函数、反函数、复合函数的概念解读
函数、反函数、复合函数的概念
若在某变化过程中，对变量x在一定范围D内的每个值，按某个对应法则，
变量y有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，记作y＝(f)x，x∈D．x叫自．变量
．．．．函
．．．．．．．与x的值a对应的y的值f(a)叫函数值．．．x的取值范围D叫函数的定义域
数值的集合叫函数的值域
．．．．．．按近代观点，函数就是定义域到值域上的映射．
设a、b是两个实数，且a＜b．数集{x|a≤x≤b}叫闭区间
．．．，记作[a，b]．数
集｛x|a＜x＜b｝叫开区间
．．．，记作(a，b)．数集｛x|a≤x＜b｝、与｛x|a＜x≤b｝
都叫半开半闭区间
．．．．．．，分别记作[a,b)（a,b]．数集｛x| x≤a｝、｛x|x＜a｝、｛x|a ≤x｝、｛x|a＜x｝分别记作（－∞，a]、（－∞,a）、[a，＋∞）、(a，＋∞)，而实数集R可记作．(－∞，＋∞)
以自变量与函数的对应值作为点的坐标(x，y)，坐标平面的点集{(x，y)|y
＝f(x)，x∈D}构成图形
．．．，它形象的表示函数的性态．．．，称为函数y＝f(x)的图像
若确定函数y＝f(x)的映射f：A→B是可逆映射，则它的逆映射f－1: B→A
确定的函数x＝f－1(y)叫做函数y＝f(x)的反函数
．．．．函数y＝f(x)的定义域、值域分别是反函数x＝f－1 (y)的值域、定义域．习惯上一般用x表示自变量，用y 表示函数，把函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．
因为点(x，y)与(y，x)关于直线y＝x对称，故函数y＝f(x)与其反函数y ＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称．
复合映射：g·f：A→C，x→g[f(x)]其中g的定义域B?f(A)，相应确定复．
合函数
．．．g．[f(x)]．利用复合函数的概念，可以把一个复杂的函数分解为一些简单函数的复合，从而化繁为简．
反函数定义
反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称； 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0}，但是y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数；
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的且具有唯一性 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2）） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的导数关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]'=1\[F’（Y）]'。 反函数说明 ⑴在函数x=f’(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。
反函数和复合函数的求导法则
二、反函数的导数法则 定理1：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)(y ?在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ?，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且) (1 )(00y x f ?'= '。 证明：0 0000)()(1 lim )()(lim )()(lim 000 y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→???? )(1 )()(lim 100 00y y y y y y y ???'=--= → 所以 ) (1 )(00y x f ?'='。 注1：00 y y x x →? →，因为)(y ?在0y 点附近连续，严格单调； 2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ?'= '或)(1 dy dx dx dy =，其中dy dx dx dy , 均为整体记号，各代表不同的意义； 3：)(x f '和)(y ?'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。 【例1】 求x y arcsin =的导数， 解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2 ,2[,sin π π- ∈=y y x 的反函数，由定理1 得： 2211 sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -= -=='='。 注1：同理可证：2 22 11 )tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+= '-- ='；
高一数学反函数的概念
4.5反函数的概念 一、教学内容分析 “反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计 （1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数； （2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系； （3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、 独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情. 三、教学重点与难点： 反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念 引例：在两种温度度量制摄氏度(C )和华氏度（F ）相互转化时会发现，有时两人选 用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？
教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号 )(1 x f y ；了解)(1 x f 表示反函数的符号，1 f 表示对应法则. 2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件. 例1（1）2 x y （R x ）的反函数是 （2）2 x y （0 x ）的反函数是 （3）2 x y （0 x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数： （1）24 x y （2）13 x y （3）)0(12 x x y （4）)2 1 ,(2413 x R x x x y [说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y 得)(1 y f x ； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1 x f y ； （3）写出定义域:注明反函数的定义域. ③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.
