【精品】中考数学常考易错点32一次函数

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一次函数

易错清单

1. 一次函数y=kx+b的图象的位置与k,b的符号之间的关系.

【例1】(2014·湖南娄底)一次函数y=kx-k(k<0)的图象大致是().

【解析】首先根据k的取值范围,进而确定-k>0,然后再确定图象所在象限即可.

【答案】∵k<0,

∴-k>0.

∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限.

故选A.

【误区纠错】此题主要考查了一次函数图象,直线y=kx+b,可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到.当b>0时,向上平移;b<0时,向下平移.

2. 讨论一次函数性质时漏解.

【例2】(2014·四川自贡)一次函数y=kx+b,当1≤x≤4时,3≤y≤6,则的值是.

【解析】由于k的符号不能确定,故应分k>0和k<0两种进行解答.

【误区纠错】本题考查的是一次函数的性质,在解答此题时要注意分类讨论,不要漏解.

3. 一次函数与不等式的关系.

【例3】(2014·湖北孝感)如图,直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,则关于x 的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为().

A. -1

B. -5

C. -4

D. -3

【解析】满足不等式-x+m>nx+4n>0就是直线y=-x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x 轴的上方的图象,据此求得自变量的取值范围即可.

【答案】∵直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,

∴关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的解集为-4

∴关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为-3.故选D.

【误区纠错】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系,错解误认为是关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的解集为x>-2.

4. 一次函数的实际应用.

【例4】(2014·山东德州)目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级及农村地区推广,为响应号召,某商场计划购进甲,乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表:

(1)如何进货,进货款恰好为46000元?

(2)如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少元?

【解析】(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200-x)只,根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可;

(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200-a)只,商场的获利为y元,由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论.

【答案】(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200-x)只,由题意,得

25x+45(1200-x)=46000,解得x=400.

∴购进乙型节能灯1200-400=800只.

故购进甲型节能灯400只,购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元.

(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200-a)只,商场的获利为y元,由题意,得y=(30-25)a+(60-45)(1200-a),

y=+18000.

∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,

∴+18000≤[+45(1200-a)]×30%.

∴a≥450.

∵y=+18000,

∴k=-10<0.

∴y随a的增大而减小.

∴a=450时,y最大=13500元.

∴商场购进甲型节能灯450只,购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元.

【误区纠错】本题考查了单价×数量=总价的运用,列了一元一次方程解实际问题的运用,一次函数的解析式的运用,解答时求出求出一次函数的解析式是关键.

名师点拨

1. 掌握一次函数的定义,能利用定义进行判断.

2. 正确画出一次函数的图象,并利用图象说出它的变化特点,能利用图象求函数的近似解.

3.会求一次函数解析式.

4.会用函数思想解决实际问题.

提分策略

1.一次函数图象的平移.

直线y=kx+b(k≠0)在平移过程中k值不变.平移的规律是若上下平移,则直接在常数b后加上或减去平移的单位数;若向左(或向右)平移m个单位,则直线y=kx+b(k≠0)变为y=k(x+m)+b(或k(x-m)+b),其口诀是上加下减,左加右减.

【例1】如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),则kb= .

【解析】∵y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行,∴k=2.

∵y=kx+b的图象经过点A(1,-2),

∴2+b=-2,解得b=-4.

∴kb=2×(-4)=-8.

【答案】-8

2.一次函数与一次方程(组),一元一次不等式(组)相结合问题.

【例2】一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示.根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为.

【解析】∵一次函数y=kx+b过点(2,3),(0,1),

∴一次函数的解析式为y=x+1.

当y=0时,x+1=0,x=-1.

∴一次函数y=x+1的图象与x轴交于点(-1,0).

∴关于x的方程kx+b=0的解为x=-1.

【答案】x=-1

3.一次函数图象与两坐标轴围成的三角形面积问题.

这一类问题主要考查在给定一次函数解析式或一次函数图象的前提下,求图象与坐标轴围成的三角形的面积.在这类问题中,如果三角形的一边与一坐标轴重合,那么可直接应用三角形及坐标求面积,如果三角形的任何一边均不与坐标轴重合,那么一般来说,我们可以利用“割补法”化不规则的三角形为规则的三角形,从而求得三角形的面积.

【例3】在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如,图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.

