正弦定理知识点总结(精华)与试题

正弦定理知识点总结（精华）与试题

1．特殊情况：直角三角形中的正弦定理：

sinA=c a sinB=c b sinC=1 即：c=A a sin c=B b sin c=C c sin A a sin =B b sin =C

c sin

2．能否推广到斜三角形？

证明一（传统证法）在任意斜△ABC 当中： S △ABC =

A bc

B ac

C ab sin 2

1

sin 21sin 21== 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C

c

sin

3．用向量证明：

证二：过A 作单位向量垂直于

+= 两边同乘以单位向量

?(+)=? 则：?+?=? ∴||?|AC |cos90?+||?|CB |cos(90?-C)=||?|AB |cos(90?-A) ∴A c C a sin sin = ∴

A a sin =C

c

sin 同理：若过C 作垂直于得：

C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =C

c

sin 当△ABC 为钝角三角形时，设 ∠A>90? 过A 作单位向量垂直于向量 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，A a sin =B b sin =C

c

sin 注意：

（1）正弦定理适合于任何三角形。 （2）可以证明

A a sin =

B b sin =C

c

sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） （3）每个等式可视为一个方程：知三求一

A

C

B

j

A

C

B

j

5.知识点整理

6、应用：

例1、已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100

===?

解：21030

sin 45sin 10sin sin ,sin sin 0

=?==∴=C A c a C c A a 00105)(180=+-=C A B

25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin ,sin sin 0

0+=+?==?==∴=C B c b C c B b 又练习：

1、在△ABC 中，已知A=450

,B=600

,a=42，解三角形.

2、在△ABC 中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长为 ．

3、在△ABC 中，B=45,C=60,c=1，则最短边的边长等于

例2．1 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===?

解：213

60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b

00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角， 222=+=∴c b a

例2．2 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===?

解：2

3245sin 6sin sin ,sin sin 0=

?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<

1360sin 75sin 6sin sin ,75600

+=====∴C B c b B C 时，当，

1360

sin 15sin 6sin sin ,151200

-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b

注意：时解和中，已知在A b a ABC ,?三角形的情况： （1） 当A 为锐角 （2） 当A 为直角或钝角

练习：

1. ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若120c b B ===

， 则a 等于 （ ）

A

B ．2

C

D

2、已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o

，则b = ( )

A.2 B ．4＋．4—3、在ABC △中，若1tan 3

A =

，150C =

，1BC =，则AB = .

4、已知△ABC 中，045,a b B ===解三角形

例3：在△ABC 中，分别根据下列条件指出解的个数

（1）、a=4,b=5,A=300

; (2)、a=5,b=4,A=600

;

(3)、0120a b B ==; (3)、060.a b A === 练习：

1．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° D ．b=c=1, ∠B=45°

1、在△ABC 中，a=5，b=3，C=1200

,则sinA:sinB= 2、在△ABC 中，acosB=bcosA,则⊿ABC 为（ ）

A 、直角三角形

B 、等腰三角形

C 、等腰直角三角形

D 、钝角三角形 3、在△ABC 中，若b=2asinB,则A=

4、在△ABC 中，若

sin cos ,A B

B a b

=则的值为 5、在△ABC 中，a:b:c=1:3:5,2sin sin sin A B

C

-则

的值为 6、在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=4:5:6,且a+b+c=30，则a= 7、若三角形的三个内角之比为1：2：3，则该三角形的三边之比为 8、在△ABC 中，

0a b c

60,sin sin sin A a A B C

++=++则

等于

9.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若,2a A B =,则cos B =( )Ａ）

10、在△ABC 中，若sinA>sinB,则有（ ）

ab D a b A ≥、、、、、的大小关系无法确定