二、逆函数和复合函数
指数函数典型例题详细解析汇报
实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)
【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．
【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859=====
二次函数和指数对数函数
二次函数及指对数运算 1．已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式； （2）求函数()y f x =在区间[1,1]-上的值域； （3）当[1,1]x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围. 2．如图，已知二次函数y=x 2 +bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3） （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，求点P 的坐标． 3．已知函数f （x ）=x 2 +2ax+2，x ∈[﹣5，5]． （1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值； （2）求实数a 的取值范围，使y=f （x ）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
4．计算： 23 log 2 22 8273lg 2lg 52lg2lg5log 9log 3238ππ- ??++?+?++ ??? . 5．计算：（1）()()1 22 3 02 9279.6 1.548--???? ---+ ? ????? ； （2）2 021lg 5lg 2()(21)log 83 -+--+-+ 6．已知函数()()2log 3f x x =-． （1）求()()516f f -的值； （2）求()f x 的定义域； （3）若()0f x ≤，求x 的取值集合． 7.（Ⅰ）设 ()()()()24142x f x x f x x ?+
必修一：指数与指数函数
指数与指数函数 级级： 姓名： 学号： 得分： 一、选择题（每题5分，共40分） 1．（369a ）4（639a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5x -21 （B ）y=(3 1)1-x （C ）y=1)2 1 (-x （D ）y=x 21- 3．已知0 y A.a ＜b ＜1＜c ＜d B.b ＜a ＜1＜d ＜c C.1＜a ＜b ＜c ＜d D.a ＜b ＜1＜d ＜c 二、填空题（每题5分，共30分） 10.已知函数()14x f x a -=+的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是___________ 11.方程96370x x -?-=的解是_________ 12.指数函数x a x f )1()(2-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 13.函数221x x y a a =+-（0>a 且1≠a ）在区间]1,1[-上的最大值为14，a 的值是 14.计算：412121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+---_______________ 15.若()10x f x =，则()3f =———————— 三、解答题（16/17/19题各5分，18题15分，共30分） 16.设关于x 的方程02 41=--+b x x 有实数解，求实数b 的取值范围。),1[+∞- 17.设0 指数函数及其性质 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>? ?≤??x x 时，a 恒等于，时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1,a a a a ?-+=?>≠? 且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； （2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ． 举一反三： 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？ （1）4x y =；（2）4 y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-； （5）1 (21)(1)2 x y a a a =-> ≠且；（6）4x y -=． 指数与指数函数 一、知识讲解 考点1 根式的概念 （1）定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称为a 的n 次方根．即， 若a x n =，则x 称a 的n 次方根（* ∈>N n n 且1）． ①当n 为奇数时，n a 的次方根记作 n a ； ②当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . （2）性质：①a a n n =)(；②当n 为奇数时，a a n n =； ③当n 为偶数时，?? ?<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n n ． 考点2 幂的有关概念 （1）规定：①)(* ∈???=N n a a a a n ； ②)0(10≠=a a ， ③∈= -p a a p p (1 Q ） ④m a a a n m n m ,0(>=、*∈N n ，且)1>n （2）性质：①r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， ②r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， ③∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用． 考点3 指数函数 定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数． a ＞ 1 0＜a ＜1 二、例题精析 【例题1】 求下列各式的值： （1）2 1100；（2）3 28； （3）2 39－；（4）4 381 －． 【解析】（1）2110010=)10(=2 12. （2）3284=2=)2(=23 23. （3）2 3 9－271 =3 =) 3(=3 2 32－－. （4）4 381 －27 1= 3=) 3(=34 34－－. 【例题2】 用分数指数幂的形式表示下列各式（＞0） （1）a a 3 ； （2）322a a ·； （3）3 a a · 【解析】（1）. （2）3 2 2a a ·3 83 2+ 23 2 2 ===a a a a . （3）3 a a ·3 23 43 1 ===a a aa . 【例题3】 计算：25.02121325.0320625.0÷])32.0(×)02.0(÷)008.0(+)9 4 5()833[(－－－－． 【解析】 原式＝4 1 32 21 32 )10000 625(]102450)81000()949()278[(÷?÷+- 92 2)2917(21]10 24251253794[=?+-=÷??+-=． 【例题４】 化简： .)2(248533233 23 233 2 3 134a a a a a b a a ab b b a a ???