振动理论及应用期末复习题题汇总
2008年振动力学期末考试试题
第一题（20分）
1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解：
系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。
AB 转角：L y /=? 系统动能：
m 1动能：2112
1
y m T =
m 2动能：2222222
22222)3
1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====?
ω m 3动能：2322
32333)2
1(21))(21(2121y
m R y R m J T ===ω 系统势能：
221)2
1
(21)21(y k y g m gy m V ++-=
在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：
E y k gy m gy m y
m m m V T =++-++=
+2212321)2
1
(2121)2131(21 上式求导，得系统的微分方程为：
E y m m m k
y
'=+++)
2
1
31(4321
固有频率和周期为：
)
2
131(43210m m m k
++=
ω
2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。
解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。
物体B 动能：2212
1
x m T =
x
轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 21=，角速度为x R
21=ω，转过的角度为x R
21
=
θ。轮子动能： )83
(21)41)(21(21)41(212121212221212212x m x R
R m x
m J v m T c =+=+=ω 系统势能：
22228)21(21)(2121x k
xR R k R k kx V c ====
θ 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：
E x k
x
m m V T =++=
+22218
)83(21 上式求导得系统的运动微分方程：
08322
1=++x m m k
x
固有频率为：
2
10832m m k
+=
ω
第二题（20分）
1、在图示振动系统中，重物质量为m ，外壳质量为2m ，每个弹簧的刚度系数均为k 。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x 1和x 2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。 解：
系统为二自由度系统。
当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k ，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k ，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为：
??
?
??
?--k k k k 4222 系统质量矩阵为：
??
????m m 200 系统动力学方程为：
??
?
???=????????????--+????????????0042222002121x x k k
k k x x m m
频率方程为：
024222)(Δ2
2
=----=
ω
ωωm k k
k
m k 解出系统2个固有频率：
m k )
22(21-=ω，m
k )22(2
2+=ω
2、在图示振动系统中，物体A 、B 的质量均为m ，弹簧的刚度系数均为k ，刚杆AD 的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以x 1和x 2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。 解：
系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A 和B 在铅垂方向的位移x 1和x 2为系统的广义坐标。
当x1＝1，x2＝0时，AD 转角为L 3/1=θ，两个弹簧处的弹性力分别为L k θ和L k θ2。对D 点取
力矩平衡，有：kL k 9
14
11=；另外有kL k -=21。
同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：
kL k =22，kL k -=12 因此，系统刚度矩阵为：
???
?
????--kL kL kL kL 914 系统质量矩阵为：
??
????m m 00 系统动力学方程为：
??????=?????????
?????--+????????????00914002121x x kL kL kL kL x x m m
频率方程为：
09
142
2=----ωωm kL kL
kL m kL
即：
0523922242=+-L k kmL m ωω
第三题（20分）
在图示振动系统中，已知：物体的质量m 1、m 2及弹簧的刚度系数为k 1、k 2、k 3、k 4。（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k 1= k 3=k 4= k 0，又k 2=2 k 0，求系统固有频率；（3）取k 0 =1，m 1=8/9，m 2 =1，系统初始位移条件为x 1(0)=9和x 2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。 解：
（1）系统可以简化为二自由度振动系统。 当x1＝1，x2＝0时，有：
k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2
D
kL 3
2 kL 31 1?k
11k
2x 1x x 1 x 2
当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。因此，系统刚度矩阵为：
???
??
?+--++3222421k k k
k k k k 系统质量矩阵为：
??
???
?21
00m m 系统动力学方程为：
??
?
???=???????????
?+--+++???????????
?00002132224212121x x k k k k k k k x x m m
（2）当0431k k k k ===，022k k =时，运动微分方程用矩阵表示为：
??
?
???=????????????--+???????????
