江苏专版2018版高考数学复习圆锥曲线与方程练习

第十一章圆锥曲线与方程

第60课椭圆的方程

A 应知应会

1.若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6,则点P到另一个焦点F2的距离是.

2.若方程+=1表示椭圆,则实数k的取值范围是.

3.若椭圆+=1过点(-2,),则其焦距为.

4.已知椭圆+y2=1的两个焦点分别为F1,F2,过点F1作垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为P,那么PF2= .

5.(1) 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且F(2,0)为其右焦点,求椭圆C的方程;

(2) 已知动点P到定点F(,0)的距离与点P到定直线l:x=2的距离之比为,求动点P的轨迹方程.

6.(2016·南通三中)已知椭圆+=1 (a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.

(1) 求椭圆的方程;

(2) 若点P在这个椭圆上,且PF1-PF2=1,求∠F1PF2的余弦值.

B 巩固提升

1.(2016·通州中学)在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-4,0),C(4,0).若顶点B在椭圆+=1上,则= .

2.(2016·徐州三中)若椭圆+=1上一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O为坐标原点,则ON= .

3.(2016·唐山模拟)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上.若△PF1F2为直角三角形,则△PF1F2的面积等于.

4.(2016·合肥模拟)已知椭圆C:+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于顶点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点.若四边形OMPN的周长为2,则△PF1F2的周长是.

5.(2016·昆山中学)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

(1) 求动点M的轨迹C的方程;

(2) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.

6.(2016·小海中学)已知A,B分别是椭圆+=1长轴的左、右端点,F是椭圆的右焦点,点P 在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF.

(1) 求点P的坐标;

(2) 若M是椭圆的长轴AB上的一点,点M到直线AP的距离等于MB,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

第61课椭圆的几何性质

A 应知应会

1.已知椭圆+=1,那么该椭圆的准线方程为.

2.已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上.若它的离心率为,焦距为8,则该椭圆的方程

是.

3.若椭圆+=1的离心率为,则实数m的值为.

4.已知F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,那么椭圆E的离心率为.

5.(2015·扬州期末)如图,A,B,C是椭圆M:+=1(a>b>0)上的三点,其中A是椭圆的右顶点,BC 过椭圆M的中心O,且满足AC⊥BC,BC=2AC.

(1) 求椭圆M的离心率;

(2) 若y轴被△ABC的外接圆截得的弦长为9,求椭圆M的方程.

(第5题)

6.已知椭圆的右焦点为F(m,0),左、右准线分别为l1:x=-m-1,l2:x=m+1,且l1,l2分别与直线y=x相交于点A,B.

(1) 若椭圆的离心率为,求椭圆的方程;

(2) 当·<7时,求椭圆的离心率的取值范围.

B 巩固提升

1.在平面直角坐标系中,椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c,以原点O为圆心、a为半径作圆O,过点作圆O的两条切线.若两条切线互相垂直,则离心率e= .

2.若O和F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则·的最大值

为.

3.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P(x0,y0)为椭圆上的动点,那么当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标x0的取值范围为.

4.(2016 · 扬州期中)在△ABC中,已知tan A=,B=.若椭圆E:+=1(a>b>0)以AB为长轴,且过点C,则椭圆E的离心率是.

5.(2016·南通一调)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)过点A(2,1),离心率为.

(1) 求椭圆的方程;

(2) 若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B,C两点(异于点A),线段BC被y轴平分,且

AB⊥AC,求直线l的方程.

(第5题)

6.(2016·扬州期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长,交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线,交椭圆于另一点C,连接F1C.

(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;

(2)若F1C⊥AB,求椭圆的离心率e.

(第6题)

第62课双曲线

A 应知应会

1.(2016·泰州期末)在平面直角坐标系中,双曲线-y2=1的实轴长为.

2.(2016·苏州、无锡、常州、镇江一调)在平面直角坐标系中,已知方程-=1表示双曲线,那么实数m的取值范围为.