-÷++-- a 117333 2 2 2 a a a a a + =?== 函数第3节 二次函数与幂函数 1. (2013浙江文7）已知,,a b c ∈R ，函数()2 f x ax bx c =++.若()()()041f f f =>，则 （ ）. A. 0a >，40a b += B. 0a <，40a b += C. 0a >，20a b += D. 0a <，20a b += 2（2014北京文8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用 率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2 p at bt c =++ （a ，b ，c 是常数），如图所示记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可 以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 函数第4节 指数与指数函数 1.（优质专题四川文8）某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：C )满足函数 关系e kx b y += (e = 2.718 为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0C 的保鲜时间 是192h 小时，在22C 的保鲜时间是48h ，则该食品在33C 的保鲜时间是（ ）. A. 16h B. 20h C. 24h D. 21h 2.（优质专题江苏7）不等式2 24x x -<的解集为 ． 3.（优质专题山东文3）设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a b c ，，的大小关系是（ ）. A. a b c << B. a c b << C. b a c << D. b c a << 4.（优质专题全国丙文7）已知4 3 2a =，23 3b =，13 25c =，则（ ）. A.b a c << B.a b c << C.b c a << D.c a b << 5.（优质专题山东文10）若函数()e x f x （e 2.71828 =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上 单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为（ ）. A.()2x f x -= B.()2 f x x = C.()-3 x f x = D. ()cos f x x = 当前 形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～10分 高考要求 内容 要求层次 具体要求 A B C 有理数指数幂的含义√理解有理指数幂的含义 实数指数幂的含义√通过具体实例了解实数指数幂的意义幂的运算√掌握幂的运算 指数函数的概念及其性质√ 通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数 函数模型的实际背景; 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算 机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数 的单调性与特殊点; 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一 类重要的函数模型 北京高考解读 2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第3题5分 第13题5分 第6题5分 第14题5分 第6题5分 第13题5分 第14题5分第5题5分新课标剖析 满分晋级 第5讲指数函数与相关 复合函数 函数13级 函数的奇偶性（二） 与周期性 函数14级 指数函数与相关复合函数 函数15级 对数函数与相 关复合函数 考点1：幂的运算 1．根式 ⑴ 如果存在实数x ，使得n x a = (a ∈R ，1n >，n *∈N )，则x 叫做a 的n 次方根． ⑵ n 叫做根指数． ⑶ 根式的性质：① n a =，(1n >，且*n ∈N ) a n a n ??=??? ， 当为奇数，当为偶数 2．分数指数 ⑴ 规定正数的正分数指数幂的意义：)01m n a a m n n *>∈>N ，，， 且 ⑵ 规定正数的负分数指数幂的意义：()101m n m n a a m n n a - * = >∈>N ，，，且 3．实数指数幂的运算法则 a a a αβαβ+=；()a a αβαβ= ；()a b a b ααα= （其中0a >，0b >，对任意实数α，β） ． 【教师备案】本板块主要是化简、求值问题，可小结如下： ⑴一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分 数进行运算，便于进行乘除、开方运算，以达到化繁为简的目的. ⑵当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外将分数指数幂写出，然后再 利用性质运算. ⑶对于计算题的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂 的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分 数指数，也不能既含有分母又含有负指数. ⑷解题时要注意从整体上把握代数式的结构特点，先化简后计算 ⑸妙用公式化简指数式 ①11112 2 2 2 ()()a b a b a b +-=-； ②11112 2 22 2 ()2a b a a b b ±=±+； ③1121123 3 3 333 ()()a b a a b b a b ±+=±． 暑假知识回顾 知识点睛 5.1幂的运算 二次函数 1、设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )． 2、 已知函数f (x )＝x 2 ＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值． (2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 3、已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )． 4、已知二次函数()f x 的二次项系数为a ,且不等式x x f ->)(的解集为)2,1(,若)(x f 的最大值为正数,求a 的取值范围。 5、已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 6、已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2 y x =的图象上，则使得ABC ?的面积为2的点C 的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7、已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为（ ） A ．[22,22]-+ B ．(22,22)-+ C ．[1,3] D ．