郭硕鸿《电动力学》课后答案

电动力学答案

第一章电磁现象的普遍规律

1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式：

B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??

A A A A )()(2

21??-?=???A

解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=??

B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c

B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=

（2）在（1）中令B A =得：

A A A A A A )(2)(2)(??+???=??，

所以 A A A A A A )()()(21??-??=???

即 A A A A )()(22

??-?=

???A

2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：

u u f u f ?=

?d d )( ， u u u d d )(A A ?

?=??， u

u u d d )(A

A ??=?? 证明：

（1）z y x z

u f y u f x u f u f e e e ??+??+??=

()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=

d d d d d d u u

f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ??+??+??=??)()()()(A z

u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d

u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (A

e e e e e e ??=??+??+???++=

（3）u

A u A u A z u y u x u u

u z y x z

y x d /d d /d d /d ///d d ??????=??e e e A

x y y z x x y z y

u u A x u u A x u u A z u u A z u

u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (

??-??+??-??+??-??=

z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])

()([??-??+??-??+??-??=

)(u A ??= 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=

为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为

从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：

r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。

（2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及

)]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

（1）证明：222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=

○

1 r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1(r e e e =-+-+-=? r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1('r e e e -=------=?

可见 r r '-?=? ○

2 3211d d 1r r r r r r r r -=?-=???

??=??? ???

32'1'1d d 1'r r r r r r r r =?-=???

??=??? ???

可见 ()()r r /1'/1-?=?

○

3 r r r r ??+??=??=??)/1()/1(])/1[()/(3

333r r r r 0301d d 43=?-=+????? ??=

r r

r r r r ○4 r r r r ??+??=??=??33

331)/1(])/1[()/(r

r r r 03

334=+?-=r

r r r r ， )0(≠r

（2）解：

○

13])'()'()'[()(=-+-+-???

+??+??=??z y x z y x z z y y x x z

y x e e e e e e r ○

2 0'

///=---??????=??z z y y x x z y

x z

y x

e e e r

○

3 ])'()'()')[(()(z y x z y x z z y y x x z a y a x a e e e r a -+-+-??

+??+??=?? a e e e =++=z z y y x x a a a

○

4 r a r a a r a r r a )()()()()(??+???+??+???=?? 因为，a 为常向量，所以，0=??a ， 0)(=??a r ，又0=??r ，a r a r a =??=??∴)()(

○

5 )]sin([)sin()()]sin([000r k E r k E r k E ???+???=??? 0E 为常向量，00=??E ，而k r k r k r k r k )cos()()cos()sin(?=???=??，

所以 )cos()]sin([00r k E k r k E ??=???

○

6 )]cos()]sin([)]sin([000r k E k E r k r k E ??=???=??? 4. 应用高斯定理证明

S f ?=????S

V d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明

??=??L

??l S d d

证明：（I ）设c 为任意非零常矢量，则

?????=???V

V V )]([d d f c f c

根据矢量分析公式 )()()(B A B A B A ???-???=???，令其中f A =，c B =，便得

c f c f c f c f ???=???-???=???)()()()(

所以 ??????=???=???V

V V V )(d )]([d d c f f c f c ?

??=S c f d )(

f S c f S c ????=??=d )d (

因为c 是任意非零常向量，所以

???=??f S f d d V

（II ）设a 为任意非零常向量，令a F ?=，代入斯托克斯公式，得

???=???l F S F S

d d （1）（1）式左边为：????+??=???S

S a a S a d ][d )(???

?????-=???=S S

S a S a d d ?? ?????=???-=S

S ??S a S a d d

????=S

?S a d （2）

（1）式右边为：???=?l a l a d d ?? （3）所以 ???=???l a S a d d ??S

（4）

因为a 为任意非零常向量，所以

??=??l S d d ??S

5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V

x x p ?

ρ，利用电荷守恒定律

0=??+

??t ρJ 证明p 的变化率为：?=V V t t

d ),'(d d x J p

证明：方法（I ）

????

==V V V t t V t t t 'd ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p ρρ????-=??=V V V V t

t '

d )'('d ),(x'J x'x'ρ

????-=???-=?V V V 'x V t

'd )'('d )'(d d 1111J e 'x J e p

'd ])'()('[11V 'x 'x V J J ??+?-?=?

??+?-=V

x S

V J 'x 'd 'd 1S J 1

因为封闭曲面S 为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故

0'd 1=??S 'x S J ，

?=?V x V J t

'd d d 11e p

同理 ?=?V x V J t 'd d d 22e p ， ?=?V x V J t

'd d d 33e p

所以 ?=V

V t 'd d d J p

方法（II ）

????

==V V V t t V t t t 'd ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p ρρ????-=??=V V V V t

t 'd )'('d ),(x'J x'x'ρ

根据并矢的散度公式g f g f fg )()()(??+??=??得： J x J x J x J Jx +??=??+??=??')(')(')()'( ??+??-=V V V V t

'd 'd )('d d J Jx'p

??+?-=V V 'd )'(d J Jx S ?=V V 'd J

6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R ）（R m A ?=

的旋度等于标量3/R R m ?=?的梯度的负值，即?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方

向由原点指向场点。

证明：3

/)/1r r r -=?（

])1

[()]1([)(

3m m r m A ????=???-?=???=??∴r r r m m m m ])1

[()]1([1)(1)(???-???-???+???=r r r r

m m ]1

[1)(2r

r ?-???=

其中 0)/1(2

=?r ，（0≠r ）

)(???=??∴m A ，（0≠r ）

又 )]1

([)(3r

r ??-?=??=?m r m ?

m m m m ])1

[()1)(()()1()]1([???-???-????-????-=r r r r

)((r

???-=m

所以，当0≠r 时，?-?=??A

7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静

止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。

解：（1）设场点到球心距离为r 。以球心为中心，以r 为半径作一球面作为高斯面。

由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r 处场强大小相同。

当1r r <时，01=D ， 01=E 。

当21r r r <<时， f r r D r ρππ)(3

431322

31323)(r

r r D f

ρ-=∴ ， 23

1323)(r r r E f ερ-= ，向量式为 r E 3

1323)(r

r r f

ερ-= 当2r r >时， f r r D r ρππ)(3

44313232

13233)(r r r D f

ρ-=

∴ 20313233)(r r r E f ερ-= 向量式为 r E 3

13233)(r

r r f

ερ-=

（2）当21r r r <<时，

)()(20

2202D D E D P ε

εερ-

?-?=-?-?=?-?=p f ρε

εε)1()1(020--=??-

-=D 当1r r =时，

0)1()()(1

2020212=--=-

?-=-?-==r r p D D D n P P n ε

εεσ

当2r r =时，

f r r p r r r ρεεε

σ2

13202

023)1()1(2

--=-=?==D P n 8. 内外半径分别为1r 和2r 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流f J ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。

