晶体学基本(晶向指数与晶面指数)
1.4 晶向指数和晶面指数
一晶向和晶面
1 晶向
晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面
晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定
1 晶向指数的确定方法
三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法
图2 不同的晶向及其指数
当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P (x 1，y 1，z 1)和Q (x 2，y 2，z 2)，然后将(x 1-x 2)，(y 1-y 2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。 说明：
a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。
c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用
<111>：[111] [111] [111] [111] [111] [111] [111] [111]
图3 正交点阵中的几个晶向指数 2 晶面指数的确定
国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（h k l ）。图4中的红色晶面为待确定的晶面，其确定方法如下。
图4 晶面指数的确定
(1)建立一组以晶轴a ，b ，c 为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a ，b ，c 。
(2)求出待标晶面在a ，b ，c 轴上的截距xa ，yb ，zc 。如该晶面与某轴平行，则截距为∞。(3)取截距的倒数1/xa ，1/yb ，1/zc 。
(4)将这些倒数化成最小的简单整数比h ，k ，l ，使h ∶k ∶l = 1/xa ∶1/yb ∶1/zc 。
(5)如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，将h ，k ，l 置于圆括号内，写成(hkl )，则(hkl )就是待标晶面的晶面指数。
说明：晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。
a 指数意义：代表一组平行的晶面；
b 0的意义：面与对应的轴平行；
c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反；
d 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相同），空间位向不同的各组晶面，用{hkl}表示。
在立方系中，{100}：（100）（010）（001），{110}：（110）（101）（011）（110）（101）（011），{111}：（111）（111）（111）（111）
e 若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0;
f 若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l。
立方系常用晶面指数图5。
图5 立方系常用晶面指数
例子：请确定图6中的晶面的晶面指数，并在图7中画出这些晶面指数所代表的晶面。
首先选定坐标系，如图所示。然后求出待标晶面在a，b，c轴上的截距，分别为a/2，2b/3，c/2。取倒数后得到2，3/2，2。再将其化成最小的简单整数比，得到4，3，4三个数。于是该面的晶面指数为(434)。
图6
图7 晶面指数的标注
所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然不同，但它们是成比例的，其倒数也仍然是成比例的，经简化可以得到相应的最小整数。因此，所有相互平行的晶面，其晶面指数相同，或者三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相互平行的晶面。
图8立方晶胞的{110}、{111}晶面族
3 关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以下几点说明：
(1)参考坐标系通常都是右手坐标系。坐标系可以平移（因而原点可置于任何位置）。但不能转动，否则，在不同坐标系下定出的指数就无法相互比较。
1），
(2)晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字上方，如（23 [112]等。
(3)若各指数同乘以不等于零的数n，则新晶面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶向或是同向(当n>0)，或是反向(当n<0)。但是，晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和晶向长度（两个相邻结点间的距离）一般都会改变，除非n=1。
从以上各例可以看出，立方晶体的等价晶面具有“类似的指数”，即指数的数字相同，只是符号（正负号）和排列次序不同。这样，我们只要根据两个（或多个）晶面的指数，就能判断它们是否为等价晶面。另一方面，给出一个晶面族符号{hkl}，也很容易写出它所包括的全部等价晶面。
