2019-2020年高考数学竞赛 三角函数教案讲义(6)

2019-2020年高考数学竞赛三角函数教案讲义（6）

一、基础知识

定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s inα=,余弦函数co sα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数se cα=,余割函数c s cα=

定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,s inα=，co sα=；商数关系：tan α=；乘积关系：tanα×co sα=s inα,cotα×s inα=co sα；平方关系：s in2α+co s2α=1, tan2α+1=se c2α, cot2α+1=c s c2α.

定理2 诱导公式（Ⅰ）s in(α+π)=-s inα, co s(π+α)=-co sα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）s in(-α)=-s inα, co s(-α)=co sα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）s in(π-α)=s inα, co s(π-α)=-co sα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）s in=co sα, co s=s inα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=s inx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y 取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.

定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=co s x(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z. 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-,kπ+)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。

定理6 两角和与差的基本关系式：co s(αβ)=co sαco sβs inαs inβ,s in(αβ)=s inα

co sβco sαs inβ; tan(αβ)=

定理7 和差化积与积化和差公式:

s inα+s inβ=2s inco s,s inα-s inβ=2s inco s,

co sα+co sβ=2co s co s, co sα-co sβ=-2s in s in,

s inαco sβ=[s in(α+β)+s in(α-β)],co sαs inβ=[s in(α+β)-s in(α-β)],

co sαco sβ=[co s(α+β)+co s(α-β)],s inαs inβ=-[co s(α+β)-co s(α-β)].

定理8 倍角公式:s in2α=2s inαco sα, co s2α=co s2α-s in2α=2co s2α-1=1-2s in2α,

tan2α=

定理9 半角公式:s in=,co s=,

tan==

定理10 万能公式: ??? ??+??? ??=

2tan 12tan 2sin 2ααα, ?

??

??+?

?? ??-=2tan 12tan 1cos 22ααα,

.2tan 12tan 2tan 2?

?

?

??-?

??

??=

ααα

定理11 辅助角公式：如果a , b 是实数且a 2

+b 2

0，则取始边在x 轴正半轴，终边经过点(a , b )的一个角为β，则s in β=,co s β=，对任意的角α. a s in α+bco s α=s in (α+β). 定理12 正弦定理：在任意△ABC 中有

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===，其中a , b , c 分别是角A ，B ，

C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径。

定理13 余弦定理：在任意△ABC 中有a 2=b 2+c 2

-2bco s A ，其中a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边。

定理14 图象之间的关系：y =s inx 的图象经上下平移得y =s inx +k 的图象；经左右平移得y =s in (x +)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y =s in ()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (x +)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (x +)(, >0)(|A |叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y =A s inx 的图象。定义4 函数y =s inx 的反函数叫反正弦函数，记作y =a r c s inx (x ∈[-1, 1])，函数

y =co s x (x ∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y =a r cco s x (x ∈[-1, 1]). 函数y =tanx 的反函数叫反正切函数。记作y =a r ctanx (x ∈[-∞, +∞]). y =co s x (x ∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y =a r ccotx (x ∈[-∞, +∞]).

定理15 三角方程的解集，如果a ∈(-1,1)，方程s inx =a 的解集是{x |x =n π+(-1)n

a r c s ina , n ∈Z }。方程co s x =a 的解集是{x |x =2kxa r cco s a , k ∈Z }. 如果a ∈R ，方程tanx =a 的解集是{x |x =k π+a r ctana , k ∈Z }。恒等式：a r c s ina +a r cco s a =；a r ctana +a r ccota =. 定理16 若，则s inx

例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。

2三角函数性质的应用。

例2 设x ∈(0, π), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。

例3 已知α，β为锐角，且x ·（α+β-）>0，求证：.2sin cos sin cos

?

?+???? ??x

x

αββα

注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3．最小正周期的确定。

例4 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。

4．三角最值问题。

例5 已知函数y =s inx +，求函数的最大值与最小值。

例6 设0<<π，求s in 的最大值。

例7 若A ，B ，C 为△ABC 三个内角，试求s inA +s inB +s inC 的最大值。

注：三角函数的有界性、|s inx|≤1、|co s x|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。

5．换元法的使用。

例8 求的值域。

例9 已知a0=1, a n=(n∈N+)，求证：a n>.

注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。

另外当x∈时，有tanx>x>s inx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。

6．图象变换：y=s inx(x∈R)与y=A s in(x+)(A, , >0).

由y=s inx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=A s in(x+)的图象；也可以由y=s inx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=A s in(x+)的图象。

例10 例10 已知f(x)=s in(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。

7．三角公式的应用。

例11 已知sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。

例12 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且，试求的值。

例13 求证：tan 20+4cos 70.

