(完整版)泛函分析第6章广义函数与Sobolev空间简介
第六章 广义函数与Sobolev 空间简介
函数是经典分析中的基本概念之一,然而这样的一个基本概念,在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。下面用几个例子加以说明。
例6.1(脉冲) 20世纪初,Heaviside 在解电路方程时,提出了一种运算方法,称之为算子演算。这套算法要求对如下函数
10
()00x h x x ?≥?=?
? 求导数,并把导数记为()x δ。但按照经典分析的理论,()h x 并不可导,因此()x δ不可能是普通意义下的函数,它除了作为一个记号进行形式演算外,在数学上是没有意义的。但是,这个()x δ在实际中是没有意义的,又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。
例6.2(Dirac 符号) 在微观世界中,把可观测到物质的状态用波函数来描述,最简单的波函数具有形式((,))i x e x λ∈-∞+∞,λ是实参数,并考虑如下形式的积分
12i x e dx λπ
+∞
-∞
?
这种积分按Cauchy 积分来定义,即
111sin lim lim 22n i x i x n n n n e dx e dx λλλ
πππλ
+∞+-∞-→∞→∞==?? 显然,这个极限在普通意义下不存在。然而,物理学家认为这个极限是前面所提到的
()x δ,并认为是Dirac 符号。特别,在量子力学中,进一步发展了不少关于()x δ的运算法则,并广泛地使用。
例 6.3(广义微分) 在数学本身的发展中,也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。20世纪30年代,Sobolev 为了确定微分方程的存在性和惟一性问题,通过分部积分公式,推广了函数可微性的概念,建立了广义微商理论,形成了以他的名字命名的Sobolev 空间理论。这标志着现代微分方程理论的诞生。
基于上述原因,扩充函数概念,为广义函数寻找坚实的数学基础,对数学家提出了新的挑战。20世纪40年代,Schwartz 完成了这一艰巨的任务,创立了广义函数的系统理论,并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。
6.1 基本函数空间与广义函数
6.1.1基本函数空间
把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。广义函数正是定义在一类性质很好的函数空间上的线性泛函。这类函数空间称为基本函数空间。
在引进基本函数空间之前,先介绍一些记号和术语。
对于欧氏空间12,(,,,)n
n R x x x x =L 表示n
R 中的点,范数1
22
2212()n
x x x x =+++L 。设
12,,,n p p p L 为n 个非负整数,有序数组12(,,,)n p p p p =L 称为多重指标。
12n p p p p =+++L 。对于多重指标p ,引进偏微分算子
1212n
p p p p n p D x x x ?=
???L
n R Ω?是非空开集,Ω是Ω的闭包。()C Ω表示在Ω上定义的连续函数全体组成的线性空间。对于任何非负整数k ,()k C Ω表示全体在Ω内由k 次连续可微的偏导数,且在Ω上的连续的函数组成的线性空间,特别0()()C C Ω=Ω。设?的支集是集合
{:()0}x x ?∈Ω≠
在Ω内的闭包,并记为sup {:()0}p x x ??=∈Ω≠。
0()k C Ω表示()k C Ω中满足支集是Ω内紧集(有界集)的所有函数组成的空间,
00
()()k k C C ∞
∞=Ω=ΩI
,即表示支集是Ω内紧集的无穷次可微函数全体。显然,下面的包含关
系成立
10000()()()()k k C C C C ∞+Ω??Ω?Ω??ΩL L
例6.4 设n R 上定义的函数为
2
111()01
x n C e
x j x x --??
<=??≥?
这里n C 是依赖于维数n 的常数,即
n C =21
111x
x e
dx ---≤?? ? ???
? 那么()j x 是无穷次连续可微的,且{}sup :1n pj x R x ?∈≤,()1n R
j x dx =?,因此
0()()n j x C R ∞∈。从()j x 出发,我们可以构造出许多0()n C R ∞
中的函数。下面我们来构造对
任何非空开集Ω,0()C ∞Ω中的函数。为此,对任意0δ>,记
1
()()n
x j x j δδδ
=
,那么0
()n j C R δ∞
∈ 【定理6.1】 设()x μ是Ω上定义的一个可积函数,并且在Ω的一个紧集K 外恒为零,
则当0δ>充分小时,可积函数
()()()x y j x y dy δδμμΩ
=-?
是0()C ∞Ω中的函数。
证明:记{}:(,)n K x R dist x K δδ=∈≤,这里(,)dist x K 表示x 到K 的距离,当δ充分小时,K δ?Ω,当x K δ?时,对一切y K ∈均有x y δ->,于是
()0j x y δ-=。
()()()()()0K
x y j x y dy y j x y dy δδδμμμΩ
=-=-=??
因此sup p K δδμ?,而
[]101101
1
lim ()()()lim ()()h h j x he y j x y y dy x h
j x he y y dy x δδδδμμθμΩ→Ω→?=+---??
=+-???
上式利用了微分中值定理,1(0,1),(1,0,,0)n e R θ∈=∈L ,又j δ是连续可微函数,因此存在0M >使
1
()()n j x M x R x δ?
≤?∈?
应用Lebesgue 控制收敛定理,得
1011
1
lim ()()()()h j x he y y dy x x j x y y dy x δδδμθμμΩ→Ω??
=+-???=-???
由于0
()n j C R δ∞
∈,对任何多重指标12(,,,)n p p p p =L 重复上述过程,可得到 ()()p p D D j x y y dy δδμμΩ
=-?
于是0
()C δμ∞
∈Ω。 下面我们在0()C ∞Ω上引进收敛的概念。
【定义6.1】 设{}0()i C ?∞
?Ω,0()C ?∞∈Ω,如果满足下列条件:
(1) 存在一个紧集K ?Ω,使得 sup ()(1,2,),
sup ()j p K j p K ???=?L
(2) 对于任意多重指标12(,,,)n p p p p =L ,函数列{}p j D ?在K 上一致收敛 于p D ?,即
max ()()0()p p j x K
D x D x j ??∈-→→∞
则称{}i ?收敛于?,记为D
j ????→,
而称0()C ∞Ω按照收敛概念及线性运算为基本函数空间,并记为()D Ω,在Ω明确时,可简写为D 。
根据D 中收敛概念的定义,容易证明: (1) 设{}j ?,{}j D ψ?;?,ψD ∈,如果
,D D
j j ??ψψ??→??→
则对任何数,αβ有
D
j j α?βψα?βψ+??→+
这说明D 中的线性运算关于收敛概念是连续的。
(2) 对任一多重指标p ,:p D D D →这一线性映射是连续的,即 {},j D D ???∈
则若 D j ????→ 那么 D p p j D D ????→。
【定义6.2】 称{}i D ??为Cauchy 列,如果满足: (1) 存在紧集K 使()()sup 1,2,;i p K j ??=L
(2) 对0ε?>,及多重指标p ,存在自然数N ,使当12,j j N ≥时,有 ()()12max p p j j x K
D x D x ??ε∈-<
【定理6.2】D 是完备的,即若{}i D ??是任意一个Cauchy 列,则存在D ?∈,
使得D j ????→。
证明留作习题。
6.1.2 广义函数的基本概念
【定义6.3】D 上的一切线性连续泛函,称为广义函数,即D 上的广义函数满足 (1) 线性:对任何数,αβ及12,D ??∈有
()()()1212f f f α?β?α?β?+=+
(2) 连续:设{},j D D ???∈,若D
j ????→,则有
()()()j j f f j ??→→∞ 一切广义函数所组成的集合,记作'D 。
例6.5 δ函数,设n R Ω?是非空开集,a ∈Ω,对于任意D ?∈,定义 ()()a a δ??= 则a δ是广义函数。
证明:显然a δ是D 上的线性泛函。设{},j D D ???∈,若D j ????→,则更有
()()()0j a a j ??-→→∞
从而
()()()()()0a j a j a a j δ?δ???-=-→→∞
即a δ在D 上是连续的,所以a δ是一个广义函数,称a δ为集中在点a 的Dirac 广义函数,简称为δ函数。特别,当()()0,0,,0n a R θ==L 中零元素时,θδ记为δ。
例6.6 设R n Ω?是非空开集,()f x 是Ω上定义的一个局部可积函数,即 对于Ω的任何紧子集K ,积分
()K
f x dx <+∞?