【答案】(1)∵直线与x轴的交点坐标为(4,0),与y轴交点坐标为(0,3),

4.用一次函数解决相关问题.

(1)利用一次函数进行方案选择.

一次函数的方案决策题,一般都是利用自变量的取值不同,得出不同方案,并根据自变量的取值范围确定出最佳方案.

【例4】某医药公司把一批药品运往外地,现有两种运输方式可供选择.

方式一:使用快递公司的邮车运输,装卸收费400元,另外每公里再加收4元;

方式二:使用快递公司的火车运输,装卸收费820元,另外每公里再加收2元;

(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式;

(2)你认为选用哪种运输方式较好,为什么?

【答案】(1)由题意,得y1=4x+400, y2=2x+820.

(2)令4x+400=2x+820,解得x=210,

所以当运输路程小于210 km时,y1

当运输路程等于210 km时,y1=y2,选择两种方式一样;

当运输路程大于210 km时,y1>y2,选择火车运输较好.

(2)利用一次函数解决资源收费问题.

此类问题多以分段函数的形式出现,正确理解分段函数是解决问题的关键,一般应从如下几方面入手:(1)寻找分段函数的分段点;(2)针对每一段函数关系,求解相应的函数解析式;(3)

利用条件求未知问题.

【例5】为了促进节能减排,倡导节约用电,某市将实行居民生活用电阶梯电价方案,图中折线反映了每户每月用电电费y(元)与用电量x(千瓦时)间的函数关系式.

(1)根据图象,阶梯电价方案分为三个档次,填写下表:

档次第一档第二档第三档

每月用电量

0

x(千瓦时)

140

(2)小明家某月用电120千瓦时,需要交电费元;

(3)求第二档每月电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数关系式;

(4)在每月用电量超过230千瓦时时,每多用1千瓦时电要比第二档多付电费m元,小刚家某月用电290千瓦时,交电费153元,求m的值.

【答案】(1)第二档140230.

(2)54

(3)设第二档每月电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数关系式为y=ax+c.

将(140,63),(230,108)代入,得

则第二档每月电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数关系式为

(4)根据图象,得用电230千瓦时,需要付费108元,用电140千瓦时,需要付费63元,故108-63=45(元),230-140=90(千瓦时),45÷90=0.5(元),则第二档电费为0.5元/千瓦时.

∵小刚家某月用电290千瓦时,交电费153元,290-230=60(千瓦时),153-108=45(元),45÷60=0.9(元),m=0.9-0.5=0.4,

故m的值为0.4.

(3)利用一次函数解决其他生活实际问题.

结合函数图象及性质,弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用,寻找解决问题的突破口,这是解决一次函数应用题常见的思路.“图形信息”题是近几年的中考热点考题,解此类问题应做到三个方面:(1)看图找点,(2)见形想式,(3)建模求解.

【例6】周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象.已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍.

(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间;

(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上?此时离家多远?

(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地,求从家到乙地的路程.

【答案】(1)小明骑车速度为,

在甲地游玩的时间是1-0.5=0.5(h).

(2)妈妈驾车速度为20×3=60(km/h),

设直线BC解析式为y=20x+b1.

专项训练

一、选择题

1. (2014·安徽安庆外国语学校模拟)已知四条直线y=kx-3,y=-1,y=3和x=1所围成的四边形的面积是12,则k的值为().

A. 1或-2

B. 2或-1

C. 3

D. 4

2.(2014·安徽淮北五校联考)把直线y=-x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第二象限,则m的取值范围是().

A. m>1

B. m<-5

C. -5

D. m<1

3. (2014·安徽铜陵模拟)能表示图中一次函数图象的一组函数对应值列表的是().

(第3题)

x y

-4 5

0 -1

A

x y

-4 2

-2 -2

B

x y

-1 0

2 -2

C

x y

-3 2

0 -1

D

4. (2013·上海静安二模)函数y=kx-k-1(常数k>0)的图象不经过的象限是().

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

5. (2013·重庆一中一模)如图反映的过程是:妈妈带小米从家去附近的动物园玩,他们先去鳄鱼馆看鳄鱼,又去熊猫馆看熊猫,然后回家.如果鳄鱼馆和熊猫馆的距离为m千米,小米在熊猫馆比在鳄鱼馆多用了n分钟,则m,n的值分别为().