3.(2016·苏州、无锡、常州、镇江二调)若双曲线x2+my2=1过点(-,2),则该双曲线的虚轴长为.

4.(2016·盐城三模)若以双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F为圆心、a为半径的圆恰好与该双曲线的两条渐近线相切,则该双曲线的离心率为.

5.已知双曲线的焦点在x轴上,两个顶点间的距离为2,焦点到渐近线的距离为.

(1) 求双曲线的标准方程;

(2) 写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

6.已知双曲线的中心在坐标原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率e=,且过点(4,-).

(1) 求该双曲线的方程;

(2) 若M(3,m)是该双曲线上一点,求证:MF1⊥MF2;

(3) 对于(2)中的点M,求△F1MF2的面积.

B 巩固提升

1.(2016·木渎中学)已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,那么该双曲线的离心率为.

2.若双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点,直线y=x为双曲线C的一条渐近线,则双曲线C的方程为.

3.(2016·南菁中学)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线,切点为E,直线EF交双曲线的右支于点P.若=(+),则该双曲线的离心率为.

4.(2016·南京一中模拟)已知双曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O为原点),那么-的值为.

5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是其左支上的一点,点P到左准线的距离为d.

(1) 若y=x是该双曲线的一条渐近线,是否存在点P,使得d,PF1,PF2成等比数列?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(2) 若在该双曲线的左支上存在点P,使d,PF1,PF2成等差数列,求离心率e的取值范围.

6.如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在双曲线C的两条渐近线

上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).

(1) 求双曲线C的方程;

(2) 过双曲线C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N,求证:当点P在双曲线C上移动时,恒为定值,并求此定值.

(第6题)

第63课抛物线

A 应知应会

1.抛物线y2=-8x的焦点坐标是.

2.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是.

3.(2016·浙江卷)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则点M到y轴的距离

是.

4.(2016·南京、盐城一模)在平面直角坐标系中,已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上.若抛物线C经过点P(1,3),则其焦点到准线的距离为.

5.已知Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y2=2px上,其中直角顶点O为原点,OA所在直线的方程为y=x,△AOB的面积为6,求该抛物线的方程.

6.已知拋物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,并与双曲线的实轴垂直,且拋物线与双曲线的一个交点坐标为,求拋物线与双曲线的方程.

B 巩固提升

1.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知F是抛物线y2=4x的焦点,该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5,那么直线AF的斜率为.

2.已知抛物线y2=2px(p>0),那么以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系

是.

3.已知直线y=k(x-2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点.若

FA=2FB,则实数k= .

(第4题)

4.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线,与抛物线交于A,B两点,则AF∶BF=.

5.(2016·全国卷Ⅰ)在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,点M关于点P的对称点为N,连接ON并延长,交抛物线C于点H.

(1) 求的值.

(2) 除点H以外,直线MH与抛物线C是否有其他公共点?请说明理由.

6.(2016·江苏卷)如图,在平面直角坐标系中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).

(1) 若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程.(2) 若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);

②求p的取值范围.

(第6题)

第64课直线与圆锥曲线的综合问题

A 应知应会

1.(2015·苏州调查)已知双曲线-=1(m>0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同,那么此双曲线的渐近线方程为.

2.(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)在平面直角坐标系中,F为抛物线x2=8y的焦点,则点F到双曲线x2-=1的渐近线的距离为.

3.(2015·盐城三模)若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线-=1的一个焦点重合,则实数n的值为.

4.(2015·全国卷)若一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴上,则该圆的标准方程为.

5.(2016·苏州、无锡、常州、镇江二模改编)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆

C:+=1(a>b>0)过点P,离心率为.

(1) 求椭圆C的方程.

(2) 若斜率为的直线l与椭圆C交于A,B两点,试探究OA2+OB2是否为定值?若是定值,则求出此定值;若不是定值,请说明理由.

6.(2016·南京三模改编)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,1)在椭圆C上.

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 若直线l与圆O:x2+y2=2相切,与椭圆C相交于P,Q两点.求证: OP⊥OQ.