通过局部可积函数f 定义D 上的泛函
()()()*f f x x dx ??Ω
=? (6.1)
则*f 是广义函数。
证明:由于()f x 是局部可积的,那么对任何D ?∈,()()f x x ?在()sup p ?上可积,
从而由式(6.1)定义的积分有意义。根据式(6.1),显然*f 是线性的。设{},j D D ???∈,
且D j ????→,于是存在紧集K 使()sup j p K ??,()sup K p ??,且j ?在K 上一致收敛于
?。取常数0M >,使()sup j x K
x M ?∈≤,那么由Lebesgue 控制收敛定理,有
()()()()()()()()()()
*j j j K
K
f f x x dx f x x dx f x x dx
f x x dx j ?????Ω
Ω
==→=→∞????
即
()()()**j f f j ??→→∞ 这说明*f 连续,因此*f 是D 上的广义函数。
记()LOC L Ω为Ω上全体局部可积函数组成的集合,通过例6知道,每个f ∈()LOC L Ω都对应一个广义函数*f ,称这样的*f 为函数型广义函数。
【定理6.3】 映射()':LOC T L D Ω→定义为 ()*T f f = 则T 是一对一线性映射。
由于证明较繁琐,这里略去。
通过定理6.3,我们可以把局部可积函数f 与由f 定义的广义函数*f 视为同一,这样局部可积函数是广义函数。
例6.7 考察在R 上的函数
()()[)0,0;
10,x h x x ∈-∞??=?∈+∞??
通常称()h x 为Heaviside 函数。显然,()LOC h L R ∈,于是它定义()D R 上的 广义函数*h 为
()()()()*0
h h x x dx x dx ???+∞
+∞
-∞
==??
是否每个广义函数都是函数型的,即对广义函数*'g D ∈,是否存在局部可 积函数f 使
()()()*g f x x dx ??Ω
=?
回答是否定的。也就是说'D 中确实存在非函数型广义函数。
例6.8 a δ不是函数型的广义函数。
证明:用反证法。设a δ是函数型的,则存在一个定义于Ω上的局部可积函数f 使得对一切D ?∈成立
()()()f x x dx a ??Ω
=? (6.2)
取正数r 充分小,使(){}:r B a x x a r =-
()()()
22
2
,0\r a r r r x B a e x a r x x B a ??∈?--=??∈Ω?
显然,,a r D ?∈,由式(6.2)得
()()()1,,a r a r f x x dx a e ??-Ω
==?
(6.3)
另一方面,(),0
lim 0a r r x a e ??+
→==?,由Lebesgue 控制收敛定理,有 ()(),0
lim 0a r r f x x ?+Ω
→=?
(6.4) 这样式(6.3)与式(6.4)矛盾,故不是函数型的。
【定理6.4】 'f D ∈当且仅当对任意紧集K ?Ω,存在常数C 及非负整数m ,使得当sup p K ??时有
()()sup p x K
p m f x C D D ??∈≤≤∈∑ (6.5)
证明:充分性。由式(6.5)知f 是D 上定义的连续性泛函,因此'f D ∈。
必要性。用反证法。若不然,有紧集K ,使式(6.5)不成立。于是对任何自然数j ,存在函数j D ?∈,且()sup j p K ??使
()()sup p j j x K
p j f j D x ??∈≤>∑ (6.6)
于是令
()
()
?sup j j p
j x K
p j x j D x ??
?∈≤=∑
则?j D ?
∈,且?sup j p K ??,再由式(6.6)可得 ()?1j f ?
> (6.7) 又
()1
?sup p j x K
p j D x j
?
∈≤=∑ 因此,?j ?
0D
???→≡,于是()()?0j f f ??→=,这与式(6.7)矛盾。 在广义函数空间'D 上规定加法与数乘运算:设'12,,f f D R λ∈∈定义 ()()()()1212f f f f ???+=+ ()()11()f f λ?λ?=
则很容易证明''121,f f D f D λ+∈∈,因此'D 是一个线性空间。 【定义6.4】 设{}'',j f D f D ?∈,如果对于一切D ?∈成立 ()()lim j j f f ??→∞
=
则称{}j f 在'D 中收敛于f ,记为j f f →。'D 按照这种收敛概念,称为广义函数空间。 容易证明,'D 中加法与数乘运算关于收敛是连续的,即如果j f f →,j g g →,则对任何数,αβ有
j j f g f g αβαβ+→+ 例6.9 在R 上,函数列 ()()1sin 1,2,j j f x j x
θ
π=
=L
是()LOC L R 中的函数列,从而可视为广义函数列,那么j f δ→。 证明:由于sin x
dx x
π+∞-∞
=?
,因此 1sin lim 1T T T jx dx x
π-→+∞=? 对任意()D R ?∈,存在00T >,使[]00sup ,p T T ??-。那么当0T T >时 ()()()()T
j j T
f x x dx f x x dx ??+∞-∞
-=?
?
另一方面,对0ε?>取1T 足够大,使当1T T >时有
1
sin 12T
T jx dx x ε
π--
从而当01max ,T T T >时有
()()()()()()()()
()
1
sin 0002201
sin 02
T
j T T
jx f x dx x x x jx
dx x
ε
?????π???ε
?π
--≤
-+????+--=
+
??
对于固定T ,由于函数()()()()
20?x x x x
????
+--=是Riemann 可积的,因
此由Riemann 引理
()0
?lim sin 0T
j jx x dx ?
→∞=? 于是存在自然数0n ,当0j n >时 ()0
1
?sin 2
T
jx x dx ε
?
π
因此
()()()()()0022
j j f f ε
ε
???δ??-=-<+
由ε的任意性得
()()j f ?δ?→ 故j f δ→。
这个例子给出了关于本章例2中的Dirac 符号的合理数学解释。 注:(Riemann
引理) 设f 是
[]
,a b 上Riemann 可积函数,则
()()lim sin lim cos 0a
a
b
b
n n f x nxdx f x nxdx →∞→∞==??。读者可在任何一本《数学分析》 教科书
中找到。
习题6.1
1. 在'D 中证明:
()
()()22
1
1
10;x x δεπε
+→→+ (
()()2420x t
x t δ-
+→→。
2. 设()()11,2,j
j x f x j j ?
?=+
= ???
L ,证明:()x j f x e →。
3. 设n R Ω?是一个开集,()j f x 是Ω上的一列局部可积函数,并且对任意 紧集K ?Ω,存在常数K M 使得()j K f x M ≤,又()()0j f x f x a e →?,证明:
**0j f f →。
4. 设n R Ω?是一个非空开集,K ?Ω是紧集。证明:存在函数()0C ?∞
∈Ω,
使得()01x ?≤≤,且在K 上恒有()1x ?=。
5. 证明定理
6.2。
6.2 广义函数的导数及性质
广义函数求导的思想来源于经典分析学中的分部积分,为此,先回顾一下分 部积分的基本思想。
设(),a b Ω=,f 和?是Ω上定义的两个连续可微函数,若sup p ?是Ω内 的紧集,则()()0a b ??==,于是有
()()()()''f x x dx f x x dx ??Ω
Ω
=-?
?
可见,利用分部积分可将一个函数的求导运算化为对另一个函数的求导,广义函数的导入引入,就是遵循这一法则而得来的。
对任一多重指标p ,p D 是一个由D 到D 的连续映射,因此可有:
【性质6.1】 设'f D ∈,定义()()1g f D x ??????=-∈ ????
,则'
g D ∈。
证明:显然g 是D 上线性泛函,设{},j D D ???∈,若D
j ????→,那么
1
1
j D
x x ??
