m ≠时， 直线AB 的方程为y m kx -=

由22222

(34)841203412

y kx m k x kmx m x y =+??+++-=?+=? 2222644(34)(412)m k k m ?=-+-

因为AB 和椭圆C 交于不同两点 所以0?>，2

2

430k m -+> 所以2

2

43k m >- ① 设1122(,),(,)A x y B x y

由已知3AP PB =，则2121222

8412

,3434km m x x x x k k -+=-=++ ②

1122(,),(,)AP x m y PB x y m =--=-

123x x -= ③

将③代入②得：2222

4412

3()3434km m k k --=++

整理得：2

2

2

2

1612390m k k m -+-=

所以22

2931612m k m -=-代入①式得222

2

934343

m k m m -=>-- 222

4(3)043m m m -<-，解得2

334

m <<．

所以m <<

m <<

综上可得，实数m

的取值范围为：3

([,3)22

-

． ……………………14分

（20）(共13分)

解：（Ⅰ）依题意可得，441

111010100100

001A ??

?

?

= ?

?

??

……………………4分

（Ⅱ）由题意可知，)(j t 是数阵nn A 的第j 列的和， 因此

∑=n

j j t 1

)(是数阵nn

A

所有数的和．

而数阵nn A 所有数的和也可以考虑按行相加．

对任意的n i ≤≤1，不超过n 的倍数有i 1，i 2，…，i i

n ][．

因此数阵nn A 的第i 行中有][i n 个１，其余是0，即第i 行的和为][i

n ． 所以

∑=n j j t 1

)(∑==n

i i

n

1

][

． ……………………13分