山东省2020届高三月考数学试卷

高三教学质量检测

数学试题

本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.

第I 卷（选择题60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.） 1.

的值为 A.

B.

C.

D.

2. 已知全集

,集合

,

,则 A. B. C.

D.

3.“

”是“

”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 4. 在等差数列

中，若其前项和记为，已知，那么等于

A.25

B.35

C.45

D.55 5. 设向量,

，且

,则

等于

A ．

B ．

C ．

D ．

6. 函数

的零点所在区间是

A ．

B ．

C ．

D ．

7. 函数

的图 象如右图所示，为了得到的图象，只需

将

的图象

A.向左平移个单位

B.向右平移个单位

C.向左平移个单位

D.向右平移

个单位

8. 在

中，若

，

，则

的形状是

A ．等边三角形

B ．等腰三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

y

π4 12

5π O x -1

9. 函数的图象大致是

A B C D

10.已知函数,若存在,使得, 则 的取值范围

为

A.

B.

C. D.

11.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递

减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m >石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m 的值分别为 A ．20% 369 B ．80% 369 C ．40% 360

D ．60% 365

12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若

对任意(,]x m ∈-∞，都有8

()9

f x ≥-

，则m 的取值范围是 A ．9,4??-∞ ??? B ．7,3??-∞ ??? C ．5,2??-∞ ??

? D ．8,3?

?-∞ ???

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13.已知向量与夹角为，且,，则 .

14.已知

，

,且

，则

的最小值是 .

15.设函数()e e x

x

f x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a = ； 若

是]1,1[-上的减函数，则a 的取值范围是___________．

16.若函数

满足

，对定义域内的任意，总有

恒成立，则称

为“”函数.现给出下列函数：

①；②；③；④；⑤.

其中为“”函数的序号是 .（把你认为所有正确的序号都填上）

三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题共2个小题，每小题5分，满分10分）

（Ⅰ）求值：；

（Ⅱ）解关于x的不等式：<3.

18.（本题满分12分）

设向量,,若.

（Ⅰ）试求的值；

（Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递增区间．

19. (本题满分12分)

在中, 分别是角的对边，已知.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的面积的值．

20. (本题满分12分)

已知是递增的等差数列，且是方程的根；数列的前项和为，且().

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）若(),试求数列的前和.

21.（本题满分13分）

近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录.为此，一公司拟定在2014年圣诞节期间举行某产品的促销活动，经测算该产品的年销售量P万件（生

产量与销售量相等）与促销费用万元满足(其中,为正常数).已知2014

年生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件.

（Ⅰ）试将2014年该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

（Ⅱ）问：2014年该公司促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

22.(本题满分12分)

已知函数() ,＝2.718 28…为自然对数的底数.

（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数为上的单调递增函数，试求实数的范围；

（Ⅲ）若当时，总有成立，试求实数的最大值.

高三文科数学参考答案

一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B C B C D A D A A (本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13. 14. 15. 16. ②③

三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）

16. 解：（Ⅰ）原式=……………………………3分

. …………6分（Ⅱ）原不等式化为.

令, 则有, 解得.…………8分

即, ∴,即, ………10分

∴， (※)

即.…………………………………………………11分

∴原不等式的解集为. ……………………12分

【说明】若考生最后结果解得的集合中的范围为(※)形式不予扣分.

17.解:【方法一】（Ⅰ）由题设，得,……2分

∴

. ………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，…………………………8分∴,即函数的最小正周期为. ……………………………9分

由(),得（），

∴函数的单调递增区间为 (). ………………12分

【方法二】由题意，得

. ………………4分（Ⅰ）.………7分

（Ⅱ）由,∴函数的最小正周期为. ……………………9分

由(),得（），

∴函数的单调递增区间为 (). ………………12分18.解：（Ⅰ）在中，,

则由，得,…………2分

即,

解得或（舍去）. ……………………………………4分

∵, ∴. …………………………………………………6分

（Ⅱ）由余弦定理,得, …………………………7分

∵,

∴, 即, ……………9分

解得. ……………………………………………………………10分

∴的面积为. ……………12分

19.解：（Ⅰ）易得方程的两根为，

则由题意，得. …………………………………………1分设等差数列的公差为，首项为，

则，∴.

从而, ∴.

∴数列的通项公式为. ………………………3分

∵，①

∴当时，，②

①-②得，，

∴（）. ……………………………………………………5分由①式，令，有, 解得. ………………6分

∴是以2为首项，公比为2的等比数列.

且. ……………………………………………………7分（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）得.

∴

, ………………………………………8分即，①

∴. ②

①-②得,………10分

∴ ,

∴ . …………………………………………………12分

20.解：（Ⅰ）由题意，得.

∵,将其代入上式并化简，得（）.

此即为所求产品的利润关于促销费用的函数关系式. ……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

当且仅当，即时，上式取等号. ……………………………8分

①当时,促销费用需投入1万元，厂家的利润最大；……………………9分

②当时,易得,

由于，，∴，∴

∴函数在上单调递增，

∴当时,函数有最大值．即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.…12分综上,当时,促销费用投入1万元，厂家的利润最大；

当时, 促销费用投入万元，厂家的利润最大. ……………………13分【说明】本题用其它方法解答，只要思路、结果正确，请参照评分标准赋分.

22.解：（Ⅰ）由题设，得，∴, ……………………1分

∴在点处的切线方程为,

即. ………………………………………………………3分（Ⅱ）依题意，知 ()恒成立，

①当时，有恒成立，此时.

②当时，有，令,则, …………………4分

由得，,且当时，；当时，.

∴,则有,

∴. …………………………………………………………5分

③当时，有，∵, 则有, ∴.

又时恒成立.

综上，若函数为上的单调递增函数，所求. …………………6分（Ⅲ）依题意，得恒成立，

记,即（）恒成立.

∴. ………………………………………………7分

当时，，则，

显然，当时，,

∴此时，在单调递增，且有，

∴,即(当且仅当时取等号). ………………………8分

∴.从而

①当，即当时，（），

此时，在上单调递增.

而，于是，当时，. ………………………………9分

由（）可得，即（）.则有

②当时，

.

则有,得, ∴,

∴当时，, ∴在单调递减.

又，∴当时，有，此不合题意. ………………11分

综上，所求实数的最大值为. ………………………………………………12分