解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半

径为r 。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。当 1r r < 时，由安培环路定理得：0,011==B H

当 21r r r << 时，由环路定理得：)(22

122r r J rH f -=ππ

所以 r

r r J H f 2)

(2122-=

， f J r r r B 2)

(2122-=

向量式为 r J e B ?-=-=f f r

r r J r r r 2

21221222)

(?2)(μμθ 当 2r r > 时，)

(22

1223r r J rH f -=ππ

所以 r

r r J H f 2)

(21223-=

， f J r r r B 2)

(212203-=

向量式为 r J e B ?-=-=

f f r r r J r r r 2

212202122032)

(?2)(μμθ （2）当 21r r r << 时，磁化强度为

r J H M ?--=-=f r r r 2

2120202)()1()1(μμ

μμ

所以 f M J H H M J )1()1(])1[(0

2020-=??-=-??=??=μμ

μμμμ 在 1r r = 处，磁化面电流密度为

?=?=

0d 21

l M r M πα 在 2r r = 处，磁化面电流密度为

?---=?-=f M

J r r r r 22

2122022)()1(d 210μμ

παl M 向量式为 f M

r r r J α2

2212202)()1(---=μμ

11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，电容率为1ε和2ε，今在两板

接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度1f ω和2f ω；（2）介质分界面上的自由电荷面密度3f ω。(若介质是漏电的，电导率分别为1σ和2σ 当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？)

解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为1E 和2E ，电位移分别设为1D 和2D ，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为

03=f ω

取高斯柱面，使其一端在极板A 内，另一端在介质1内，由高斯定理得：

11f D ω= 同理，在极板B 内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：

22f D ω-= 在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：

21D D = 所以有 111εωf E =

， 2

2εωf E =

由于

E )(d 2

2111221111εεωεωεωl

l l l l E f f f +=+=?=?

所以 =-=21f f ωω E

)(2

εεl l +

当介质漏电时，重复上述步骤，可得：

11f D ω=， 22f D ω-=， 312f D D ω=-

213f f f ωωω--=∴

介质1中电流密度 111111111//εωσεσσf ===D E J

介质2中电流密度 2312222222/)(/εωωσεσσf f +===D E J

由于电流恒定，21J J =，

2312111/)(/εωωσεωσf f f +=∴

21212211223)1()(f f f ωεσσεωεσεσσεω-=-=

∴

再由 E 2

1l E l

E d +=?=

?l E 得

E )(22

1111122112111l l l f f f σσ

εωεσεωσεεω+=+=

221111/σσεωl l f +=∴ E 2

1121

2l l σσεσ+=E

)(312f f f ωωω+-=2

1122

1l l σσεσ+-=E

1121

13l l f σσεσεσω+-=E 13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。证明：（1）设导体外表面处电场强度为E ，其方向与法线之间夹角为θ，则其切向分量

为θsin E 。在静电情况下，导体内部场强处处为零，由于在分界面上E 的切向分量连续，所以

0sin =θE

因此 0=θ

即E 只有法向分量，电场线与导体表面垂直。

（2）在恒定电流情况下，设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为α，则电流密度E J σ=与导体表面夹角也是α。导体外的电流密度0='J ，由于在分界面上电流密度的法向分量连续，所以

0sin =ασE

因此 0=α

即J 只有切向分量，从而E 只有切向分量，电场线与导体表面平行。

14.内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f λ，板间填充电导率为σ的非磁性物质。

（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。（2）求f λ随时间的衰减规律。

（3）求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度。

（4）求长度l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。解：（1）以电容器轴线为轴作一圆柱形高斯面，其半径为r ，长度为L ，其中

b r a <<

则由高斯定理得： L D rL f ?=?λπ2 （1）

所以 r D f πλ2= ， t

r J f

D ??=λπ21 （2）

再由电流连续性方程得：)/(/2t L t q J rL f f ??-=?-?=?λπ （3）

所以 D f

f J t

r J -=??-

=λπ21 （4）即f J 与D J 严格抵消，因此内部无磁场。

（2）由 E J σ=f 得： r D J f

f λπεσεσ?==2 （5）

联立（2）（4）（5）得0d d =+f f t λε

λ （6）所以 0d d =+t f f ε

λλ

f Ce

λ-= （7）

设初始条件为 00

f t f λλ==，则由（7）式得0f C λ=

所以，t

f f e

σλλ-=0 （8）

（3） 2

2???

? ???==r E p f πελσσ （9）

（4）将上式在长度为l 的一段介质内积分，得

??=?????

???=???? ???=V

b a f f f a b l r rl r V r P ln 2d 22d 2222

2πεσλππελσπελσ （10）

由 2

21E w ε= 得：

a b l r rl r V w W f b a f V ln 4d 2221d 2122

πελππελε=????

??==??

所以 t

a b l t W f

f d d ln 2d d λπελ?= （11）由（6）（10）（11）得：t

P d d -=

即总的能量耗散功率等于这段介质的静电能减少率。

第二章静电场

1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2

/r K r P =，电容率为ε。

（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；

（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。

解：（1）P ?-?=p ρ2

222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=??+??-=??-=r r r

)(12P P n -?-=p σR K R r r /=?==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内

200)/()/(r K f εεεεεερ-=-??=??=P D 内

（3）)/(/0εεε-==P D E 内内

r r f

r KR

r V

e e D E 2

002

)(4d εεεεπερε-=

?外

外

)(d 00εεεε?-=

?=?∞r E 外外

)(ln d d 0

0εε

εε?+-=

?+?=??∞r R K R

R r

r E r E 外内内

（4）???∞-+

-=?=R R r r

r R K r r r K V W 4

2200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 2

0))(1(2εεεεπε-+=K R

2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）

导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ；（2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为

极轴，球心为原点建立球坐标系。

当0R R >时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为

∑++

n n n

n n P R b R a )(cos )(1

θ? 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θ?θ??RP E R E -=-→

所以 00?=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n

当 0R R →时，0Φ→?