????→
?? 从而
1
1j
D
f f x x ??????????→
? ?????
??
因此()()j g g ??→,故'g D ∈。
【定义6.5】 'f D ∈定义f 对1x 的一阶偏导数为g ,并记为1
f
g x ?=?,则g 仍然是广义函数。一般地对任意多重指标p ,定义p D f 为如下广义函数:
()()()1p
p p g f D ??=-
即p p D f g =。
从定义6.5可以看出,广义函数可进行无限次求导运算。 例6.10 由Heaviside 函数h 所定义的函数
()10
00x h x x ≥?=?
的广义导数'h δ=。
证明:对任意()D R ?∈,有
()()()()'
'
'00h h dx ????δ?∞
=-=-==?
因此'h δ=。
注:如果是一元广义函数(即f 为()D R 上的连续线性泛函),则f 的一阶、二阶导数等分别用''',f f 等来表示。
例6.11 证明:''
2x δ=。
证明:对任意()D R ?∈,取0a >,使()sup ,p a a ??-。那么有
()()()()()()()()()()()''
''''0''
''0
''0
00202a
a a
a
x x x x dx
x x dx x x dx x dx x dx
??????????δ?+∞
-∞
--===-=-+=+==?
????
所以''
2x δ=。
【定义6.6】 设()C ψ∞∈Ω,'f D ∈,定义D 上的泛函为 ()()()()f f D ψ?ψ??=∈
那么f ψ显然是D 上连续线性泛函,即'D ψ?∈,称ψ是'D 的一个乘子。
注:对于()C ψ∞∈Ω,'f D ∈可定义乘积f ψ,但对于两个广义函数不能定义乘积运算。
例6.12 证明2''2x δδ=。
证明: ()()()()''2
2''21x x x δ?δ???=-????
,又
()()()()()()()()()
'''
22'''2''
2222x x x x x x x x x x x x x ?????????=+????=+++
故
()()()()()()()
''2'2''024202x x x x x x x x δ?????δ?=????=++?????
?== 即2''2x δδ=。
注:对于任何正数k , ()k
δ为按如下公式定义的广义函数
()()()()()
()()()110k
k
k k k
δ?δ??=-=-
【性质6.2】 (1)设',,,f g D αβ∈是数,则
()()1,2,,j j j
f g
f g j n x x x αβαβ???+=+=???L (2)设()',C f D ψ∞∈Ω∈,则
()()()1,2,,j j j
f f f j n x x x ψψ
?ψ???=+=???L 证明:(1)由定义显然。我们来证(2),对于任意D ?∈,则
()
()()()()()()()j
j
j j j j j j j f f f x x x f f x x
f
f x x f f x x
ψ???ψψ?ψψ
?ψ?ψ?ψψ????
?????=-=- ? ? ? ?
??????
???
??????=-+?? ? ? ? ?????????
?
?
????=+ ? ????
???????=+ ? ? ? ??????
?
故(2)成立。
【性质6.3】 设'',j f D f D ∈∈,若'
D
j f f ??→,则
()'1,2,,D i i i
f f
i n x x ????→=??L 证明:对于任意D ?∈,由于
()()lim lim j j j j i
i i i f f
f f x x x x ????→∞→∞?????
???=-=-= ? ?????????
因此,
'D i i i
f f
x x ????→??。 【定义 6.7】 设{}'
'
,j f D f D ?∈,称级数1
j j f ∞
=∑在'D 中收敛于f ,是指前m 项和
1
m j j s f ∞==∑在'
D 中收敛于f ,记为1
j j f f ∞
==∑。
由性质6.3得:
【性质6.4】 若级数1j j f ∞
=∑收敛于f ,则级数1
j j i
f x ∞
=??∑
收敛于
()1,2,,i
f
i n x ?=?L 。 注:对于广义函数级数可以逐项求导,然而普通函数级数即使每项是连续可导函数,且处处收敛于某个连续可导数,也不能逐项求导。
例13 ()1
cos j f x jx j
=
,则()j f x 一致收敛于()0f x ≡,但其导函数()'sin j f x jx =-不收敛于()'0f x ≡。如果将,j f f 看成广义函数,则在'D 中有'j f f →。
【性质 6.5】 设{}'j f D ?,如果对每个D ?∈,极限()lim j j f ?→∞
存在且有限,则必存
在'f D ∈,使得'
D
j f f ??→。
证明性质6.5需要用到拓扑线性空间的专门知识,故此略去其证明。
通过广义函数上述的性质,我们看到,广义函数空间'D 关于求导与极限运算是封闭的,因此,广义函数的求导与极限运算比普通微积分中函数的相应运算既灵活又方便。
习题6.2
1.计算()
3x
。
2.已知()010
x x x x λλλ+
?>=≠-?
≤?,计算()'
x λ+。 3.求证()'1Ln x P V x ??
=? ???,即()()()()'0lim ,x x Ln x dx D R x εε???≥→+=?∈?。 4.设()1,,,R a f αβΩ=?∈Ω在(),αβ内除a 点外是连续可微的,且在a 点是 第一类间断点,'f 在(){},\a αβ内有界。证明f 的广义函数为
()()'00a df
f f a f a dx
δ=++--???? 6.3 Sobolev 空间的定义及性质 6.3.1 Sobolev 空间
设()1u C ∈Ω即在Ω内连续可微,()0C ?∞
∈Ω,由分部积分公式可得
()()11,2,,i i
u
u
dx dx i n x x ??ΩΩ??=-=????L
类似地,如果k 是一个正整数,()()12,,,,k n u C αααα∈Ω=L 是一个多重指标且12n k αααα=+++=L ,那么反复使用(1)
,我们有 ()2(1)uD dx D udx ααα??ΩΩ=-??
这里1212n n
D x x x αααα???=
???L ,因此根据公式(2)的左边,我们仅需要函数u 在Ω上局部
可积,则公式有定义,这样可以将函数导数的概念通过(2)来推广。
记()1LOC L Ω为Ω上的局部可积函数全体。
【定义6.8】 设()1,,LOC u v L α∈Ω是一个多重指标。我们称v 是u 的第α次弱偏导数,记为D u v α=,如果满足
(1)
uD dx v dx α
α??Ω
Ω
=-?
?
对任何()0C ?∞
∈Ω成立。
注:如果u 的α次弱偏导数存在,那么在除去一个零测度集外是惟一的。事实上,设
()1,LOC v v L ∈Ω,那么由()
()
11uD dx v dx v dx α
α
α???Ω
Ω
Ω
=-=-??
?
得对一切()0C ?∞∈Ω成立()
0v v dx ?Ω
-=?。
不难证明v va e =?(留为习题)。
例14 设()0,2Ω=,且()()01101,112012x x x u x v x x x <≤<≤??==??
<<<? 则v 是u 的偏导数。
证明:对任何()0C ?∞
∈Ω,有 ()()()
()()()()()
2
121
1'
'
'
00
1
11
2111020u dx x dx dx x x dx dx dx
?????????????=+=-+-=--=-==?
?????
另一方面,2
1
v dx dx ??=??,所以2
2'0
u dx v dx ??=-??,因此,'u v =。 是否每个局部可积函数都存在弱导数呢?回答是否定的,见下面的例15。
例15 设()0,2Ω=,且()01212x x u x x <≤?=?<
那么u 不存在弱导数。
证明: 事实上,若有()1LOC v L ∈Ω,则 ()()2
2
'0
u dx v dx
C ???∞
=-?∈Ω?
?
又 ()
()()2
1
2
1
'
'
'
1
2120u dx x dx dx dx ??????=+=--=?
???
故
()()()2
1
1v dx dx
C ????∞=-?∈Ω?? (6.8)
选择()o C ∞
Ω中一列函数()k x ?满足
()()0011k k x ??≤≤???=??
且()()01k x x ?→≠
据式(6.8)有
()2
1
k k k 0
1v dx dx ???=-??
