中职数学集合教案

第课时

教学内容：集合的概念

教学目的：理解集合、子集、空集的概念，了解属于、包含、相等关系的意义，并能掌握相关术语和符号．

教学难点：集合的概念．

教学重点：集合的定义，元素与集合、集合与集合的关系．

教学过程：

（一）知识点：

1．集合

（1）集合的定义：某些指定对象的集在一起形成一个集合．

（2）集合的表示法：

列举法：把集合的元素一一列举出来写在在大括号内表示集合的方法．如{a,b,c}；

描述法：把集合中元素的公共属性描述出来写在大括号内表示集合的方法．格式为：{x| P}，其中x 表示元素的一般形式，P表示元素满足的特定的条件．如：

===；

x y y y x y y

{,)

图示法：用文氏图表示题中不同的集合．

注：（I）要注意“且”、“或”的合理使用；

（II）区分集合中元素的形式：如}1

{2+

2

|

x

y

A；}1

=x

x

=

+

x

y

y

B；

=x

2

=

{2+

|

+

x

=x

y

C；{(1,2)}与{1,2}．

=

x

y

2

}1

+

|)

,

{(2+

如（1）用列举法表示集合{x|x2-1=0}；（2）用描述法表示集合{1，3，5，7}．（3）性质（集合的三要素）：确定性，互异性，无序性

（I）确定性：任何元素a要么在集合A中，记作a∈A；要么不在集合中A，记作a?A．如老年人不能构成一个集合．

（II）互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同，

（III）无序性：{1，2，3}={3，2，1}．

如下列对象可构成一个集合的是( )

（A）某班的高个子同学（B）年轻人

（C）其倒数很大的数（D）绝对值等于它本身的实数

（4）集合的分类：

①按元素个数分：有限集、无限集；空集．

②按元素特征分：数集、点集．如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}

表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线．

如 在平面直角坐标系中，坐标轴上的点集可表示为 （D ）

（A ）{x=0，y=0} （B ）{0 , 0} （C ）{(x ，y)|x 2+y 2=0}（D ）{(x,y)| xy = 0}

2．常见的几种数集的表示符号：

3．元素与集合的关系：A a A a ∈?或

4．集合与集合的关系：

①子集：若对任意A x ∈都有则A 是B 的子集．

记作：A B B A ??或 ； C A C B B A ????,

②真子集：若B A ?，且存在A x B x ?∈00,但，则A 是B 的真子集．

记作：A B[或“B A B A ≠?且”] A B ，B C

A C

B A ??A B A B

????=??≠ ③B A A B B A =???且

④空集：不含任何元素的集合，用φ表示

对任何集合A 有A ?φ，若φ≠A 则φ

A 注意：区别∈与、与?、a

与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}、{0}与Φ 5．子集的个数

若12{,,,}n A a a a =，则A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n 个，2n -1个和2n -2个． 如：{x |x ∈N 且x<4}有多少个非空真子集？

（二）主要方法：

1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；

2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简．

（三）例题分析

例1 用适当的符号填空（∈,,?=, , ）：

（1）0 {0} ? {0} ? { x|x 2+1≤0 }

（2）{ a } { a, b, c } {1} {x| x 2=1} 0.5 Q

（3）N * Q Q R R Z

例2 写出集合{1，2，3}的所有子集．

解：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}．

例3 选择题：

1．下列说法不正确的是 （C ）

（A ）φ={x|x+1=x+2} （B ） 如果A B ，则B A ?

（C ）3∈Q + （D ）{x|x>1}{x|x>2}

2．集A={(x,y)|x 2+y 2=1}；集B={(x,y)|x 2+y 2≤1}，则A 、B 的关系是 (A )

（A ）A B （B ）B A （C ）A=B （D ）A

3． 已知2{1}P y x ==+，

2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则 （D ）

()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G =

解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．

例4 若M={x|x>3.14}，m=π ,下列关系正确的是 （A ）

（A ）{m}M （B ）m ?M （C ）{m}∈M （D ）{m }< M

（四）综合应用：

例1 已知A={1，x 2}，B={1,3, x}且A B ，求x 的值．

解 因为 A B , 所以x 2=3或x 2=x

当x 2=3时, x =3±；当x 2=x 时 , x=1或x=0

经检验得：x=0或x =3±满足是题意．

思考1、已知M={x|-2

思考2：已知集合{1，2}?A {1，2，3，4，5}，求符合条件的集合A 的个数．

例2 设全集U=R ，M=11{|,}24x x k k Z =+∈，N=11{|,}42

x x k k Z =+∈，则M 与N 的关系是 （C ）

（A ）M=N （B ）M N （C ）M N （D ）M

N =?