对函数极限相关性质的理解及应用1111
对函数极限相关性质的理解及应用 定西师范高等专科学校 数学系 数学教育专业 09级3班 程艳君 摘 要：函数极限的概念和存在条件是我们理解函数极限和判断函数极限是否存在的主要依据，函数的极限在数学分析中占有十分重要的地位，因此，较为复杂函数极限的计算也是我们学者应该掌握的。本文浅略地介绍了函数极限的概念和存在条件，函数极限的性质以及两个重要极限在计算比较复杂的函数极限中的应用。 关键词：函数极限；重要极限；四则运算；迫敛法。 引 言： 函数极限是数学分析的重要概念，它贯彻于整个数学分析中，函数极限理论是研究函数连续、导数、积分、级数等的基本工具，而一些较为复杂的函数极限计算又在解决实际问题中是必不可少的。本文最主要介绍函数极限的概念和函数极限存在的条件，还有两个重要函数极限、迫敛法和四则运算法在解较复杂函数极限中的应用。 1 . 函数的极限和极限存在的条件 1.1 函数的极限 1.1.1 x 趋于∞+时函数的极限 设函数f 定义在 ),[∞a 上，类似于数列的情形，我们研究当自变量x 趋于∞+时，对应的函数值能否无限的接近于某个正数A 。例如，对于函数x x f 1)(=，从图像上可见，当x 无限的增大时，函数值无限的接近于0；而对于函数 x crc x g tan )(=，则当x 趋于∞+时函数值无限的接近于2 π。我们称这两个函数当x 趋于∞+时有极限。一般地，当x 趋于∞+ 时函数的极限饿精确定义如下： 设f 为定义在),[∞a 上的函数，A 为定数。若对任给的0>ε，存在正数M(a ≥)，使得当M x >时有ε<-a x f )(，则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记作
反函数教学的思考与实践解读
反函数教学的思考与实践 浙江省杭州市余杭区教育局教研室陈朝阳（311100） 内容提要：反函数作为中学数学的难点之一，如何教学才能使学生全面、完整、正确地理解，并能熟练地运用反函数的有关性质解题，本文提出一些建设性的意见，同时又指出现行教材中范图范例可能使学生产生错误的几个问题，提出矫正的方案。 关键词：反函数、教学、图例、矫正 反函数教学是中学数学的难点之一。如何使学生透彻地理解反函数的概念，能熟练地运用反函数的性质解题？作为教师在教学中要注意什么？怎样才能突破反函数的概念这一重要内容的教学，对学好“函数”这一单元至关重要。本文围绕反函数概念的教学和利用反函数的性质解题提出一些建设性的意见，同时指出现行教材中范图范例可能使学生产生错误的几个问题，不当之处请批评指正。 一、反函数概念的教学 概念教学的过程，应该包括三个基本步骤：①概念的建立；②概念的认识；③概念的应用。这三个步骤，无论是对概念的理解，还是对形成数学能力都十分必要，不可缺少。 1.1 关于概念的建立 新课伊始，开宗明义：前面学习了映射与函数，认识到它们之间有非常密切的关系，函数是映射，对非空数集上的映射能确定函数，如果该映射存在逆映射，那么这个逆映射能否也确定一个新的函数。即 存在 映射逆映射 （确定）（确定） 函数①函数② [图一] 这里的函数②与函数①有怎样的关系？这个问题的提出，从理论体系的发展上展示了反函数概念产生的理论背景，整体性强，能从理论体系的全局上打开学生的视野，而且明确的课题立刻抓住了学生的注意力。 当然，这样的教学又涉及到映射，一一映射，逆映射等有关概念。在教学实践中，笔者以为还是采用83年版高级中学课本（甲种本）中反函数的定义为妥。因为采用现行高中《数学》（第一册（上））中的定义，当进一步学习反三角函数概念时常常使学生迷惑
函数极限概念
引言 在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法. 一、函数极限概念 定义1[]1 设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在 正数M （a ≥），使得当M x >时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →+∞ = 或()().f x A x →→+∞ 定义2[]1 （函数极限的ε-δ定义）设函数f 在点 0x 的某个空心邻域0 U （0x ；'δ）内有定义，A 为定数。若对任给的ε>0，存在正数δ（<'δ），使得当0<0x x δ-<时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →∞ =或0()()f x A x x →→. 定理1[]1 设函数f 在0'0(,)U x δ+（或00(;')U x δ-）内有定义，A 为实数。若 对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有 ()f x A ε-<， 则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作
谈提高对数学教学的认识