再由Lebesgue 控制收敛定理,令k →∞得 2
1
01lim lim 0k k k k v dx dx ??→∞
→∞
=-=??
这显然是不可能的。
【定义6.9】 记号(),k p W Ω表示满足下面条件的函数的全体:
()()1p u L ∈Ω; ()()2k αα
αα≤∈Ωp 对任何满足的多重指标,都存在u 的次弱偏导数D u L 。
注:()(),k p p W L Ω?Ω,(),k p W Ω是()p L Ω的一个线性子空间。 【定义6.10】 对于(),k p u W ∈Ω,定义范数
1
,p
p
k p
k u
D u dx ααΩ≤??= ? ???
∑? 则()()
,,,k p k p W Ω?是赋范线性空间,更进一步,我们有 【定理6.5】 (),k p W Ω是Banach 空间
证明:即证明(),k p W Ω是完备的。设{}m u 是(),k p W Ω中的一个Cauchy 列,那么,对于每个多重指标()k αα≤,{}m D u α是()p L Ω中的Cauchy 列。因()p L Ω完备,因此存在
()p a u L ∈Ω使
()m a D u u m α→→∞(在()p L Ω范数下)
令lim m m u u →∞
=。我们来检验a a D u u =。事实上,对任何()0C ?∞
∈Ω有
()
()
lim lim 11a a m m a
m a m uD dx u D dx
D u dx u dx
α
α
????Ω
Ω
→∞Ω
Ω
→∞
==-=-?
??
?
这说明a D u u α=。于是由a a m D u D u →(在()p L Ω范数下)知m u u →(在(),k p W Ω范数下),因此(),k p W Ω是Banach 空间。
通常称(),k p W Ω为Sobolev 空间。
【性质6.6】 设(),,,k p u v W k α∈Ω≤,那么
()(),1,,k p R u v W λμλμ?∈+∈Ω,且()D u v D u D v αααλμλμ+=+; ()2对任何多重指标,αβ,若k αβ
+≤,则()D D u D u αβαβ+=;
()3如果()
0C ?∞∈Ω,则(),k p u W ?∈Ω且()D u D D u α
βαββαα??β-≤??= ???∑。这里记号βα≤为()()12!
1,2,,,!!!!,!!i i n i n ααβαααααββαβ??≤===
?-??L L 。 这些性质的证明十分容易,留给读者做练习。
【定义6.11】
记(),0k p W Ω=()(){
}
,0,0k p m m k p
u W u C u u
∞
∈Ω∈Ω-→存在序列使
则(),0k p W Ω是(),k p W Ω的闭子空间,因此是Banach 空间,同样也是一类 Sobolev 空间。
注:当2p =时,(),2k W Ω及(),0k p W Ω通常用()k H Ω及()0k H Ω表示,它们都
是Hilbert 空间,其内积为,k
u v D uD vdx ααα
Ω
≤=
∑?。
【定义6.12】 设1p n ≤<,称*np
p n p
=
-为p 的Sobolev 共轭指数。 【性质6.7】 设1p n ≤<,那么存在一个仅与p 和n 有关的常数C ,使对
任何()0n C R ?∞
∈有()()*
p n
p
n
L R L R C D ?
?≤。
注:性质6.7是著名的Gagliardo Nirenberg Sobolev --不等式,其中
()()
12
12
1p n n n
p
p
n p
p
L R R R i i D dx D dx
x ???=?????? ?
? ?== ? ? ???? ?
????
∑??
这里D ?表示向量12,,,n x x x ???????? ??????L 在n
R 空间中的欧式范数。
为了使读者能更好地这个不等式,我们给出2n =的证明。 证明: 当2n =时*22p
p p
=
-,先证1p =的情形,这时*2p =。 因为()20C R ?∞
∈,于是()()()1
2
1221,,x x x x x s x ds x t dt ???-∞
-∞
==??。
这里1212
,x x x x ??
????=
=??,因此 ()()()()()12
1
2
221
,,x x x x x s x ds
x t dt ???-∞
-∞
=
?
? ()()()()()()
()()()()()()()
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
11
2
11
2
,,,,,x x x x x x R x dx s x ds x t dt dx s x ds x t dtdx s x ds D dx ???????+∞
+∞+∞
-∞
-∞
-∞-∞
+∞+∞+∞
-∞
-∞-∞
+∞
-∞
≤≤≤?
???????? 进一步
()()()
()()()()()()
2
2
1
2
2
2
221222
2
,R x R R R R x dx x dx dx s x dsdx D dx
D dx
D dx D dx
???????+∞
+∞
-∞
-∞
+∞
+∞
-∞
-∞
=≤≤
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(6.9)
故()()2212L R L R D ??≤。 现在设12p <<。取2p r p
=-,则1r >。令r ??=%,则()
20C R ?∞
∈%。由式(6.9)
得
()()
*
2
2
211
2
2
2
p
r
R R R
dx dx
D dx ?
?
?=≤?
?
?% (6.10)
由Holder 不等式111p q ??
+= ???
得
()()(
)()
()
()
()()
2
222
*
2
2
1
11111111r r R R
q
q
r p
p
R R p
q
p
p
R R D dx r D dx
r dx D dx
r dx
D dx
??
??
???--=-??≤-? ???=-??
????
?
代入式(6.9)得
()
()()
*
2
2
1112p q
p
p
R R dx
D dx
??-≤?
?
注意到*1121
22p q p p
--=
=,那么有 ()()*
2
2
p p
L R L R D ?
?≤
对于n R 的情形,可以类似证明。
【定义6.13】 设n R Ω?使有界开集,?Ω是表示Ω的边界。称?Ω是k C 光滑的,是指对每个点0x ∈?Ω,存在0r >及一个k C 函数1:n r R R -→满足
()()(){}
00121,,,,,n n B x r x B x r x r x x x -Ω=∈>I L
例16 (){}(){}2222
12121212,:1,,:1x x x x x x x x Ω=+
那么?Ω是k C 光滑的。
根据性质6.7,我们有下面的Sobolev 嵌入不等式。
【定理6.6】 设Ω是n R 的有界开集,且?Ω是1C 的,那么对于1p n ≤<及
()1,p
u W
∈Ω有()*
p u L ∈Ω且
()
()*
1,p p L W u
C u ΩΩ≤,这里常数C 仅依赖于,p n 和Ω。
【推论6.1】 设Ω是n R 的有界开集,?Ω是1C 的,1p n ≤<,()1,0p u W ∈Ω,那么对
任何*
1,q p ??∈??,成立
()
()
q p L L u
C Du
ΩΩ≤
式中,C 是仅依赖于,,p q n 和Ω的常数。
证明:由于()1,0p u W ∈Ω,那么存在()0m C ?∞
∈Ω
使得()
()1,0p m
W u m ?Ω-→→∞。
亦即()
0p m
L u ?Ω-→和()
0p m
L Du D ?Ω-→
记0
m
m n
x x R ??∈Ω?=?
∈-Ω
?%,则()0n
m C R ?∞∈%。
根据性质6.1有
()()*
p n
p
n
m
m L R L R C D ??≤%%
即
()
()
*
p p m
m
L L C D ??ΩΩ≤
故令m →∞,由定理6.6得 ()
()
*
p p L L u
C Du
ΩΩ≤
另一方面,因为Ω有界,故()m Ω<+∞,于是对*1,q p ???∈??有
()
()
*
q p L L u C u
ΩΩ≤
结合上面两式,可得 ()
()
q p L L u
C Du
ΩΩ≤
这里常数C 不加以区别。
【推论6.2】 设n R Ω?有界开集,且()1
0u H ∈Ω,
那么存在仅依赖于Ω的常数0C >,使
()
()
22L L u
C Du
ΩΩ≤
这个不等式就是著名的Poincare 不等式,我们给出它一个直接证明。
证明:取方体(){}
12,,,,1,2,,n n i B x x x x R x a i n ==∈≤=L L ,使B ?Ω,对任意
()0C ?∞
∈Ω有
()()1
1111,,,x x n a
x y x x d y ??-=?L
故
()()()
()()()()2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
121
,,,1,,,2,,,a
n
a
a
a
n
a
a
a
n a
x D y x x d y dy D y x x d y a D y x x d y ????
