最新圆锥曲线轨迹问题
圆锥曲线轨迹问题
建设现代化(检验)
——有关圆锥曲线轨迹问题
根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程,这是解析几何的一大课题:一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”,将“曲线”转化为“方程”,通过对方程的研究来认识曲线的性质;另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程,而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。
轨迹问题是高考中的一个热点和重点,在历年高考中出现的频率较高,特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口,注重考查学生的逻辑思维能力,运算能力,分析问题和解决问题的能力,而轨迹方程这一热点,常涉及函数、三角、向量、几何等知识,能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。
求轨迹方程的的基本步骤:建设现代化(检验)
建(坐标系)设(动点坐标)现(限制条件,动点、已知点满足的条件)代(动点、已知点坐标代入)化(化简整理)检验(要注意定义域“挖”与“补”)
求轨迹方程的的基本方法:直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1.直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法;
例1、已知直角坐标系中,点Q (2,0),圆C 的方程为
122=+y x ,动点M 到圆C 的切线长与
MQ
的比等于常数)0(>λλ,求动点M 的轨迹。
【解析】设MN 切圆C 于N ,则2
22ON MO MN -=。设),(y x M ,则
2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x
(1) 当1=λ时,方程为4
5
=
x ,表示一条直线。 (2) 当1≠λ时,方程化为2
222
222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。
◎◎如图,圆1O 与圆2O 的半径都是1,124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线
PM PN ,(M N ,
分别为切点),使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系,并求动点P 的轨迹方程.
【解析】以12O O 的中点O 为原点,12O O 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则
1(20)O -,,2(20)O ,.
由已知2PM PN =,得222PM PN =. 因为两圆半径均为1,所以
22
1212(1)PO PO -=-.
设()P x y ,,则
2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-,
即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析:
1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。
2、求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
2.定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。
例2、已知动圆过定点,02p ??
???
,且与直线2p x =-相切,其中0p >.
求动圆圆心C 的轨迹的方程;
【解析】如图,设M 为动圆圆心,,02p ??
???
为记为F ,过点M 作直线2p x =-的垂线,垂
足为N ,由题意知:MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2
p
x =-
的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中,02p F ??
???为焦点,2p x =-为准线,所以轨迹方程为
22(0)y px P =>;
◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为(-6,0),M 为圆O 上任一点,AM 的垂直平分线交OM 于点P ,求点P 的方程。
【解析】由中垂线知,PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ,即P 点的轨迹为以A 、O 为焦点的椭圆,中心为(-3,0),
故P 点的方程为
12516
25)3(2
2=++y x
◎◎已知A 、B 、C 是直线l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O ′切直线l 于点A ,又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线,设这两切线交于点P ,求点P 的轨迹方程.
,02p ??
???
2
p x =-
【解析】设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点, 两切线交于点P.由切线的性质知:|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知,
点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆,
以l 所在的直线为x 轴,以BC 的中点为原点,建立坐标系,
可求得动点P 的轨迹方程为:22
18172
x y +
=
评析:定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。
三、相关点法:动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’,y ’)的运动而有规律的运动,且动点Q 的轨迹为给定或容易求得,则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子,再代入Q 的轨迹方程,然而整理得P 的轨迹方程,代入法也称相关点法。
几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满足的条件,然而得出动点的轨迹方程。
例3、如图,从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线,垂足为N 。求线段QN 的中点P 的轨迹方程。
【解析】设动点P 的坐标为(x,y ),点Q 的坐标为(x 1,y 1)
则N ( 2x-x 1,2y-y 1)代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2①
l
O '
P E
D
C B A
又PQ 垂直于直线x+y=2,故11
1
=--x x y y ,即x-y+y 1-x 1=0② 由①②解方程组得12
3
21,1212311-+=-+=
y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=0
◎◎已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1(-c ,0)、F 2(c ,0),Q
是椭圆外的动点,满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点,点T 在线段F 2Q 上,并且满足.0||,022≠=?TF TF
求点T 的轨迹C 的方程;
【解析】
解法一:(相关点法)
设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时,点(a ,0)和点(-a ,0)在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时,由02=?TF PT ,得2TF PT ⊥. 又||||2PF =,所以T 为线段F 2Q 的中点.
设点Q 的坐标为(y x '',),则???
????'=+'=.2
,2y y c
x x 因此??
?='-='.
2,
2y y c x x ①
由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②,可得.222a y x =+
综上所述,点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ 解法二:(几何法) 设点T 的坐标为).,(y x
当0||=PT 时,点(a ,0)和点(-a ,0)在轨迹上.
当|0||0|2≠≠TF PT 且时,由0||||2=?TF PT ,得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =,所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中,a Q F OT ==
||2
1
||1,所以有.222a y x =+ 综上所述,点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+
评析:一般地:定比分点问题,对称问题或能转化为这两类的轨迹问题,都可用相关点法。
四、参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x,y 之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。
例4、在平面直角坐标系x Oy 中,抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO (如图4所示).求△AOB 的重心G (即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
【解析】
解法一:以OA 的斜率k 为参数由
{
2y kx y x
==解得A (k ,k 2
) ∵OA ⊥OB ,∴OB :1y x k =-由21y x k y x
??=-??=?解得B 211,k k ??
- ??? 设△AOB 的重心G (x ,y ),则22113113x k k y k k ???
=- ??????
???=+ ?
????
消去参数k 得重心G 的轨迹方程为22
33
y x =+