(第6题)

B 巩固提升

1.(2015·湖南卷)已知F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点,若双曲线C上存在一点P,使线段PF的中点恰好为双曲线C的虚轴的一个端点,则双曲线C的离心率为.

2.(2015·福建卷改编)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若AF+BF=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是.

3.在平面直角坐标系中,向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),且a⊥b.若m>0,则动点M(x,y)的轨迹为.

4.(2015·山东卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为抛物线C2的焦点,则双曲线C1的离心率为.

5.(2016·苏北四市期末改编)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,左顶点为A(-4,0),过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D,交y轴于点E.

(1) 求椭圆C的标准方程;

(2) 若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M,求的最小值.

(第5题)

6.(2016·无锡期末)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,其一个焦点到相应的准线的距离为3,圆N的方程为(x-c)2+y2=a2+c2(c为椭圆M的半焦距),直线l:y=kx+m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为点A,B.

(1) 求椭圆M和直线l的方程;

(2) 试在圆N上求一点P,使=2.

第十一章圆锥曲线与方程

第60课椭圆的方程

A 应知应会

1. 4【解析】由椭圆的定义知PF1+PF2=2a=10,PF1=6,故PF2=4.

2. (3,+∞)【解析】若方程+=1表示椭圆,则?k>

3.

3. 4【解析】把点(-2,)代入椭圆方程,得m2=4,所以c2=16-4=12,所以c=2,故焦距为

4.

4.【解析】不妨设F1为左焦点,则F1(-,0).设P(-,m)(m>0),则+m2=1,解得m=,所以PF1=.根据椭圆的定义知PF2=4-PF1=.

5.【解答】(1) 依题意可设椭圆C的方程为+=1(a>0,b>0),且可知左焦点为F1(-2,0),从而有解得又a2=b2+c2,所以b2=12,故椭圆C的方程为+=1.

(2) 设点P(x,y),依题意有=,整理得+=1,所以动点P的轨迹方程为+=1.

6.【解答】(1) 依题意知c=1.

又c2=a2-b2,且3a2=4b2,

所以a2-a2=1,即a2=1,

所以a2=4,因此b2=3,

从而椭圆的方程为+=1.

(2) 因为点P在椭圆上,

所以PF1+PF2=2a=2×2=4.

又PF1-PF2=1,

所以PF1=,PF2=.

因为F1F2=2c=2,所以由余弦定理得cos∠F1PF2===,

即∠F1PF2的余弦值等于.

B 巩固提升

1.【解析】由椭圆方程知其焦点坐标分别为(-4,0)和(4,0),恰好为△ABC的顶点A和C 的坐标.又由椭圆定义知BA+BC=10.在△ABC中,由正弦定理可知===.

2. 4【解析】在椭圆+=1中,a2=25,2a=10.设右焦点为F2.由椭圆定义可知MF1+MF2=2a=10.因为MF1=2,所以MF2=8.又N是MF1的中点,所以ON是△MF1F2的中位线,所以ON=MF2=4.

3. 6【解析】由题意可知a=4,b=2,c=2.当P为短轴的端点时,∠F1PF2最大,此时sin==,所以=,所以∠F1PF2=,故∠F1PF2≠.不妨设∠F2F1P=,故可设P(-2,y0),代入椭圆方程可得y0=±3,所以=×4×3=6.

4.2+2【解析】如图,因为O,M分别为F1F2和PF1的中点,所以OM∥PF2且OM=PF2.同理ON∥PF1且ON=PF1,所以四边形OMPN为平行四边形.由题意知OM+ON=,故PF1+PF2=2,即2a=2,a=.由

a2=1+c2,知c2=a2-1=2,即c=,所以F1F2=2c=2,故△PF1F2的周长为2a+2c=2+2.

(第4题)

5.【解答】(1) 由点M(x,y)到直线x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍,得|x-4|=2,化简得+=1,所以动点M的轨迹为椭圆,方程为+=1.

