八年级初二数学 数学平行四边形的专项培优练习题(含答案

八年级初二数学 数学平行四边形的专项培优练习题(含答案

一、选择题

1．如图，在菱形ABCD 中，点F 为边AB 的中点，DF 与对角线AC 交于点G ，过点G 作GE AD ⊥于点E ，若2AB =，且12∠=∠，则下列结论不正确的是（ ）

A ．DF A

B ⊥ B ．2CG GA =

C ．CG DF GE =+

D ．31BFGC S =-四边形

2．如图所示，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE ＝AC ，AE 交CD 于点F ，那么∠AFC 的度数为（ ）

A ．112.5°

B ．125°

C ．135°

D ．150°

3．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点,E F 在正方形ABCD 内， ,EAB FDC ??都是等边三角形，则EF 的长为（ ）

A ．23

B ．32-

C 31

D 34．平行四边形的对角线分别为 x 、y ，一边长为 12，则 x 、y 的值可能是（ ） A ．8 与 14

B ．10 与 14

C ．18 与 20

D ．4 与 28

5．如图，正方形ABCD 的边长为1，顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A ，又顺次连接正方形1111D C B A 四边中点得到第二个正方形

2222A B C D ，……，以此类推，则第六个正方形6666A B C D 的面积是（ ）

A ．

164

B ．

116

C ．

132

D ．

18

6．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和CD 上，过点A 作GA AE ⊥，

CD 的延长线交AG 于点G ，BE DF EF +=，若30DAF ∠=?，则BAE ∠的度数为（ ）

A ．15°

B ．20°

C ．25°

D ．30°

7．如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BD 、CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①AG ⊥BE ；②BE:BC=5:2；③S △BHE =S △CHD ；④∠AHB=∠EHD ．其中正确的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(8,0)，点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度沿y 轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿x 轴

负半轴方向运动，设点P 、Q 运动的时间为(08)t t <<秒.以PQ 为斜边，向第一象限内作等腰Rt PBQ ?，连接OB .下列四个说法：

①8OP OQ +=；②B 点坐标为(4,4)；③四边形PBQO 的面积为16；④PQ OB >.其中正确的说法个数有（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

9．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE ⊥AB 于 E ，PF ⊥AC 于 F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）

A ．1

B ．1.3

C ．1.2

D ．1.5

10．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，下列结论中：①AB ⊥AC ；②四边形AEFD 是平行四边形；③∠DFE ＝150°；④S 四边形AEFD ＝5．正确的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题

11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC =，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．

12．如图，正方形ABCD 中，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．

13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是__．

14．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.

15．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.

16．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒

45?的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．

17．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．

18．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令

AF

n BC

=，

EC

m BC

=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．

19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．

20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.

常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.

三、解答题

21．如图1，ABC ?是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．

（1）求证：ABD FBC ???；

（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积． 22．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ． （1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时， ①BCF ∠= ；

②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．

（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．

（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，

1

3

CD BC =

，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．

．

23．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ?沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．

图1 图2

（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________； （2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ． ①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =

，试探索线段DF 与FC 的数量关系．

24．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．

（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．

（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；

（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：

①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．

②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．

25．如图，在平面直角坐标系中，已知?OABC 的顶点A （10，0）、C （2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动． （1）求点B 的坐标；

（2）若点P 运动速度为每秒2个单位长度，点P 运动的时间为t 秒，当四边形PCDA 是平行四边形时，求t 的值；

（3）当△ODP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．

26．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．

（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．

27．在正方形中，连接，为射线

上的一个动点（与点不重合），连接，

的垂直平分线交线段于点，连接

，

.

提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点的两个特殊位置：

①当点与点重合时，如图1所示，____________

②当

时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：

__________；（填“变化”或“不变化”）

（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）

（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.

28．已知：在矩形ABCD中，点F为AD中点,点E为AB边上一点，连接CE、EF、CF，EF 平分∠AEC．

(1)如图1，求证：CF⊥EF;

(2)如图2，延长CE、DA交于点K, 过点F作FG∥AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;

(3)如图3, 过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.

