高中数学专题反函数
所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。通俗点即原函数：y=3x-1 反函数：
。由此可以得出解决反函数的第一种方法：反表示法。就是将原函数反表示后，再写成函数形式。例如：y=3x-1求此反函数。可以这样做：
原函数y=3x-1
但是这种反表示法限于一定范围之类，就是只能反表示一示简单的函数，对于比较复杂的如二次函数，就不行了，因此还有另外方法：配方法。
但是为什么此题有两解。这是引发了定义域的问题。从定义上我们发现反函数中自变量x即为原函数变量y。所以，原函数定义域为反函数值域。所以上题中“
”这一答案需要舍去因为它不符合原函数定义域，值域。因此在今后解题中需要注意，原函数的定义域。
还有一种解决反函数问题的方法：求解法。就是把函数方程x当未知数来解。例如“
”求反函数
原方程:
原方程解：
所以解决反函数问题时需要三者兼用，方可收到显著效果。
在往常练习中同学们还会遇到某些问题，如“已知
”遇此类问题时，不妨这样解。
填空或大题中还有此类题“已知
，求实数a。”有些同学初拿此题不知从何处下手。其实只需写出
，一切都可解开。
解：
反函数与原函数最大连联还不在于解析式，而在于图象关于y=x对称。所以有些题可利用图象即数形结合求解。如“奇函数y=f(x)(x∈R)有反函数y=f-1(x)，则必有在y=f-1(x)的图象上点是：
A. (-f(a),a)
B. (-f(a),-a)
C. (-a,-f-1(a))
D. (-a,-f-1(a))
此题被老师打上星号，因为它将众知识联合起来。
解：f(x)为奇函数∴f(-a)=-f(a)
f(x)必有（a,f(a)),也必有（-a,-f(a))
f(x)与-f(x)关于y=x 对称，∴f-1(x)上必有（-f(a),-a).
“设函数
的反函数为φ（x),又函数φ（x)与φ（x+1)图象关于直线y=x对称，求g （2）。”此题关键在于反函数φ（x)。多次反函数，可求解。
解：
此题另有解法
解：
反函数问题的解法很多，但其中心在于两点：（1）反函数x为原函数y，（2）反函数图象与原函数图象关于y=x对称。希望同学们能在函数上多总结，多归纳出一些好方法。
专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域
（1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1a y x =- (0,1).a a >≠； （3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ； 13.函数f （x ）= x 1 ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )＝lg(ax 2 －2x ＋a ), (1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围． 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f （1）若函数的定义域为R ，数a 的取值围 （2）若函数的值域为R ，数a 的取值围
高中数学必修一幂函数及其性质
幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；
过点（1，0），即当x =1，y =0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小： （1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数； （2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）．
专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 |
一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2 ）log a y =(0,1).a a >≠； （3）2 (21)log (23)x y x x -=-++ （4 ）y = ？ (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数 的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ { 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为
高中数学必修基本初等函数常考题型幂函数
高中数学必修基本初等 函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝ 1 2 x 图象 定义域R R R{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函 数 单调性在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0]上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0)上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递减 在[0，＋ ∞)上单调 递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3 ；②y＝12x ?? ? ?? ；③y＝4x 2；④y＝x 5 ＋1；⑤y＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝()2 2231m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y＝()2 2231m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法
高中数学反函数的性质及应用 专题辅导