谈提高对数学教学的认识 最近（时间）在南京师大附中有一个全国性高中新课程教学的观摩活动，我应邀对两节数学课的教学进行了点评。本文是根据点评整理修改而成。 我坚持认为，教学中的关键问题还是“怎么认识教学”。现在搞新课改，要求用所谓新的理念来教学，我不赞成这个说法。一是不应是根据“新理念”来教学，而是应该根据“正确的科学理念”教学，不正确不科学的理念，即使新也不能用，而老理念只要正确、科学也可以用。二是教过去的教材，就不要用或不能用正确的科学理念来教了吗？所以本质的问题不是教材问题，过去的教材依然应该而且可以用正确的科学理念去教。如果说有了新课程，而没有正确的科学理念，那有什么用，还不是用那一套不正确、不科学的模式去教吗？所以每位教师对教学如何认识是最为根本的文题。 关于正确的、科学的数学教学理念，我提出以下几个方面仅供讨论。 1. “教什么”是指“教学生学什么”和“教学生怎么学” 数学教学首要的问题是“教什么”。如果把党中央提出的科学发展观迁移到数学教学中来，那么应该把“教什么”的含义发展一下，发展为“教学生学什么”和“教学生怎么学”。 过去讲“教什么”是把教和学混在了一起，现在看来，应该是“教学生学什么”，教——学什么！如果说教师教什么，学生就得听什么，那么教师的主导与学生主体关系就不明确，很容易变成以教师为主宰。你把“学生学什么”作为教的内容，那关系就比较明确了，你要教学生的是“学什么”，就是引导学生去质疑，去发现，去探究，去归纳，去判断，去概括，……去把本来你要教的东西变为学生自己去探索他所应该学的东西。于是，原来你要他学的东西成了他自己要学的东西，学生的主体性、主动性就自然出来了，教师的主导作用也就充分发挥了。 教的另一个重要内容应该是“教学生怎么学”。既然教学中要教学生学什么，当然就要教他怎么学。这就联系到这两节课的教学了。这两节课，教师开始提出的问题都很好。“指、对函数的关系”这节课，意在指导学生初步获得反函数的概念。教师先与学生共同复习指、对数函数的概念、性质，然后以“我们要养成学习了一些知识以后就把它们进行横向联系”的方法论意义的指导，向学生提出这节课的问题：“它们之间有什么关系呢？你打算怎样去思考呢？”这就属于“教学生怎么学”了。 这个问题提得比较开放，发散范围比较大，可供学生发挥想象力的空间比较大。什么样的关系不知道，怎么去研究它们的关系也不知道，问题里面所包含的方法性的选择很多（？）。教师并不是直接问学生：“这两个函数的定义域、值域、图象之间有什么关系呀？”这是不在一个层次上的两种问题。提的问题具有开放性，那么，学生要回答这个问题，他首先就会想：我要找它们有什么关系，那我怎么去寻找呢？这不，方法论的思想出来了。接着，要寻找它们的关系，该从哪几个方面去寻找呢？噢，它们不都是函数吗，研究函数一般都是从定义域、值域、图像、单调性、奇偶性这些方面去进行的。这个是涉及方法论的问题，而不是直接问上面所说的那种后一个问题，那都是直白的问题。这就在涉及“教——学什么和怎么学”。 上面的两种问题，前者开放性大的问题，可以称为“元认知问题”[1]，后面这种知识性强的问题，就称为“认知性问题”。认知性问题与要解决的问题更接近一些，如果是“1+1等于几”那就一点启发价值都没有。还有，“你打算怎么去研究，你想从哪些方面入手？”这不也是教他学什么和怎么学了吗？学什么，学研究的方法；怎么学，寻找适当的方法去探究发现知识。假如遇到一个问题，从来没见过面，怎么去研究？用南京师范大学附中特级教师陶维林老师的话说，“老虎吃天，从何下口”？这又是方法论问题，即从哪些角度，从哪些方面去研究这个问题，那么，这就是教怎么学了。所以，每一节课知识固然重要，但最终
函数极限的综合分析与理解
函数极限的综合分析与理解 PB 王欣 极限可以与很多的数学问题相联系。例如，导数从根本上是求极限；函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。有鉴于函数极限的重要性，结合自己的学习心得，笔者写下了此文。其目的在于归纳和总结解决函数极限问题的实用方法和技巧，以期对函数极限问题的学习有所帮助。 一、函数极限的定义和基本性质 函数极限可以分成x →0x ，x →∞两类，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以0x x →的极限为例，()x f 在点0x 以A 极限的定义是：,0,0>?>?δε使当δ<-<00x x 时，有()().f x A A ε-<为常数问题的关键在于找到符合定义要求的δ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。 函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若0 lim x x →存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定理证明()x f 在0x 处的极限不存在。即如果()A x f n →，()B x f n →'（0',x x x n n n →∞→和）， 则()x f 在0x 处的极限不存在。 