?是边长为3的等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与29．如图，ABC

?是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，交直线点B、C重合），ADE

AC于点F，连接BE．

（1）判断四边形BCFE的形状，并说明理由；

（2）当DE AB

⊥时，求四边形BCFE的周长；

（3）四边形BCFE能否是菱形？若可为菱形，请求出BD的长，若不可能为菱形，请说明理由．

30．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长

→→→路径以每秒3个度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着A B C D

单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t秒，问：

（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形

（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【分析】

A 、由四边形ABCD 是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD ，AE=ED ，由SAS 证得△AFG ≌△AEG ，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出A 正确；

B 、由DF ⊥AB ，F 为边AB 的中点，证得AD=BD ，证出△ABD 为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由2cos ,cos AF

AC AB BAC AG BAC

=?∠=∠ ,求出AC ，

AG ，即可得出B 正确； C 、由勾股定理求出22DF AD AF =-，由GE=tan ∠2·ED 求出GE ，即可得出C 正确；

D 、四边形BFGC 的面积=△ABC 的面积-△AGF 的面积,可以发现D 不对.

【详解】

解:∵四边形ABCD 是菱形，

FAG EAG ∴∠=∠，1GAD ∠=∠，AB AD =， 12∠=∠， 2GAD ∴∠=∠， AG GD ∴=. GE AD ⊥， GE ∴垂直平分AD . AE ED ∴=.

点F 为AB 的中点， AF AE ∴=.

易证()SAS AFG AEG ???.

90AFG AFG ∠∴∠==?. DF AB ∴⊥故A 正确.

DF AB ⊥，点F 为AB 的中点，

1

12

AF AB ∴==，AD BD =.

AD BD AB

==，

ABD

∴为等边三角形.

60

BAD BCD

∠

∴∠==?.

1230

BAC

∠=∠=∠=

∴?.

2cos22

AC AB BAC

∴=?∠=?=，

cos

AF

AG

BAC

===

∠

CG AC AG

∴=-==.

2

CG GA

∴=，故B正确.

GE垂直平分AD，

1

1

2

ED AD

∴==，

DF

∴==

tan21tan30

GE ED

∴=∠?=??=.

DF GE CG

∴+===.故C正确.

130

BAC

∠=∠=?，ABC

?

∴的边AC上的高等于AB的一半，即为1

，1

23

FG AG

==，

11

11

22

ABC AGF

BFGC

S S S

?

∴=-=?-?=

四边形

D不正确.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.

2．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据等边对等角的性质可得∠E=∠CAE，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠E=22.5°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

【详解】

解：∵CE=AC，

∴∠E=∠CAE，

∵AC 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠ACB=45°， ∴∠E+∠CAE=45°， ∴∠E=

1

2

×45°=22.5°， 在△CEF 中，∠AFC=∠E+∠ECF=22.5°+90°=112.5°． 故答案为：A ． 【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．

3．B

解析：B 【分析】

连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ，说明EF 是

DFC ∠，AEB ∠的平分线，得出,EG FH 的长度，进而求出EF 的长度． 【详解】

解：连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ， ∵ABE ?是等边三角形， ∴60EAB EBA ∠=∠=?， ∴30DAE CBE ∠=∠=?， 在DAE ?和CBE ?中，

∵AD BC DAE CBE AE BE =??

∠=∠??=?

， ∴DAE CBE ???， ∴ED EC =， 在EDF ?和ECF ?中，

∵FD FC EF EF ED EC =??

=??=?

， ∴EDF ECF ???， ∴DFE CFE ∠=∠ ∴EF 是DFC ∠的平分线，

∴FG 是等边DFC ?的DFC ∠的平分线， ∴FG DC ⊥， ∴GE GF EF =-，

同理可证：EH AB ⊥，FH EH EF =-,

∵,EAB FDC ??都是等边三角形，且边长都等于正方形的边长， ∴GF EH =， ∴GE FH =,

∵FG DC ⊥,EH AB ⊥,

∴,,,G E F H 四点共线，且GH AD =，

∵正方形ABCD 的边长为2，DFC ?是等边三角形， ∴2DF =，

∵FG 是等边DFC ?的DFC ∠的平分线， ∴FG 也是DC 边上的中线，即：1DG GC ==， ∴在Rt DFG ?中，由勾股定理得：

222DF DG GF =+，即：2222=1GF +，

∴3GF =

，

∴23FH =-， 同理可得：23GE =-，

∴()()

222323232EF GE FH =--=----=-， 故选：B ．

【点睛】

本题目主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定，利用

,,,G E F H 四点共线是解决本题的关键．

4．C

解析：C 【分析】

如下图，将平行四边形ABCD 向上平移，得到平行四边形ADEF ，使得BC 与AD 重合，在△BDF 中，利用三角形三边关系可得到x+y 与x －y 的取值范围，从而得到结论. 【详解】

