同济大学高等数学1期末试题(含答案),推荐文档

6

填空题(每题4分)

x

1.若lim ^-2a

8，则 ________ . 3ln2

x

x a

3.设函数y y(x)由方程xy 2l nx y 4所确定，则曲线y y(x)在(1,1) 处的切线方程为 _______ .x y

1 / . - 2

. (n 1). 4. lim (sin — sin

sin

)

n n n n

n

5. y y e x 的通解是 ________ .y Ce x

二、选择题(每题4分) 1.设函数f(x)在(a,b)内连续且可导，并有f(a) f(b)，则(D )

A . — 定存在 (a,b)，使 f ( ) 0. B. 一定不存在

(a,b)，使 f ( ) 0.

C. 存在唯一 (a,b)，使 f ( ) 0.

D. A 、B 、C 均不对. 2. 设

函 数

y f(x) 二

阶

可 导 ， 且

f (x)

0, f

(x) 0, y f(x

x) f(x),dy

f (x) x,,

当x 0,时，有 (A)

A. y dy

0,B. y dy 0, C. dy

y 0, D. dy

y 0.

2

3. 2(|x|

x)e 凶 dx

(C)

A. 0,

B. 2,

C. 2e 2 2,

D. 6

e

4. f(x) x(x 1)(x 3)与x 轴所围图形的面积是(B )

3

1

3

3

1

3

A. o f (x)dx

B. o f (x)dx 1 f(x)dx

C. o f (x)dx

D. o f (x)dx 1 f (x)dx 5. 函数y 1x 3 Cx ,(其中C 为任意常数)是微分方程y x 的(C )

3sin x x 2 cos- 2. x m 0

X

(1 cos x) ln(1 x)

A. 通解

B.特解C是解但非通解也非特解 D.不是解

6

计算题(每题8分)

1. xf (x)dx arcsinx C (其中 C 为任意常数)，求 dx .

f (x)

-1 (1 x 2)3 C

3

J _______ 1

1

2.

设函数 f(x)连续，且 f (x) .1

x 2 f (x)dx ,求 f(x)dx .

1 x

四、 10分

设二阶常系数线性微分方程y ay by ce x 的一个解为 y e 2x e x xe x ，求常数 a,b,c 的值.

a 3,

b 2,

c -1

五、 证明题(8分)

设函数f (x)在［a,b ］上可导，且f(a) f(b) 0 ,并存在一点c (a,b)，使 得f(c) 0，证明至少存在一点

(a,b)，使得f ( ) 0.

证明：函数f(x)在［c,b ］上应用拉格朗日中值定理，则存在 (c,b) 使得 f ( ) f(b) f(c)

b c b c

六、应用题(8分) 设有长为I ,质量为M 的均匀直细棒AB,在AB 的延长线上与其近端 点相距r 处有一质量为m 的质点，求细棒对质点的引力.

l 0 GMm ’ GMm F r dx l (r x)2

r(r l)

1

.求数列极限害.0

三、计算题(每题9分)

lim

2?求极限x 0

2x t 2

e sintdt 0

2

X

2ln 2 4