----≤
≤=????L L L
于是
泛函分析答案
泛函分析答案: 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间,L 是E 中的一个子集,若对任意的x,y ∈L ,以及变数λ和μ均有λx +μy ∈L ,则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素,因为当λ和μ均为0时,λx +μy =0∈L ,则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间,x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合,如果对任何x,y ∈M ,以及λ+μ=1,λ≥0,μ≥0的 λ和μ,都有λx +μy ∈M ,则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素,d(x,y)为其之间的距离,它必须满足以下条件: (1) 非负性:d(x,y)>0,且d(x,y)=0<―――>x=y (2) d(x,y)=d(y,x) (3) 三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义: 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞),这时记作 0lim n n x x -->∞ =,或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数,其须满足以下条件: (1)||x||≥0,且||x||=0 iff x=0 (2)||λx||=λ||x||,λ为常数 (3)||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间,{x n }∞ n=1是其中的一个无穷列,如果对于任何ε>0,总存在自然数N ,使得当n>N,m>N 时,均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ,则称E 为完备的线性赋范空间,即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备,所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备,则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2(a,b )为定义在(a,b)上平方可积函数空间,即设f(t)∈L 2(a,b ), 2|()|b a f t dt ? <∞。 当 L 2(a,b )中内积的定义为(f,g )= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2(a,b ))时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用,一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间,集合D ?X , 若对D 中的每一个x ,均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应,则说这种对应关系确定
广义系统
第十二章一般广义时变系统的时域有界 控制 在控制理论中,人们所关心的系统稳定性主要是Lyapunov稳定性。然而Lyapunov稳定性刻画的一个系统的整体稳态性能,但它并不能反映系统的暂态性能。所谓暂态性能是指短时间内的系统稳定性,绝非短时间内的Lyapunov稳定性。在工程中,一个整体稳定的系统,很有可能暂态性能很坏,在工程中会造成很坏的影响,甚至根本无法应用。因此,相对于系统的整体稳态性能,人们往往更关心的是系统的暂态性能。 时域有界是时域稳定的拓展概念,时域稳定是时域有界的特殊形式,它们相互联系,又互不相同。对于时域有界,我们也有了一些初步的研究成果。Zhao S,Sun J,Liu L(2008)研究了带脉冲的线性时变系统的时域有界问题,F. Amato,M. Ariola,C. Cosentino(2006)还给出了时域问题的动态补偿器的设计方法,在Amato F,AriolaMand Dorato P(2001)中,探讨了参数不确定带干扰的系统时域控制问题。综上所述,虽然学者们引进了时域稳定的定义,并且给出了关于广义时变系统的时域稳定的一些充要条件,但是对于广义时变系统,尤 E t是时变的时域稳定问题还没有什么可利用的研究成果,另外对于广义时变不确定其是() 系统时域稳定性的研究更是屈指可数。 本章的主要工作分为两部分,首先是广义时变系统的时域控制问题,对于函数矩阵) E是时变的系统给出了时域稳定和时域有界的充分必要条件,并通过状 (t 态反馈使不稳定的系统得到控制。其次是广义时变不确定系统的时域控制问题,给出了不确定系统时域有界状态反馈控制器的设计方法。
sobolev空间的建立
Sobolev 空间的建立 Sobolev 空间是以前苏联数学家Sobolev 的姓来命名的一类函数空间,这是 因为他对Sobolev 空间的创立(20世纪30年代)做出了重要贡献.这类函数空间为微分方程特别是偏微分方程的理论研究提供了重要的工具.下文将详细介绍 Sobolev 空间的一些主要内容. 一、定义 (一)弱导数的定义 设()1,loc u v L ∈Ω,称v 是u 的关于i x 的弱导数(或广义导数),记为i v Du =,是指对任意()0C φ∞ ∈Ω,成立 .i v dx u dx x φ φΩ Ω ?=-?? ? 对于多重指标()12,, ,n αααα=,用记号 1 2 12 1 ,,n n n i x x x i ααα ααα==?=???∑ 称v 是u 的α阶弱导数(或广义导数),记为v D u α=,如果对任意()0C φ∞ ∈Ω, 成立 () 1.v dx u dx α αφφΩ Ω =-?? ? (二)Sobolev 空间的定义 对1,p m ≥是非负整数,定义Sobolev 空间 {} m L u D u L W p p p m ≤Ω∈Ω=Ω? ||),(|)()(,αα {} m L u D L u u p p ≤Ω∈Ω∈=||),(),(|αα. 在)(,Ωp m W 中引入范数
???????∞=∞ <≤==Ω∞≤≤Ω Ω ≤Ω ∑?∑p u D p u D dx u D u m m p p p p m p p m ,max 1,)()||(,||||1 ,1 ||,,αααααα 下面证明)(,Ωp m W 按范数 ???????∞=∞ <≤==Ω∞≤≤Ω Ω ≤Ω ∑?∑p u D p u D dx u D u m m p p p p m p p m ,max 1,)()||(,||||1 ,1 ||,,αααααα 是赋范空间. (i)非负性 当∞<≤p 1时,任意的)(,Ω∈p m W u ,则 0)||(||1,≥=? ∑Ω ≤m p p p m dx u D u α α, 且 0,=p m u ?0)||(||1 =? ∑ Ω ≤m p p dx u D αα?0=u D α 对任意m ≤||α均成立?0=u ; 当∞=p 时,任意的)(,Ω∈p m W u ,则 0max ||,≥=∞ ≤u D u m p m αα, 且 0,=p m u ?0max ||=≤u D m αα?0=u D α 对任意m ≤||α均成立?0=u ; (ii)齐次性
泛函分析答案
泛函分析答案: 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间,L 是E 中的一个子集,若对任意的x,y ∈L ,以及变数λ和μ均有λx +μy ∈L ,则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素,因为当λ和μ均为0时,λx +μy =0∈L ,则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间,x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合,如果对任何x,y ∈M ,以及λ+μ=1,λ≥0,μ≥0的λ和μ,都有λx +μy ∈M ,则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素,d(x,y)为其之间的距离,它必须满足以下条件: (1) 非负性:d(x,y)>0,且d(x,y)=0<―――>x=y (2) d(x,y)=d(y,x) (3) 三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义: 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞),这时记作 0lim n n x x -->∞ =,或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数,其须满足以下条件: (1)||x||≥0,且||x||=0 iffx=0 (2)||λx||=λ||x||,λ为常数 (3)||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间,{x n }∞n=1是其中的一个无穷列,如果对于任何ε>0,总存在自然数N ,使得当n>N,m>N 时,均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ,则称E 为完备的线性赋范空间,即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备,所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备,则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 (a,b )为定义在(a,b)上平方可积函数空间,即设f(t)∈L 2 (a,b ),2|()|b a f t dt ?<∞。
泛函分析习题解答
第七章 习题解答 1.设(X ,d )为一度量空间,令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ? 解 不一定。例如离散空间(X ,d )。)1,(0x U ={0x },而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时,)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体,定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 (1)若),(g f d =0,则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0,即f=g (2))()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d (f ,g )+d (g ,h ) 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3. 设B 是度量空间X 中的闭集,证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ,而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集:设n o x ∈0,则存在B x ∈1,使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ,这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ,有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ,因此
半解析函数、共轭解析函数及其影响docx
解析函数、共轭半解析函数及其影响 1983年王见定教授在世界上首次提出半解析函数理论,1988年又首次提出并系统建立了共轭解析函数理论;并将这两项理论成功地应用于电场.磁场.流体力学.弹性力学等领域。此两项理论受到众多专家.学者的引用和发展,并由此引发双解析函数.复调和函数.多解析函数(k阶解析函数).半双解析函数.半共轭解析函数以及相应的边值问题.微分方程.积分方程等一系列新的数学分支的产生,而且这种发展势头强劲有力,不可阻挡。这是中国学者对发展世界数学作出的前所未有的大范围的原创工作。 微积分是解析函数的特例,解析函数是半解析函数的特例;共轭解析函数和解析函数是姐妹篇,在应用上共轭解析函数比解析函数更直观。 共轭作为一个符号早年早有,但作为一个“共轭解析函数类”,王见定教授世界首次提出。任何一个学过复变函数的人都知道,复
变函数的求导.积分都是仿实变函数的求导.积分形式推导出来的。解析函数之所以有价值,就在于它在电场.磁场.流体力学.弹性力学等方面的应用。但仔细考查,以上的应用都是共轭解析函数的直接应用,而非解析函数。共轭导数.共轭积分都有明确的物理.力学上直接含义(而解析函数没有)。仅这一点王见定教授使西方数学大家示弱。 共轭解析函数是和解析函数完全对称的一类函数,这使得复变函数变得完美,众人皆知对称是科学的一个普遍的美。再者由于有了共轭解析函数类的提出,解析函数与共轭解析函数的不同组合才形成了复调和函数.双解析函数.多解析函数...及相应的微分方程.积分方程等一系列新的数学分支的产生。这是王见定教授对世界数学作出的巨大贡献。 半解析函数.共轭解析函数此两项理论受到众多专家.学者的引用和发展,这也是中国学者对发展世界数学作出的前所未有的大范围的原创性工作。 1.中国专家技术网.