如下图，将平行四边形ABCD 向上平移，得到平行四边形ADEF ，使得BC 与AD 重合，连接BD ，DF

根据题意，设AB=12，BD=x ，DF=y 则AF=AB=12，BF=24

∴在△BDF 中，BD+FD ＞BF ，即：x+y ＞24 在△BDF 中，BD －FD ＜BF ，即：x －y ＜24 满足条件的只有C 选项 故选：C 【点睛】

本题考查三角形三边关系，解题关键是将题干中已知线段和需要求解的线段转化到同一个三角形中去.

5．A

解析：A 【分析】

计算前三个正方形的面积从而得出一般规律求解. 【详解】

顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A 则正方形1111D C B A 的面积为11122

?= 正方形2222A B C D 的面积为111224?= 正方形3333A B C D 的面积为

11112228??= 正方形n n n n A B C D 的面积为11()2

2n

n

=

根据规律可得，第六个正方形6666A B C D 的面积为6

6111()2

264

== 【点睛】

本题考查了特殊正方形中的面积计算，解题的关键在于找出规律，根据规律求解.

6．A

解析：A 【分析】

根据已知条件先证明△ABE ≌△ADG ，得到AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，得到

EAF GAF ∠=∠,根据30DAF ∠=?，设BAE ∠=x,利用GA AE ⊥得到方程求出x 即可求解．

【详解】

在正方形ABCD 中，AB=AD,90ABE ADG BAD ∠=∠=∠=? ∵GA AE ⊥

∴90EAD DAG ∠+∠=? 又90EAD BAE ∠+∠=? ∴

DAG BAE ∠∠=

∴△ABE ≌△ADG （ASA ） ∴AE=AG ，BE=DG, ∵BE DF EF += ∴

BE DF DG DF EF +=+=

∴EF=GF

∴△AEF ≌△AGF （SSS ） ∴EAF GAF ∠=∠

∵30DAF ∠=?，设BAE ∠=x, ∴EAF GAF ∠=∠=x+30° ∵GA AE ⊥

∴90EAF GAF ∠+∠=? 故x+30°+ x+30°=90° 解得x=15° 故选A ．

【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知正方形的性质及全等三角形的判定定理．

7．D

解析：D 【分析】

首先根据正方形的性质证得△BAE ≌△CDE ，推出∠ABE ＝∠DCE ，再证

△ADH ≌△CDH ，求得∠HAD ＝∠HCD ，推出∠ABE ＝∠HAD:求出∠ABE+∠BAG ＝90°;最后在△AGE 中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE ＝90°即可得到①正确； 因为点E 是AD 边的中点，求出AB= 2AE ，5 即可求得5，故②正确；

根据 AD ∥BC ，求出S △BDE =S △CDE ，推出 S △BDE ﹣S △DEH =S △CDE ﹣S △DEH ，

由∠AHD ＝∠CHD ，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB ＝∠EHD ，故④正确 【详解】

∵四边形ABCD 是正方形，E 是AD 边上的中点， ∴AE=DE ，AB=CD ，∠BAD=∠CDA=90°， 在△BAE 和△CDE 中

∵AE DE BAE CDE AB CDA =??

∠=∠??=?

∴△BAE ≌△CDE （SAS ）， ∴∠ABE=∠DCE ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°， ∵在△ADH 和△CDH 中，

AD CD ADH CDH DH DH =??

∠=∠??=?

∴△ADH ≌△CDH （SAS ），

∴∠HAD=∠HCD ， ∵∠ABE=∠DCE ∴∠ABE=∠HAD ，

∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°， ∴∠ABE+∠BAH=90°， ∴∠AGB=180°-90°=90°， ∴AG ⊥BE ，故①正确； ∵点E 是AD 边的中点， ∴AB= 2AE ， ∴

∴

，故②正确； ∵AD ∥BC ，∴S △BDE =S △CDE ， ∴S △BDE ﹣S △DEH =S △CDE ﹣S △DEH ， 即；S △BHE =S △CHD ，故③正确； ∵△ADH ≌△CDH ， ∴∠AHD=∠CHD ， ∴∠AHB=∠CHB ， ∵∠BHC=∠DHE ，

故选：D ． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质，解题的关键是熟练掌握其性质.

