高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

一、选择题

1. 已知△ABC 中，a ＝c ＝2，A ＝30°，则b ＝( ) A. 3 B. 23 C. 3 3

D. 3＋1

答案：B

解析：∵a ＝c ＝2，∴A ＝C ＝30°，∴B ＝120°. 由余弦定理可得b ＝2 3.

2. △ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝2

2

，则符合条件的三角形有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个

D. 0个

答案：B 解析：∵a sin B ＝

10

2

， ∴a sin B

3．(2010·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

答案：A

解析：利用正弦定理，sin C ＝23sin B 可化为c ＝23b . 又∵a 2－b 2＝3bc ，

∴a 2－b 2＝3b ×23b ＝6b 2，即a 2＝7b 2，a ＝7b . 在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc

＝b 2＋(23b )2－(7b )22b ×23b ＝32，

∴A ＝30°.

4．(2010·湖南卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )

A ．a >b

B ．a

C ．a ＝b

D ．a 与b 的大小关系不能

确定

答案：A

解析：由正弦定理，得c sin120°＝a

sin A ，

∴sin A ＝a ·322a

＝64>1

2.

∴A >30°.∴B ＝180°－120°－A <30°.∴a >b .

5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A. 5

18 B. 34 C. 32

D. 78

答案：D

解析：方法一：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ， ∴腰长为2a ，由余弦定理知cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a ＝7

8.

方法二：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，

则AC ＝2a ，CD ＝a 2，∴sin α2＝1

4，

∴cos α＝1－2sin 2α

2

＝1－2×116＝7

8

.

6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )

A. 3

2

B. 34

C.

3

2

或 3

D. 32或34

答案：D

解析：∵sin C 3＝sin B

1，

∴sin C ＝3·sin30°＝

3

2

. ∴C ＝60°或C ＝120°.

当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12×1×3＝32，

当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×1×3sin30°＝3

4.

即△ABC 的面积为32或34

. 二、填空题

7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π

3，则a ＝________.

答案：1

解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，即1

sin B ＝

3sin 2π3

，sin B ＝1

2. 又b

6

.∴a ＝1.

8．(2010·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．

答案：π

6

解析：∵sin B ＋cos B ＝2， ∴sin(B ＋π

4)＝1.

又0

4

.

由正弦定理，知2sin A ＝2sin B ，∴sin A ＝1

2.

又a

6

.

9. (2010·课标全国卷)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1

2DC ，∠ADB ＝120°，AD

＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________.

答案：60°

解析：S △ADC ＝12×2×DC ×3

2＝3－3，

解得DC ＝2(3－1)，

∴BD ＝3－1，BC ＝3(3－1)．

在△ABD 中，AB 2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos120°＝6， ∴AB ＝ 6.

在△ACD 中，AC 2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos60°＝24－123， ∴AC ＝6(3－1)，

则cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC

＝

6＋24－123－9(4－23)2×6×6×(3－1)

＝1

2， ∴∠BAC ＝60°. 三、解答题

10. 如图，△OAB 是等边三角形，∠AOC ＝45°，OC ＝2，A 、B 、C 三点共线．

(1)求sin ∠BOC 的值； (2)求线段BC 的长．

解：(1)∵△AOB 是等边三角形，∠AOC ＝45°， ∴∠BOC ＝45°＋60°， ∴sin ∠BOC ＝sin(45°＋60°) ＝sin45°cos60°＋cos45°sin60° ＝

2＋6

4

. (2)在△OBC 中，

OC sin ∠OBC ＝BC

sin ∠BOC ，

∴BC ＝sin ∠BOC ×OC

sin ∠OBC

＝

2＋64×2sin60°＝1＋3

3

. 11. (2010·全国Ⅱ卷)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC

＝3

5

，求AD .

解：由cos ∠ADC ＝35>0知B <π

2，

由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝4

5，

从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝45×1213－35×513＝33

65

. 由正弦定理得AD sin B ＝BD

sin ∠BAD ，

AD ＝BD ·sin B

sin ∠BAD

＝33×

5133365

＝25.

12. (2010·安徽卷)设△ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且sin 2A ＝sin ????π3＋B sin ???

?π

3－B ＋sin 2B . (1)求角A 的值；

(2)若AB →·AC →

＝12，a ＝27，求b ，c (其中b

?

?32cos B ＋12sin B

???

?32cos B －12sin B ＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34， 所以sin A ＝±3

2.

又A 为锐角，所以A ＝π

3

.

(2)由AB →·AC →＝12，可得cb cos A ＝12.① 由(1)知A ＝π

3

，所以cb ＝24.②

由余弦定理知a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，将a ＝27及①代入，得c 2＋b 2＝52，③ ③＋②×2，得(c ＋b )2＝100， 所以c ＋b ＝10.

因此c ，b 是一元二次方程t 2－10t ＋24＝0的两个根． 解此方程并由c >b 知c ＝6，b ＝4.