高中数学反函数的性质及应用 李伟 函数是高中数学中的重要内容，反函数又是函数的重要组成部分，也是同学们学习函数的难点之一。反函数在历年高考中也占有一定的比例。为了帮助同学们更好地掌握反函数相关的内容，对反函数的性质作如下归纳。 性质1 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域 在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。 例1. 函数()()???<-≥=0x x , 0x x 2y 2的反函数是（ ）。 A. ()()?????<-≥=0x x ,0x 2x y B. ()() ?????<-≥=0x x ,0x x 2y C. ()()?????<--≥=0x x ,0x 2x y D. ()()?????<--≥=0x x ,0x x 2y 解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解。由函数解析式可知当0x ≥时，0y ≥；0x <时0y <。由性质1，可知原函数的反函数在0x <时，0y <，则根式前面要有负号，故可排除A 、B 两项，再比较C 、D ，易得答案为C 。 例2. 若函数()x f 1-为函数()()1x g 1x f +=的反函数，则()x f 1-的值域为__________。 解析：常规方法是先求出()x f 的反函数()110x f x 1-=-，再求得()x f 1-的值域为()∞+-,1。 如利用性质1，()x f 1-的值域即()x f 的定义域，可得()x f 1-的值域为()∞+-,1。 性质2 若()x f y 1-=是函数()x f y =的反函数，则有()()a b f b a f 1=?=-。 从整个函数图象来考虑，是指()x f y =与其反函数()x f y 1-=的图象关于直线x y =对称；从图象上的点来说，是指若原函数过点()b ,a ，则其反函数必过点()a ,b 。反函数中的这条性质，别看貌不惊人，在解题中却有着广泛的应用。 例3. 函数()x f y =的反函数()x f y 1-=的图象与y 轴交于点P （0，2），如下图所示，则方程()0x f =在[1，4]上的根是=x （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解析：利用互为反函数的图象关于直线x y =对称，()x f y 1-=的图象与y 轴交于点P （0，2），可得原函数()x f y =的图象与x 轴交于点（2，0），即()02f =，所以()0x f =的根为2x =，应选C 。
反函数专题复习(2013版)
反函数专题复习 知识点： 1、反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把 x 表示出来，得到x =?（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =?（y ），x 在A 中 都有唯一的值和它对应，那么，x =?（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =?（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1 （y ）. 在函数x =f －1 （y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量， y 表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）. 2、互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1 （x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称. 3、若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与 y =f （x ）一致. 4、若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）无反函数。 5、求反函数的步骤： （1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1 （y ）. （2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1 （x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. 双基练习： 1、函数y =－ 11 +x （x ≠－1）的反函数是（ A ） A.y =－x 1－1（x ≠0） B.y =－x 1 +1（x ≠0） C.y =－x +1（x ∈R ） D.y =－x －1（x ∈R ） 2、函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为（ A ） A.y =2x － 1－1（x ＞1） B.y =2x － 1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0） 3、函数f （x ）=－12+x （x ≥－ 2 1 ）的反函数（ D ） A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－2 1 ，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数 D.在（－∞，0］上为减函数 4、函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f － 1（x ）=______________. 答案：－x -（x ≤－4）
人教版高中数学【必修一】[知识点整理及重点题型梳理]_指数函数、对数函数、幂函数综合_提高
人教版高中数学必修一 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 指数函数、对数函数、幂函数综合 【学习目标】 1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算． 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理． 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质． 6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a≠1）． 【知识框图】 【要点梳理】 要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念 a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈ 当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n 为偶数时，正数 的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0． n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 2．n 次方根的性质： （1）当n a =；当n ,0, ,0;a a a a a ≥?==? -