对于非立方晶系，由于对称性改变，晶面族所包括的晶面数目就不一样。例如正交晶系，晶面(100)，(010)和(001)并不是等同晶面，不能以{100}族来包括。
与晶面族类似，晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用
以后，在讨论晶体的性质(或行为)时,若遇到晶面族或晶向族符号，那就表示该性质（或行为）对于该晶面族中的任一晶面或该晶向族中的任一晶向都同样成立，因而没有必要区分具体的晶面或晶向。
另外，在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl]⊥(hkl)。
4.六方晶系指数表示
上面我们用三个指数表示晶面和晶向。这种三指数表示方法，原则上适用于任意晶系。对六方晶系，取a，b，c为晶轴，而a轴与b轴的夹角为120°，c轴与a，b轴相垂直，如图9所示。
图9 六方晶体的等价晶面和晶向指数
但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数。这一点可以从图9看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒指数却分别是（101）和(100)。图中夹角为60°的两个密排方向D1和D2是晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别是[100]和[110]。由于等价晶面或晶向不具有类似的指数，人们就无法从指数判断其等价性，也无法由晶面族或晶向族指数写出它们所包括的各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大的不便。为了克服这一缺点，或者说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数，对六方晶体来说，就得放弃三指数表示，而采用四指数表示（密勒-布拉菲指数）。
四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2，a3和c轴，如图10所示，其中，a1，a2和c 轴就是原胞的a，b和c轴，而a3=-(a1+a2)。下面就分别讨论用四指数表示的晶面及晶向指数。
图10 六方晶体的四轴系统
（1）六方晶系晶面指数的标定
六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，从待标晶面在a1，a2，a3和c轴上的截距可求得相应的指数h，k，i，l，于是晶面指数可写成(hkil)。
根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。应用上述方法标定的晶面指数形式上是4个指数，但是不难看出，前三个指数中只有两个是独立的，它们之间有以下的关系：i = -( h + k )，因此，可以由前两个指数求得第三个指数。
六方晶体中常见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图11中。从图看出，采用四指数后，同族晶面（即晶体学上等价的晶面）就具有类似的指数。例如：
共6个等价面(Ⅰ型棱柱面)。
共6个等价面(Ⅱ型棱柱面)。
而{0001}只包括(0001)一个晶面，称为基面。六方晶体中比较重要的晶面族还有，请读者写出其全部等价面。
图11 六方晶体中常见的晶面 （2）六方晶系晶向指数的标定
采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个轴分解成四个分量，晶向OP 可表示为：OP=ua 1+va 2+ta 3+wC ，晶向指数用[uvtw]表示，其中t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图12中a 1轴为[0112]，a 2轴[0121]，a 3轴[2011]均属〈0112〉，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]，再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C 轴垂直底面，a 1、a 2轴在底面上，其夹角为120o ，如图12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如[100]，[010]，[011]，见图12。
图12 六方晶系的一些晶面与晶向指数
六方晶系按两种晶轴系所得的晶向指数可相互转换如下)2(31V U u -=，
)2(31U V v -=，
)(v u t +-=，W w =。例如，[011]→[2011]，[100]→[0112]，[010]→[0121]，这样等同晶向的晶向指数的数字都相同。
标定方法通常采用行走法。用行走法确定六方晶体的四轴晶向指数时，会遇到一个新的问题，即解是不唯一的。例如，a 1轴的指数可以是，也可以是[2000]；a 2轴的指数
可以是
，也可以是[0200]。分析各种等价晶向的四指数后发现，要想使等价晶向具
有类似的四指数，就需要人为地附加一个条件，即前三个指数之和为零。若将晶向指数写成[UVTW ]，则上述附加条件可写成：U+V+T=0，或T =-(U+V )。按照这个附加条件，上述
a 1轴的指数就应该是
，而不是[2000]；同样，a 2和a 3轴的指数分别是和
。
图13中标出了六方晶体中各重要晶向的四指数，它们是[0001]，，等
等。
图13 六方晶体中常见的晶向