运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式()()() x Q x P x f =（()()x Q x P ,均为多项式，()0≠x Q ）。设()x P 的次数为n ,()x Q 的次数为m ， 当∞→x 时，若m n <，则()0→x f ;若m n =，则()→x f ()x P 与()x Q 的最高次项系数之比；若 m n >，则()∞→x f 。 000()()(()0)()P x f x Q x Q x →→≠0当x x 时,。 二、运用函数极限的判别定理 最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理，在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值，参见附例2。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数()x g 与()x h ，并且要满足()()()x h x f x g ≤≤，从而证明或求得函数()x f 的极限值。
反函数的概念
反函数的概念 基础知识熟记 1：有关概念 1.映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对A中任一元素， 在B中都有唯一的元素和它对应，叫A到B的映射，记f:A→B。 2.以x为自变量的函数y=f(x)实际上是集合A到B的映射，其中A，B是非空数集， 自变量x的取值集合A是函数的定义域，和x对应的y值叫函数值，它的范围C叫值 域，显然CíB。（定义域，值域和对应法则是函数的三要素） 3.反函数：设函数y=f(x)的定义域为A, 值域为C，从式子y=f(x)中解出x=F（y）, 若对y在C中的任一值，通过式子x=F（y）,x在A中都有唯一确定的值和它对应，则 x=F（y）表示x是自变量y的函数，交换x,y后得y=F（x）,记y=f-1(x),定义域,值域 分别为原函数的值域，定义域。 注：(1)不是每一函数都有反函数,只有A与C之间具有一一对应关系的函数才有反函 数. (2)y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称 4.求反函数的步骤:(1)由y=f(x)得x=f-1(y) (2)交换x,y得y=f-1(x) (3)指出y=f-1(x)的定义域. 反函数的性质： （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；若点M（a，b）在y= f(x)上，则N(b,a)在y=f-1(x)的图像上。 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 （5）y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则f[f-1(x)]=x,此时x属于A。若f-1 [f(x)]=x,此时x属于D。 （6)如果函数y=f(x)的图像关于y=x对称，那么它存在反函数，并且反函数就是它本身。 例题讲解 1
对函数极限概念的理解
对函数极限概念的理解 函数极限概念，不易理解。由于极限概念具有高度的抽象性，因此，令人很难快速正确理解和掌握极限数学语言的真正内涵，以致于学完了极限，极限的意识还很薄弱。因此，要抓住理解的关键，我们体会，宜抓住以下三点： （一）将“任意近处”的描绘性语言，转化为可进行量化比较的准确表达 考察数集X={x},若在点x0的任意近处包含有X中异于x0的x的值，则点x0称为这数集的聚点。 为着要更准确地表达这定义，我们引入点x0的邻域的概念：以点x0为中心的开区间（x0?δ，x0+δ）称为点x0的邻域。下边我们将聚点做可进行量化比较的准确表达：若在点x0的任一邻域内包含X中异于x0的x的值，则x0是数集X的聚点。关于“任一邻域”，δ=1cm算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；δ=1mm算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；δ=1nm算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；……,点x0的邻域可以无穷小。因此，“任一邻域”是一个无穷集。 对聚点x0本身来说，可以属于X，或不属于X。也就是说x0在X上可以有定义或无定义。x0在X上无定义时，它的邻域也存在，叫做空心领域。 （二）注意函数f(x)在x接近于x0时的性态。 设在区域X内给定函数f(x)，且x0是X的聚点。这函数f(x)在x接近于x0时的性态是值得注意的。相对于自变量x,通过法则f,得到f(x)，若出现了f(x)无限趋近于数A的性态，或者叫做f(x)与数A的差距无限小的性态，则可类似于x0的邻域δ，把ε看作A的邻域， 而把这种性态更准确地表达为：Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)。