(第5题)

A. 1,8

B. 0.5,12

C. 1,12

D. 0.5,8

二、填空题

6. (2014·江苏苏州高新区一模)已知函数y1=x,y2=2x+3,y3=-x+4,若无论x取何值,y总取y1,y2,y3中的最小值,则y的最大值为.

7.(2014·湖北宜昌一模)已知y是x的一次函数,下表列出了部分对应值,则m= .

x 1 0 2

y 3 m 5

8. (2014·湖南吉首三模)如图,已知直线与x轴,y轴分别交于点A和点B,M 是OB上的一点,若将△ABM沿AM折叠,点B恰好落在x轴上的点B'处,则直线AM的函数解析式是.

(第8题)

9.(2013·上海静安二模)如果点A(-1,2)在一个正比例函数y=f(x)的图象上,那么y随着x 的增大而(填“增大”或“减小”).

10. (2013·江西饶鹰中考模拟)一次函数y=kx+b(kb<0)图象一定经过第象限.

11. (2013·湖北武汉中考全真模拟)有一项工作,由甲、乙合作完成,合作一段时间后,乙改进了技术,提高了工作效率.图(1)表示甲、乙合作完成的工作量y(件)与工作时间t(时)的函数图象.图(2)分别表示甲完成的工作量y甲(件)、乙完成的工作量y乙(件)与工作时间t(时)的函数图象,则甲每小时完成件,乙提高工作效率后,再工作个小时与甲完成的工作量相等.

(第11题)

三、解答题

12.(2014·湖北襄阳模拟)某市自来水公司为了鼓励市民节约用水,于2014年4月开始采用以用户为单位按月分段收费办法收取水费,新按月分段收费标准如下:

标准一:每月用水不超过20吨(包括20吨)的水量,每吨收费2.45元;

标准二:每月用水超过20吨但不超过30吨的水量,按每吨a元收费;

标准三:超过30吨的部分,按每吨(a+1.62)元收费.(说明:a>2.45)

(1)居民甲4月份用水25吨,交水费65.4元,求a的值;

(2)若居民甲2014年4月以后,每月用水x(吨),应交水费y(元),求y与x之间的函数关系式,

并注明自变量x的取值范围;

(3)随着夏天的到来,各家的用水量在不但增加.为了节省开支,居民甲计划自家6月份的水费不能超过家庭月收入的2%(居民甲家的月收入为6540元),则居民甲家六月份最多能用水多少吨?

13.(2014·广西南宁五模)黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛,渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后,发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来,渔船向渔政部门报告,并立即返航.渔政船接到报告后,立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象.(假设渔船与渔政船沿同一航线航行)

(1)直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式;

(2)求渔船和渔政船相遇时,两船与黄岩岛的距离;

(3)在渔政船驶往黄岩岛的过程中,求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里?

(第13题)

14. (2014·广东模拟)甲和乙进行赛跑训练,他们选择了一个土坡,按同一路线同时出发,从

坡脚跑到坡顶,再原路返回坡脚.他们俩上坡的平均速度不同,下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍.设两人出发x min后距出发点的距离为y m.图中折线表示甲在整个训练中y与x的函数关系,其中A点在x轴上,M点坐标为(2,0).

(2)求出AB所在直线的函数关系式;

(3)如果乙上坡平均速度是甲上坡平均速度的一半,那么两人出发后多长时间第一次相遇?

(第14题)

15. (2013·河北三模)两辆校车分别从甲、乙两站出发,匀速相向而行,相遇后继续前行,已知两车相遇时中巴比大巴多行驶40千米,设行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),图中的折线表示从两车出发至中巴到达乙站这一过程中y与x之间的函数关系.根据图象提供的信息,解答下列问题:

(1)请你说明点B,C的实际意义;

(2)求线段AB所在直线的函数关系式和甲、乙两站的距离;

(3)求两车速度及中巴从甲站到乙站所需的时间t;

(4)若中巴到达乙站后立刻返回甲站,大巴到达甲站后停止行驶,请你在图中补全这一过程中y关于x的函数的大致图象.

参考答案与解析

1.A[解析]先求出直线y=kx-3与y=-1以及y=3的交点坐标,要注意这两个交点可能在一、四象限(k>0),也可能在二、三象限(k<0).再根据所围成的四边形是梯形,根据梯形的面积公式进行计算.