除上述几个特殊晶向外，对一般的晶向，很难直接求出四指数[UVTW]，因为很难保证在沿a1，a2，a3和c轴分别走了U，V，T和W步后既要到达晶向上的另一点，又要满足条件T=-(U+V)。比较可靠的标注指数方法是解析法。该法是先求出待标晶向在a1，a2和c 三个轴下的指数u，v，w（这比较容易求得），然后按以下公式算出四指数U，V，T，W。
(1-1)
T = - (U + V)
W = w
_ 此公式可证明如下。
由于三指数和四指数均描述同一晶向，故：
U a1+ V a2+ T a3+ W c= u a1+v a2+w c
(1-2) 又由几何关系：
a1+ a2= - a3
(1-3) 再由等价性要求：
T = - (U+V)
(1-4) 解以上三个联立方程，即得到：
u = 2U+V，v = 2V+U，w = W
(1-5) (1-5)式和(1-1)式可用矩阵表示如下：
=
=
下面举两个例子。
例1 请写出a1轴的晶向指数。
解：从晶胞图直接得到：u=1，v=0，w=0，按(1-1)式算得：
故
。
例2 请写出a2和-a3交角的平分线D的晶向指数。
解：从晶胞图可看出：D=a1+(-a3)=2a1+a2，得u=2，v=1，w=0，代入(1-1)式得到：U=1，V=0，T=-1，W=0，故。
5 立方和六方晶体中重要晶向的快速标注
在以后各章将多次遇到立方和六方晶体中的一些低指数重要晶向，需要迅速确定其指数。根据上述标定指数的方法，我们归纳出一条快速标定晶向指数的口诀，即：“指数看特征，正负看走向”。就是说，根据晶向的特征，决定指数的数值；根据晶向是“顺轴”（即与轴的正向成锐角）还是“逆轴”（即与轴的正向成钝角），决定相应于该轴的指数的正负。下面具体讨论立方和六方晶体中的各重要晶向。
（1）立方晶体
立方晶体中各重要晶向的特征如下：
(1)<100> 是晶轴。若沿着a轴，则第一指数为1，依次类推；如果“逆轴”（如
沿-a轴），则相应指数为。
(2)<110> 是立方体面对角线。若面对角线在a面（即(100)面）上，则第一指数为零，其余两个指数为1或（取决于所讨论的对角线是“顺着”还是“逆着”相应的晶轴）。
(3)<111> 是体对角线。三个指数都是1或，取决于该对角线与相应轴的交角（锐角为1，钝角为)。
(4)<112> 是顶点到对面（即不通过该顶点的{100}面）面心的连线。如果对面是a 面，则第一指数为2或，其余两个指数为1或。
（2）六方晶体
六方晶体中各重要晶向的特征如下：
(1)[0001] c轴。
(2)和a1，a2或a3轴平行的晶向。和哪个轴正（或反）平行，则相应的指数就是2（或），其余三个指数就是，，0（或1，1，0）。
(3)两个晶轴±a i和a j交角的平分线（i、j=1，2，3，i≠j）。例如，
是+a1轴和-a3轴交角的平分线；是-a2轴和+a3轴交角的平分线等等。
根据以上几类晶向指数，还可以迅速求得某些不平行于基面的重要晶向。方法是先求该晶向在基面上的投影线的指数[UVT0]，而w可从晶胞图中直观看出。例如，求图1-19中MN
的指数时，先将MN平移至原点，找出其投影ON'的指数，从图1-19中可直
观看出W=1，故MN的指数，化整后得到。
6 晶带
相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴。设晶带轴的指数为[uvw]，则晶带中任何一个晶面的指数（hkl ）都必须满足：hu+kv+lw=0，满足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带，已知两个非平行的晶面指数为（h 1k 1l 1）和（h 2k 2l 2）则其交线即为晶带轴的指数[uvw]：1221l k l k u -=，1221h l h l v -=，
1221k h k h w -=。
图14 晶带轴 7 晶面间距
一组平行晶面中，相邻两个平行晶面之间的距离叫晶面间距。两近邻平行晶面间的垂直距离，用d hkl 表示。对于不同的晶面族{hkl}其晶面间距也不同。总的来说，低指数晶面的面间距较大，高指数晶面的面间距较小。
图15 晶面间距
22
)
22(3
4)
(1
c l a k hk h hkl
d +++=
图16 晶面间距公式的推导
由晶面指数的定义，可用数学方法求出晶面间距，（简单立方）：d=a/(h 2+k 2+l 2)1/2，
正交系：222)
()()(1
c l b k k h hkl
d ++=
，立方系：2
2
2
l
k h a hkl d ++=
，六方系：22
)
22(3
4
)
(1
c l a k hk h hkl
d +++=
。
此公式用于复杂点阵（如体心立方，面心立方等）时要考虑晶面层数的增加。例如，体心立
方（001）面之间还有同一类的晶面，可称为（002）面，故晶面间距应为简单晶胞001d 的一半，等于2a 。由公式也可看出低指数晶面的面间距大。 三 晶体的极射赤面投影
采用立体图难以做到清晰表达晶体的各种晶向、晶面及它们之间的夹角。通过投影图可将立体图表现于平面上。晶体投影方法很多，广泛应用的是极射赤面投影。 1 参考球与极射赤面投影 （1）参考球
设想将一很小的晶体或晶胞置于一个大圆球的中心，由于晶体很小，可认为各晶面均通过球心，由球心作晶面的法线与球面的交点称为极点，这个球称参考球，如图17。球面投影用点表示相应的晶面，两晶面的夹角可在参考球上量出，如图17，(110)与(010)夹角为45o 。但使用上仍不方便。可在此基础上再作一次极射赤面投影。
图17 参考球与立方系球面投影 （2）极射赤面投影