三、基础训练题

1．已知锐角x 的终边上一点A 的坐标为(2sin 3, -2cos 3)，则x 的弧度数为___________。 2．适合

=+-+-+x

x

x x cos 1cos 1cos 1cos 1-2cscx 的角的集合为___________。

3．给出下列命题：（1）若αβ，则sin αsin β；（2）若sin αsin β,则αβ；（3）若sin α>0，

则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sin α>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。

4．已知sinx +cosx =(x ∈(0, π))，则cotx =___________。

5．简谐振动x 1=Asin 和x 2=Bsin 叠加后得到的合振动是x =___________。

6．已知3sinx -4cosx =5sin (x +1)=5sin (x -2)=5cos (x +3)=5cos (x -4)，则1，2，3，4分别是第________象限角。

7．满足sin (sinx +x )=cos (cosx-x )的锐角x 共有________个。 8．已知，则=___________。 9．

?

?

???+++40

cos 170sin )

10tan 31(50sin 40cos =___________。

10．cot 15cos 25cot 35cot 85=___________。

11．已知α,β∈(0, π), tan , sin (α+β)=，求cos β的值。 12．已知函数f (x )=在区间上单调递减，试求实数m 的取值范围。

四、高考水平训练题

1．已知一扇形中心角是a ,所在圆半径为R ，若其周长为定值c (c >0)，当扇形面积最大时，a =__________.

2. 函数f (x )=2sinx (sinx +cosx )的单调递减区间是__________.

3. 函数的值域为__________.

4. 方程=0的实根个数为__________.

5. 若sina+cosa =tana , a ，则__________a （填大小关系）.

6. (1+tan 1)(1+tan 2)…(1+tan 44)(1+tan 45)=__________.

7. 若0

8. =__________.

9. ·cos ·cos ·cos ·cos =__________.

10. cos 271+cos 71cos 49+cos 2

49=__________. 11. 解方程：sinx +2sin 2x =3+sin 3x .

12. 求满足sin (x +sinx )=cos (x -cosx )的所有锐角x . 13. 已知f (x )=(kA 0, k ∈Z , 且A ∈R)，（1）试求f (x )的最大值和最小值；（2）若A >0, k =-1，求f (x )的单调区间；（3）试求最小正整数k ，使得当x 在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f (x )至少取得一次最大值和一次最小值。

五、联赛一试水平训练题（一）

1．若x , y ∈R ，则z =cosx 2+cosy 2

-cosxy 的取值范围是____________.

2．已知圆x 2+y 2=k 2

至少盖住函数f (x )=的一个最大值点与一个最小值点，则实数k 的取值范围是____________.

3．f ()=5+8cos +4cos 2+cos 3的最小值为____________.

4．方程sinx +cosx +a =0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________. 5．函数f (x )=|tanx |+|cotx |的单调递增区间是____________. 6．设sina >0>cosa , 且sin >cos ，则的取值范围是____________. 7．方程tan 5x +tan 3x =0在[0，π]中有__________个解.

8．若x , y ∈R , 则M =cosx +cosy +2cos (x +y )的最小值为____________.

9．若0<<, m ∈N +, 比较大小：(2m +1)sin m (1-sin )__________1-sin 2m +1

. 10．cot 70+4cos 70=____________.

11. 在方程组??

?

??=?=+=+c y x b y x a y x cot cot cos cos sin sin 中消去x , y ，求出关于a , b , c 的关系式。

12．已知α，β，γ，且cos 2

α+cos 2

β+cos 2

γ=1，求tan αtan βtan γ的最小值。

13．关于x , y 的方程组??

?

??=+=+=+a y x a y x a y x γγββααsin 3sin sin 3sin sin 3sin 有唯一一组解，且sin α, sin β, sin γ互

不相等，求sin α+sin β+sin γ的值。

14．求满足等式sinxy =sinx +siny 的所有实数对（x , y ）, x , y . 联赛一试水平训练题（二）

1．在平面直角坐标系中，函数f (x )=asinax +cosax (a >0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g (x )=的图象所围成的封闭图形的面积是__________.

2．若，则y =tan -tan +cos 的最大值是__________.

3．在△ABC 中，记BC =a , CA =b , AB =c , 若9a 2+9b 2-19c 2

=0，则=__________.

4．设f (x )=x 2

-πx , α=a r csin , β=a r ctan , γ=a r ccos , δ=a r ccot , 将f (α), f (β), f (γ), f (δ)从小到大排列为__________.