（五）归纳小结：

1．元素与集合之间的关系；

2．集合与集合之间的关系，不要忘记“φ”的考虑；

3．子集个数问题；

4．含参问题常用转化思想或数形结合求解．

（六）同步练习：

1． 数0与空集φ的关系是 （ D ）

（A ）0φ∈ （B ）0φ= （C ）{0}φ= （D ）0φ?

2、下列集合不能用列举法表示的是 （ A ）

（A ）不等式 | x | <1 的解集 （B ）{x| x< 10且x ∈N }

（C ）{(x,y)|x+2y=10且x 、y ∈N } （D ）大于-10小于2的整数集

3、在下各式中：①1∈ {0,1,2} ②{1}∈{0,1,2} ③{0,1,2}?{0,1,2} ④φ

{0,1,2} ⑤{0,1,2}={2,1,0}，其中错误的个数是 （ A ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

4、下列集合，其中一个不同于其它三个的是 （ B ）

（A ）{1} （B ）{x=1} （C ）{x|(x-1)2=0} （D ）{x| | x-1|=0}

5、以下集合中，元素恰为2个的集合是 （ A ）

（A ）{x|x 2-3x+2=0}（B ）{ x 2-3x+2=0} （C ）{x 2-3x+2}（D ）{ x 2-3x+2>0}

6、设集合A={x|x>0}，B={x|x<10}，则下列结论正确的是 （ B ）

（A ）{0}A B （B ）φA B （C ）A B （D ）B A =φ

7、非空集合A={x|2a+1≤x ≤3a -5},B={x|3≤x ≤22},则能使A ?B 成立的所有实数a 的集合是 （ B ）

（(A)){a|1≤a ≤9} （B ）{a|6≤a ≤9} （C ）{a|a ≤9} （D ）?

8、若P={x|x ≤3}，a= ,下列关系正确的是 （ A ）

（A ）{a}P （B ）a ?P （C ）{a}∈P （D ） a P

9、若集合B A ax x B x x A ?====若},1|{},1|||{，则实数a 的值是 （ D ）

（A ）1 （B ）－1 （C ）1或－1 （D ）1或0或－1

10、M={1,2,3,4,5}，P={x|x=ab ，a 、b M ∈且b a ≠}，P 的真子集个数 （ B ）

（A ）210个 （B ）210-1个 （C ）25-1个 （D ）25个

11、全集I={1，2，3，4，5}，A={1，5}，则I A 的所有子集的个数是（ D ）

（A ）3 （B ）6 （C ）7 （D ）8

12、设集合2{1,3,},{1,},,A x B x B A ==?若则实数x 允许取值个数有 （ C ）

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

13、已知A={x|-2

14、已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ?，则适合条件的实

数m 的集合P 为1{0,2,}3

-；P 的子集有 8 个；P 的非空真子集有 6 个 15、已知集合A 满足：{0，1}A ?{0，1，2，3，4}，则符合条件的A 共有 7 个．

16、已知集合A ＝{-1,3,2m -1}，集合B ＝{3,2m },若B ?A,则实数m ＝ 1 智力题：

1 若集合A=2

{|10,}x x ax x R ++=∈，集合B={1，2}，且A B ?，求实数的取值范围． 解 （1）若A φ=，则240a ?=-<，解得22a -<<； （2）若1A ∈，则2

110a ++=，解得2a =-，此时{1}A =，适合题意； （3）若2A ∈，则2

2210a ++=，解得52a =-，此时5{2,}2

A =，不合题意； （4）{}1,2A =不可能． 综上所述，实数a 的取值范围为[2,2)-．

第 课时

教学内容：集合的运算

教学目的：理解子集、交集、并集、补集、全集的概念，掌握相关术语和符号． 教学重点：集合的运算

教学过程：

（一）集合运算：

1．有关概念

（1）交集：A ∩B={ x| x ∈A 且x ∈B}---公共部分

（2）并集：A ∪B={ x| x ∈A 或x ∈B}---所有部分

（3）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U 表示．

（4）补集：

U A ={ x| x ∈全集U 且x ?A}---剩余部分 （图表型）

A ?

B A ?B

U A 2．常用运算性质及一些重要结论

（1）A B B A A A

A A ===φφ （2）A

B B A A A A

A A ===φ

（3）U A C A A C A U U == φ

（4）B A B B A B A A B A ??=??= （5）)()()()

()()(B C A C B A C B C A C B A C U U U U U U == （6）)()()()(B A Card B Card A Card B A Card -+=

（二）方法：韦恩示意图, 数轴分析．

（三）知识应用：

1、基础题：

例1设U=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝，A=｛3,4,5｝，B=｛4,7,8｝,求C u A ，C u B ，(C u A) (C u B)，(C u A) (C u B)，C u (A B) , C u (A B)．

