1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解

一.直角坐标系

1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。它使直线上任意一点P 都可以由惟一的实数x 来确定。

2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为x 、y 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平面直角坐标系。它使平面上任意一点P 都可以由惟一的二元有序实数对),(y x 来确定。

3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为x 、y 、z 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一点P 都可以由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确定。

事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对),(y x 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全体三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应.

二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换

在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为

图形F 的平移。若以向量a

表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a

平移．

在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =

，平移后的对应点为),(y x P '''.

则有：),(),(),(y x k h y x ''=+

即有：?

?

?'=+'

=+y k y x h x . 因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由?

??'=+'

=+y k y x h x 所确定的变换是一个平移变换。

因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。

例1.①.已知点)3,4(-P 按向量)5,1(=a

平移至点Q ，求点Q 的坐标；

②.求直线01223:=+-y x l 按向量)3,2(-=a

平移后的方程。

一般地我们有如下关于平移变换的结论：

①.将点),(y x P 按向量),(00y x a =

平移， 所得点P '的坐标为：),(00y y x x P ++'.

②.将曲线0),(:=y x f C 按向量),(00y x a =

平移， 所得曲线C '的方程为0),(:00=--'y y x x f C .

注：点)3,4(-P 按向量)5,1(=a

平移，

得点)53,14(++-'P ，即：)8,3(-'P ；

直线01223:=+-y x l 按向量)3,2(-=a

平移，

得直线012)3(2)2(3:=++--'y x l ，即：023:=-'y x l .

2.有关曲线平移的一般性结论

①.直线0:=+by ax l ，按向量),(00y x a =

平移后得

直线0)()(:00=-+-'y y b x x a l . → 过点),(00y x .

②.曲线2

22:r y x C =+，按向量),(00y x a = 平移后得

曲线2

2020)()(:r y y x x C =-+-' → 中心为),(00y x .

③.曲线1:22

22

=+b

y a x

C ，按向量),(00y x a = 平移后得

曲线1)

()(:2

2

0220=-+-'b

y y a x x C → 中心为),(00y x .

④.曲线1:22

22

=-b

y a x

C ，按向量),(00y x a = 平移后得

曲线1)

()(:2

2

0220=---'b

y y a x x C → 中心为),(00y x .

⑤.曲线px y C 2:2

=，按向量),(00y x a =

平移后得

曲线)(2)(:020x x p y y C -=-' → 顶点为),(00y x .

例2.说明方程01118169422=-+-+y x y x 表示什么曲线，求这个曲线的顶点、中心、焦点、渐近线和离心率.

三.平面直角坐标系中的伸缩变换 1. 伸缩变换

例3.我们已经知道，方程x y 2sin =所表示的曲线可以看作由方程

x y sin =所表示的曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2

1

得

到的曲线；同理，将方程x y 2s i n =所表示的曲线上所有点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的2倍，也可以得到方程x y sin =所表示的曲线. 这也就是说，方程x y 2sin =所表示的曲线可以通过伸缩变换得到方程x y sin =所表示的曲线．

实际上，设y y x x '='=,2，则x y 2sin = 可以化为 x y '='sin .

由?

?

?'='

=y y x x 2 ，所确定的变换，是曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，也可以称为曲线按伸缩系数为2向着y 轴的伸缩变换(这里

),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点)．

一般地，由??

?'

='

=y y x x λ ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为λ向着y 轴

的伸缩变换(当λ>1时，表示伸长；当λ<1时，表示压缩)，即曲线上所 有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的λ倍(这里),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).

同理，由?

??'='=y y x x μ ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为μ向着x 轴

的伸缩变换(当μ>1时，表示伸长；当μ<1时，表示压缩)，即曲线上所

有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的μ倍(这里),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).

由???'='=y y x x λμ ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数λ向着x 轴和按伸缩系数μ向着y 轴的伸缩变换(当1>λ时，表示伸长，1<λ时，表示压缩；当1>μ时，表示伸长，当μ<1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标和纵坐标分别变为原来的λ倍和μ倍(这里),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).

在伸缩变换中，曲线上任意两点间距离的不变性已不存在．那么缩变换有什么特征呢?

我们来考察直线与圆在伸缩变换作用下的变化．

例4.对下列曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数是4

1=k . ①.0632=-+y x ；

②.1622=+y x .

(设),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).

