中华古诗文读本--子集
目录
1 《论语》六章
三军可夺帅也
温故而知新
君子成人之美
志于道
德不孤
子在川上曰
2 《老子》
名与身孰亲
民不畏威
3 《孟子》二则
鱼，我所欲也
孔子登东山而小鲁
4 《庄子》一则
天地有大美而不言
5 《礼记》一则
虽有佳肴
6 《吕氏春秋》一则
天下轻于身
7 《傅子》一则
古之仁人
8 吴均《与朱元思书》9 柳宗元《黔之驴》
10 苏轼《记承天寺夜游》
11 张岱《湖心亭看雪》
12 彭端淑《为学一首示子侄》
13 《诗经》一首《木瓜》
14 汉乐府一首《长歌行》
15 左思《咏史》其五
16 陶渊明《移居》其二
17 《子夜四时歌·春歌》
18 孟浩然《春晓》
19 王维《九月九忆山东兄弟》
20 李白《静夜思》
21 杜甫《望岳》
22 杜牧《江南春绝句》
23 范仲淹《苏幕遮·怀旧》
24 晏殊《浣溪沙》
25 李之仪《卜算子》
26 李清照《夏日绝句》
27 朱熹《观书有感》
28 马致远《天净沙·秋思》
29 于谦《石灰吟》
30 钱鹤滩《明日歌》
《论语》六章
一
子曰：“三军可夺帅也，匹夫不可夺智也。”
二
子曰：“温故而知新，可以为师矣。”
三
子曰：“君子成人之美，不成人之恶。小人反是。”
四
子曰：“志于道，据于德，依于仁，游于艺。”
五
子曰：“德不孤，必有邻。”
六
子在川上曰：“逝者如斯夫！不舍昼夜。”
《老子》二章
一
名与身孰亲？身与货孰多？得与亡孰病？
是故甚爱必大费，多藏必厚亡。
?? 知足不辱，知止不殆，可以长久。
注释：名声与生命哪个亲切？生命与财货哪个重要？得取名利与丧失生命哪个有害？所以，过份贪欲必然会有大的耗费；过份地敛聚必然会有过多的丧失。知道满足就不会遭致屈辱，知道适可而止就不会遭致危殆，这样才可以平安长久。
二
民不畏威，则大威至。
无暇其所居，无厌其所生。夫唯不厌，是以不严。
是以圣人自知不自见；自爱不自贵。故去彼取此。
注释：当人民不畏惧统治者的威压时，那么，可怕的祸乱就要到来了。不要逼迫人民不得安居，不要阻塞人民谋生的道路。只有不压迫人民，人民才不厌恶统治者。因此，有道的圣人不但有自知之明，而且也不自我表现；有自爱之心也不自显高贵。所以要舍弃后者（自见、自贵）而保持前者（自知、自爱）。
《孟子》二则
一
孟子曰：“鱼，我所欲也；熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼，舍鱼而取熊掌者也。生，亦我所欲也；义，亦我所欲也，二者不可得兼，舍生而取义者也。
注释：鱼是我所喜爱的，熊掌也是我所喜爱的，如果这两种东西不能同时都得到的话，那么我就只好放弃鱼而选取熊掌了。生命是我所喜爱的，大义也是我所喜爱的，如果这两样东西不能同时都具有的话，那么我就只好牺牲生命而选取大义了。
二
孟子曰：“孔子登东山而小鲁，登泰山而小天下，故观于海者难为水，游于圣人之门者难为言。观水有术，必观其澜。日朋有明，容光必照焉。流水之为物也，不盈科不行。君子之志于道也，不成章不达。”
注释：孟子说：“孔子登上了东山，觉得鲁国变小了，登上了泰山，觉得天下变小了，所以看过大海的人，就难以被别的水吸引了，在圣人门下学习的人，就难以被别的言论吸引了。观赏水有一定的方法，一定要观赏它的波澜。日月都有光，细小的缝隙必定都照到。流水这东西，不流满洼坑就不再向前流；君子有志于道，不到相当程度就不可能通达。”
《庄子》一则
天地有大美而不言，四时有明法而不议，万物有成理而不说。圣人者，原天地之美而达万物之理，是故至人无为，大圣不作，观于天地之谓也。
注释：天地具有伟大的美但却无法用言语表达，四时运行具有显明的规律但却无法加以评议，万物的变化具有现成的定规但却用不着加以谈论。圣哲的人，探究天地伟大的美而通晓万物生长的道理，所以“至人”顺应自然无所作为，“大圣”也不会妄加行动，这是说对于天地作了深入细致的观察。
《礼记》一则