一级学科:数学
数学 0701 (一级学科:数学) 数学是一门在非常广泛意义下研究自然现象和社会现象中的数量关系和空间形式的科学。它的根本特点是从自然现象的量的侧面抽象出一般性的规律,预见事物的发展并指导人们能动地认识和改造世界。数学是各门科学的基础,在自然科学、社会科学、工程技术等方面起着思想库的作用;又是经济建设和技术进步的重要工具。数学科学是一个范围广阔、分支众多、应用广泛的科学体系。本学科目前在基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论五个二级学科招收硕士研究生。 基础数学是数学的核心和灵魂.它的思想、方法和结论是整个数学科学的基础。基础数学包括数理逻辑、数论、代数、几何、拓扑、函数论、泛函分析、微分方程等众多分支学科。 计算数学是研究如何用计算机解决各种数学问题的科学,主要研究与各类科学计算和工程计算相关的计算方法,对各种算法进行理论和数值分析,设计和研究用数值模拟方法来代替某些耗资巨大甚至难以实现的实验,研制专用或通用科学工程应用软件和数值软件等。它的核心是提出和研究求解各种数学问题的高效而稳定的算法。 概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的科学。概率论旨在从理论上研究随机现象的数量规律,是数理统计的基础。数理统计是研究如何有效地收集、分析和使用随机性数据的学科,为概率论的实际应用提供了广阔的天地。 应用数学是联系数学与现实世界的重要桥梁,主要研究自然科学、工程技术、信息、经济、金融、管理、社会和人文科学中的数学问题,包括建立相应的数学模型,利用数学方法解决实际问题,研究具有实际背景和应用前景的数学理论等。 运筹学与控制论以数学和计算机为主要工具,从系统和信息处理的观点出发,研究解决社会、经济、金融、军事、生产管理、计划决策等各种系统的建模、分析、规划、设计、控制及优化问题,是一个包括众多分支的学科。运筹学结合数学、计算机科学、管理科学,通过对建模方法和最优化方法的研究,为各类系统的规划设计、管理运行和优化决策提供理论依据。控制理论处于数学、计算机科学、工程学等学科交叉发展的前沿,是以自动化,机器人、计算机和航天技术为代表的新技术革命的一个理论基础。 一级学科的主要研究方向有: 1.函数论与泛函分析:主要从事几何函数论,复解析动力系统与分形几何,调和分析,算子代数及其在紧量子群等领域的应用方面的研究工作 2.代数与几何:主要从事以模糊逻辑与多值逻辑为基础的广义集合论上的代数与拓扑问题的研究;一些重要的有限群与域上有限维代数的结构理论与组合表示理论的研究;流形理论以及微分几何在广义相对论、量子力学、神经网络、控制理论、统计等方面的应用问题。 3.偏微分方程的数值方法:利用有限元法、边界元法及其它们的组合,研究微分方程、积分方程的数值解法和误差估计;进行偏微分方程组的特征值的计算方法的研究,并探讨带参变量的偏微分算子特征值曲线的扰动问题;矩阵计算中的扰动问题进行研究。 4.随机分析:研究随机动力系统的稳定性,遍历性,大偏差,以及随机过程理论在网络安全、信
【精品完整版】解析函数展开成幂级数的方法分析
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名:媛媛 学号:201100171431 专业:物理教育 指导教师:莉莉
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名 某某大学物理与电气信息工程学院 摘要:将解析函数展开成幂级数的方法不一,且比较复杂。本论文着重介绍了将解析函数展开成幂级数的几种方法以及分析。 关键词:解析函数,幂级数,展开,奇点等。 一前言 解析函数的应用及现状:解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用,它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用,主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来,中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。 关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义,区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓,关于解析开拓的一般定义是,f(z)与g(z)分别是D与D*上的解析函数,若DÉD*,且在D*上f(z)=g(z)。则称f(z)是g(z)由D*到D的解析开拓。解析开拓的概念可以推广到这样的情形:f(z)与g(z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数,在D1∩D2上f(z)=g(z)则也称f与g互为解析开拓,把可以互为解析开拓的(f(z),Δ)的解析圆盘Δ全连起来,作成一个链。它们的并记作Ω,得到了Ω上的一个解析函数,称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数,这里可能出现这样的情形,在连成一个链的圆盘中,有一些圆盘重叠在一起,但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的,它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”,不使他们在求并的过程中只留下一个代表,于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数,这样多值解析函数变成了单值解析函数。解析函数的基本性质:解析函数的导函数仍然是解析函数;单连通域内解析
泛函分析作业
泛函分析在地球物理勘探中的应用 地球探测科学与技术学院 相丽娜 2015652005
泛函分析(Functional Analysis)是现代数学的一个分支,隶属于分析学,其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法,代表作用于函数的函数。巴拿赫(Stefan Banach)是泛函分析理论的主要奠基人之一,而数学家兼物理学家维多?沃尔泰拉(Vito Volterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 一、泛函分析基本原理 泛函分析综合运用函数论、几何学,现代数学的观点来研究无线维向量空间上的泛函,算子和极限理论,它可以看作无线维向量空间的解析几何和数学分析。其中线性泛函分析是发展较成熟的部分,主要包括抽象空间理论,线性算子理论、线性泛函分析的“四大定理”和广义函数理论。 1.1 抽象空间理论 抽象空间理论是对一般有限维向量空间的推广,以集合的为基础。度量空间,在数学中是指一个集合,并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。距离是一个抽象的概念,在一集合中,只需满足正定性、对称性及三角不等式这三条性质,即称为一个距离。定义了线性运算(加法和数乘)的集合为线性空间,赋范空间是定义了范数的线性空间,泛函中的收敛性与范数有关。进而,若赋范线性空间按范数所成的度量空间是完备的,此即完备赋范线性空间,即巴拿赫(Banach)空间。在巴拿赫空间中,相当部分的研究涉及其共轭空间,即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。内积空间是定义了内积运算的线性空间。完备的赋范内积空间,称为希尔伯特(Hilbert)空间,Hilbert空间具有良好的性质。 1.2 线性算子理论 最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子,称作线性算子。如果像空间是拓扑线性空间所在的数域,那么这样的算子成为线性泛函。几个重要的线性算子:距离空间上的连续映射(算子),巴拿赫空间上的线性算子与线性泛函,共轭算子希尔伯特空间上的线性泛函与自共轭算子。 1.3 线性泛函分析的“四大定理” Hahn-Banach泛函延拓定理,该定理研究了如何讲一个算子保范数的从一个子空间延拓到整个空间;共鸣定理(一致有界定理),该定理描述一族有界算子的性质;逆算子定理描述的是两个Banach空间之间相互的算子都是线性有界的;闭图像定理是通过图像定义的闭算子和闭集,说明算子的有界性。 1.4 广义函数 广义函数是某个指定空间上的线性连续泛函。古典函数在描述物理问题中(如在原点放置一个单位质量的质点,求证过数轴上的质量分布线密度)和偏微分方程的求解中存在局限性,因此产生了Dirac函数和偏微分方程的广义解,这都是广义函数的产物。广义函数是古典函数的推广,它的出现从根本上改变了函数概念。如果定义在各点的函数只是一些物理量的近似描述,则广义函数就成为描述很多物理现象的更自然的工具,推动了科学研究的进展。 二、泛函分析在地球物理勘探中的应用 2.1基于工程地震模型的反演理论中的泛函分析 在薄储集层地质条件下,由于地震频带宽度的限制,基于普通地震分辨率的直接反演方法,其精度和分辨率都不能满足油田开发的要求。基于模型地震反演技术以测井资料丰富的高频信息和完整的低频成分补充地震有限带宽的不足,可获得高分辨率的地层波阻抗资料, 为薄层油(气)藏精细描述创造了有利条件。
最新泛函分析考试题集与答案