(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知2x1=0+x2,2y1=3+y2,由(1)知椭圆的上、下顶点的坐标分别是(0,)和(0,-).经检验,直线m不经过这两点,即直线m的斜率存在.设直线m的方程为

y=kx+3,联立椭圆方程和直线方程并整理得(3+4k2)x2+24kx+24=0,则有x1+x2=,x1x2=.

由+=+2?=?=?k=±,所以直线m的斜率k=±.

6.【解答】(1) 由已知可得点A(-6,0),B(6,0),F(4,0).设点P(x,y),则=(x+6,y),=(x-4,y).由已知得2x2+9x-18=0,解得x=或x=-6(舍去,与点A重合).

因为y>0,所以y=,所以点P的坐标是.

(2) 直线AP的方程是x-y+6=0.

设点M(m,0),则点M到直线AP的距离是,所以=|m-6|.又-6≤m≤6,解得m=2.

椭圆上的点(x,y)到点M的距离

d=

=

=.

因为-6≤x≤6,所以当x=时,d取到取小值.

第61课椭圆的几何性质

A 应知应会

1.y=±4【解析】因为c2=a2-b2=8-4=4,所以准线方程为y=±=±4.

2.+=1【解析】因为2c=8,所以c=4,所以e===,故a=8.又因为b2=a2-c2=48,所以椭圆的方程为+=1.

3.1或16【解析】若焦点在x轴上,则m<4,即a2=4,b2=m?c2=a2-b2=4-m,又=?m=1;若焦点在y轴上,则m>4,即a2=m,b2=4?c2=a2-b2=m-4,又=?m=16.

4.【解析】由题意可得PF2=F1F2,所以2=2c,所以3a=4c,所以e=.

5.【解答】(1) 因为BC过椭圆M的中心O,

所以BC=2OC=2OB.

又AC⊥BC,BC=2AC,所以△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形,

则A(a,0),C,B-,,所以AB=a,+=1,则a2=3b2,所以c2=2b2,故e=,所以椭圆M的离心率为.

(2) △ABC外接圆的圆心为AB的中点P,半径为a,

则△ABC外接圆的方程为+=a2.

令x=0,得y=a或y=-,

所以a-=9,解得a=6.

所以所求的椭圆方程为+=1.

6.【解答】(1) 设椭圆的方程为+=1(a>b>0).

由已知得c=m,=m+1,

从而a2=m(m+1),b2=m.

由e=,得b=c,从而得m=1,

故a=,b=1,

所以椭圆的方程为+y2=1.

(2) 易得A(-m-1,-m-1),B(m+1,m+1),从而=(2m+1,m+1),=(1,m+1),

故·=2m+1+(m+1)2=m2+4m+2<7,得0

所以离心率e===∈,故所求离心率的取值范围为.

B 巩固提升

1.【解析】如图,由题意知四边形OAPB为正方形,所以OP=OA,所以=a,解得=,即离心率e=.

(第1题)

2.6【解析】由椭圆方程得F(-1,0).设P(x0,y0),则·=(x0,y0)·(x0+1,y0)=+x0+.因为P为椭圆上一点,所以+=1,所以·=+x0+3=+x0+3=(x0+2)2+2.因为-2≤x0≤2,所以在x0=2时·取得最大值,且最大值为6.

3.【解析】由题意知F1(-,0),F2(,0).由P(x0,y0),知=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),所以·=-5+<0

①.又因为+=1②,由①②得<,所以-

4.【解析】如图,由题意知A(-a,0),B(a,0),k AC=tan A=,k BC=tan=-1,故直线AC的方程为y=(x+a),直线BC的方程为y=-(x-a).联立y=(x+a)与y=-x+a,解得C.将点C的坐标代入+=1中得+=1,即==3,解得e=.

(第4题)

5.【解答】(1) 由题意知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为e==,所以b2=a2-c2=a2.

又点A(2,1)在椭圆上,所以+=1,

解得

所以椭圆的方程为+=1.