所以 010

1000)(cos )(cos Φ=+-∑+n n

n n

P R b P R E θθ? 即： 002010000/,/R E R b R b =Φ=+?

所以 )

2(,0,),

010000≥==-Φ=n b R E b R b n ?

?≤Φ>+-Φ+-=)()

(/cos /)(cos 00

0000000R R R R R R E R R R E θ?θ??

（2）设球体待定电势为0Φ，同理可得

?≤Φ>+-Φ+-=)()

(/cos /)(cos 00

0000000R R R R R R E R R R E θ?θ??

当 0R R →时，由题意，金属球带电量Q

φθθθ?θε?εd d sin )cos 2cos (d 2

000

00000

R E R E S n

Q R R ??+-Φ+

=??-== )(40000?πε-Φ=R

所以 00004/)(R Q πε?=-Φ

???≤+>++-=)(4/)(cos )/(4/cos 000

023

00000R R R Q R R R R E R Q R E πε?θπεθ??

3. 均匀介质球的中心置一点电荷f Q ，球的电容率为ε，球外为真空，试用分离变量法求

空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷f Q 的电势R Q f πε4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。解：（一）分离变量法

空间各点的电势是点电荷f Q 的电势R Q f πε4/与球面上的极化电荷所产生的电势

的迭加。设极化电荷产生的电势为?'，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形式为：

）（）（内θ?cos 1

n n

n n P R b R a ∑++

=' ）

（）（外θ?cos 1n n

n n n n P R d

R c ∑++=' 当∞→R 时，0→'外

?，0=∴n c 。当0→R 时，内

?'为有限，0=∴n b 。

所以）

（内

θ?cos n n

n n P R a ∑=' ，）（外θ?cos 1n

n n

P R

d ∑+=' 由于球对称性，电势只与R 有关，所以

)1(,0≥=n a n )1(,0≥=n d n

0a ='内

?， R d /0='外? 所以空间各点电势可写成R Q a f πε?40+=内

R Q R d f πε?40+=外

当0R R →时，由外内??= 得： 000/R d a = 由 n n

??=??外

内?ε?ε

得：20

002002044R d R Q R Q f f

επεεπ+=，)1

1(400εεπ-=f Q d 则 )11(

4000εεπ-=

R Q a f

所以）

（内εεππε?1

14400-+=R Q R Q f f ）（外εεππε?1

1440-+=R Q R Q f f R

Q f 04πε=

（二）应用高斯定理

在球外，R>R 0 ，由高斯定理得：f p f Q Q Q Q d =+==??

总外s E 0ε，（整个导体球的束缚电荷0=p Q ），所以 r f

R Q e E 2

04πε=

外，积分后得：

R Q dR R

Q d f

R R f 02

044πεπε???∞∞

==?=R E 外外在球内，R

s E 内ε，所以

r f R

Q e E 2

4πε=

内，积分后得：

Q R Q R

Q d d f f f R R R

4440

0πεπεπε?+

?+?=??∞

R E R E 外内内结果相同。

4. 均匀介质球（电容率为1ε）的中心置一自由电偶极子f p ，球外充满了另一种介质（电

容率为2ε），求空间各点的电势和极化电荷分布。

解：以球心为原点，f p 的方向为极轴方向建立球坐标系。空间各点的电势可分为三种电

荷的贡献，即球心处自由电偶极子、极化电偶极子及球面上的极化面电荷三部分的贡献，其中电偶极子产生的总电势为3

14/R f πεR p ?。所以球内电势可写成：

314/'R f i i πε??R p ?+=；球外电势可写成：31o o 4/'R f πε??R p ?+=

其中i '?和o '?为球面的极化面电荷激发的电势，满足拉普拉斯方程。由于对称性，

i '?和o '?均与φ无关。考虑到0→R 时i '?为有限值；∞→R 时0'o →?，故拉普

拉斯方程的解为：

)(cos 0R R P R a n n

n n i ≤='∑）

（θ? )(cos 01o

R R P R

b n

n n n

≥='∑+）（θ? 由此 )(cos 4/031R R P R a R n n

n f i ≤+?=∑）

（θπε?R p （1） )(cos 4/013

1o R R P R b R n n n

n f ≥+?=+-∑）

（）

（θπε?R p （2）边界条件为：0

R R R R i

===?? （3）

o 2

R R R R i

==??=???ε?ε （4）

将（1）（2）代入（3）和（4），然后比较)cos θ（n P 的系数，可得：

)1(0

,0≠==n b a n n

211211)2(2/)(R p a f εεπεεε+-= )2(2/)(211213

011εεπεεε+-==f p R a b

于是得到所求的解为：

)()2(2)

(4)2(2cos )(403

021121313

211213

1R R R R R R p R

f f f f i ≤?+-+?=+-+

R p R

p R p εεπεεεπεεεπεθ

εεπε?

)

()2(43)2(2)(4)2(2cos )(403

213

211213122112131o R R R R R R p R f f f f f ≥+?=

?+-+

?=+-+?=εεπεεπεεεπεεεπεθεεπε?R p R p R p R p 在均匀介质内部，只在自由电荷不为零的地方，极化电荷才不为零，所以在球体内部，只有球心处存在极化电荷。

p ρεεεε

εεεεερ)1/()1(][])[(101010101-=??-=-?-?=-?-?=?-?=D D E P

所以 f p p p )1/(10-=εε

在两介质交界面上，极化电荷面密度为

020121)()()(E e E e p p e ?--?-=-?=r i r r p εεεεσ

o 0201)

()

(R R i R

??-+??--=?εε?εε

由于0

o 2

R R i R

??=???ε?ε，所以

θεεπεεεε??εσcos )2(2)(3)(

211210o

00R p R R f R i p +-=??-??= 5. 空心导体球壳的内外半径为1R 和2R ，球中心置一偶极子p 球壳上带电Q ，求空间各点的电势和电荷分布。

解：以球心为原点，以p 的方向为极轴方向建立球坐标系。在1R R <及2R R >两均匀区域，电势满足拉普拉斯方程。通解形式均为

）（）（θcos 1

n n

n n P R b R a ∑

++ 当∞→R 时，电势趋于零，所以2R R >时,电势可写为

）

（θ?cos 1o n n

n n P R b

∑+= (1) 当0→R 时，电势应趋于偶极子p 激发的电势：

20304/cos 4/R p R f πεθπε=?R p

所以1R R <时，电势可写为

）（θπεθ

?cos 4cos 2

0n n

n n i P R a R p ∑+=

(2) 设球壳的电势为s ?,则

s n n n n R P R b

?θ?==∑+）（cos 12

o 2

(3)

s n n

n n R i

P R a R p ?θπεθ?=+=∑）

（cos 4/cos 12101

(4)

由(3)得： 20R b s ?= ；)0(0

≠=n b n

由(4)得： s a ?=0 ；3

1014/R p a πε-= ；)1,0(0

≠=n a n

所以

R R s /2o ??=

(5)

10204/cos 4/cos R pR R p s i πεθ?πεθ?-+=

(6)

再由 Q R R

R s S

==????