泛函分析复习题2012 1.在实数轴R 上,令p y x y x d ||),(-=,当p 为何值时,R 是度量 空间,p 为何值时,R 是赋范空间。 解:若R 是度量空间,所以R z y x ∈?,,,必须有: ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-,取1,0,1-===z y x , 有2112=+≤p p p ,所以,1≤p 若R 是赋范空间,p x x x d ||||||)0,(==,所以R k x ∈?,, 必须有:||||||||||x k kx ?=成立,即p p x k kx ||||||=,1=p , 当1≤p 时,若R 是度量空间,1=p 时,若R 是赋范空间。 2.若),(d X 是度量空间,则)1,m in(1d d =,d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解:由于),(d X 是度量空间,所以X z y x ∈?,,有: 1)0),(≥y x d ,因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d , 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立,于是y x =成立 2)),(),(y x d x y d =, 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤,因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(,0)1(1)(2 >+='x x f ,所以)(x f 单增, 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件, 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
(完整版)泛函分析第6章广义函数与Sobolev空间简介
第六章 广义函数与Sobolev 空间简介 函数是经典分析中的基本概念之一,然而这样的一个基本概念,在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。下面用几个例子加以说明。 例6.1(脉冲) 20世纪初,Heaviside 在解电路方程时,提出了一种运算方法,称之为算子演算。这套算法要求对如下函数 10 ()00x h x x ?≥?=? ? 求导数,并把导数记为()x δ。但按照经典分析的理论,()h x 并不可导,因此()x δ不可能是普通意义下的函数,它除了作为一个记号进行形式演算外,在数学上是没有意义的。但是,这个()x δ在实际中是没有意义的,又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。 例6.2(Dirac 符号) 在微观世界中,把可观测到物质的状态用波函数来描述,最简单的波函数具有形式((,))i x e x λ∈-∞+∞,λ是实参数,并考虑如下形式的积分 12i x e dx λπ +∞ -∞ ? 这种积分按Cauchy 积分来定义,即 111sin lim lim 22n i x i x n n n n e dx e dx λλλ πππλ +∞+-∞-→∞→∞==?? 显然,这个极限在普通意义下不存在。然而,物理学家认为这个极限是前面所提到的 ()x δ,并认为是Dirac 符号。特别,在量子力学中,进一步发展了不少关于()x δ的运算法则,并广泛地使用。 例 6.3(广义微分) 在数学本身的发展中,也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。20世纪30年代,Sobolev 为了确定微分方程的存在性和惟一性问题,通过分部积分公式,推广了函数可微性的概念,建立了广义微商理论,形成了以他的名字命名的Sobolev 空间理论。这标志着现代微分方程理论的诞生。 基于上述原因,扩充函数概念,为广义函数寻找坚实的数学基础,对数学家提出了新的挑战。20世纪40年代,Schwartz 完成了这一艰巨的任务,创立了广义函数的系统理论,并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。 6.1 基本函数空间与广义函数 6.1.1基本函数空间 把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。广义函数正是定义在一类性质很好的函数空间上的线性泛函。这类函数空间称为基本函数空间。 在引进基本函数空间之前,先介绍一些记号和术语。 对于欧氏空间12,(,,,)n n R x x x x =L 表示n R 中的点,范数1 22 2212()n x x x x =+++L 。设 12,,,n p p p L 为n 个非负整数,有序数组12(,,,)n p p p p =L 称为多重指标。
数学物理方程第九章 广义函数
(20141217)第九章 广义函数 一、定义 引入定义前的准备 支集:若f 是定义在R n 上的函数,我们称所有满足()0f x ≠的点x 的闭包(此处可简单将其理解为集合)为f 的支集,即这些使f 非零的点支撑起了f 。f 的支集记为 supp()f 。若supp()f E ?,我们就说f 被E 支起。 测试函数集:若维度n 给定时,定义在R n 上的函数任意阶可(偏)导且连续,同时由这些函数所构成的函数空间的支集(即满足让这些函数非零的点所构成的集合)是R n 的 有界子集,我们就称这些函数空间(函数所构成的集合)为测试函数集,并记为0 (R )n C ∞ ,且其中的每个元素都称作测试函数。 广义函数的定义 广义函数(分布):是在对应法则F 下从集合0(R )n C ∞ 到集合C 的映射,且满足条件 (1)线性:对120,C φφ∞ ?∈和12,C c c ?∈都有 [][][]11221122F c c c F c F φφφφ+=+ (2)连续性:若{}k φ是0 (R )n C ∞ 中的一个序列(即{}k φ是测试函数集的子集),且对所有k 而言,其支集都包含于一个固定的有界集合D 中,且假定当k →∞时,函数k φ及其所有的偏导数k αφ?都一致收敛于0,此时则有[]0k F φ→。 广义函数[]F φ的表示式为 []()()d F F φφ=?x x x 其中 120(,,,), ()n x x x C φ∞=∈x x K 另外,每个局部可积的函数都可以视为广义函数。最简单的广义函数是Dirac delta 函数 δ,其定义为 []()()d ()δφδφφ==?x x x 0 此处的0为0向量。
泛函分析答案
泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中,求证:为了子集A是列紧的,其充分必要条件是对?ε > 0,存在A的列紧的ε网. 证明:(1) 若子集A是列紧的,由Hausdorff定理, ?ε > 0,存在A的有限ε网N. 而有限集是列紧的,故存在A的列紧的ε网N. (2) 若?ε > 0,存在A的列紧的ε/2网B. 因B列紧,由Hausdorff定理,存在B的有限ε/2网C. 因C ?B ?A,故C为A的有限ε网. 因空间是完备的,再用Hausdorff定理,知A是列紧的. 1.3.2 在度量空间中,求证:紧集上的连续函数必是有界的,并且能达到它的上、下确界. 证明:设(X, ρ)是度量空间,D是紧子集,f : D→ 是连续函数. (1) 若f无上界,则?n∈ +,存在x n∈D,使得f (x n) > 1/n. 因D是紧集,故D是自列紧的. 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞). 由f的连续性,f (x n(k))→f (x0) (k→∞). 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞), 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞),矛盾. 故f有上界.同理,故f有下界. (2) 设M = sup x∈D f(x),则?n∈ +,存在y n∈D,使得f (y n) > M- 1/n. {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞). 因此f ( y0 ) ≥M. 而根据M的定义,又有f ( y0 ) ≤M. 所以f ( y0 ) = M.因此f能达到它的上确界. 同理,f能达到它的下确界. 1.3.3 在度量空间中,求证:完全有界的集合是有界的,并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1,其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1,其余都是0 ),来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的. 证明:(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集. 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }. 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1. 则?x∈A,存在某个j使得0 ≤j≤n,且ρ(x, x j) < 1. 因此,ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R. 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集. (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j ), 故E中任意点列都不是Cauchy列. 所以,E中任意点列都没有收敛子列(否则,该收敛子列就是Cauchy列,矛盾).