)0,,,1m n a a m n N n =>∈>；()10,,,1m n m n a a m n N n a - = >∈> 要点诠释： 0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质： ()0,0,,a b r s Q >>∈ （1）r s r s a a a += （2）()r s rs a a = （3）()r r r ab a b = 要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念 一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2
高中数学解题思路大全例析反函数的几种题型及解法
例析反函数的几种题型及解法 反函数是高中数学中的重要概念之一, 也是学生学习的难点之一。在历年高考中也占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容, 本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。 一. 反函数存在的充要条件类型 例 1. ( 北京高考) 函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是( ) A. (]a ∈-∞，1 B. [)a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. []a ∈12， 解析: 因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数, 但在其定义域的子区间(]-∞，a 或[)a ，+∞上是单调函数。 而已知函数f x ()在区间［1, 2］上存在反函数 因此[](]12，，?-∞a 或者[][)12，，?+∞a 即a ≤1或a ≥2 故选( C) 评注: 函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。特别地: 如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数, 那么函数f ( x ) 必存在反函数; 如果函数f ( x ) 不是定义域内的单调函数, 但在其定义域的某个子区间上是单调函数, 那么函数f ( x ) 在这个子区间上必存在反函数。 二. 反函数的求法类型
例2. ( 全国卷) 函数y x x =-≤2310()的反函数是( ) A. y x x =+≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103 解析: 由x ≤0可得x 230≥, 故y ≥-1 从y x =-231解得x y =±+()13 因x ≤0 因此x y =-+()13 即其反函数是y x x =-+≥-()()113 故选( B) 。 评注: 这种类型题目在历年高考中比较常见。在求反函数的过程中必须注意三个问题: ( 1) 反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射; ( 2) 求反函数的步骤: ①求原函数的值域, ②反表示, 即把x 用y 来表示, ③改写, 即把x 与y 交换, 并标上定义域。其中例3在反表示后存在正负两种情况, 由反函数存在的充要条件可知, 只能根据函数的定义域( x ≤0) 来确定x y =-+()13, 再结合原函数的值域即可得出正确结论。另外, 根据反函数的定义域即为原函数的值域, 因此求反函数时应先求出原函数的值域, 不应该直接求反函数的定义域。例如: 求y x x x =--≤-2231()的反函数。 由x ≤-1可得{}y y |≥0 反表示解出x y -=±+14
高考数学函数专题、反函数
函数专题（一）、反函数 1.原函数存在反函数的条件：原函数从定义域到值域上要满足一对一的对应关系，而不能有多对一的的对应关系。因此单调函数一定有反函数，存在反函数的原函数不一定是单调函数。偶函数一定没有反函数。 2.)1(+=x f y 的反函数不是)1(1-+=x f y 而是1)(1--=x f y ， 理由如下：1)(1)()(1)1(1-1-1--=?-=?=+?+=x f y y f x y f x x f y . 同理，)1(1-+=x f y 的反函数不是)1(+=x f y ，而是1)(-=x f y ， 理由如下：1)(1)()(1)1(1--=?-=?=+?+=x f y y f x y f x x f y . 3.原函数和反函数在相同定义域内的单调性相同。 4.原函数与反函数的交点不一定都在直线y =x 上，它们还可以位于直线y =x 的两侧，且以（a ，b ）、（b ，a ）的形式成对出现，如x x f ）（161)(=与其反函数x x f 16 11-log )(=的交点有），（4121和），（2 141，这两个交点就不在直线y =x 上。 例1.（2010长宁区二模）如果函数||12|lg |)(-=x x f 在定义域的某个子区间)1,1(+-k k 上 例2.设)(1x f -是函数f (x )＝2x －(13 )x ＋x 的反函数，则)(1x f ->1成立的x 的取值范围是________ 例3.已知1 32)(-+=x x x f ，函数)(x h y =的图像与)1(1-=-x f y 的图像关于直线x y =对称，则)8(h =__________ 变式训练： 1.已知函数()221f x x tx =-+，[] 2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8，则实数t 的值为_________
高中数学必修1公开课教案2.3.1 幂函数
2.3 幂函数 整体设计 教学分析 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究 y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x -1 ,y ＝x 2 1 等函数的性质和图象,让学生认识到 幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x 2,y=x -1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 三维目标 1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣. 2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. 3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1 1.如果张红购买了每千克1元的水果w 千克,那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p 是w 的函数. 2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a 2,这里S 是a 的函数. 3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a 3,这里V 是a 的函数.