?003224002100002121
x x k k k k x x
m m 频率方程为：
04)3)(4(20220210=---k m k m k ωω
08)43(2
02021421=++-k k m m m m ωω
求得：
)168943(22
22121212
1021m m m m m m m m k +--+?=
ω
)168943(22
22121212
1022m m m m m m m m k +-++?=
ω
（3）当k 0=1，m 1=8/9，m 2 =1时，系统质量阵：
???
?
????=10098M 系统刚度阵：
??
????--=3224K
固有频率为：
2
321=
ω，62
2=ω 主模态矩阵为：
???
????
?-=11234
3Φ 主质量阵：
???
?
????==30023M ΦΦM T
p 主刚度阵：
???
?
????==18004
9K ΦΦK T
p 模态空间初始条件：
??
????-=??????=??????-44)0()0()0()0(21
121x x q q Φ， ??
????=??????=??????-00)0()0()0()0(21
121x x q q Φ 模态响应：
01211=+q q ω ，022
22=+q q ω
即：
t t q 11cos 4)(ω=，t t q 22cos 4)(ω-=
因此有：
???-+=??????=??????t t t t t q t q t x t x 2
1212121cos 4cos 4cos 6cos 3)()()()(ωωωωΦ
第四题（20分）
一匀质杆质量为m ，长度为L ，两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为k 1和k 2。杆质心C 上沿x 方向作用
有简谐外部激励t ωsin 。图示水平位置为静平衡位置。（1）以x 和θ为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12，L =1，k 1 =1，k 2 =3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率ω为多少时，能够使得杆件只有θ方向的角振动，而无x 方向的振动？ 解：
（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x 、θ为广义坐标，x 为质心的纵向位移，θ 为刚杆的角位移，如图示。
当1=x 、0=θ时：
2111k k k +=，2
)
(1221L k k k -= 当0=x 、1=θ时：
2
)(1211L
k k k -=，4)(22122L k k k +=
θ
x
C t ωsin
因此，刚度矩阵为：
?
?
???
??
??
?
+--+=4)(2)(2)
(22112122
1L k k L
k k L k k k k K 质量矩阵为：
???
?????=212100mL m M 系统动力学方程：
??????=???????????
?????
+--++??????????????0sin 4)(2)
(2)
(121002*********t x L k k L k k L k k k k x mL m ωθθ
（2）当m=12，L =，k 1 =1，k 2 =3时，系统动力学方程为：
?
?
????=????????????+????????????0sin 111410012t x x ωθθ
频率方程为：
011
112420
2
=--ω
ω
即：
0316122
040=+-ωω
求得：
6
7
420±=
ω （3）令t x x ωθθsin ??
?
???=??????，代入上述动力学方程，有：
??
?
???=??????????????--0111112422θωωx 由第二行方程，解得2
1ω
θ--
=x
，代入第一行的方程，有：
2
1
k ?
?θ 1=
1
)124(12
2---=ωωx ，]1)124[(2
---=ωθ 要使得杆件只有θ方向的角振动，而无x 方向的振动，则需0=x ，因此1=ω。
第五题（20分）
如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L ，弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为I ，梁材料密度为ρ。在梁的a 位置作用有集中载荷)(t F 。已知梁的初始
条件为：)()0,(1x f x y =，)()0,(2x f x y = 。（1）
推导梁的正交性条件；（2）写出求解梁的响应)
,(t x y 的详细过程。
（假定已知第i 阶固有频率为i ω，相应的模态函数为)(x i φ，∞=~1i ）
提示：梁的动力学方程为：),(]),([222222t x f t
y S x t x y EI x =??+????ρ，其中)()(),(a x t F t x f -=δ，δ为δ函数。
解：
（1）梁的弯曲振动的动力学方程为：
0),(]),([222222=??+????t
t x y S x t x y EI x ρ ),(t x y 可写为：
)sin()()()(),(θωφφ+==t a x t q x t x y
代入梁的动力学方程，有：
φρωφS EI 2)(=''''
设与i ω、j ω对应有i φ、j φ，有： i i i S EI φρωφ2)(=''''
（1）
j j j S EI φρωφ2
)(=''''
（2）
式（1）两边乘以j φ并沿梁长对x 积分，有：
??=''''l
j i i l
i j dx S dx EI 0
20
)(φφρωφφ （3）
利用分部积分，上式左边可写为：
??''''+'''-'''=''''l l
j i l i j l i j i j dx EI EI EI dx EI 0
00)()()(φ
φφφφφφφ （4）
由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以，
上式右边第一、第二项等于零，成为：
??''''=''''l l
j i i j dx EI dx EI 0
)(φ
φφφ 将上式代入（3）中，有：
?