根据第二象限内点具有x<0,y>0,确定m的取值范围是-5

3. D[解析]直接根据图象经过的点进行判断.显然该图象经过(-3,2),(0,-1)二点.

4.B[解析]∵k>0,

∴-k<0.

∴-k-1<0.

∴y=kx-k-1(常数k>0)的图象经过一、三、四象限.

5. D[解析]根据图象,此函数大致可分以下几个阶段:①0~12分钟,从家走到鳄鱼馆;②12~27分钟,在鳄鱼馆看鳄鱼;③27~33分钟,从鳄鱼馆走到熊猫馆;④33~56分钟,在熊猫馆看熊猫;⑤56~74分钟,从熊猫馆回家;综合上面的分析,由③的过程知,m=1.5-1=0.5(千米);由②④的过程知n=(56-33)-(27-12)=8(分钟).

6. 2[解析]-x+4=x,解得x=2,

∴y=x=2.

7. 1[解析]设一次函数的解析式是y=kx+b,将(1,3),(2,5)代入求出解析式即可.

8[解析]由题,知点A和点B的坐标分别是A(6,0),B(0,8),所以AB=10,由题意,得点B'的坐标是(-4,0),再利用相似可求得OM=3,所以过A(6,0),M(0,3)的直线的解析式

是.

9.减小[解析]设正比例函数解析式为y=kx(k≠0),

∵过点(-1,2),

∴2=k×(-1),解得k=-2.

故正比例函数解析式为y=-2x.

∵k=-2<0,

∴y随着x的增大而减小.

10.一、四[解析]∵kb<0,

∴k,b异号.①当k>0时,b<0,此时一次函数y=kx+b(kb<0)图象经过第一、三、四象限;②当k<0,b>0时,此时一次函数y=kx+b(kb<0)图象经过第一、二、四象限;综上所述,一次函数y=kx+b(kb<0)图象一定经过第一、四象限.

则甲每小时完成30件.

设乙提高工作效率后再工作m小时与甲完成的工作量相等,由题意,得2×20+(20+40)m=2×30+30m,

12. (1)由题意,得20×2.45+5a=65.4,

解得a=3.28.

(2)由题意,得

当0≤x≤20时,y=2.45x;

当20

y=20×2.45+3.28(x-20)=3.28x-16.6;

当x>30时,

y=20×2.45+10×3.28+(x-30)×(3.28+1.62)

=4.9x-65.2.

(3)6540×2%=130.8.

∵20×2.45=49,49+10×3.28=81.8,

而49<81.8<130.8,

∴居民甲家6月份用水超过30吨.

设他家6月用水x吨,

故4.9x-65.2≤130.8,

解得x≤40.

故居民甲家计划6月份最多用水40吨.

13. (1)当0≤t≤5时,s=30t;

当5

当8

(2)渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s=kt+b,

解得k=45,b=-360.

∴s=45t-360.

解得t=10,s=90.

渔船离黄岩岛距离为 150-90=60 (海里).

(3)s渔=-30t+390,

s渔政=45t-360.

(2)甲上坡的平均速度为480÷2=240(m/min),

则其下坡的平均速度为240×1.5=360(m/min),

所以y=-360x+1200.

(3)乙上坡的平均速度为240×0.5=120(m/min),

甲的下坡平均速度为240×1.5=360(m/min),

由图象得甲到坡顶时间为2分钟,此时乙还有480-2×120=240(m),没有跑完,两人第一次相遇时间为2+240÷(120+360)=2.5(min).

15.(1)点B的实际意义是两车2小时相遇;点C的纵坐标的实际意义是中巴到达乙站时两车的距离.

(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,由题意,知直线AB过(1.5,70)和(2,0),

∴直线AB的解析式为y=-140x+280.

当x=0时,y=280.

∴甲、乙两站的距离为280千米.

(3)设中巴和大巴的速度分别为V1千米/小时,V2千米/小时,

∴中巴和大巴速度分别为80千米/小时,60千米/小时.

t=280÷80=3.5(小时).

(4)当小时时,大巴到达甲站,当t=7小时时,大巴回到甲站,故图象如下:

(第15题)

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