2220o 0

4d π?ε?εS 得： 204/R Q s πε?= (7)

将(7)代入(5)(6)得：

R Q 0o 4/πε?= )(2R R >

)(414cos 44cos 31

2303102020R R Q R R pR R Q R p i R p R p ?-+?=-+=πεπεθπεπεθ?

在2R R =处，电荷分布为：

R Q

R D R n π?εσ=

??-== 在1R R =处，电荷分布为：

4cos 3'1

R p R

D R i n πθ

?εσ-

=??=-=

7. 在一很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体，使其中流着均匀的电流J f 0。今在液体

中置入一个电导率为1σ的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨论21σσ>>及

12σσ>>两种情况的电流分布的特点。

解：本题虽然不是静电问题，但当电流达到稳定后，由于电流密度J f 0与电场强度E 0成正比（比例系数为电导率），所以E 0也是稳定的。这种电场也是无旋场，其电势也满足拉普拉斯方程，因而可以用静电场的方法求解。

(1)未放入小球时，电流密度J f 0是均匀的，由J f 002E σ=可知，稳恒电场E 0也是一个

均匀场。因此在未放入小球时电解液中的电势0?便是均匀电场E 0的电势。放入小球

后，以球心为原点，E 0的方向为极轴方向，建立球坐标系。为方便起见，以坐标原点为电势零点。在稳恒电流条件下，0/=??t ρ，所以：

0=??J

(1)

由(1)式可推出稳恒电流条件下的边界条件为:

0)(12=-?J J n (2) 设小球内的电势为1?，电解液中的电势为2?，则在交界面上有：

21R R ??= (3)

211

R R R R R R ==??=???

σ?σ (4) 将E J σ=及?-?=E 代入(1)，得：

0)(2=?-=??=???σσE J

可见?满足拉普拉斯方程

考虑到对称性及∞→R 时0E E →，球外电势的解可写成：

)(cos cos 012

2R R P R

b R J n

n n

f >+-

=∑

+）（θθσ? (5)

其中利用了020E J σ=f 。

考虑到0→R 时电势为有限值，球内电势的解可写成：

郭硕鸿《电动力学》课后答案

第 40 页电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 2 1??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??，所以 A A A A A A )()()(2 1 ??-??=??? 即 A A A A )()(2 2 1??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?=?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u u u d d )(A A ? ?=?? 证明：（1） z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2） z u A y u A x u A u z y x ??+ ??+??=??)()()()(A z u u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (e e e e e e ??=??+??+???++=

电动力学试题库十及其答案

简答题（每题5分，共15分）。 1．请写出达朗伯方程及其推迟势的解． 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3．请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质量的关系式。证明题（共15分）。当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足： 1 21 2εεθθ= t a n t a n ，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹角。（15分）四. 综合题（共55分）。 1．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，介电常数为1ε和 2ε，今在两板上接上电动势为U 的电池，若介质是漏电的，电导率分别为1 σ和2σ，当电流达到稳恒时，求电容器两板上的自由电荷面密度f ω和介质分界面上的自由电荷面密度f ω。（15分） 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分）

3．一对无限大平行的理想导体板，相距为d ，电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波型和相应的截止频率．（15分） 4．一把直尺相对于∑坐标系静止，直尺与x 轴夹角为θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化？（10分）二、简答题 1、达朗伯方程：2 2 022 1A A j c t μ??-=-? 222201c t ?ρ?ε??-=-? 推迟势的解：()()0 ,,, , ,44r r j x t x t c c A x t dV x t dV r r ρμμ?π π ?? ?? ''-- ? ?? ?? ? ''= =?? 2、由于电磁辐射的平均能流密度为222 3 2 0sin 32P S n c R θπε= ，正比于2 sin θ，反比于 2 R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。 3 、能量：2 m c W = ；动量：),,m iW P u ic P c μ?? == ??? ；能量、动量和静止质量的关系为：22 22 02 W P m c c -=- 三、证明：如图所示在分界面处，由边值关系可得：切线方向 12t t E E = （1）法线方向 12n n D D = （2） 1 ε

电动力学试题库十及其答案

电动力学试题库十及其答案简答题（每题5分，共15分）。 1 .请写出达朗伯方程及其推迟势的解. 2 .当您接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离与方向有关，这就是为什么？ 3. 请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量与静止质量的关系式。证明题（共15分）。当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足:史宜w,其中i与2分别为两种介质的介电常数，1与2分别为界面两tan 1 1 侧电力线与法线的火角。（15分）四、综合题（共55分）。 1. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分另U为11与12,介电常数为1与2,今在两板上接上电动势为U的电池，若介质就是漏电的，电导率分别为1与2，当电流达到稳包时，求电容器两板上的自由电荷面密度f与介质分界面上的自由电荷面密度f。（15分） 2. 介电常数为的均匀介质中有均匀场强为E。，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分） 3. 一对无限大平行的理想导体板，相距为d，电磁波沿平行丁板面的z轴方向传播,设波在x方向就是均匀的，求可能传播的波型与相应的截止频率.（15分）

电动力学试题库十及其答案 4.一把直尺相对丁坐标系静止，直尺与x轴火角为，今有一观察者以速度v 沿x轴运动，她瞧到直尺与x轴的火角' 有何变化? (10分)二、简答题r、 (2v) 1、达朗伯万程：A i 2A c t2 ，八v v 推退势的解：A x,t v,t v,t x,t —dV v 2、由于电磁辐射的平均能流密度为S32 2 c3R2 sin2音,正比于 sin2，反比于R2, 因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小与方向有关。 2 3、能量:W ：m。：. i u2c2 m 。 ,1 u2c2 v u,ic V iW …，一… P,—;能重、动重与静止 c 质量的关系为：P2W 2 c 2 2 m b c 三、证明：如图所示在分界面处，由边值关系可得切线方向法线万向 v v 又DE 由⑴得： E i sin i 由⑵(3)得： i E i cos E it D in E2t D2n E2sin i 2 E2 cos (5) 由⑷(5)两式可得：