(2) 将y=kx+m(k≠0)代入椭圆方程中得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-8=0. ①

由线段BC被y轴平分,得x B+x C=-=0.因为k≠0,所以m=0,

所以点B,C关于原点对称.

设B(x,kx),则C(-x,-kx).

由方程①得x2=.

又因为AB⊥AC,A(2,1),所以·=(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k2)x2=5-=0,

所以k=±.

当k=时,直线y=x过点A(2,1),故k=不符合题意.

所以直线l的方程为y=-x.

6.【解答】设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).

(1)因为B(0,b),所以BF2==a.又BF2=,故a=.

因为点C在椭圆上,

所以+=1,解得b2=1,

故椭圆的方程为+y2=1.

(2)因为点B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.

解方程组得

所以点A的坐标为,.

又AC⊥x轴,由椭圆的对称性可得点C的坐标为,

所以直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-.又F1C⊥AB,所以·=-1,由b2=a2-c2,整理得

a2=5c2,

故e2=,因此e=.

第62课双曲线

A 应知应会

1. 2【解析】根据双曲线的方程知a=,所以实轴长为2a=

2.

2. (-2,4)【解析】由双曲线标准方程的特征知(4-m)(2+m)>0,即(m-4)(m+2)<0,解得

-2

3. 4【解析】将点(-,2)代入中得2+4m=1,即m=-,故双曲线的标准方程为x2-=1,即虚轴长为

4.

4.【解析】因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,则右焦点到渐近线的距离为b,故a=b,即a2=b2=c2-a2,故e2==2,所以e=.

5.【解答】(1) 依题意可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则2a=2,所以a=1.

设双曲线的一个焦点坐标为(c,0),因为一条渐近线的方程为bx-ay= 0,

则焦点到渐近线的距离d==b=,所以双曲线的方程为x2-=1.

(2) 双曲线的实轴长为2,虚轴长为2,焦点坐标分别为(-,0),(,0),离心率为,渐近线方程为y=±x.

6.【解答】(1) 因为e=,所以c=a?a=b,所以可设双曲线的方程为x2-y2=λ,将点A(4,-)代入得λ=6,所以双曲线的方程为x2-y2=6.

(2) 将点M(3,m)代入双曲线方程得m2=3.

又F1(-2,0),F2(2,0),

所以=(-2-3,-m),=(2-3,-m),

则·=(-2-3)(2-3)+m2=-3+m2=0,所以MF1⊥MF2.

(3) =·F1F2·|m|=×4×=6.

B 巩固提升

1.或【解析】当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则=,所以=e2-1=, 所以e=;当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则=,所以=,所以=e2-1=,所以e=.综上,e=或.

2.x2-=1【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).由椭圆方程+=1得两焦点坐标分别为(-2,0),(2,0),所以在双曲线C中,c=2①.又y=x为双曲线C的一条渐近线,所以= ②.由

①②解得a2=1,b2=3,所以双曲线C的方程为x2-=1.

3.【解析】设双曲线的右焦点为F1,连接PF1.由=(+)知E是FP的中点,又O是FF1的中点,所以OE∥PF1且OE=PF1.因为OE=a,OE⊥FP,所以PF1=a,PF1⊥FP,所以PF2+P=F,又

PF1=a,PF=2a+PF1=3a,所以9a2+a2=(2c)2,所以e==.

4. 2【解析】由得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.

因为·=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2+1-(x1+x2)=0,

所以-+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以-=2.

5.【解答】(1) 因为渐近线方程为y=x,所以b2=3a2,c2=a2+b2=4a2,所以e==2.假设存在点

P(x,y)在左支上,则x<-a.由P=d·PF2,PF1=-2x-a,PF2=-2x+a,所以===2,解得x=-a<-a,所以存在点P,其坐标为.

(2) 因为d,PF1,PF2成等差数列,所以PF2-PF1=PF1-d=2a.因为=e,所以PF1=ed,即(e-1)d=2a,故d=≥a-,所以2c≥(c-a)(e-1),即e2-4e+1≤0,解得2-≤e≤2+.又e>1,所以e的取值范围为(1,2+].