5．log sin 1cos 1=a , log sin 1tan 1=b , log cos 1sin 1=c , log cos 1tan 1=d 。将a , b , c , d 从小到大排列为__________.

6．在锐角△ABC 中，cosA =cos αsin β, cosB =cos βsin γ, cosC =cos γsin α，则tan α·tan β·tan γ=__________. 7．已知矩形的两边长分别为tan 和1+cos (0<<π)，且对任何x ∈R , f (x )=sin ·x 2+·x +cos ≥0，则此矩形面积的取值范围是__________.

8．在锐角△ABC 中，sinA +sinB +sinC 的取值范围是__________.

9．已知当x ∈[0, 1]，不等式x 2cos -x (1-x )+(1-x )2

sin >0恒成立，则的取值范围是__________.

10．已知sinx +siny +sinz =cosx +cosy +cosz =0，则cos 2x + cos 2y + cos 2

z =__________.

11．已知a 1, a 2, …,a n 是n 个实常数，考虑关于x 的函数：f (x )=cos (a 1+x )+cos (a 2+x ) +…+cos (a n +x )。求证：若实数x 1, x 2满足f (x 1)=f (x 2)=0，则存在整数m ，使得x 2-x 1=m π. 12．在△ABC 中，已知

3cos cos cos sin sin sin =++++C

B A C

B A ，求证：此三角形中有一个内角为。

13．求证：对任意自然数n , 均有|sin 1|+|sin 2|+…+|sin (3n -1)|+|sin 3n |>.

六、联赛二试水平训练题

1．已知x >0, y >0, 且x +y <π，求证：w(w-1)sin (x +y )+w(sinx -siny )+siny >0①（w ∈R ）.

2. 已知a 为锐角，n ≥2, n ∈N +，求证：≥2n

-2+1. 3. 设x 1, x 2,…, x n ,…, y 1, y 2,…, y n ,…满足x 1=y 1=, x n +1=x n +, y n +1=，求证：2

4．已知α，β，γ为锐角，且cos 2α+cos 2β+cos 2

γ=1，求证；π<α+β+γ<π.

5．求实数a 的取值范围，使得对任意实数x 和任意，恒有(x +3+2sincos )2

+(x +asin +asin )2≥

6. 设n , m 都是正整数，并且n >m ，求证：对一切x 都有2|sin n x -cos n x |≤3|sin n x -cos n

x |. 7．在△ABC 中，求sinA +sinB +sinC -cosA -cosB -cosC 的最大值。

8．求的有的实数a , 使cosa , cos 2a , cos 4a , …, cos 2n

a , …中的每一项均为负数。

9．已知i ，tan 1tan 2…tan n =2, n ∈N +

, 若对任意一组满足上述条件的 1，2，…，n 都有cos 1+cos 2+…+cos n ≤λ，求λ的最小值。

2019-2020年高考数学竞赛 不等式教案讲义（9）

一、基础知识

不等式的基本性质：

（1）a>ba-b>0； （2）a>b, b>ca>c ； （3）a>ba+c>b+c ； （4）a>b, c>0ac>bc ；

（5）a>b, c<0acb>0, c>d>0ac>bd;

（7）a>b>0, n ∈N +a n >b n

; （8）a>b>0, n ∈N +; （9）a>0, |x|ax>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;

（11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0a 2+b 2

≥2ab;

（12）x, y, z ∈R +

，则x+y ≥2, x+y+z 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。 （6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a ≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a ≤|a|, -|b|≤b ≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2≥0，所以x+y ≥，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令，

因为x 3+b 3+c 3-3abc =(a+b)3+c 3-3a 2b-3ab 2

-3abc

=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2

-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a 3+b 3+c 3

≥3abc ，即x+y+z ≥，等号当且仅当x=y=z 时成立。二、方法与例题

1．不等式证明的基本方法。

（1）比较法，在证明A>B 或A0）与1比较大小，最后得出结论。

例 1 设a, b, c ∈R +

，试证：对任意实数x, y, z, 有

x 2

+y 2

+z 2

.))()((2???

? ??++++++++≥xz b a c yz a c b xy c b a a c c b b a abc

例2 若a

（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。

例3 已知a, b, c ∈R +

，求证：a+b+c-3≥a+b

（3）数学归纳法。

例5 对任意正整数n(≥3)，求证：n n+1>(n+1)n

.

（4）反证法。

例 6 设实数a 0, a 1,…,a n 满足a 0=a n =0，且a 0-2a 1+a 2≥0, a 1-2a 2+a 3≥0,…, a n-2-2a n-1+a n ≥0，求证a k ≤0(k=1, 2,…, n-1).