(完整版)电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??A A A A )()(2 21??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )(， u u u d d )(A A ? ?=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明：

3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。（2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及 )]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。 4. 应用高斯定理证明 f S f ?=????S V V d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明??=??L S ??l S d d

5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V x x p ? = ρ，利用电荷守恒定律0=??+ ??t ρ J 证明p 的变化率为：?=V V t t d ),'(d d x J p 6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3 /R ）（R m A ?=的旋度等于标量3 /R R m ?=?的梯度的负值，即 ?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

电动力学复习总结电动力学复习总结答案

第二章静电场一、填空题 1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b r a ,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为。答案： 02a R ε 2、若一半径为R 的导体球外电势为3 002cos cos =-+E R E r r φθθ,0E 为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 . 答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-v v v r R E E e e r θθθ 3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是；介质分界面上电势的边值关系是和；有导体时的边值关系是和。答案： σφ εφσφεφεφφερφ-=??=-=??-??=- =?n c n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。答案：z y x e b e ax e axy ? ??+--22 5、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。答案：0n ? σε?=-? 6、均匀介质部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。答案： -（1- ε ε0 ） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1 ()() 8x x W dv dv r ρρπε''= ??v v 的适用于情形. 答案：全空间充满均匀介质 8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。答案： 3 4qR R πεv 9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生

的电势为等于 . 答案： 04q a πε 10、无电荷分布的空间电势极值.(填写“有”或“无”) 答案：无 11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。答案：唯一性定理, 求解区以外空间 12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。答案：零 13、一个外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。答案：212014() R q a R a a πε- 二、选择题 1、泊松方程ε ρ φ- =?2适用于 A.任何电场 B. 静电场; C. 静电场而且介质分区均匀; D.高频电场答案： C 2、下列标量函数中能描述无电荷区域静电势的是 A ．2363y x + B. 222532z y x -+ C. 32285z y x ++ D. 2237z x + 答案： B 3、真空中有两个静止的点电荷1q 和2q ，相距为a ，它们之间的相互作用能是 A ．a q q 0214πε B. a q q 0218πε C. a q q 0212πε D. a q q 02132πε 答案：A 4、线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ρφ21; B.E D ? ??21; C. ρφ D. E D ??? 答案：B 5、两个半径为12,R R ,124R R =带电量分别是12,q q ,且12q q =导体球相距为a(a>>12,R R ),将他们接触后又放回原处,系统的相互作用能变为原来的 A. 16,25倍 B. 1,倍 C. 1,4倍 D. 1 ,16倍答案： A

电动力学试题及其答案(3)

电动力学(C) 试卷班级姓名学号题号一二三四总分分数一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 ×r = 。 2、已知矢量A 和标量，则 )(A 。 3、一定频率ω的电磁波在导体内传播时，形式上引入导体的“复电容率”为。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的积分形式、、、。 6、电磁场的能流密度为 S = 。 7、欧姆定律的微分形式为。 8、相对论的基本原理为，。 9、事件A ( x 1 , y 1 , z 1 , t 1 ) 和事件B ( x 2 , y 2 , z 2 , t 2 ) 的间隔为 s 2 = 。

10、位移电流的表达式为。二、判断题（每题2分，共20分） 1、由j B 0 可知，周围电流不但对该点的磁感应强度有贡献，而且对该点磁感应强度的旋度有贡献。（） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波可以是横电波，也可以是横磁波。（） 4、任何相互作用都是以有限的速度传播的。（） 5、由0 j 可知，稳定电流场是无源场。。（） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时同地发生的，在其他任何惯性系中它们必同时发生。（） 7、平面电磁波的电矢量和磁矢量为同相位。（） 8、E 、D 、B 、H 四个物理量中只有E 、B 为描述场的基本物理量。（） 9、由于A B ，虽然矢势A 不同，但可以描述同一个磁场。（） 10、电磁波的亥姆霍兹方程022 E k E 适用于任何形式的电磁波。（）三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符的矢量性和微分性，证明 )cos()]sin([00r k E k r k E 式中r 为矢径，k 、0E 为常矢量。 2、已知平面电磁波的电场强度j t z c E E )sin(0 ，求证此平面电磁波的磁场强度为 i t z c c E B )sin(0 四、计算题（每题10分，共30分） 1、迅变场中，已知)(0t r k i e A A , ) (0t r k i e ，求电磁场的E 和B 。 2、一星球距地球5光年，它与地球保持相对静止，一个宇航员在一年

电动力学答案完整

1.7. 有一内外半径分别为 r 1 和 r 2 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止由电荷f ρ求 1 空间各点的电场； 2 极化体电荷和极化面电荷分布。解（1） f s D ds dV ρ→ ?=??，（r 2>r> r 1）即：()2 3 31 443 f D r r r π πρ?=- ∴()3 313 3f r r E r r ρε→ -= ，（r 2>r> r 1）由 ()33 210 43f f s Q E d s r r πρεε?= = -? ，（r> r 2） ∴()3 32 13 03f r r E r r ρε→ -= ，（r> r 2） r> r 1时， 0E = （2）()0 00 00 e P E E E εεεχεεεε-===- ∴ ()()()33310103 30033303p f f f f r r r P r r r r r εερεερρεεεεεερρεε??-?? -??=-??=--??=-??- ???????--=--=- （r 2>r> r 1） 12p n n P P σ=- 考虑外球壳时， r= r 2 ，n 从介质 1 指向介质 2 （介质指向真空），P 2n =0 () () 2 3 333 1021103 3 2 133p n f f r r r r r r P r r r εσεερρεε=--??==-=- ??? 考虑内球壳时， r= r 1 () () 1 3 3103 03p f r r r r r r σεερε=-=--=

1.11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 l 1 和l 2，电容率为ε1和ε，今在两板接上电动势为 Ε 的电池，求（1）电容器两板上的自由电荷密度ωf （2）介质分界面上的自由电荷密度ωf 若介质是漏电的，电导率分别为 σ 1 和σ 2 当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向则11221211220(0) n n f l E l E E D D E E εεσ-=???-=-==??介质表面上故：211221 E E l l εεε= +，121221 E E l l εεε= + 又根据12n n f D D σ-=，（n 从介质1指向介质2）在上极板的交面上， 112f D D σ-= 2D 是金属板，故2D =0 即：11211221 f E D l l εεσεε==+ 而20f σ= 3 122f D D D σ'''=-=-，（1D '是下极板金属，故1D '=0） ∴31 121221 f f E l l εεσσεε=- =-+ 若是漏电，并有稳定电流时，由j E σ = 可得 1 11 j E σ= ， 2 22 j E σ= 又1 21 2121212,() n n j j l l E j j j j σσ?+=???===?稳定流动