6.【解答】(1) 设F(c,0).

因为b=1,所以c=.

由题意知直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),所以B.

又直线OA的方程为y=x,则A,故k AB==.

因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.

(2) 由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),

即y=(y0≠0).

因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M,

直线l与直线x=的交点为N,

则===·.

又P(x0,y0)是C上一点,则-=1,

代入上式得=·=·=,所以==,为定值.

第63课抛物线

A 应知应会

1. (-2,0)

2. 2【解析】焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,所以焦点到准线的距离是2.

3.9【解析】由题意得p=2,则=1,即原点到准线的距离是1.由点M到焦点的距离与到准线的距离相等,知点M到准线的距离为10,故点M到y轴的距离为10-1=9.

4.【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0).因为抛物线C过点P(1,3),所以9=2p,解得p=,从而其焦点到准线的距离为p=.

5.【解答】因为OA⊥OB,且OA所在直线的方程为y=x,所以OB所在直线的方程为y=-x.由得点A的坐标为.由得点B的坐标为(6p,-2p),

所以OA=|p|,OB=4|p|.

又S△OAB=p2=6,所以p=±,

所以该抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.

6.【解答】由题设知拋物线以双曲线的右焦点为焦点,抛物线的准线过双曲线的左焦点,所以p=2c,则拋物线的方程为y2=4cx.

因为拋物线过点,所以6=4c·,所以c=1,故拋物线的方程为y2=4x.

又双曲线-=1过点,

所以-=1.

又a2+b2=c2=1,所以-=1,

解得a2=或a2=9(舍去),

所以b2=,故双曲线的方程为4x2-=1.

B 巩固提升

1.【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,焦点F(1,0).设点A(x0,y0)(x0>0,y0>0).由题意得x0+1=5,所以x0=4,所以=4x0=16,即y0=4,从而点A(4,4),所以直线AF的斜率为k==.

2.相切【解析】设抛物线的焦点弦为AB,中点为M,准线为l,A1,B1分别为A,B在直线l上的射影,则AA1=AF,BB1=BF,于是M到l的距离d=(AA1+BB1)=(AF+BF)=AB=半径,故相切.

3. 2【解析】如图,由题意知直线y=k(x-2)经过抛物线的焦点F(2,0),过点A,B分别向准线l作垂线,交l于M,N两点,过点B作BE⊥AM于点E.设BF=m,则FA=2m.又BN=BF=m,AF=AM=2m,所以AE=m,BE=2m,所以k===2.

(第3题)

4.3∶1【解析】由题意可知直线AB:y=,联立y2=2px得3x2-5px+p2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),得x1+x2=,x1x2=,可得x1=,x2=,则==3.

5.【解答】(1) 由已知得M(0,t),P.

又点N为点M关于点P的对称点,故N,则直线ON的方程为y=x,代入y2=2px中并整理得

px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=,因此H,所以N为OH的中点,即=2.

(2) 直线MH与抛物线C除H以外没有其他公共点.理由如下:

因为直线MH的方程为y-t=x,

即x=(y-t),

代入y2=2px中得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与抛物线C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与抛物线C没有其他公共点.

6.【解答】(1) 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点坐标为,

由点在直线l:x-y-2=0上,

得-0-2=0,即p=4,

所以抛物线C的方程为y2=8x.

(2) 设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).

因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,所以直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.

①由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)

因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,

从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.

方程(*)的两根为=-p±,从而y0==-p.

因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.

因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).

②因为点M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.

由①知p+2b>0,所以p+2(2-2p)>0,所以p<,故p的取值范围为.

第64课直线与圆锥曲线的综合问题

A 应知应会

1.y=±x【解析】由题意得=3,所以m=4,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.

2.【解析】由题可知点F(0,2),双曲线的渐近线方程为y=±3x,所以点F到双曲线的渐近线的距离d==.