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(广义重积分)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解 第22章广义重积分 22.1复习笔记 一、无界集上的广义重积分 1.无界集上的广义重积分的定义 (1)定义 假设 ①D是边界为(二维)零集的无界集; ②f(x,y)于D上几乎处处连续且f(x,y)于D的任一有界子集上保持有界, 则定义广义二重积分为 特别约定,这里的D R使常义积分存在,即若某D R,使不存在,则放弃这个D R. (2)敛散性 若 等式右端极限存在且有限,则称广义二重积分收敛,反之,称为发散. 2.非负函数的广义二重积分
(1)设f(x,y)≥0且满足条件 ①D是边界为(二维)零集的无界集; ②f(x,y)于D上几乎处处连续且f(x,y)于D的任一有界子集上保持有界,若存在一串 使得极限 存在且有限,则广义重积分必收敛,且 3.绝对可积(收敛)性 (1)绝对收敛 若积分与同时收敛,则称积分绝对收敛(或绝对可积). (2)条件收敛 若积分收敛但绝对值积分发散,则称积分为条件收敛(或条件可积).(3)结论 当函数f非负时,可积必绝对可积. (4)定理 设f(x,y)满足条件 ①D是边界为(二维)零集的无界集; ②f(x,y)于D上几乎处处连续且f(x,y)于D的任一有界子集上保持有界,
则广义积分收敛必绝对收敛. 二、无界函数的重积分 1.无界函数积分的定义 (1)定义 设D为有界集,它的边界是(二维)零集,f(x,y)于集D上是几乎处处连续的 且有惟一奇点,即f于点P无界.又设,f于有界. 表示在δ邻域中,以点P为内点的集,并要求积分存在.定义无界函数的广义二重积分为 (2)敛散性 若 右端极限存在且有限,则称收敛(或称可积),反之称为发散(不可积).2.无界函数积分定理 (1)设D为有界集,它的边界是(二维)零集,f(x,y)于集D上是几乎处处 连续的且有惟一奇点,即f于点P无界.又设,f于有 界.表示在δ邻域中,以点P为内点的集,并要求积分存在.又设f非负,
泛函分析第七章 习题解答125
第七章习题解答 1.设(X ,d )为一度量空间,令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ? 解不一定。例如离散空间(X ,d )。)1,(0x U ={0x },而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时,)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体,定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明(1)若),(g f d =0,则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0,即f=g (2))()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d (f ,g )+d (g ,h ) 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3. 设B 是度量空间X 中的闭集,证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ,而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集:设n o x ∈0,则存在B x ∈1,使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ,这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ,有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ,因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集,必有B x ∈,所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d (x ,y )为空间X 上的距离,证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明(1)若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ,必有x=y (2)因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数,于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
广义函数和Sobolev空间的一些性质综述
广义函数和Sobolev空间的一些性质综述广义函数和Sobolev空间是近代分析的重要概念,其研究的逐步深入对于近代数学各个分支的发展均起到了极其重要的作用。随着研究的深入,广义函数由最开始的被物理学家以不严密形式表示,到后来的说明线性双曲型方程哥西问题的解唯一性问题,再到后来用线性拓扑空间理论作为基础,得到了一系列的重要而具有深远意义的结论。与此同时,sobolev空间的研究也取得了实质性的发展,其各种推广、嵌入定理、迹定理及各种插值公式已经成为偏微分方程理论必不可少的工具。本文就广义函数和sobolev空间的性质及其应用以lax-milgram定理的研究为例展开讨论。这是一篇读书报告,主要取材于[1]-[3]. 关键词:广义函数,sobolev空间,lax-milgram定理 广义函数和Sobolev空间的一些性质综述 第一章引言 广义函数和Sobolev空间是近代分析的重要概念,它们的发展也直接促进了偏微分方程的研究。本文将就广义函数和Sobolev空间进行综述,介绍一些基本性质及其应用。 1.1关于广义函数 目前,在各个不同的数学分支的发展中,广义函数均得到日益广泛的传播,而以不严密形式来表示的广义函数,实际上早已为物理学家所采用。 J.Hadamant由于研究波动方程的基本解,曾经探讨发散的积分。他的很多工作和M.Ricsz的一些工作都对广义函数理论的形成起了极其重要的作用。 1936年,索伯列夫首先引入广义函数,以一种明确而又是目前广泛采用的形式,说明了线性双曲型方程哥西问题的解唯一性问题。 另一方面,有另一些数学理论的发展也与广义函数理论也有紧密的联系,例如按幂式增长函数的傅里叶变换的C.Bochner理论。这些傅里叶变换实际上也是广义函数。在C.Bochner的理论中,这些广义函数的出现是为了表示连续函数的形式上的导数。 在1950至1951年间,随着L.Schwartz的专著“分布函数理论”的出版,广义函数理论更加系统化。在这本书中,L.Schwartz把以前的种种方法统一起来,
泛函分析 曹广福版答案
21.试在2([1,1])L -中将函数231,,,,t t t L 进行正交化. 解: 根据Schmidt 正交化过程, 可取 0()1u t =, 01000(,)()()(,) t u u t t u t u u =- 1111 1111t dt t t dt --?=- =??? ; 2 2 2 102101100(,)(,)()()()(,) (,) t u t u u t t u t u t u u u u =- - 112 2 2 111 1 1 1 1111t tdt t dt t t t tdt dt ----??=- -??? ? ? ? 2 13 t =- ; L L 再单位化可得 000()()|||| u t e t u = = = ; 111()()|||| 2 u t e t u = = = ; 2 22221()1()|||| 43t u t e t t u - ? = = = -??? ; L L . 解二: 引入如下形式的Legendre 正交多项式: 2 1,0, ()(1),1,2,. k k k k k u t d t k dt =?? =?-=??L 我们断言{}0()k k u t ∞ =是2 ([1,1])L -中由2 3 1,,,,t t t L 直交 化所得到的直交函数列。 首先我们断言{}0()k k u t ∞ =是直交的. 事实上, 不失一 般性, 可设l k ≥. (i) 如果0k =, 显然有 1 001((),())2u t u t dt -= =?; 而对于1,2,l =L 1 201 ((),())(1)l l l l d u t u t t dt dt -= -? 1 12 1 1 (1) 0l l l d t dt ---= -=. (ii) 对于1k ≥, 根据定积分的分部积分法,可以得到 1 221 ((),())(1)(1)k l k l k l k l d d u t u t t t dt dt dt -= -? -? 1 12 21 1 (1)(1)k l k l k l d d t d t dt dt ---= -?-? 1 1221 1 (1) (1) l k l k l k d d t t dt dt ---=-- 1 1221 1 (1)(1)l k l k l k d d t d t dt dt -----?-? 1 222 222 2 1 (1) (1)(1)l k l k l k d d t t dt dt dt -+-+-=--? -? =L 1 221 (1) (1)(1)k l l l k k l d t t dt dt ++-=--? -? , (*) 当l k =时, 2222(1)(1)(2)!k l k k k k l k d d t t k dt dt ++-= -=, 因此 ((),())((),())k l k k u t u t u t u t = 12 1 (1) (1)(2)!k k t k dt -=--?? 1 20 (1)2(2)!(1)k k k t dt =--? /2 20 2(2)! (1sin )sin k k s d s π=-? /2 21 2(2)! cos k k sds π+=?
应用泛函分析习题解答
1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3.设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列,证明}{k x 有界,即∞