以球的南北极为观测点，赤道面为投影面。连结南极与北半球的极点，连线与投影面的交点即为晶面的投影，如图18。投影图的边界大圆与参考球直径相等叫基圆。位于南半球的极点应与北极连线，所得投影点可另选符号，使之与北半球的投影点相区分。也可选与赤
道平行的其他平面作投影面，所得投影图形状不变，只改变其比例。对于立方系，相同指数的晶面和晶向互相垂直、所以立方系标准投影图的极点即代表了晶面又代表了晶向。若将参考球比拟为地球，以地球的两极为投影点，将球面投影投射到赤道平面上，就叫极射赤面投影。
图18 极射赤面投影
2 标准投影图
以晶体的某个晶面平行于投影面，作出全部主要晶面的极射投影图称为标准投影图。一般选择一些重要的低指数晶面作投影面，如立方系(001)，(011)，(111)及六方系(0001)等。例如(001)标准投影图是以(001)为投影面，进行极射投影而得到的，如图19。
图19 立方系（001）标准投影图
3 吴氏网
吴氏网是球网坐标的极射平面投影，分度为2 o，具有保角度的特性。其读数由中心向外读，分东，南，西，北。吴氏网如图20所示。
图20 吴氏网（分度为2o）
使用吴氏网时，投影图大小与吴氏网必须一致。利用吴氏网可方便读出任一极点的方位，并可测定投影面上任意两极点间的夹角，是研究晶体投影，晶体取向等问题的有力工具。在测量时，用透明纸画出直径与吴氏网相等的基圆，并标出晶面的极射赤面投影点。将透明纸盖于吴氏网上。两圆圆心始终重合，转动透明纸、使所测两点落在赤道线上，子午线上，基因上，同一经线上。两点纬度差(在赤道上为经度差)就等于晶面夹角。不能转到某一纬线去测夹角，因为此时所测得的角度不是实际夹角。
例题
1.已知纯钛有两种同素异构体，低温稳定的密排六方结构和高温稳定的体心立方结
构，其同素异构转变温度为882.5℃，计算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）和（001）的晶面间距（已知a a20℃=0.2951nm, c a20℃=0.4679nm, aβ900℃=0.3307nm）。
答案
20℃时为α-Ti：hcp结构
当h+2k=3n (n=0,1,2,3…) ，l=奇数时，有附加面。
；
900℃时为β-Ti：bcc结构
当奇数时，有附加面。
内容提要
晶胞是能反映点阵对称性、具有代表性的基本单元（最小平行六面体），其不同方向的晶向和晶面可用密勒指数加以标注，并可采用极射投影方法来分析晶面和晶向的相对位向关
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
i.4晶向指数和晶面指数 一■晶向和晶面 i 晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某 些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线 的指向。 2晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原 子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。 材料的许多性质和行为 （如各种 物理性质、力学行为、相变、X 光和电子衍射特性等）都和晶面、 晶向有密切的关系。所以， 为了研究和描述材料的性质和行为， 首先就要设法表征晶面和晶向。 为了便于确定和区别晶 体中不同方位的晶向和晶面， 国际上通用密勒（Miller ）指数来统一标定晶向指数与晶面指 数。 二 晶向指数和晶面指数的确定 i 晶向指数的确定方法 三指数表示晶向指数［uvW ］的步骤如图i 所示。 建立以晶轴a ，b , c 为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长 坐标原点在待标 晶向上。 选取该晶向上原点以外的任一点 P （xa ，yb ，zc ）。 将xa , yb , zc 化成最小的简单整数比 u , v , w,且u ： v : w = xa : yb : zc 。 将u , v , w 三数置于方括号内就得到晶向指数 图2不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时， 坐标原点不一定非选取在晶向上不可。 若原点不在待标晶向 上，那就需要选取该晶向上两点的坐标 Rx i, y i, z i ）和Q X 2, y 2, z 2），然后将（X i -X 2），（y i - y 2）， ⑴ c ， ⑵ ⑶ ⑷ [iiD] [101] {01 Oi] b a , b , [uvW 。 图1晶向指数的确定方法 [00[] ￡ \ If * a _________________ m
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1.4 晶向指数和晶面指数 一晶向和晶面 1 晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。 2 晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。 二晶向指数和晶面指数的确定 1 晶向指数的确定方法 三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。 (1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。 (3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。 (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。 图1 晶向指数的确定方法 图2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，