（5）分类讨论法。

例7 已知x, y, z ∈R +

，求证：

.02

22222≥+-++-++-y

x x z x z z y z y y x

（6）放缩法，即要证A>B ，可证A>C 1, C 1≥C 2,…,C n-1≥C n , C n >B(n ∈N +). 例8 求证：).2(1

2131211≥<-++++

n n n

例9 已知a, b, c 是△ABC 的三条边长，m>0，求证：

（7）引入参变量法。

例10 已知x, y ∈R +

, l, a, b 为待定正数，求f(x, y)=的最小值。

例11 设x 1≥x 2≥x 3≥x 4≥2, x 2+x 3+x 4≥x 1，求证：(x 1+x 2+x 3+x 4)2

≤4x 1x 2x 3x 4.

（8）局部不等式。

例12 已知x, y, z ∈R +，且x 2+y 2+z 2

=1，求证：

例13 已知0≤a, b, c ≤1，求证：≤2。

（9）利用函数的思想。

例14 已知非负实数a, b, c 满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值。

2．几个常用的不等式。

（1）柯西不等式：若a i ∈R , b i ∈R , i=1, 2, …, n ，则.)())((

21

1

21

2∑∑∑===≥n

i i i n

i i

n i i b a b

a

等号当且仅当存在λ∈R ，使得对任意i=1, 2, , n, a i =λb i ,

变式1：若a i ∈R , b i ∈R , i=1, 2, …, n ，则.)()()(

2

12112∑∑∑===≥n

i i n

i i n

i i

i

b a b a

等号成立条件为a i =λb i ,(i=1, 2, …, n)。

变式2：设a i , b i 同号且不为0(i=1, 2, …, n)，则.)(1

2

11∑∑∑===≥n

i i

i n

i i n

i i

i

b

a a

b a

等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .

（2）平均值不等式：设a 1, a 2,…,a n ∈R +，记H n =

n

a a a n

11121+++ , G n =,

A n =n

a a a Q n a a a n n n 2

222121,+++=

+++ ，则H n ≤G n ≤A n ≤Q n . 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。

其中等号成立的条件均为a 1=a 2=…=a n .

【证明】 由柯西不等式得A n ≤Q n ，再由G n ≤A n 可得H n ≤G n ，以下仅证G n ≤A n . 1）当n=2时，显然成立；

2）设n=k 时有G k ≤A k ，当n=k+1时，记=G k+1.

因为a 1+a 2+…+a k +a k+1+(k-1)G k+1≥k k k k k k G a k a a a k 1

1121-++?+

≥==+-++k k

k k k k k G k G a a a k 22121112122 2kG k+1,

所以a 1+a 2+…+a k+1≥(k+1)G k+1，即A k+1≥G k+1. 所以由数学归纳法，结论成立。

（3）排序不等式：若两组实数a 1≤a 2≤…≤a n 且b 1≤b 2≤…≤b n ，则对于b 1, b 2, …, b n

的任意排列，有a 1b n +a 2b n-1+…+a n b 1≤≤a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n .

【证明】 引理：记A 0=0，A k =，则 =（阿贝尔求和法）。 证法一：因为b 1≤b 2≤…≤b n ，所以≥b 1+b 2+…+b k . 记s k =-( b 1+b 2+…+b k )，则s k ≥0(k=1, 2, …, n)。 所以-(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )= +s n a n ≤0.

最后一个不等式的理由是a j -a j+1≤0(j=1, 2, …, n-1, s n =0), 所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。 证法二：（调整法）考察，若，则存在。 若(j ≤n-1)，则将与互换。 因为

))(()()()(n

n

n

n

i n j b

n i n j n j n n j i n i j n n b b a a b a a b a a b a b a b a b a --=-+-=+-+≥0

，

所 调整后，和是不减的，接下来若，则继续同样的调整。至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。

例15 已知a 1, a 2,…,a n ∈R +

，求证；≥++++-1

221

32

2221a a a a a a a a n n n a 1+a 2+…+a n .

注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。

三、基础训练题

1．已知0

，则的最小值是____________.

2．已知x ∈R +

，则的最小值是____________.

3．已知a, b, c ∈R ，且a 2+b 2+c 2

=1, ab+bc+ca 的最大值为M ，最小值为N ，则MN=___________.

4．若不等式对所有实数x 成立，则a 的取值范围是____________. 5．若不等式x+a 的解是x>m ，则m 的最小值是____________. 6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-2

7．若a, b ∈R +，则a+b=1，以下结论成立是__________.① a 4+b 4≥；②≤a 3+b 3

<1；③；④；⑤；⑥

8．已知0<<，若，则=____________.