虽有嘉肴，弗食，不知其旨也。虽有至道，弗学，不知其善也。是故学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也。故曰：教学相长也。《兑yùe命》曰：“学学半。”其此之谓乎？
注释：
即使有美味佳肴，不去品尝，就不知道它的味道鲜美；即使有最好的方法，不去学习，就不知道它的益处。所以学习以后就会知道不足，教学以后就会知道困难。知道不足，然后就能反过来要求自己；知道困难，然后就能自强不息。所以说：教学与学习互相促进。《兑yùe命》中说：教育别人对自己也有相同的益处。指的就是这个意思吧？
《吕氏春秋》一则
天下轻於身，而士以身为人。以身为人者，如此其重也，而人不知，以奚道相得？贤主必自知士，故士尽力竭智，直言交争，而不辞其患。豫让、公孙弘是矣。当是时也，智伯、孟尝君知之矣。世之人主，得地百里则喜，四境皆贺；得士则不喜，不知相贺：不通乎轻重也。
汤、武，千乘也，而士皆归．之。桀、纣，天子也，而士皆去之。孔、墨，布衣之士也；万乘之主、千乘之君，不能与之争士也。自此观之，尊贵富大不足以来士矣，必自知之然后可。
注：
生命的价值超过整个世界，然而读书人愿为别人而献身。为他人而献身的读书人，是这样的可贵，但不被他人了解，用什么方式才能得到这些士人呢？贤君一定要了解读书人，读书人因此才会充分发挥他的才华，直言相谏，而不避祸患。豫让、公孙弘就是这样的。在那时，智伯、孟尝君能了解他们。世上的君主，得到方圆百里的土地就高兴，四方的人都来庆贺，但他们得到了读书人，却不会因此高兴，不知道相互庆贺，这是不知道孰轻孰重啊。
商汤、周武，是诸侯，而读书人都归附于他。夏桀、商纣，是大国天子，而读书人都离他而去。孔子、墨子，都是平民百姓，但万辆战车的国君、千辆战车的君王，都不能同他们争读书人。由此可以看出，高贵的地位、优越的生活待遇，不能够吸引读书人到来，君王一定要自己明白读书人的需要，才能采取适当对策，把他们召集过来。
《傅子》一则
傅玄
古之仁人，推所好以训天下，而民莫不尚德；推所恶以诫天下，而民莫不知耻。或曰：耻者其至者乎，曰未也。夫至者自然由仁；何耻之有？赴谷必坠，失水必溺，人见之也。赴阱必陷，失道必沈，人不见之也，不察之故。君子慎乎所不察。不闻大论，则志不宏；不听至言，则心不固。思唐虞于上世，瞻仲尼于中古，而知夫小道者之足羞也。相伯夷于首阳，省四皓于商山，而知夫秽志者之足耻也。存张骞于西极，念苏武于朔垂，而知怀闾室者之足鄙也。推斯类也，无所不至矣。德比于上，欲比于下。德比于上故知耻，欲比于下故知足。耻而知之，则圣贤其可几；知足而已，则固陋其可安也。圣贤斯几，况其为慝乎？固陋斯安，况其为侈乎？是谓有捡纯乎？纯哉其上也！其次得概而已矣，莫非概也！渐其概，苟无邪，斯可矣。君子内省其身，怒不乱德，喜不乱义也。孔子曰：“仁远乎哉？我欲仁，斯仁至矣。”此之谓也。若子方惠及于老马，西巴不忍而放，皆仁之端也。推而广之，可以及乎远矣。
《与朱元思书》
吴均
风烟俱净，天山共色。从流飘荡，任意东西。自富阳至桐庐一百许里，奇山异水，天下独绝。水皆缥碧，千丈见底。游鱼细石，直视无碍。急湍甚箭，猛浪若奔。
夹岸高山，皆生寒树，负势竞上，互相轩邈，争高直指，千百成峰。泉水激石，泠泠作响；好鸟相鸣，嘤嘤成韵。蝉则千转不穷，猿则百叫无绝。鸢飞戾天者，望峰息心；经纶世务者，窥谷忘反。横柯上蔽，在昼犹昏；疏条交映，有时见日。
注释：
烟雾都消散净尽，天和山是一样的颜色。（我的船）随江流飘荡，任凭（小船)向东向西。从富阳到桐庐，有一百里多，（这些）奇山异水，是天下绝无仅有的。
水都是青白色的，清澈得千丈也能见到底。水中游动着的鱼儿和水底细小的石子，一直看下去可以看得很清楚，毫无障碍。湍急的水流比箭还快，汹涌的波涛就像奔腾的骏马。
江流两岸的高山上，都生长着密而绿的树，凭依着高峻的山势，仿佛这些高山都在争着往高处和远处伸展，(群山)竞争着高耸，笔直地向上，形成无数个山峰.泉水飞溅在山石之上，泠泠发出声响；百鸟互相和鸣，鸣声嘤嘤，和谐动听。蝉儿长久地叫个不停，山上的猿一声接着一声叫。（像鸢飞到天上）极力追求高位的人，看到这些雄奇的山峰，追逐功名利禄的心就平静下来；那些治理政务的人，看到（这些幽美的）山谷，（就）会流连忘返。横斜的树枝在上面遮蔽着，即使在白天，也还像黄昏时那样阴暗，稀疏的枝条交相掩映，有时可以见到阳光。