(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。则[uvw ]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
晶向指数和晶面指数 一晶向和晶面 1 晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。 2 晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。 二晶向指数和晶面指数的确定 1 晶向指数的确定方法 三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。 (1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。 (3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。 (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。 图1 晶向指数的确定方法 图2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，
(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。则[uvw ]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用
晶体点群分类和晶面指数的计算
26.晶体学点群概念及种类？ 晶体学点群的概念： 晶体的宏观对称操作的集合构成宏观对称操作群，即晶体学点群；晶体的宏观对称元素的集合构成宏观对称元素系（亦称对称型）。宏观对称元素系并不是群，不过，二者具有一一对应的关系，所以，常用宏观对称元素系表示相应的晶体学点群。 晶体学点群有32种。任何一种晶体必定属于32种晶体学点群之一。 32种晶体学点群代表互不相同的对称类型，但有些点群具有某种共同的对称元素，据此可以把32种晶体学点群归属于7种晶系。方法是：规定出某些点群共有的、有代表性的对称元素作为一种晶系的特征对称元素，具备这种特征对称元素的几个点群就归属于这种晶系。 27.晶系的种类及名称？ 举个例子： 28. 晶族的种类及名称？ 6种晶族 六方晶系与三方晶系的正当晶胞的几何特征相同（a=b≠c，α=β= 90o，γ=120o），同属于六方晶族 详见27题中表
29. Bravais 格子的含义及种类？ 7种晶系共有14种空间点阵型式，即14种Bravais格子。 平面点阵指标也称为晶面指标或米勒指数，是标志一族平面点阵在晶体中方向的一组3个互质整数(个别晶系有4个整数)，加圆括号记作(h*k*l*)。晶面指标（h*k*l*）平面点阵指标需要经过三步才能写出： （1）以a、b、c为度量单位，依次写出平面点阵在三条晶轴上的截数r、s、t； （2）求倒易截数1/r、1/s、1/t； （3）求出倒易截数的互质整数比h*：k*：l*，记作（h*k*l*），即为平面点阵指标。 （4）晶面与哪条坐标轴平行，相应的截数就是无穷大。求倒易截数就是为了消除无穷大。显然,相互平行的一族平面点阵，其（h*k*l* ）相同。
结构化学-晶棱和晶面指数的计算方法
§1-2 晶棱和晶面指数 这一节主要是讨论表示利用晶格的概念来表示晶棱和晶面的方法。 晶棱与晶向：由于晶体结构的周期性，晶格中各格点的周围情况都是一样的，因此通过任意两个格点作一条直线，则在直线上所有格点的周期相同，这样的直线称为晶棱。再通过其它格点还可以做许多与此晶棱平行的直线，这些平行直线组成一个晶棱族，如图1-8所示。同一晶棱族的方向相同，而且能把所有点子包括无遗。此外，通过同一格点还可沿不同方向作无限多晶棱，如图1-9中通过O的晶棱有1、2、3、4、5等等，其中每一个晶棱都有一组晶棱与之对应，就是说，可以做无限多个晶棱族，各族晶棱可以通过取向不同而加以区别。晶棱的取向也简称晶向。只要表出了晶向，该组晶棱的特点也就知道了。 图1-8 一族晶棱示意图 图1-9 通过格点O的部分晶棱示意图 晶向的表示方法：取格点O为原点，a、b、c为晶胞的三个基矢，则其它任一格点A 的位置矢量为
式中l1、l2、l3为整数（或有理数）。取l1、l2、l3的互质比，即l1：l2：l3来表示晶棱OA 的方向，通常不直接用比例记号，该用方括号[l1l2l3]表示。例如在图1-9中，晶棱1上A点为l1=1，l2=1，l3=0；B点为l1=2，l2=2，l3=0；比值为：l1:l2:l3=1:1:0=2:2:0，由此可得晶棱1 的方向为[110]。同理可得晶棱2的方向为[320]，晶棱4的方向为[30]，其中记号“”代表“-1”。三个晶轴a、b、c的方向分别为[100]、[010]、[001]（c轴与图平面垂直，未画出）。 晶面与晶面指数：晶格中，还可以从各个方向上划分成无限多平面，即晶面族，如图1-10所示。同一族晶面中，彼此距离相等，方向相同，格点在晶面上的分布也相同。晶体的表面也是晶面，通常应该是原子面密度比较大的面。现在问题是如何表示这些晶面族的方向。 图1-10 部分晶面族示意图 从立体几何中知道，要描述一个平面的方向，就是表示出这个平面在三个坐标轴上的截距。