高考数学 反函数
高考数学 反函数 时间：45分钟 分值：100分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．设函数f (x )＝log 2x ＋3，x ∈＝__________. 解析：依题意得g (－1)＝－1＋2＝1，g ＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t －1)＝1，t ＝1，所以g ＝1. 答案：1 9．已知函数f (x )＝a －x x －a －1 的反函数f －1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，则实数a 的值为__________． 解析：因为f －1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，所以f (x )的图象的对称中心为(3，－1)．又由f (x )＝a －x ＋1－1x －a －1＝－1－1x －a －1 ，则f (x )的图象可由g (x )＝－1x 的图象中心(0,0)平移到(3，－1)得到，所以a ＋1＝3，即a ＝2. 答案：2 10．(2009·重庆二次调研)若函数f (x )＝log 2(4x －2)，则方程f － 1(x )＝x 的解是__________． 解析：由f －1(x )＝x ，得x ＝f (x )，∴x ＝log 2(4x －2)，即2x ＝4x －2，∴2x ＝2.∴x ＝1. 答案：x ＝1 三、解答题(共50分) 11．(15分)求y ＝lg(x －x 2－4)的反函数． 解：由x －x 2－4>0，得x >x 2－4， ∴????? x >0，x 2－4≥0， x 2>x 2－4. ∴x ≥2. ∴lg(x －x 2－4)＝lg 4 x ＋x 2－4 ≤lg 42＝lg2. 由y ＝lg(x － x 2－4)．得 x －x 2－4＝10y ， x 2－4＝x －10y . ∴x 2－4＝x 2－2·10y x ＋102y . ∴x ＝12 (4·10－y ＋10y )． 故f －1(x )＝12 (10x ＋4·10－x )，x ∈(－∞，lg2]． 12．(15分)设函数f (x )＝2x －1有反函数f －1(x )，g (x )＝log 4(3x ＋1)， (1)若f －1(x )≤g (x )，求x 的取值范围D ； (2)设H (x )＝g (x )－12 f －1(x )，当x ∈D 时，求函数H (x )的值域及它的反函数H －1(x )． 解：(1)∵f (x )＝2x －1的定义域是R ，值域是(－1，＋∞)．由y ＝2x －1解得x ＝lo g 2(y ＋ 1)(y >－1)，
高中数学《反函数》教案
课 题：2.4.1 反函数（一） 教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数 教学重点：反函数的定义和求法 教学难点：反函数的定义和求法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析： 反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开 由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握 教学过程： 一、复习引入： 我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即v s t = ，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0. 又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32 -=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32 -= y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R. 综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数v s t = ；由函数62+=x y 得出
高一数学反函数的概念
4.5反函数的概念 一、教学内容分析 “反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联 系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计 （1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数； （2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系； （3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、 独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索 中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情. 三、教学重点与难点： 反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念 引例：在两种温度度量制摄氏度(C )和华氏度（F ）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？
教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号 )(1x f y ；了解)(1x f 表示反函数的符号，1 f 表示对应法则. 2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件. 例1（1）2x y （R x ）的反函数是 （2）2x y （0 x ）的反函数是 （3）2 x y （0 x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定 义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定 的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数： （1）24 x y （2）13 x y （3）)0(12 x x y （4）)2 1,(2413 x R x x x y [说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y 得)(1y f x ； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1 x f y ； （3）写出定义域:注明反函数的定义域. ③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.
高中数学-反函数例题选讲
高中数学-反函数例题选讲 【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝ ≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232 3521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤， 得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜， 故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x
【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－ ≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1， 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示． 【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值． 解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即 ＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113 x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．
反函数专题练试卷及解析
反函数专题练习试卷及解析 1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题 已知函数101 (),R 101 x x g x x -=∈+，函数()y f x =是函数()y g x =的反函数． 求函数()y f x =的解析式，并写出定义域D 2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 已知函数()1,(0x a f x a a -=+>且1)a ≠恒过定点(2,2)． (1)求实数a ； (2)在(1)的条件下，将函数()f x 的图象向下平移1个单位，再向左平移a 个单位后得到函 数()g x ，设函数()g x 的反函数为()h x ，求的()h x 解析式； (3)对于定义在(1,4]上的函数()y h x =，若在其定义域内，不等式22[()2]()()6h x h x h x m +≤++恒成立，求m 的取值范围． 3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题 已知函数()()lg 1f x x =+. (1)若()()0121f x f x <--<,求x 的取值范围; (2)若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数 ()[]()1,2y g x x =∈的反函数. 4.2014年华约自主招生数学试题第3题 （1）求证：(())y f g x =的反函数是1 1 (())y g f x --=． （2）()()F x f x =-，1 ()()G x f x -=-，若1()()F x G x -=，求证()f x 为奇函数． 5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题 设1()1x x a f x a +=- （0a > 且 1a ≠），g (x )是f (x )的反函数.