这个表达就具备了可 进行量化比较性。 （三）δ与ε的关系 从x与f(x)的关系看，前者为因，后者为果。但是从x0的邻域δ与A的邻域ε的关系看，则是前者依赖后者，总是要先给定任一ε>0，而后求那个能保证ε成立的δ。即δ的几何空 间受ε的几何空间的约束。既然f(x)无限趋近于数A的性态，可更准确地表达为：Ⅰf(x)- A Ⅰ<ε(ε是任一大于零的数)，那么，使Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)成立的δ应是什么样呢？也就是如何依赖Ⅰf(x)- AⅠ<ε求δ呢？具体过程如下： 将Ⅰf(x)- AⅠ变形：Ⅰf(x)- AⅠ=MⅠx-x0Ⅰ,其中M是一个与x无关的常量。 再取δ=ε M ，则当0<Ⅰx-x0Ⅰ<δ时，有0<Ⅰx-x0Ⅰ<ε M ，整理为0
反函数
一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y=f （x）^-1。 存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的) 【反函数的性质】 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y 轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2) [编辑本段]⒈反函数的定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式. ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数. ⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）： 函数y=f(x) 反函数y=f^-1(x) 定义域A C 值域C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
反函数典型例题
反函数求值 例1、设有反函数，且函数与 互为反函数，求的值． 分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果． 解：设，则点在函数的图象上，从而点 在函数的图象上，即．由反函数定义有，这样即有，从而． 小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解． 两函数互为反函数,确定两函数的解析式 例2 若函数与函数互为反函数，求 的值. 分析：常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组，关键是如何 布列如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又与g(x)互为反函数，其定义域与值域互换，有如下解法： 解：∵ g(x)的定义域为且，的值域为 . 又∵g(x) 的定义域就是的值域, ∴. ∵g(x) 的值域为 , 由条件可知的定义域是 , , ∴. ∴.
令, 则即点(3,1) 在的图象上. 又∵与g(x) 互为反函数, ∴ (3,1) 关于的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上. ∴ 3=1+ , . 故 . 判断是否存在反函数 例3、给出下列函数: (1)； (2)； (3)； (4)； (5) . 其中不存在反函数的是__________________. 分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个 ,依照这函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数. 解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当时,和 ,且 . 对于(4)时,和 .对于(5)当时,和 . 故(3),(4),(5)均不存在反函数. 小结:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可. 求复合函数的反函数
函数、极限、连续重要概念公式定理
一、函数、极限、连续重要概念公式定理 （一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义 （三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠= ,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A + -→→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==.