电动力学试题库一及答案

福建师范大学物理与光电信息科技学院 20___ - 20___ 学年度学期____ 级物理教育专业《电动力学》试题（一）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟姓名______________________ 学号____________________ 一．判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分） 1．电磁场也是一种物质，因此它具有能量、动量，满足能量动量守恒定律。 ( ) 2．在静电情况，导体内无电荷分布，电荷只分布在表面上。（） 3．当光从光密介质中射入，那么在光密与光疏介质界面上就会产生全反射。

（） 4．在相对论中，间隔2S在任何惯性系都是不变的，也就是说两事件时间先后关系保持不变。（） 5．电磁波若要在一个宽为a，高为b的无穷长矩形波导管中传播，其角频率为 2 2 ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ≥ b n a m με π ω （）二．简答题。（每题5分，共15分） 1．写出麦克斯韦方程组，由此分析电场与磁场是否对称为什么 2．在稳恒电流情况下，有没有磁场存在若有磁场存在，磁场满足什么方程 3．请画出相对论的时空结构图，说明类空与类时的区别．

三．证明题。（共15分）从没有电荷、电流分布的麦克斯韦方程出发，推导真空中的E 、B 的波动方程。四．综合题。（共55分） 1．内外半径分别为1r 和2r 的无穷长空心导体圆柱，沿轴向流有稳恒均匀自由电流f j ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。（15分） 2．有一个很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体，使其中流着均匀的电流f j ，今在液体中置入一个电导率为1σ的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布。（分离变量法）（15分） 3．有带电粒子沿z 轴作简谐振动t i e z z ω-=0，设c z <<ω0，求它的辐射场E 、B 和能流S 。（13分） 4．一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时间差。该建筑

电动力学期末考试试卷及答案五

. . 20___ - 20___ 学年度学期 ____ 级物理教育专业《电动力学》试题（五）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟 ______________________ 学号____________________ 一．判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分） 1．库仑力3 04r r Q Q F πε '=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q 把作用力直接施于电荷Q '上。（） 2．电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。（） 3．电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为： t j ??=??/ρ 。（）

. . 4．在介质的界面两侧，电场强度E 切向分量连续，而磁感应强度B 法向分量连续。（） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为： 4 2022c m c P W += 。（）二．简答题（每题5分，共15分）。 1．如果0>??E ，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ，能流密度s 之间的关系。三．证明题（共15分）。

多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率 ω与它的静止角频率0ω的关系为：) cos 1(0 θγωωc v -= ，其中 122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。（15分）四. 综合题（共55分）。 1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求：（1）导体、外空间的B 、H ；（2）体磁化电流密度M j ；（15分）。 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔的电势和电场（分离变量法）。（15分） 3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前2 π 。求合成波的偏振。若合成波代表电场矢量，求磁场矢量B 以及能流密度平均值S 。（15分）

《电动力学(第二版)》(郭硕鸿)第二章习题

第二章习题 1. ε ε0 R (1) 2 2 323222323211r K r K r r K r K r r K r K r K r K P -=-?--=-?--=??-??? ? ???-=??? ????-=?-?=r r r r r P ρ ()2 P R K K R R σ∧ ∧ =?=?=r P R n r (2) E E P 0001εεεεχ??? ? ??-==e ()2 K r εε=ε= =ε-εε-ε00P r D E () 2r K f 0r D εεερ= ??-=??= (3) R r <<0 ()r K r E d r 2 2 4? ??-==?εεεπε0S D ()r K E 0εε-= R r > ()r K r E d R 2 2 04???-==?εεεπε0S D ()2 00r KR E εεεε-= ()()r KR dr r KR r out 002 00 εεεεεεεε?-=-=? ∞ ()()()()??? ? ??+??? ??-= ? ? ? ??-+-=-+-=??∞ 000000200ln ln εεεεεεεεεεεεεεεε?r R K r R K K dr r K dr r KR R R r in (4) ()()()()2 000202002 0200202 02 00212ln ln 2ln ln 2ln 24ln 2121 ? ??? ??-???? ? ?+=???? ??++--=???? ? ?++--= ???? ? ?+??? ??-= ???? ??+??? ??--== ??????εεεεπεεεεεπεεεεεπεεεεεπεπεεεεεεε?ρK R R R R R R R K dr R r K dr r R K dr r r R K r K dV W R R R in f e 0 2. (1) 边界条件：设未放置导体球时，原点电位为0?，任意点电位则为 ?-=?-=z R E d 0 0001cos θ???0l E 球外空间0=ρ，电位?满足拉普拉斯方程 02=?? 解为：()∑∞ =+??? ? ? +=01cos n n n n n n P R b R a θ? 放入导体球后：01, ??→∞→R

电动力学习题集答案

电动力学第一章习题及其答案 1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 2. 若 a 为常矢量 , r (x x ')i ( y y ')j (z z ')k 为从源点指向场点的矢量 , E , k 为常矢量,则！ (r 2 a ) =(r 2 a ) (r a 2r a , )a ) ddrr r a 2r r r 2 r i j — k (x x ') (y y ') (z z ') i j k — ！ 2(x x ') (x x ') ,同理，？ x (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') 2 / r 2 (x x ')(y y ')(z z ') (y y ') (x x ') （ (y y ') 2 (z z ') y (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') # 2 , z 2 2 (z z ') r 【 r e e e x x x ！ r (x-x') r (y-y') y (z-z') 3 z ， ' x y z x x ' y y ' z z ' 0， x (a r ) a ( r ) 0 , : ) r r r r r r r 0 r rr ( r 1 1 r 《 a ， , ( ) [ a (x -x' )] [ a (y - y')] … j [a (z -z')] a r i k x y z * r r r r 1 r 1 r … r 3 r 2 3 r ， ( A ) __0___. r r , [E sin(k r )] k E 0 cos(k r ) __0__. (E 0e ik r ) , 当 r 0 时 , ! (r / r ) ik E 0 exp(ik r ) , [rf (r )] _0_. [ r f ( r )] 3f (r )r # s 3. 矢量场 f 的唯一性定理是说：在以为界面的区域V 内, 若已知矢量场在V 内各点的旋度和散度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则在内唯一确定. f V 0 ,若 J 为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满足 4. 电荷守恒定律的微分形式为 — J t J 0 . 5. 场强与电势梯度的关系式为， E .对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为