3. 1【解析】因为抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),又在-=1中,c=,所以=2,解得n=1.

4.+y2= 【解析】设圆心坐标为(a,0),则半径为4-|a|,则(4-|a|)2=a2+22,解得a=±,故圆的方程为+y2=.

5.【解答】 (1) 由离心率e==,得a∶b∶c=2∶∶1,则可设椭圆C的方程为+=1.

由点P在椭圆C上,得+=1,即c2=1,

所以椭圆C的方程为+=1.

(2) 设直线l的方程为y=x+n,A(x1,y1),B(x2,y2),

所以OA2+OB2=+3-++3-=(+)+6.

由消去y得3x2+2nx+2n2-6=0.

当Δ>0时,x1+x2=-n,x1x2=,

从而+=(x1+x2)2-2x1x2=-=4,

所以OA2+OB2=7,为定值.

6.【解答】(1) 由题意得=,+=1,解得a2=6,b2=3,

所以椭圆C的方程为+=1.

(2) ①若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=或x=-.

当x=时,P(, ),Q(,-).

因为·=0,所以OP⊥OQ.

当x=-时,同理可得OP⊥OQ.

②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,即kx-y+m=0.

因为直线与圆相切,所以=,即m2=2k2+2.

将直线l的方程代入椭圆方程中得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

则有x1+x2=-,x1x2=.

因为·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)·+km·+m2.

将m2=2k2+2代入上式可得·=0,所以OP⊥OQ.

综上所述,OP⊥OQ.

B 巩固提升

1.【解析】根据对称性不妨设F(c,0),虚轴端点为(0,b),从而可知点(-c,2b)在双曲线上,所以-=1?e==.

2.【解析】设左焦点为F1,连接AF1,BF1,则四边形BF1AF是平行四边形,故AF1=BF,所以AF+AF1=4=2a,所以a=2.设M(0,b),则≥,故b≥1,从而a2-c2≥1,所以0

椭圆E的离心率的取值范围是0,.

3.圆或椭圆【解析】因为a⊥b,a=(mx,y+1),b=(x,y-1),所以a·b=mx2+y2-1=0,即mx2+y2=1.当m>0且m≠1时,方程表示的是椭圆;当m=1时,方程表示的是圆x2+y2=1.

4.【解析】双曲线C1:-=1的渐近线方程为y=±x,则A,B.抛物线C2:x2=2py的焦点F,则k AF==,即=,所以==?e==.

5.【解答】(1) 因为左顶点为A(-4,0),所以a=4.

又e=,所以c=2.

因为b2=a2-c2=12,

所以椭圆C的标准方程为+=1.

(2) 直线l的方程为y=k(x+4).

由得(3+4k2)x2+32k2x+64k2-48=0,所以x A·x D=-4x D=,所以x D=.

因为OM∥l,所以OM的方程为y=kx.

由得点M的横坐标为x=±.

由OM∥l,得====·=≥2,

当且仅当=,即k=±时取等号,

所以当k=±时,的最小值为2.

6.【解答】(1) 由题意知解得a=2,c=1,所以b=,

所以椭圆M的方程为+=1.

圆N的方程为(x-1)2+y2=5.

由直线l:y=kx+m与椭圆M只有一个公共点,联立得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,①

所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,得m2=3+4k2. ②

由直线l:y=kx+m与圆N只有一个公共点,得=,即k2+2km+m2=5+5k2,③

将②代入③得km=1. ④

由②④且k>0,得k=,m=2,

所以直线l:y=x+2.

(2) 由(1)可知A.

又过切点B的半径所在的直线l'为y=-2x+2,所以得交点B(0,2).

设P(x0,y0).因为=2,

则=8,化简得7+7+16x0-20y0+22=0. ⑤

又P(x0,y0)满足+-2x0=4,⑥

将⑤-7×⑥,得3x0-2y0+5=0,

即y0=. ⑦

将⑦代入⑥得13+22x0+9=0,

解得x0=-1或x0=-,

所以P(-1,1)或P.