人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》表格式教学设计
§2.3幂函数 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 问题引入． 幂函数的图象和性质．
教学过程与操作设计： 环节教学内容设计师生双边互动 创设情境 阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列 问题： 1．它们的对应法则分别是什么？ 2．以上问题中的函数有什么共同特征？ （答案） 1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4） 开方；（5）取倒数（或求－1次方）． 2．上述问题中涉及到的函数，都是形如αx y= 的函数，其中x是自变量，是α常数． 生：独立思考完成引 例． 师：引导学生分析归纳 概括得出结论． 师生：共同辨析这种新 函数与指数函数的异 同． 组织探究 材料一：幂函数定义及其图象． 一般地，形如 α x y=) (R a∈ 的函数称为幂函数，其中α为常数． 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象： （1）x y=；（2）2 1 x y=；（3）2x y=； （4）1- =x y；（5）3x y=． [解] ○1列表（略） ○2图象 师：说明： 幂函数的定义来 自于实践，它同指数函 数、对数函数一样，也 是基本初等函数，同样 也是一种“形式定义” 的函数，引导学生注意 辨析． 生：利用所学知识和方 法尝试作出五个具体 幂函数的图象，观察所 图象，体会幂函数的变 化规律． 师：引导学生应用画函 数的性质画图象，如： 定义域、奇偶性． 师生共同分析，强调画 图象易犯的错误． 环节教学内容设计师生双边互动
2020-2021年高一数学反函数一 新课标 人教版
2019-2020年高一数学反函数一新课标人教版教学目标 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。 教学难点 反函数的概念。 教学方法 师生共同讨论 教具装备 幻灯片2张 第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）； 第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。 教学过程 （I）讲授新课 （检查预习情况）
师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？ 生：（略） （学生回答之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点： （1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ（y）； （2）对于y在c中的任一个值，通过x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。 师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？ 生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y 是自变量，x是函数值。） 在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？
反函数习题精选
习题精选 一、选择题 1．在同一坐标系中,图象表示同一曲线的是( ). A．与 B．与 C．与 D．与 2．若函数存在反函数,则的方程为常数)( ). A．至少有一实根 B．有且仅有一实根 C．至多有一实根 D．没有实根 3．点在函数的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的是 ( ). A． B． C． D． 4．（）的反函数是（） A．（） B．（） C．（） D．（） 5．设函数，，则的定义域是（） A． B． C． D． 6．已知，则的表达式为（） A． B． C． D． 7．将的图象向右平移一个单位，向上平移2个单位再作关于的对称图象，所得图象的函数的解析式为（）
A． B． C． D． 8．定义在上的函数有反函数，下例命题中假命题为（） A．与的图象不一定关于对称； B．与的图角关于轴对称； C．与的图象不可能有交点； D．与的图象可能有交点，有时交点个数有无穷多个9．若有反函数，下列命题为真命题的是（） A．若在上是增函数，则在上也是增函数； B．若在上是增函数，则在上是减函数； C．若在上是增函数，则在上是增函数； D．若在上是增函数，则在上是减函数 10．设函数（），则函数的图象是（） 11．函数（）的反函数 =（） A．（）B．（）
C．（）D．（） 二、填空题 1．求下列函数的反函数: （1） ; （2） ; （3） ; （4） . 2．函数的反函数是_____________________． 3．函数（）的反函数是_________． 4．函数的值域为__________ ． 5． ,则的值为_________. 6．要使函数在上存在反函数,则的取值围是 _____________． 7．若函数有反函数,则实数的取值围是_____________．8．已知函数（），则为__________． 9．已知的反函数为，若的图像经过点，则 =________． 三、解答题 1．求函数的反函数．