电动力学答案

2．一平面电磁波以045=θ从真空入射到24=ε的介质。电场强度垂直于入射面。求反射系数和折射系数。解：由 1 122sin sin εμεμθθ = ' ' 1r 2r 12sin sin εεεεθθ=='' 1 2 s i n s i n 450= ''∴θ 解得 030=''θ 由菲涅耳公式： θ εθεθεθε''+''-=' sin sin sin sin E E 2121 = =+= 3 12cos cos cos 2E E 211+= ''+=' 'θεθεθε 由定义:

3 2323131E E R 2 2 +-=? ??? ??+-='== 3 2321 22 223312cos cos E E T 2 1 22 +=???? ??+=''''= = εεθθ 7．已知海水的1 1m 1s ,1-?==σμ,试计算频率ν为50,9 61010和Hz 的三种电磁波在海水中的透入深度. 解: ωμσ α δ2 1 = = , 72m 1 1042502 7 50 =????= -=ππδ γ , 5m .01 1042102 7610 r 6 =????= -=ππδ 16mm 1 1042102 7 910r 9 =????= -=ππδ

2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。解：根据相对论速度交换公式可得2'∑系相对于1'∑的速度大小是 )/1/(2'22c v v v += （1） ∴在1'∑系中测量2'∑系中静长为0 l 的尺子的长度为 220/'1c v l l -= （2）将（1）代入（2）即得： )/1/()/1(22220c v c v l l +-= （3）此即是在1'∑系中观测到的相对于2'∑静止的尺子的长度。 3. 静止长度为l 0的车厢，以速度v 相对于地面S 运行，车厢的后壁以速度u 0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解：根据题意取地面为参考系S ，车厢为参考系S ’，于是相对于地面参考系S ，车长为 220/1c v l l -=，（1）车速为v ，球速为 )/1/()(200c v u v u u ++= （2）所以在地面参考系S 中观察小球由车后壁到车前壁 l t v t u +?=? 所以 )/(v u l t -=? （3）将（1）（2）代入（3）得：2 2 0200/1)/1(c v u c v u l t -+= ? （4） 4. 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离都是l 0。解：取地面为静止的参考系∑，列车为运动的参考系'∑。取 x 轴与 x ′轴平行同向，与列车车速方向一致，令t=0时刻为列车经过建筑物时，并令此处为∑系与'∑的原点，如图。在∑系中光经过c l t /0=的时间后同时照亮左右两塔,但在'∑系中观察两塔的位置坐标为 ) /1(/1/1'2 2 02 2 0c v c v l c v vt l x --=--=右 )/1(/1/1'2 20 220c v c v l c v vt l x +--= ---= 左即：)/1(/1'220c v c v l d --=右,)/1(/1'2 20 c v c v l d +--=左时间差为 2220 /12''c v c vl c d c d t -= -= ?右左 5. 有一光源S 与接收器R 相对静止，距离为0l ,S-R 装置浸在均匀无限的液体介质（静止折射率n ）中。试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间。（1）液体介质相对于S-R 装置静止；

电动力学试题及其答案

一、填空题(每空2分,共32分) 1、已知矢径r ,则 r = 。 2、已知矢量A 与标量 ,则 )(A 。 3、区域V 内给定自由电荷分布、 ,在V 的边界上给定或 ,则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中,引入矢势A 与标势 ,则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式、、、。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为。 8、相对论的基本原理为 , 。 9、电磁波在导电介质中传播时,导体内的电荷密度 = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为。二、判断题(每题2分,共20分) 1、由0 E 可知电荷就是电场的源,空间任一点,周围电荷不但对该点的场强有贡献,而且对该点散度有贡献。( ) 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。( ) 3、电磁波在波导管内传播时,其电磁波就是横电磁波。( ) 4、任何相互作用都不就是瞬时作用,而就是以有限的速度传播的。( ) 5、只要区域V 内各处的电流密度0 j ,该区域内就可引入磁标势。( ) 6、如果两事件在某一惯性系中就是同时发生的,在其她任何惯性系中它们必不同时发生。( ) 7、在0 B 的区域,其矢势A 也等于零。( ) 8、E 、D 、B 、H 四个物理量均为描述场的基本物理量。( ) 9、由于A B ,矢势A 不同,描述的磁场也不同。( ) 10、电磁波的波动方程012222 E t v E 适用于任何形式的电磁波。( ) 三、证明题(每题9分,共18分) 1、利用算符的矢量性与微分性,证明 0)( r 式中r 为矢径, 为任一标量。 2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin(0 ,求证此平面电磁波的磁场强度为 j t z c c E B )sin(0 四、计算题(每题10分,共30分) 1、迅变场中,已知)cos(0t r K A A , )cos(0 t r K ,求电磁场的E 与B 。 2、一长度为80厘米的杆,沿其长度方向以0、8 c 的速率相对观察者运动,求该杆首、尾端通过观察者时的时间间隔。

电动力学第二章答案

1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2 /r K r P =，电容率为ε。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。解：（1）P ?-?=p ρ2222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=??+??-=??-=r r r )(12P P n -?-=p σR K R r r /=?==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内 200)/()/(r K f εεεεεερ-=-??=??=P D 内（3）)/(/0εεε-==P D E 内内 r r f r KR r V e e D E 200200)(4d εεεεπερε-= = = ?外外 r KR r )(d 00εεεε?-= ?=?∞r E 外外 )(ln d d 0 0εεεε?+-=?+?=??∞r R K R R r r E r E 外内内（4）???∞-+-=?=R R r r r R K r r r K V W 42200222022 202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 2 0))(1(2εεεεπε-+=K R 2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ；（2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。当0R R >时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为 ∑++ =n n n n n n P R b R a )(cos )(1 θ? 因为无穷远处0E E →，)(cos cos 10000θ?θ??RP E R E -=-→ 所以00?=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n 当0R R →时，0Φ→? 所以010 1000)(cos )(cos Φ=+-∑+n n n n P R b P R E θθ? 即：002 010000/, /R E R b R b =Φ=+? 所以) 2(,0,),(3 010000≥==-Φ=n b R E b R b n ? ?? ?≤Φ>+-Φ+-=)() (/cos /)(cos 00 02 3 0000000R R R R R R E R R R E θ?θ?? （2）设球体待定电势为0Φ，同理可得