解：C u A=｛1,2,6,7,8｝；C u B=｛1,2,3,5,6｝

(C u A) (C u B)= C u (A B)=1,2,6｝

A B A B A

(C u A) (C u B)= C u (A B)=｛1,2,3,5,6,7,8｝

例2 （1）已知A={(x,y)| 4x+y=6}，B={(x,y)|3x+2y=7}求A ?B ．

（2）已知全集U=R ，集合{|12},{|0}A x x B x x =-≤≤=>,求,A

B A B ，U A U B ，()U A B ，()U A B ；观察上述问题，可得出什么规律？

解（2）A B ={|1}x x ≥-，{|02}A

B x x =<≤ U A U B {|1}x =<-，()U A B {|1}x =<-，()U

A B ={|02}x x x ≤>或 注 德莫根法则---

U A U B =()U A B ,U A U B =()U A B 练习、已知A={x | x 2-4<0}，B={x | x 2-4x+3≥0}，且全集I=R ，求U A U B 、

()U A B ． 分析：A={x|-4

2、综合题讲解

例1 设全集{}|010,U x x x N *=<<∈，若{}3A B =，{}1,5,7U A C B =，{}9U U C A C B =，则A ={}1,3,5,7，B ={}2,3,4,6,8．

解法要点：利用文氏图．

思考1、如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，

则阴影部分所表示的集合是 （图表型）

（A ）（M ?P ）?U S （B ）（M ?P ）?U S （C ）（M ?P ）?S （D ）（M ?P ）?

U S 思考2、已知全集U={0，-1，-2，-3，- 4 }，集合M={0，-1，-2}，N={0，-3，-4}，

则 {-3，- 4}= （数字型） （A ）M ?N （B ）M ?N （C ）M ?N （D ）M ?N 思考3、集合M={x| 0

（A ）{x|0≤x<1} （B ）{x|0

思考4、已知全集I=N ，集合A={x| x = 2n,n ∈N},B={x| x= 4n,n ∈N}，则有（ ）

（A ）I=A ?B （B ）I=A ?B （C ）I=B ?A （D ）I=A ?B （关系型） 一般性结论：如B ?A ，则有U=B ?A

例2 知全集32{1,3,2}S x x x =--，A={1,21x -}如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由

分析：此题的关键是理解符号}0{=A C S 是两层含义：A S ?∈00且

解：∵}0{=A C S ∴A S ?∈00且，即322x x x --＝0，解得1230,1,2x x x ==-= 当0=x 时，112=-x ，为A 中元素；当1-=x 时，213x S -=∈；当2x =时，213x S -=∈．∴这样的实数x 存在，是1x =-或2x =．

另法： ∵}0{=A C S ∴A S ?∈00且，3A ∈，∴322x x x --＝0且213x -=，∴1x =-或2x =．

（四）归纳小结：

1．用数轴、文氏图解题；

2．可与不等式、方程、几何结合．

（五）同步练习：

1、已知A={(x,y)| 4x+y=6}，B={(x,y)|3x+2y=7}求A ?B ． 答案： {(1,2)}

2、已知全集U={x|x<2},A={x| -1

U A ．答案：{|112}x x x ≤-≤<或 3、已知全集U=R, {|02},{|11}A x x B x x =≤≤=-<<,求,A B A B ，U A U B ，()U A B ，

()U A B 答案：{|12},{|01}A B x x A B x x =-<≤=≤< U A U B =()U A B ={|12}x x x ≤->或，()U A B ={|01}x x x <≥或

4、设全集U={-2,-1,0,1,2,3,4 }，M={-2,0,2,4},P={0,1,4},U P U M = （ C ）

（A ）{-2,-1,1,2,3} （B ）{-2,0,1,2,4} （C ）{-1,3} （D ）{0,4}

5、已知集合=?<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},4|{22 （ C ）

（A ）{2|-x x } （C ）{21|<<-x x }（D ）{32|<

6．已知集合{}|31A x x =-≤≤，{}2B x =≤，则A B =确良 （ A ） （Ａ）{}|21x x -≤≤ （Ｂ）{}|01x x ≤≤

（Ｃ）{}|32x x -≤≤ （Ｄ）{}|12x x ≤≤

7、设U 为全集，B A U ，则下列结论中不正确的是 （ C ）

（A ）U A U B （B ）B B A = （C ）U A B φ=（）

（D ）U A B φ=（） 8、设M N ，则必为空集的是 （ A ） （A ）)(N C M U （B ）()

U C M N （C ）)()(N C M C U U （D ）N M

9、设全集U={1,2,3,4,5}，A 、B 为U 的子集，若}2{=B A ，(A U )B={4}，

(A U ) (B U )={1，5}，则下述结论正确的是 （ C ）

（A ）B A ??3,3 （B ）B A ∈?3,3 （C ）B A ?∈3,3 （D ）B A ∈∈3,3 10、不等式组??

?>+>03,42a x x 的解集是{x |x ＞2}，则实数a 的取值范围是 （ B ）