1.2_《函数的概念及表示》导学案

1.2 《函数的概念及表示》导学案

【学习目标】

（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函·数的三要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.

（2）理解函数的概念，并且会灵活运用函数的概念解题.

（3）明确函数的三种表示方法.

（4）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数.

（5）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用.

【导入新课】

回顾问题导入：

1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量.

新授课阶段

（一）函数的概念：

思考1：（课本P 15）给出三个实例：

A ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）

与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.

B ．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空

臭氧层空洞面积的变化情况.（见课本P 15图）

C ．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的

高低.“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.（见课本P 16表）

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着

怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为： ，记作：

:f A B →

1. 函数的定义：

设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意

一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称 为从集合A 到集合B 的一个 （function ），记作：(),y f x x A =∈.

其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作 （domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫 （range ）.显然，值域是集合B 的子集.

（1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ；

（2）二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域

244ac b B y y a ??-??=≥??????；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ??-??=≤??????

. （3）反比例函数(0)k y k x

=≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠. 2. 区间及写法：设a 、b 是两个实数，且a

满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；

满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；

满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做 ，表示为[)(],,,a b a b ； 这里的实数a 和b 都叫做相应区间的 .（数轴表示见课本P 17表格）

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.我们把满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞. 例1 对范围1x a -≤≤用区间表示正确的为（ ）

A ．()1,a -

B ．[]1,a -

C ．[)1,a -

D ．(]1,a -

3. 函数定义域的求法：

函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指 .

例2 函数x x y 22

-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为 （ ） A ．{}3,0,1- B ．{}3,2,1,0 C ．{}31≤≤-y y D ．{}

30≤≤y y

例3 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式()y f x =，并写出它的定义域．

例4 记集合M {}

230x x =->，函数)1)(3()(--=x x x g 的定义域为集合N ．求： （Ⅰ）集合M ，N ；

（Ⅱ） 集合N M ，N M .

4. 函数相同的判别方法：

函数是否为同一个函数，主要看 和 是否相同.

例5 下列函数中哪个与函数y x =(0)x ≥是同一个函数（ ）

A ．y=(x )2

B ．y=x x 2

C ．y=33x

D ．y=2x

（二）函数的三种表示方法：

1. 结合课本P 15 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：

解析法：就是用 表示两个变量之间的对应关系；

优点：简明扼要；给自变量求函数值.

图象法：就是用 表示两个变量之间的对应关系；

优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势.

列表法：就是列出 来表示两个变量之间的对应关系.

优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等. 例6 （1） 已知f (x )是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；

（2） 已知[]22

1)(,21)(x x x g f x x g -=-= (x ≠0)， 求)21

(f .

例7 函数|

|)(x x x f =

的图象是（ ）

例8 已知)(x f 的图象恒过（1，1）点，则)4(-x f 的图象恒过（ ）

A ．（－3，1）

B ．（5，1）

C ．（1，－3）

D ．（1，5）

2. 分段函数的定义：

在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做 ，如以下的例9的函数就是分段函数.

说明：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同.

例9 画出下列函数的图象．

（1）y ＝x 2－2，x ∈Z 且｜x ｜2≤；（2）y ＝－22x ＋3x ，x ∈（0，2］； （3）y ＝x ｜2－x ｜；（4）3232232x y x

x x ?????

≤≥＜－，＝－－＜－．

.

例10 如图，动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始，顺次经C 、D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示PA 之长时，求y 关于x 的解析式，并求f(25

)的值.

解：

例11 已知???>-<+=040

4)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为 .

【解析】

课堂小结

1.掌握函数的定义域与值域的求解方法；

2.理解函数的概念；

3.掌握函数的表示方法，尤其要注意解析法在解决应用题中的灵活运用.

作业

见同步练习部分

拓展提升

1.

函数y （ ） A )43,21(- B ]43,21[- C ),43[]21,(+∞?-∞ D ),0()0,21

(+∞?-

2．下列各组函数表示同一函数的是 （ ）

A

．2(),()f x g x == B ．0()1,()f x g x x ==

C

．2(),()f x g x == D ．21

()1,()1x f x x g x x -=+=-

3．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是 （ ）

A 0，2，3

B 30≤≤y

C }3,2,0{

D ]3,0[

4.已知???<+≥-=)6()2()

6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为 （ ）

A 2

B 3

C 4

D 5

5.二次函数2y ax bx c =++中，0a c ?<，则函数的零点个数是 （ ）

A 0个

B 1个

C 2个

D 无法确定

6.某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程， 若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生 走法的是 （ ）

7.

）

A B D

8.已知函数

定义域是，则的定义域是 （ ） A. B. C. D.

9.函数2y =的值域是 （ ）

A.[2,2]-

B. [1,2]

C.[0,2]

D.[

10.若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f =

11．求下列函数的定义域：

（1）y ＝x ＋1

x ＋2 （2）y ＝1

x ＋3 ＋－x ＋x ＋4

（3）y ＝1

6－5x －x 2 （4）y ＝2x －1

x －1 ＋(5x －4)0

12.对于二次函数2483y x x =-+-，

（1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；

（2）求函数的最大值或最小值；

一、单调性

1.在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是

（ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y =x

2 D ．y =2x 2＋x ＋1 2.函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函

数，则f (1)等于 （ ）

A ．－7

B ．1

C ．17

D ．25

3.函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）

A ．(3，8)

B ．(－7，－2)

C ．(－2，3)

D ．(0，5)

4.函数f (x )=

2

1++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 21，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5.函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内 （ ）

A ．至少有一实根

B ．至多有一实根

C ．没有实根

D ．必有唯一的实根

6．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围 （ ）

A ．a ≤3

B ．a ≥－3

C ．a ≤5

D ．a ≥3

7．函数f （x ）＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函

数，则f （1）＝ 。

8．函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．

9. 已知函数[]1(),3,5,2

x f x x x -=∈+ ⑴ 判断函数()f x 的单调性，并证明；

⑵ 求函数()f x 的最大值和最小值．