向量加法运算

向量加法运算及其几何意义

学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.

知识点一向量加法的定义及其运算法则

分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，

这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.

(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果.

思考1 从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？

答 后面的一次位移叫前面两次位移的合位移，四边形OACB 的对角线OC → 表示的力是OA →与OB →表示力的合力.体现了向量的加法运算.

思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？

答 三角形法则和平行四边形法则. 1.向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则

平行四边形法以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作?OACB，则以O为起点的对角线OC

→就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则

思考实数的运算律有哪些？向量的加法是否也有相似的运算律？

答交换律和结合律；有.

类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 例1 如图(1)(2)，已知向量a ，b ，c ，求作向量a ＋b 和a ＋b ＋c .

(1) (2)

解 (1)作法：在平面内取一点，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b .

(2)在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c .

反思与感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系.

区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零

向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和. 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.

跟踪训练1 如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量.

(1)OA

→＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________； (3)OA

→＋FE →＝________. 答案 (1)OB

→ (2)AD → (3)0 类型二 向量加法运算律的应用

例2 (1)设a ＝(AB

→＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论正确的有______.(将正确答案的序号填在横线上) ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |. (2)在边长为1的等边三角形ABC 中，|AB →＋BC →|＝______，|AB →＋AC

→|＝________. 答案 (1)①③ (2)1， 3

解析 (1)由条件得：(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝0＝a ，故选①③.

(2)易知|AB

→＋BC →|＝|AC →|＝1，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，则|AB →＋AC →|＝|AD →|＝2|AB →|sin 60°＝2×1×32＝ 3.

反思与感悟 1.根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.

2.向量求和的多边形法则：A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n -1A n ——→＝A 1A n →.特別地，当A n 和A 1重合时，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n -1A 1

——→＝0. 跟踪训练2 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________. 答案 2 2

解析 |AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|AC →＋AC

→|＝2|AC →|＝2 2. 类型三 向量加法的应用

例3 在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，

求船行进的方向.

解 作出图形，如图.船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，

在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD

→|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD

→||A D →|＝1020＝12

，

∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角.

故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向. 跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)

解 如图所示，设CE

→，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG

→表示，则CE →＋CF →＝CG →.

易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°. ∴|CE →|＝|CG →|cos 30° ＝10×3

2

＝53，

|CF →|＝|CG →|cos 60°＝10×12

＝5. ∴A 处所受的力为5 3 N ，B 处所受的力为5 N.

1.已知正方形的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( )

A.0

B.3

C.2 2

D. 2 答案 C

解析 ∵AB

→＋BC →＝AC →，∴|a ＋b ＋c |＝|2c |＝2 2. 2.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中错误的是( )

A.FD

→＋DA →＋DE →＝0 B.AD

→＋BE →＋CF →＝0 C.FD

→＋DE →＋AD →＝AB → D.AD →＋EC →＋FD →＝BD → 答案 D

解析 FD →＋DA →＋DE →＝F A →＋DE →＝0， AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0， FD

→＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →， AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →. 故选D.

3.如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形为( )

A.矩形

B.正方形

C.平行四边形

D.菱形

答案 C

解析 ∵AC

→＝AB →＋AD →， ∴DC →＝DA →＋AC →＝DA →＋AB →＋AD →＝DA →＋AD →＋AB →＝AB →， 即DC

→＝AB →. ∴四边形ABCD 为平行四边形.

4. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点.

(1)AB

→＋AD →＝________； (2)AC

→＋CD →＋DO →＝________； (3)AB

→＋AD →＋CD →＝________； (4)AC

→＋BA →＋DA →＝________. 答案 (1)AC

→ (2)AO → (3)AD → (4)0 5.小船以10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船实际航行速度的大小为________km/h. 答案 20

解析如图，设船在静水中的速度为|v1|＝10 3 km/h，河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船实际航行速度为v0，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(103)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.

1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则.

2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.

一、选择题

1.已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示()

C.向东北航行 2 km

D.向东北航行2 km

答案 A

2.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )

A.AB

→＝CD →，BC →＝AD → B.AD

→＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →

D.AB

→＋BC →＋CD →＝DA → 答案 C

3.a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A.a ∥b ，且a 与b 方向相同 B.a ，b 是共线向量且方向相反 C.a ＝b

D.a ，b 无论什么关系均可 答案 A

4.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD

→|等于( )

A.1

B.2

答案 B

解析 BC →＝FE →， ∴AB

→＋FE →＋CD → ＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∵AB ＝1，

∴|AB

→＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2. 5.若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB →＋AC →|＝2，则△ABC 的形状是( ) A.正三角形

B.锐角三角形

C.斜三角形

D.等腰直角三角形

答案 D

解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，∵AB ＝AC ＝1，AD ＝2，∴∠ABD 为直角，则该四边形为正方形.∴∠BAC ＝90°.

6.已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB

→＋BC →＝CA → B.AB

→＋AC →＝BC → C.AC

→＋BA →＝AD →

D.AC

→＋AD →＝DC →

答案 C

解析 对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC

→＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →， ∴AC

→＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →. 7.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA

→＋CD →＋EF →等于( )

A.0

B.BE →

C.AD →

D.CF

→ 答案 D

解析 如图，∵在正六边形ABCDEF 中，

CD

→＝AF →，BF →＝CE →， ∴BA

→＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF →＝BF →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 8.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC

→，DO →＝OB →，则四边形ABCD 为( )

A.正方形

B.梯形

C.平行四边形

D.菱形

答案 C

解析 AO

→＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∵AO →＝OC →，DO →＝OB →， ∴AB →＝DC →. 二、填空题

9.在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________. 答案 0

解析 注意DC

→＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0. 10.在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 答案 1

解析 在菱形ABCD 中，连接BD ， ∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形， 又∵|AB

→|＝1，∴|BD →|＝1， |BC

→＋CD →|＝|BD →|＝1. 11.已知|OA →|＝3，|OB →|＝3，∠AOB ＝90°，