3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ? φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在 常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ????? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2 (1)1~x x x x ααα-+- 是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ? φ≤≤（,且 0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=．
第一册反函数
第一册反函数 教学目标 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。 教学难点 反函数的概念。 教学方法 师生共同讨论 教具装备 幻灯片2张 第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）； 第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。 教学过程 （I）讲授新课 （检查预习情况） 师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？ 生：（略） （学生回答之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点： （1）根据y=f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）； （2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？ 生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y=f(x)中与y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y 是函数值；后者y是自变量，x是函数值。） 在y=f(x)中与y=f–1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y 是后者中的x。） 由此，请同学们谈一下，函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？ 生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的’值域、定义域。 师：从反函数的概念可知：函数y=f(x)与y=f–1(x)互为反函数。 从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为： （1）由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出； （2）将x=f–1(y)改写成y=f–1(x)，即对调x=f–1(y)中的x、y。 （3）指出反函数的定义域。 下面请同学自看例1 （II）课堂练习课本P68练习1、2、3、4。 （III）课时小结 本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。 （IV）课后作业 一、课本P69习题2.41、2。 二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。 板书设计
反函数的求导法则辨析
昨天的文章中提到过反函数的求导法则。反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。这话听起来很简单，不过很多人因此犯了迷糊： y=x3的导数是y'=3x2，其反函数是y=x1/3，其导数为y'=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛！ 出现这样的疑问，其实是对反函数的概念未能充分理解，反函数是说，将f(x)的自变量当成因变量，因变量当成自变量，得到的新函数x=f(y)就是原函数的反函数。所以y=x3的反函数严格来说应该是x=1/3y-2/3，只不过为了符合习惯，经常将x写成y，y写成x而已，这一点，因为在中学的时候没怎么强调，所以到了大学就有些不适应。因此： y=x1/3的导函数应该这样求y‘=1/(y3)'=1/(3y2) (因为y的反函数是x=y3)， =1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(将y=x1/3带入即可) 实际上反函数求导法则是根据下面的原则 所以反函数求导法则的意思是说，反函数的导数，等于x对y求导的倒数。我们再以反三角函数来作为例子，希望学到这点的朋友能够真正理解他。 例题：求y=arcsinx的导函数。首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy 因为x=siny，所以cosy=√1-x2；(那个啥，这个符号输入有点蛋疼，不过各位应该能看懂) 所以y‘=1/√1-x2。
同理大家可以求其他几个反三角函数的导数。所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。最后将y想法设法换成x即可。 相信大家对这一点应该有所明白的吧！大家可以试着求y=arctanx的导函数，然后与结果进行对照。
函数与极限重点知识归纳
常量与变量 变量的定义 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。 注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。 变量的表示 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 函数的定义 如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。 注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的. 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性