注：①.直线0632=-+y x 经过伸缩变换后的方程为036=-+y x ， 它仍然表示一条直线；

②.圆162

2

=+y x 经过伸缩变换后的方程为116

2

2

=+y x ，它变为椭圆.

2.有关曲线伸缩变换的一般性结论

①.直线经过伸缩变换后，仍是直线．因此，在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变。

②.曲线0),(:=y x f C 在伸缩变换???'='=y y x x λ（或???'='=y y x x μ或?

??'='=y y x x μλ）作用下（1,>μλ时表示拉伸，1,<μλ时表示压缩），所得曲线C '的方程为：

:C '0),1

(

=y x f λ

（或0)1

,

(=y x f μ

或0)1

,

1

(

=y x f μ

λ

）.

③.曲线0),(:=y x f C 上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）压缩为原来的λ

1

，可得曲线:C '0),(=y x f λ

（或0),(=y x f λ或0),(=y x f λλ，1>λ时表示压缩，1<λ时表示拉伸）.

例5.设曲线x y C 2log :=，1log :21-=x y C ，x y C 2

2log 3

2

:=

，

9log log 2:223-=x y C .

由曲线C 经过何种变换可以得到曲线1C 、2C 、3C .

例6.设1M 是),(111y x A 与),(221y x B 的中点，经过伸缩变换???'='

=y y k x x k 2

1后，它 们分别为222,,B A M ，求证：2M 是22B A 的中点． (设),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).

四.典型例题

1.两个定点的距离为4，点M 到这两个定点的距离的平方和为16，

则点M 的轨迹是 （ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

2.将函数x y sin =图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标拉伸为原来的2倍，得到的函数图象的解析式为 （ ） A.x y 2sin 21=

B.x y 2

1

sin 21= C.x y 2sin 2= D.x y 21sin 2=

3.将点)2,2(-P 变换为点)1,6(-'P 所用的伸缩变换公式是 （ ）

A.?????='='y

y x x 231 B.?????='='y y x x 32

1 C.?????='='y y x x 213 D.???='='y y x x 23

4.①已知点)3,2(-P 按向量)4,1(-=a

平移至点Q ，求点Q 的坐标;

②已知点)2,3(-P 按向量a 平移至点)0,2(Q ，求平移向量a

.

5.将对数函数x y 3log =曲线的横坐标拉伸为原来的2倍， 求所得曲线的方程.

6.在同一直角坐标系中，已知伸缩变换??

?='='y

y x

x 23:?. ①.求点)2,3

1

(-A 经过?变换所得到的点A '的坐标； ②.点B 经过?变换得到点)2

1,3(-'B ，求点B 的坐标

③.求直线x y l 6:=经过?变换后所得到的直线l '的方程；

④.求双曲线164

:2

2

=-y x C 经过?变换后所得到的曲线C '的焦点坐标.

7.在平面直角坐标系中求将曲线1:22=+y x C 变为曲线14

9:22

='+''y x C 的伸缩变换.

8.方程07161843:22=++-+y x y x C 表示何种曲线，求它的中心坐标、焦点坐标、准线方程、离心率．

五.课外练习

六.补充练习

1.将点),(y x P 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的3

1，得到点P '的坐标为 （ ）

A.)3,2(y x

B.)3

,2(y x C.)2,3(y x D.)2,3(y x

2.曲线C 经过伸缩变换??

???='='y y x

x 31后得到曲线C '的方程为)2(log 2+=x y , 则曲线C 的方程为 （ ）

A.)2(log 3

1

2+=x y B.)2(log 32+=x y

C.)23

1

(log 2+=x y D.)23(l og 2+=x y

3.①已知点)2,3(-P 按向量)4,1(-=a

平移至点Q ，求点Q 的坐标;

②已知点)3,1(P 按向量a 平移至点)1,3(Q ，求向量a

.

4.写出曲线按向量)3,4(-平移后的方程. ①.0543=+-y x ； ②.x y 82

=

5.求下列方程所表示的曲线的顶点、焦点、中心及准线方程. ①.884422=-+-y x y x ； ②.05242=++-y x y .

6.对下列曲线向着y 轴进行伸缩变换，伸缩系数2

1=k .

①.x y 3sin 2=;

②.14

82

2

=-y x ．

7.对012422=++-+y x y x 曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数2=k .

8.在平面直角坐标系中求将曲线0142:2

2=+--+y x y x C 变为曲线

01244

4:2

2

=+'-'-'

+''y x y x C 的伸缩变换.