描写晶面方向的方法也是如此。选取与晶轴平行的基矢a、b、c为坐标轴。假设有一个晶面与此三个坐标轴相交于M1、M2和M3三点（如图1-11所示），截距分别等于：OM1=ra，OM2=sb，OM3=tc，例如在图1-11中晶面的三个截距分别是r=3，s=2，t=1。因为一族晶面一定包含了所有格点，所以截距的长度是一组有理数，或者说截距的倍数是晶格常数的整数倍，如果晶面与某一坐标轴平行，则晶面在此坐标轴的截距为无限大（例如，若晶面与b 轴平行，则s=∞）。为了避免使用无限大，常采用截距倒数的互质整数比，即用 来表示晶面的方向。通常不用比例记号，该用圆括号（hkl）来表示晶面的方向。（hkl）称为晶面指数，或称为米勒（Miller）指数。如图1-11中的晶面指数为， 即M1M2M3面的米勒指数为（236）。有时也称M1M2M3面为（236）晶面。
晶向晶面指数
晶向指数：[uvw] 即为AB 晶向的晶向指数。 如u 、v 、w 中某一数为负值，则将负号标注在该数的上方。[21]和[1]就是两个相互平 行、方向相反的晶向。 因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用
晶向指数与晶面指数
1.4晶向指数和晶面指数 一晶向和晶面1晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。 2晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种 物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以， 为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶 体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指 数。 二晶向指数和晶面指数的确定1晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数［uvw］的步骤如图1所示。 （1）建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。 ⑵选取该晶向上原点以外的任一点P（xa，yb，zc）。 ⑶将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w,且u ：v : w = xa : yb : zc。 ⑷将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数［uvW。 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向 上，那就需要选取该晶向上两点的坐标F（x1，y1, z"和Q X2, y2, Z2），然后将（X1-X2），（y 「y2），(Z1-Z2)三个数化成最小的简单整数u,v,w,并使之满足u：v：w=(x i-X2)：( y i-y2)：(z i-Z2)。则[uvw]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指 数的数字相同，但符号相反，如图3中[0 10]与[010]。
晶向指数与晶面指数
晶向指数与晶面指数 在晶体物质中，原子在三维空间中作有规律的排列。因此在晶体中存在着一系列的原子列或原子平面，晶体中原子组成的平面叫晶面，原子列表示的方向称为晶向。晶体中不同的晶面和不同的方向上原子的排列方式和密度不同，构成了晶体的各向异性。这对分析有关晶体的生长、变形、相变以及性能等方面的问题时都是非常重要的。因此研究晶体中不同晶向晶面上原子的分布状态是十分必要的。为了便于表示各种晶向和晶面，需要确定一种统一的标号，称为晶向指数和晶面指数，国际上通用的是密勒（Miller）指数。 一、晶向指数 晶向指数是按以下几个步骤确定的： 1．以晶胞的某一阵点为原点，三个基矢为坐标轴，并以点阵基矢的长度作为三个坐标的单位长度； 2．过原点作一直线OP，使其平行于待标定的晶向AB（见图1），这一直线必定会通过某些阵点； 3．在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的坐标值； 4．将此值乘以最小公倍数化为最小整数u、v、w，加上方括号，[uvw] 即为AB晶向的晶向指数。如u、v、w中某一数为负值，则将负号标注在该数的上方。 图2给出了正交点阵中几个晶向的晶向指数。显然，晶向指数表示的是一组互相平行、方向一致的晶向。若晶体中两直线相互平行但方向相反，则它们的晶向指数的数字相同，而符号相反。如[21]和[1]就是两个相互平行、方向相反的晶向。 图1. 晶向指数的确定 图 2.正交点阵中几个晶向的晶向指数
晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用
2020年晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