电动力学试卷及答案A

电动力学期末考试物理学专业级班《电动力学》试卷A 一．填空（每空1分，共14分） 1. a 、k 及0E 为常矢量，则)]sin([0r k E = , )]sin([0r k E = 2. 能量守恒定律的积分式是－ d s = dV f +dV w dt d ，它的物理意义是____________________ 3. 反射波电场与入射波电场反相,这现象称为反射过程中的 4. 平面波e x t kx E E ?)cos(0 ,e y t kx C E B ?)cos(0 ，则动量密度B E g 0 的周期平均值为；若这平面波垂直投射于一平板上，并全部被吸收，则平板所受的压强为 5. 波矢量 i k ,其中相位常数是，衰减常数是 6．电容率 = +i ,其中实数部分代表______电流的贡献，它不能引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是______电流的贡献，它引起能量耗散。 7．频率为91030 HZ 的微波，在0.7cm 0.4cm 的矩形波导管中，能以什么波模传播？答： 8. 洛伦兹规范辅助条件为____________ ；达朗贝尔方程的四维形式是 9. 洛伦兹变换矩阵为二．单项选择（每题2分，共26分） 1. 若m 为常矢量，矢量R R m A 3 标量R R m 3 ，则除R=0点外，A 与应满足关系（） A. ▽ A =▽ B. ▽ A =-▽ C. A =▽ D. 以上都不对 2．设区域V 内给定自由电荷分布)(x ,在V 的边界S 上给定电势 /s 或电势的法向导数n /s,则V 内的电场（） A. 唯一确定 B.可以确定但不唯一 C.不能确定 D.以上都不对 3．对于均匀带电的立方体，有（） A.电偶极矩不为零，电四极矩也不为零 B.电偶极矩为零，电四极矩不为零 C.电偶极矩为零，电四极矩也为零 D.电偶极矩不为零，电四极矩为零 4．电四极矩是无迹对称张量，它有几个独立分量？（） A. 9个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 5．一个处于x 点上的单位点电荷所激发的电势)(x 满足方程（） A. 0)(2 x

电动力学期末考试试卷及答案五

20___-20___学年度学期____级物理教育专业《电动力学》试题（五）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟姓名______________________学号____________________ 一．判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3 分） 1．库仑力3 04r r Q Q F πε??'=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q 把作用力直接施于电荷Q '上。（） 2．电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。（） 3．电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为：t j ??=??/ρ? 。（） 4．在介质的界面两侧，电场强度E ?切向分量连续，而磁感应强度B ? 法向分量连续。（） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为：42022c m c P W +=。（）

二．简答题（每题5分，共15分）。 1．如果0>??E ρ ，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ρ，能流密度s ρ 之间的关系。三．证明题（共15分）。多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率ω与它的静止角频率0ω的关系为：) cos 1(0 θγωωc v -=，其中122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。（15 分）四.综合题（共55分）。 1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求：（1）导体内、外空间的B ?、H ? ；（2）体内磁化电流密度M j ? ；（15分）。

电动力学习题解答5

第五章电磁波的辐射 1. 若把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写出E 和B 的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。解：真空中的麦克斯韦方程组为 t ?-?=??/B E ，（1） 0/ερ=??E ，（2） t ??+=??/000E J B εμμ，（3） 0=??B （4）如果把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场，并分别用角标L 和T 表示，则：由于0=??B ，所以B 本身就是无散场，没有纵场分量，即 0=L B ，T B B =； T L E E E +=，0=??L E ，0=??T E ； T L J J J +=，0=??L J ，0=??T J ；由（1）得：t T T T L ?-?=??=+??/)(B E E E （5）由（2）得：0/)(ερ=??=+??L T L E E E （6）由（3）得：t L L T L T ?+?++=??/)()(000E E J J B εμμ )/()/(000000t t T T L L ??++??+=E J E J εμμεμμ （7）由电荷守恒定律t ?-?=??/ρJ 得：)/(/0t t L L ???-?=?-?=??E J ερ 又因为 )/(00t L L ???-?==??E J ε，所以 t L L ??-=/0E J ε，即 0/0=??+t L L E J ε （8）（7）式简化为t T T T ??+=??/000E J B εμμ （9）所以麦克斯韦方程租的新表示方法为： ????? ????=??+==????+=???-?=??0 /0///00 000t t t L L L L T T T T T E J B E E J B B E εερεμμ （10）由0=??L E 引入标势?，?-?=L E ，代入0/ερ=??L E 得， 02/ερ?-=? 上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布，所以L E 对应静止电荷产生的库仑场。 2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若0=ρ，0=J ，则E 和B 可完全由矢势A 决定。若取0=?，这时A 满足哪两个方程解：在线性各向同性均匀非导电介质中，若0=ρ，0=J ，则麦氏方程表示为： t ?-?=??/B E （1） t ??=??/D H （2） 0=??D （3） 0=??B （4）

电动力学试题及其答案(1)

电动力学(A) 试卷班级一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 ? r = 。 2、已知矢量A 和标量φ，则=??)(A φ 。 3、区域V 内给定自由电荷分布ρ 、σ ，在V 的边界上给定或，则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势φ，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式、、、。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为。 8、相对论的基本原理为，。 9、电磁波在导电介质中传播时，导体内的电荷密度 ρ = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为。二、判断题（每题2分，共20分） 1、由0 ερ =??E 可知电荷是电场的源，空间任一点，周围电荷不但对该点的场强有贡献，而且对该点散度有贡献。（） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波是横电磁波。（） 4、任何相互作用都不是瞬时作用,而是以有限的速度传播的。（） 5、只要区域V 内各处的电流密度0=j ，该区域内就可引入磁标势。（） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时发生的，在其他任何惯性系中它们必不同时发生。（） 7、在0=B 的区域，其矢势A 也等于零。（） 8、E 、D 、B 、H 四个） 9、由于A B ??=，矢势A 不同，描述的磁场也不同。（） 10、电磁波的波动方程012222 =??-?E t v E 适用于任何形式的电磁波。（）三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符? 的矢量性和微分性，证明 0)(=????φr 式中r 为矢径，φ为任一标量。