(1,3) 8、设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x ==+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（ ） A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+> B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+< C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+< D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+> 一次函数 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 第二讲 二次函数、指数函数和对数式 一、二次函数 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3.典型例题 例1、已知函数f (x )＝? ????x 2＋ax ，x ≤1， ax 2＋x ，x >1 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－2 B ．－2 例2、(1)设f ()x 是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f ()x ＝2x .若对任意的x ∈[]a ，a ＋2，不等式f (x ＋a )≥[f (x )]2恒成立，则实数a 的取值范围是________． (2)对任意x ∈R ，不等式x 2＋2|x －a |≥a 2恒成立，则实数a 的取值范围是___________ 例3、2016·丽水中学模拟已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，g(x)＝f[f(x)]，若g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)的值域为[k，＋∞)，则实数k的最大值为() A．0 B．1 C．2 D．4 二、指数和指数函数 1.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②正数的负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1 n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂________． 3、例题讲解 例1. (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[]－2，2上的函数值总小于2，则实数a 的取值范围是． (2)若不等式1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(]－∞，1时恒成立，则实数a 的取值范围是________． 幂函数与指数函数的区别 1.指数函数：自变量x在指数的位置上，y=a^x（a>0，a不等于1） 性质比较单一，当a>1时，函数是递增函数，且y>0; 当0 3.y=8^(-0.7)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数y=8^x（a=8），当x=-0.7时，y 的值；或者将其看成：幂函数y=x^(-0.7)（a=-0.7），当x=8时，y的值。 幂函数的性质： 根据图象,幂函数性质归纳如下： （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1,1）； （2）当a>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上是增函数．特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸；当0 于+∞时，图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。 指出：此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调， 当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x 轴的两条射线，但点（0，1）要除外。 思考讨论： （1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？（2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？ 讲评：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。 对数函数的性质 (1)当a＞1时， ①x ＞0，即0和负数无对数； ②当x=1时，y=0； ③当x ＞1时，y＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0； ④在（0，+∞）上是增函数． (2)当0＜a＜1时， ①x ＞0，即0和负数没有对数； ②当x=1时，y=0； ③当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0； ④在（0，+∞）上是减函数． 指数与指数函数 一、学习目标 1、理解n资助方根、根式、分数指数幂概念，会对根式、分数指数幂进行互化； 2、掌握分数指数幂的运算性质，熟练运用性质进行化简、求值； 3、培养化归意识，思维的灵活性和严密性； 4、掌握指数函数的根念； 5、掌握指数函数的图像、性质； 6、能利用指数函数的性质比较幂的大小； 7、培养学生的应用意识。 二、例题分析 第一阶梯 [例1]求下列各式的值； 分析： 根式可化为分数指数幂形式，利用分数指数幂运算性质计算。 解： 说明： 既含有分数指数幂，又有根式，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算，如果根式中根 指数不同，也应化成分数指数幂的形式。 例2、指出下列函数中哪些是指数函数； (1)y=4x; (2)y=x4; (3)y=-4x; (4)y=(-4)x; (5)y=πx; (7)y=xx; 分析： 根据指数函数定义进行判断。 解：（1）、（5）为指数函数； （2）不是指数函数； （3）是-1与指数函数4x的乘积； （4）中底数-4<0，∴不是指数函数； （6）中指数不是自变量x，而是x的函数x2; （7）中底数x不是常数。 它们都不符合指数函数的定义。 说明： 指数函数严格限定在y=ax(a>0且a≠1)这一结构，（2）（3）（4）（6）（7）均不是指数函数， 不具备指数函数的基本性质。 第二阶梯 例3、 A、1 B、2a-1 C、1或2a-1 D、0 思路分析: 根据根式的意义直接进行判断. 解: (2)取a=0,b=1,A不成立;取a=0,b=-1,C不成立;取a=-1,b=-1,D不成立;因为a2+b2≥0,所以B正确, 故选B. 答案:(1)C (2)B 例4、函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是_______。 思路分析： 利用二次函数、指数函数的单调性，结合函数的有关知识进行解答。 解答： ∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴为x=1,由此得b=2,又∵f(0)=3,∴c=3. ∴f(x)=x2-2x+3在（-∞，1）内递减，在（1，+∞）内递增。 若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f（3x)≥f(2x). 若x＜0，则3x＜2x＜1, ∴f(3x)＞f(2x). 即总有f（3x)≥f(2x)，故应填f（cx)≥f(bx). 1．若1>a ，且y a x a a y a x log log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（ ） A ．0>>y x B ．