作者：旧在几 作品编号：2254487796631145587263GF24000022 时间：2020.12.13 1.4 晶向指数和晶面指数 一晶向和晶面 1 晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。 2 晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。 二晶向指数和晶面指数的确定 1 晶向指数的确定方法 三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。 (1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。 (3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。 (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。 图1 晶向指数的确定方法
图2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P (x 1，y 1，z 1)和Q (x 2，y 2，z 2)，然后将(x 1-x 2)，(y 1-y 2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。则[uvw ]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用
晶向指数和晶面指数
晶向指数和晶面指数 为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶 向指数与晶面指数。 1.晶向指数 晶向指数的确定步骤如下： 1)以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x, y , z, 以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。 2)过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向。 3)在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的3个坐标值。 4)将这3个坐标值化为最小整数u，v，w，加以方括号，[u v w]即为待定晶向的晶向指数。 2.晶面指数 晶面指数标定步骤如下： 1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同； 2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值； 3)取各截距的倒数； 4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为( h k l )。 晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。另外，在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以{h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。 3. 六方晶系指数 六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用上述方法标定，这时取a1，a2，c为晶轴，而a1轴与a2轴的夹角为120度，c轴与a1，a2轴相垂直，如图2.13所示。但这种方法标定的晶面指数和晶向指数，不能完全显示六方晶系的对称性，为了更好地表达其对称性， 根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样，其晶面指数就以(h k i l)四个指数来表示。 根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
晶面指数
引用晶面指数、晶向指数、晶面间距 第二章X射线衍射方向 【教学内容】 1．晶体几何学基础。 2．X射线衍射的概念与布拉格方程（布拉格定律、衍射矢量方程、爱瓦德图解、劳埃方程）。 3．布拉格方程的应用与衍射方法。 【重点掌握内容】 1．晶体几何学的基本概念，包括布拉菲点阵，晶面和晶向指数等。 2．布拉格方程，这是本章的重中之重。 3．关于反射级数，X射线衍射与可见光反射的区别，以及衍射产生的条件及其在实际分析工作应用。 【了解内容】 1．复习晶体几何学的某些概念，如晶体、空间格子、晶带、晶带定律和晶面间距和晶面夹角的计算。 2．布拉格方程的应用和主要的衍射分析方法。 【教学难点】 1．倒易点阵。 2．衍射矢量方程、爱瓦德图解。 【教学目标】 1．熟练掌握X射线衍射的基本原理，尤其是布拉格方程。 2．培养学生善于利用这些理论去指导实际分析工作的能力。 【教学方法】 1．以课堂教学为主，通过多媒体教学手段，使学生掌握较抽象的几何结晶学的概念和布拉格方程。 2．通过做习题加深对X射线衍射理论的理解。 一、X射线衍射的发现 上章已经X射线的波动本质。我们对X射线的应用很大程度依赖于它的波动性。 第一个成功对X射线波动性进行的研究是德国物理学家劳厄（M. V. Laue）(照片)。1912年，劳厄是德国慕尼黑大学非正式聘请的教授。在此之前，人们对光的波动性已经进行了很多的研究，有关的理论已相当成熟。比如，光的衍射作用。人们知道，当光通过与其波长相当的光栅时会发生衍射作用。另一方面，人们对晶体的研究也达到相当的水平，认为晶体内部的质点是规则排列的，且质点间距在1-10A之间。当时，同校的一名博士研究生厄瓦耳（P. P. Eward）正在研究关于“各向同性共振体按各向异排列时的光学散射性质”。一天，他去向劳厄请教问题。劳厄问他，如果波长比晶体的原子间距小，而不象可见光波