8．B

解析：B 【分析】

根据题意，有OP=AQ ，即可得到8OP OQ OA +==，①正确；当4t =时，OP=OQ=4，此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，即点B 坐标为（4，4），②正确；四边形PBQO 的面积为：4416?=，在P 、Q 运动过程面积没有发生变化，故③正确；由正方形PBQO 的性质，则此时对角线PQ=OB ，故④错误；即可得到答案. 【详解】

解：根据题意，点P 与点Q 同时以1个单位长度/秒的速度运动， ∴OP=AQ ， ∵OQ+AQ=OA=8， ∴OQ+OP=8，①正确；

由题意，点P 与点Q 运动时，点B 的位置没有变化，四边形PBQO 的面积没有变化， 当4t =时，如图：

则AQ=OP=4， ∴OQ=844-=，

∴点B 的坐标为：（4，4），②正确；

此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4， ∴四边形PBQO 的面积为：4416?=，③正确； ∵四边形PBQO 是正方形， ∴PQ=OB ，

即当4t =时，PQ=OB ，故④错误； ∴正确的有：①②③，共三个； 故选择：B. 【点睛】

本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键是根据点P 、Q 的运动情况，进行讨论分析来解题.

9．C

解析：C 【分析】

首先证明四边形AEPF 为矩形，可得AM=1

2

AP ，最后利用垂线段最短确定AP 的位置，利用面积相等求出AP 的长，即可得AM. 【详解】

在△ABC 中，因为AB 2+AC 2=BC 2， 所以△ABC 为直角三角形，∠A=90°， 又因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ， 故四边形AEPF 为矩形， 因为M 为 EF 中点， 所以M 也是 AP 中点，即AM=

1

2

AP ， 故当AP ⊥BC 时，AP 有最小值，此时AM 最小， 由1122ABC

S AB AC BC AP =??=??，可得AP=125

， AM=

1

2AP=6 1.25

= 故本题正确答案为C. 【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP ⊥BC 时AM 最小是解题关键.

10．C

解析：C 【分析】

由222AB AC BC +=，得出∠BAC =90°，则①正确；由等边三角形的性质得

∠DAB =∠EAC =60°，则∠DAE =150°，由SAS 证得△ABC ≌△DBF ，得AC =DF =AE =4，同理△ABC ≌△EFC （SAS ），得AB =EF =AD =3，得出四边形AEFD 是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE =150°，则③正确；∠FDA =180°－∠DFE =30°，过点A 作

AM DF ⊥于点M ，11

43622

AEFD

S

DF AM DF AD

===??=，则④不正确；即可得出结果． 【详解】

解：∵22234=5+， ∴222AB AC BC +=， ∴∠BAC=90°， ∴AB ⊥AC ，故①正确；

∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形， ∴∠DAB=∠EAC=60°，

又∴∠BAC=90°， ∴∠DAE=150°，

∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，

∴BD=BA ，BF=BC ，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°， ∴∠DBF=∠ABC ， 在△ABC 与△DBF 中，

BD BA DBF ABC BF BC =??

∠=∠??=?

， ∴△ABC ≌△DBF （SAS ）， ∴AC=DF=AE=4，

同理可证：△ABC ≌△EFC （SAS ）， ∴AB=EF=AD=3，

∴四边形AEFD 是平行四边形，故②正确； ∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确； ∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°， 过点A 作AM DF ⊥于点M ， ∴1

1

43622

AEFD

S

DF AM DF AD

===??=， 故④不正确； ∴正确的个数是3个， 故选：C ．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平角、周角、平行是四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

二、填空题

11．12或20 【分析】

根据题意分别画出图形，BC 边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出

即可．

【详解】

解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，

在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222

CE AC AE，

(25)42

在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222

=-=-=,

BE AB AE543

∴BC=BE+CE=3+2=5,

此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；

情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25

在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222

CE AC AE，

(25)42

在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222

BE AB AE543

-=-,

∴BC=BE-CE=3-2=1,

∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,

综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．

故答案为：12或20．

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．

12．2

【分析】

+转换成DP'，然后当

作P点关于线段AE的对称点P'，根据轴对称将DQ PQ

'⊥的时候DP'是最小的，得到DP'长，最后求出正方形边长DC．

DP AC

【详解】

∠的角平分线，

∵AE是DAC

∴P点关于线段AE的对称点一定在线段AC上，记为P'