0>=y x C ．0>>x y D ．无法确定 2．函数()?? ?>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为_________。 4．（2008江苏南通模拟，5分）设x x f a log )(=（0>a 且1≠a ），若1 )()()(21=+++n x f x f x f （+∈R x i ，n i ,,2,1 =），则)()()(33231n x f x f x f +++ 的值等于________。 5．若函数y=lg （ax 2+2x+1）的值域为R ，则实数a 的取值范围为________。 6．若函数y=log 2（kx 2+4kx +3）的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________。 7．若关于x 的方程m x x =?-+-+-|1||1|5425有实根，则实数m 的取值范围是________。 8已知lgx+lgy=2lg （x －2y ），求y x 2log 的值。 9．已知函数x x f x f 2log )1(1)(?+=。（1）求函数)(x f 的解析式；（2）求)2(f 的值； （3）解方程)2()(f x f =。 10．已知函数)(log )(x a a a x f -=（1>a ）。 （1）求)(x f 的定义域、值域；（2）判断)(x f 的单调性； （3）解不等式)()2(2 1x f x f >--。 浅谈指数函数中与二次函数有关的问题 福安三中 刘涛 【摘要】函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础，指数函数与二次函数作为基本函数，常以复合的形式出现.本文通过一些例题的讲解，进一步研究指数函数与二次函数的复合型函数的有关的问题，深化对指数函数与二次函数的理解与认识，得到较系统的函数知识和方法. 【关键词】指数函数 对数函数 复合函数 引言 函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中. 指数函数与二次函数作为基本函数，他们的复合型函数常是难点.本文通过一些例题的讲解，对指数函数的性质及二次函数的一些问题进行研究，加深对指数函数的认识. 1.指数型函数中有关值域的问题 值域是函数的三要素之一，要求复合函数的值域需注意变量替换后的值域. 例1.求1 32 +=x y 的值域. 分析：要求一个比较复杂的函数的值域，首先要看清这个复杂函数是由哪几个简单函数构成的．此函数是一个以2为底的指数函数与一个以3为底的指数型函数复合，所以我们先 考虑指数部分13+x 的范围．03>x 113>+?x ，令13+=x t ，则1>t ，而函数t y 2 =为单调递增函数，由此可得出2>y ，所以1 3 2+=x y 的值域为),2(+∞. 例2.试比较3 2-a a 与5 a 的大小)1,0(≠>a a 且. 分析：对于一般的比较大小问题，我们可以通过函数的增减性来解决．这道题目显然也是通过此途径来解决．但是其给出的条件不是很明确，那么我们就要对a 分类讨论． 解：当???<-<<5 3210a a ，即10<-3 2a a 5a ； 当?? ?<->5 321a a ，即41< 指数运算和指数函数 一、知识点 1.根式的性质 （1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有? ??<-≥==)0(,) 0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念 (1)正整数指数幂：)(.............*∈??=N n a a a a a n n (2)零指数幂)0(10 ≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1 *∈≠= -N p a a a p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m 且 (5)负分数指数幂 n m n m a a 1= - )1,,,0(>*∈>n N n m a 且 (6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=?+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>?= 4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质 二、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 三、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 四、典型例题 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1, a a a a ?-+=?>≠?且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 举一反三： 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？ （1）4x y =；（2）4 y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-； （5）1 (21)(1)2 x y a a a =-> ≠且；（6）4x y -=． 【答案】（1）（5）（6） 二次函数、指数函数和对数函数 1掌握二次函数的图像性质； 2掌握指数、对数的运算性质 3掌握指数函数和对数函数的概念、图像和性质，并能解决相关问题。 知识点归纳 1（1）二次函数的图象及性质:二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是 a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ??--a b ac a b 4422， （2）最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边 要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响以及对称轴与区间的相对位置 （3）理解好二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系： 2分数指数幂的运算性质： )()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈ =?+ s r s r a a a += r r r ab b a )(= 3 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 4指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?= 5重要公式： 01log =a ，log =a a 对数恒等式N a N a =log 6对数的运算法则 （其中0,1,0,0a a N M >≠>>） log ()log log a a a MN M N =+ log log log a a a M M N N =- log log n m a a m M M n = 7对数换底公式： a N a N N m m a log log lg lg log = = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 8两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log = （ a, b > 0且均不为1） 9对数函数的性质： 10同底的指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数 [速练速改]: 1．