反函数在高考中常见题型分析
反函数在高考中常见题型分析
反函数在高考中常见题型分析 高考对反函数要求是：理解掌握反函数的概念，明确反函数意义、常见符号、求反函数方法、互为反函数间的关系等.难度不大，但逢试必考.本文归纳整理近年来高考试题中出现的题型,供复习时参考. 1、求原函数的定义域 例1(92高考上海卷)函数)(x f 反函数是()1()10f x x x -=≥，求)(x f 定义域 解：原出数定义域是反函数值域，()1()10f x x x -≥的值域是[)1,-∞，故函数)(x f 定义域是[)1,-∞ 2、求反函数定义域 例2、函数f(x+1)=log(x+2)+x 2+2x+3的定义域[]1,7，求反函数定义域 解：f(x+1)的值域[]7,68，f(x+1)与f(x)的值域相同，反函数定义域是[]7,68 注：从另角度看，f(x)=log(x+1)+x 2+2的值域是其反函数的定义域，但是此时它的定义域是[]2,9，不要误认为是[]1,7,从而出现f(x)的值域不是[]7,68错误. 3、求函数的值 例3、(2004广西卷)已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g . 解：易求当0x <时，()13x f x -=-。解方程813x --=-和831x -=-，前者x=-2,后者无解. 则=-)8(g -2. 例4、(2004湖南卷)设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．3log 2 解: 1()f a -即21log (1)a x =+，1()f b -即22log (1)a x =+.求得121a x =-，221b x =-。
反函数的基本知识点
1 反函数的基本知识点 一．定义：设式子)(x f y = 表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子)(x f y =中解出x ， 得到式子)(y x ?=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子)(y x ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子)(y x ?=就表示x 是y 的函数（y 是自变量），这样的函数，叫做)(x f y =的反函数 ，记作)(1y f x -=，即()y f y x 1)(-==?，一般习惯上对调()y f x 1-=中的字母y x ,，把它改写成)(1x f y -=。 （1）．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； （2）．原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域， ()图象在点图象上）在（点几何语言： )(),(,)()(11x f y a b P x f y b a P a b f b a f --='?==?= （3）．()y f x =与1()y f x -=的图象关于y x =对称． 二．求反函数的一般步骤 （1） 确定原函数的值域，也就是反函数的定义域 （2） 由)(x f y =的解析式求出)(y x ?= （3） 将y x ,对换，得反函数的一般表达式)(1x f y -=，标上反函数的 定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得） 分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成。 三．掌握下列一些结论
2 （1） 单调函数?一一对应?有反函数 （2） 周期函数不存在反函数 （3） 若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数 （4） 证明)(x f y = 的图象关于直线x y =对称，只需证)(x f y =的反函数和)(x f y =相同。
课题 反函数概念
课题 反函数的概念 松江二中 黄继红 一、 教案设计思考 1．教材分析： “反函数的概念”一课选自高中一年级数学>第一学期>上教版>第一课时，是对函数概念在认识上的深化和提高，又是为后继对数函数的学习作准备。 教材的编排思路是先借助摄氏与华氏两种温度度量制的相互转换的实例，从图像、表格和函数解析式三方面，揭示华氏温度关于摄氏温度的函数和摄氏温度关于华氏温度的函数，从特例中让学生初步感受反函数的概念，在此基础上，定义反函数，然后揭示互为反函数的两函数关系，通过例题解答揭示反函数的求法，最后提出同一坐标系中函数)(x f y =的图像和它的反函数)(1 x f y -=的图像的关系问题，以特 例加以说明。这样的编排，学生对于反函数概念的理解和把握一般都是建立在教师的明确指引和调控之下，学生相对独立的探索空间不够，而与此同时，学生对于为什么学习反函数、什么样的函数存在反函数、同一坐标系下()y f x =与1 ()x f y -=的图像有何关系、将x )(1 y f -=改写为y )(1 x f -=的必要性等问题 无从感受或体验不深。我的教学对像是重点中学学生，认知水平较高，善于思考，探究欲望强，但是对于概念学习重视不够，这是一个普遍存在的现象。为了让学生不仅获得反函数知识,而且更重要的是体验知识的形成过程,以及形成过程中的思想方法和思维过程，提高学生数学素质，激发学习数学概念的兴趣。我将反函数的教学分为两课时完成，本课为第一课时，确立以“问题解决”为中心，将反函数的概念教学设计成“活中有实，实中见活”的探究性学习的课堂教学，这对培养学生的创新意识和能力是有一定帮助的。 2．教案亮点： 以反函数概念教学为核心，以“函数的定义和图像特征”为主线，通过解决实际问题，将学生现有的知识经验（函数概念）作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验（反函数概念），建立、理解和记忆概念，展示学生是感知和形成概念的主体；重视自主探究与小组合作相结合，引发认知冲突，以师生和生生间交流、互评的方式，促进学生的思维能真正动起来,展示学生是理解和深化概念的主体；在概念形成、理解、深化和应用中，结合媒体实验，展示学生是体验概念研究方法和数形结合思想的主体。 二、 教学目标 1．知识目标：