9．已知，p=(x 1-)2+(x 2-)2+…+(x n -)2, q=(x 1-a)2+(x 2-a)2+…+(x n -a)2

, 若，则比较大小：p___________q.

10．已知a>0, b>0且ab, m=a a b b , n=a b b a

, 则比较大小：m_________n.

11．已知n ∈N +，求证：.12312112

2+≥+++

n n n

12．已知0

+y=0，求证：log a (a x

+a y

) ≤log a 2+.

13．已知x ∈R ，，求证： 四、高考水平训练题

1．已知A=asin 2x+bcos 2x, B=acos 2x+bsin 2x(a, b, x ∈R)，设m=AB, n=ab, P=A 2+B 2

, q=a 2+b 2，则下列结论成立的有]__________.（1）m ≥n, p ≥q;（2）m ≤n, p ≤q ；（3）m+p ≥n+q ；（4）m+q ≥n+p.

2．已知a, b, c, d ∈R ，M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，则比较大小：M________N.

3．若R +

，且，，将从小到大排列为________.

4．已知△ABC 的三边长a, b, c 满足b+c ≤2a, a+c ≤2b ，则的取值范围是________.

5．若实数x, y 满足|x|+|y|≤1，则z=x 2-xy+y 2

的最大值与最小值的和为________. 6．设函数f(x)=(x ∈[-4,2])，则f(x)的值域是________.

7．对x 1>x 2>0, 1>a>0，记a

x

a ax y a ax a x y +++=+++=

11,11212211，比较大小：x 1x 2________y 1y 2.

8．已知函数的值域是，则实数a 的值为________.

9．设a ≤b

10．实系数方程x 2

+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是________.

11．已知a, b, c ∈R +

且满足 a+b+c ≥abc ，求证：下列三个式子中至少有两个成立：

.22

36,2236,2236≥++≥++≥++b

a c a c

b

c b a 12．已知a, b ∈R +

且，求证：对一切n ∈N +，(a+b)n

-a n

-b n

≥22n

-2n+1

. 13．已知a, b, c ∈R +

，求证：

.2

3

≥+++++a c b c b a b a c 14．设x, y, z 是3个不全为零的实数，求的最大值。 五、联赛一试水平训练题

1．已知a 1, a 2, b 1, b 2, c 1, c ∈R ，a 1c 1-=a 2c 2>0, P=(a 1-a 2)(c 1-c 2), Q=(b 1-b 2)2

，比较大小：P_______Q.

2 已知x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=__________.

3．二次函数f(x)=x 2

+ax+b ，记M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|}，则M 的最小值为__________.

4．设实数a, b, c, d 满足a ≤b ≤c ≤d 或者a ≥b ≥c ≥d ，比较大小： 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).

5．已知x i ∈R +

, i=1, 2, …,n 且，则x 1x 2…x n 的最小值为__________（这里n>1）.

6．已知x, y ∈R , f(x, y)=x 2+6y 2

-2xy-14x-6y+72的最小值为__________.

7．已知0≤a k ≤1(k=1, 2, …,2n)，记a 2n+1=a 1, a 2n+2=a 2，则的最大值为__________.

8．已知0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1，则的最大值为__________. 9．已知≤x ≤5，求证：.1923153212<-+-+

+x x x

10．对于不全相等的正整数a, b, c ，求证：

11．已知a i >0(i=1, 2, …, n)，且=1。又0<λ1≤λ2≤…≤λn ，求证：≤

六、联赛二试水平训练题

1．设正实数x, y, z 满足x+y+z=1，求证：

.2

2≤

++

++

+xy

xz xz xz

yz yz yz

xy xy 2．设整数x 1, x 2, …,x n 与y 1, y 2, …, y n 满足1y 1+y 2+…+y m ，求证：x 1x 2x n >y 1y 2…y m .

3．设f(x)=x 2+a ，记f(x), f n (x)=f(f n-1

(x))(n=2, 3, …)，M={a ∈R |对所有正整数n, |f n

(0)| ≤2}，求证：。

4．给定正数λ和正整数n(n ≥2)，求最小的正数M （λ），使得对于所有非负数x 1, x 2,…,x n ，有M(λ).)(

1

1

1

∏∑∑===+≥n

k k n k n

k n

n

k k

x x x

λ

5．已知x, y, z ∈R +

，求证：(xy+yz+zx).4

9

)(1)(1)(1222≥????

??

+++++x z z y y x 6．已知非负实数a, b, c 满足a+b+c=1，求证：

2≤(1-a 2)2+(1-b 2)2+(1-c 2)2

≤(1+a)(1+b)(1+c)，并求出等号成立的条件。