已知二次函数0)(2 =++=c bx ax x f ，0)0(=f ，则=c ； 2．函数42)(2 -+=x x x f 的对称轴为 ，它有最 值为 ； 3．画出函数12)(2 --=x x x f 的图像，并由图写出函数的单调性，最值。 4．化简)3 1 ()3)((65 613 1212132 b a b a b a ÷-的结果 温馨提示： 高考题库为word 版，请按住ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的 观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 考点4 二次函数、指数函数、对数函数、幂函数 1.（2010·安徽高考理科·Ｔ6）设0abc >，二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 【命题立意】本题主要考查二次函数图像与其系数的关系，考查考生的逻辑推理能力． 【思路点拨】逐项验证，由图象先确定a 、c 的符号，再根据对称轴的正负确定b 的符号。 【规范解答】选 D.由D 选项的二次函数图象可知，0,0,a c ><且对称轴02b a ->，所以0b <， 满足0abc >，故D 正确；同理可判断A 、B 、C 错误。 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a >或0a <两种情况分类考虑，另外还要注意c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标等对系数的影响。 2.（2010·浙江高考文科·Ｔ2）已知函数 2()log (1),f x x =+若()1,f α= α=（ ） (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【命题立意】本题主要考察对数函数概念及对数运算性质。 【思路点拨】把()f α表示出来，解对数方程即可。 【规范解答】选B.2()log (1)1,12, 1.f αααα=+=∴+=∴= 【方法技巧】对数常用性质：（1）log 10a =；（2）log 1a a =。 3.（2010·山东高考文科·Ｔ3）函数()() 2log 31x f x =+的值域为（ ） (A) ()0,+∞ (B) )0,+∞?? (C) ()1,+∞ (D) )1,+∞?? 【命题立意】本题考查对数型函数的值域, 考查考生的运算求解能力. 指数函数习题大全（1） 新泰一中 闫辉 一,填空题 1有下列四个命题：其中正确的个数是（ ） ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2、38-的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．2± D ．8 3、给出下列等式：①2a a =；②2()a a =；③33a a =；④3 3()a a =.其中不一定正确的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 4、0 42(4)a a -+-有意义，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥ B ．24a ≤<或4a > C ．2a ≠ D ．4a ≠ 5、若23 3441(12)a a a -+=-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a ≥ B ．12a ≤ C ．11 22 a -≤≤ D ．R 6、12 16 -的值为（ ） A ．4 B ． 14 C ．2 D ．1 2 7、下列式子正确的是( ) A ．123 6 (1)(1)-=- B ．3 3 55 (2)2-=- C ．25 5()a a -=- D ．12 0- = 8、将322-化为分数指数幂的形式为（ ） A ．12 2- B ．12 2 - - C ．13 2- D ．56 2- 9. 函数13x y =-的定义域是（ ） A 、(,0]-∞ B 、(,1]-∞ C 、[0,)+∞ D 、[1,)+∞ 10.01,1a b <<<-，则函数()x f x a b =+的图象不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 11. 设1 37 x = ，则（ ） A 、21x -<<- B 、32x -<<- C 、10x -<< D 、01x << 12、若 13()273 x <<，则（ ） A 、13x -<< B 、1x <-或3x > C 、31x -<<- D 、13x << 二,填空题 1、已知0a >，将a a a 化为分数指数幂的形式为_________________. 2、计算或化简：（1）2 38()27 -=___________ （2）1211334 2(2)(3)x y x y --=_________________； 3、已知38,35a b ==，则23 3 a b -=________________； 4、若4 16,x =且x R ∈，则x =_________________. 5、求下列各式的值： 指数函数习题 新泰一中闫辉 一、选择题 1．下列函数中指数函数的个数是 ( ). ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若，，则函数的图象一定在（） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 3．已知，当其值域为时，的取值范围是（）A． B． C． D． 4．若，，下列不等式成立的是（） A． B． C． D． 5．已知且，，则是（） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与有关 6．函数（）的图象是（） 7．函数与的图象大致是( ). 8．当时，函数与的图象只可能是（） 9．在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是（） 10．计算机成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低 ,现在价格为8100元的计算机,则9年后的价格为( ). A．2400元 B．900元 C．300元 D．3600元 二、填空题 1．比较大小： （1）；（2） ______ 1；（3） ______ 2．若，则的取值范围为_________． 3．求函数的单调减区间为__________． 4．的反函数的定义域是__________． 5．函数的值域是__________ ． 6．已知的定义域为 ,则的定义域为__________. 7．当时, ,则的取值范围是__________. 8．时，的图象过定点________ ． 9．若 ,则函数的图象一定不在第_____象限. 10．已知函数的图象过点 ,又其反函数的图象过点(2,0),则函数的解析式为____________. 11．函数的最小值为____________. 12．函数的单调递增区间是____________. 13．已知关于的方程有两个实数解,则实数的取值范围是_________. 14．若函数（且）在区间上的最大值是14，那么等于 _________． 三、解答题 1．按从小到大排列下列各数： ，，，，，，， 2．设有两个函数与，要使（1）；（2），求知识讲解_指数函数及其性质_基础
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