?=''''l
l
j i i j i dx S dx EI 0
2
φφρωφφ
（5）
式（2）乘i φ并沿梁长对x 积分，同样可得到：
??=''''l
l
j
i j
j
i dx S dx EI 0
2
φφρωφ
φ （6）
由式(5)、(6)得：
?=-l
j i j
i dx S 0
220)(φφρωω
（7）
如果j i ≠时，j i ωω≠，则有：
?=l
j
i dx S 0
0φφρ 当j i ≠
（8）
上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由（3）及（6）可得：
?=''''l
j
i dx EI 0
0φ
φ 当j i ≠ ?=''''l i
j
dx EI 0
0)(φφ 当j i ≠
上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。
当j i =时，式（7）总能成立，令：
?=l
pj j
M dx S 0
2φ
ρ
pj M 、pj K 即为第j 阶主质量和第j 阶主刚度。
由式（6）知有：pj
pj j M K =
2
ω
如果主振型)(x j φ中的常数按下列归一化条件来确定：
10
2==?pj l
j
M dx S φ
ρ
（9）
则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第j 阶主刚度pj K 为2
j ω。
式（9）与（8）可合并写为：
?=l ij j
i dx S 0
δφφρ
由式（6）知有：?=''''l ij
j j
i dx EI 0
2
δωφ
φ， ?=''''l
ij j j
j
dx EI 0
2)(δωφφ
（2）悬臂梁的运动微分方程为： ),(2244t x f t
y
S x y EI =??+??ρ （1）
其中：
)()(),(a x t F t x f -=δ
（2）
令：
∑∞
==1
)()(),(i i i t q x t x y φ
（3）
代入运动微分方程，有：
),()(1
1
t x f q S q EI i i i i i i =+''"∑∑∞
=∞
= φρφ （4）
上式两边乘)(x j φ，并沿梁长度对x 进行积分，有：
?∑?∑?
=+''"∞=∞
=L j i L j i i i L j i i dx t x f dx S q
dx EI q 0
1
1
),()(φφφρφφ （5）
利用正交性条件，可得：
)()()(2t Q t q t q j j j j =+ω
（6）
其中广义力为：
)()()()()()(0
a t F dx a x t F dx t f t Q j L
j L
j j φφδφ=-==??
（7）
初始条件可写为：
???
????
====∑∑∞
=∞
=121
1)0()()()0,()0()()()0,(i i i i i i q x x f x y q x x f x y φφ （8）
上式乘以)(x S j φρ，并沿梁长度对x 积分，由正交性条件可得：
?????==??dx
x x Sf q dx
x x Sf q j L
j
j L j
)()()0()()()0(0201φρφρ （9）
由式（6），可得：
??
-+
+
=-+
+
=L
j j j
j j
j j j L j j j
j j
j j j j d t F a t q
t q d t Q t q
t q t q 0
)(sin )()(1
sin )0(cos )0()(sin )(1
sin )0(cos )0()(τ
τωτφωωωωτ
τωτωωωω （10）
利用式（3），梁的响应为：
∑?∑∞
=∞
=??
?
?????-++==101
)(sin )()(1
sin )0(cos )0()()
()(),(i L j j j j j j j j i i i i d t F a t q t q x t q x t x y ττωτφωωωωφφ