《黔之驴》
柳宗元
黔无驴，有好事者船载以入。至则无可用，放之山下。虎见之，庞然大物也，以为神，蔽林间窥之。稍出近之，慭（yìn）慭然，莫相知。
他日，驴一鸣，虎大骇，远遁；以为且噬已也，甚恐。然往来视之，觉无异能者；益习其声，又近出前后，终不敢搏。稍近益狎，荡倚冲冒。驴不胜怒，蹄之。虎因喜，计之曰，“技止此耳！”因跳踉大?，断其喉，尽其肉，乃去。
注释：
贵州这个地方没有驴子，有个喜好多事的人用船运载了一头驴进入黔地。运到后却没有什么用处，便把它放置在山下。老虎见到它，一看原来是个巨大的动物，就把它当作了神奇的东西。于是隐藏在树林中偷偷地窥探它。老虎渐渐地走出来接近它，很小心谨慎，不了解它究竟有多大本领。
一天，驴子一声长鸣，老虎大为惊骇，顿时远远地逃跑；认为驴子将要吞噬自己，非常恐惧。然而老虎来来往往地观察它，觉得驴子好象没有什么特殊的本领似的；渐渐地习惯了它的叫声，又靠近它前前后后地走动；但老虎始终不敢和驴子搏击。慢慢地，老虎又靠近了驴子，态度更为随便，碰擦闯荡、冲撞冒犯它。驴禁不住发怒，用蹄子踢老虎。老虎因此而欣喜，盘算此事。心想到：“驴子的本领只不过如此罢了！”于是跳跃起来，大声吼叫，咬断驴的喉咙，吃完了它的肉，才离去。
《记承天寺夜游》
苏轼
元丰六年十月十二日夜，解衣欲睡，月色入户，欣然起行。念无与为乐者，遂至承天寺寻张怀民，怀民未寝，相与步于中庭。
庭下如积水空明，水中藻、荇交横，盖竹柏影也。何夜无月，何处无竹柏，但少闲人如吾两人耳。
注释：
元丰六年十月十二日夜里，（我）脱下衣服准备睡觉时，月光从门照入，于是高兴地起床外出。我想到没有可以交谈取乐的人，于是就到承天寺找张怀民。（张）怀民也没有睡觉，我们两个人便一起在院子里散步。
月光照在院中，地面好象积水一样澄澈，水里的水生植物纵横交错，原来是竹子和柏树枝叶的影子。哪一个晚上没有月亮？哪一个地方没有竹子和柏树？只不过是缺少像我们两个这样的清闲的人罢了。
《湖心亭看雪》
张岱
崇祯五年十二月，余住西湖。大雪三日，湖中人鸟声俱绝。
是日，更（gēng）定矣，余拏(ná)一小舟，拥毳(cuì)衣炉火，独往湖心亭看雪。雾凇(sōng)沆砀(hàng dàng)，天与云与山与水，上下一白。湖上影子，惟长堤一痕，湖心亭一点，与余舟一芥，舟中人两三粒而已。
到亭上，有两人铺毡对坐，一童子烧酒，炉正沸。见余大喜，曰：“湖中焉得更有此人！”拉余同饮。余强饮三大白而别，问其姓氏，是金陵人，客此。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相公者！”
注释：
崇祯五年十二月，我住在杭州西湖边。接连下了三天的大雪（过后），湖中游人和飞鸟的声音都消失了。这一天晚上八点左右，我坐着一叶小舟，穿着毛皮衣服、带着火炉，独自前往湖心亭看雪。湖上弥漫着水气凝成的冰花，天空、云朵、远山和湖水连成一片，全是白皑皑的。湖上比较清晰的影子，只有西湖长堤在雪中只隐隐露出一道痕迹，湖心亭的一点轮廓，我的一叶小舟，和舟中就像两三粒米的人影罢了。
（我）到了亭子上，（看见）有两个人铺着毡子，相对而坐，一个童子烧着酒，酒在酒炉中烧得沸腾。（他们）看见我，非常高兴地说：“在这湖中哪里还能找到像您这样（闲情逸致）的人呢？”（便）拉着我一同喝酒。我尽力喝了三大杯，然后和他们道别。问他们的姓名，（得知他们）是金陵人，在此地客居。等到（我）下船时，船夫低声念叨：“不要说相公你痴迷，还有像相公你一样痴迷的人呢!”
《为学一首示子侄》
彭端淑
天下事有难易乎？为之，则难者亦易矣；不为，则易者亦难矣。人之为学有难易乎？学之，则难者亦易矣；不学，则易者亦难矣。
吾资之昏，不待人也；吾才之庸，不逮人也；旦旦而学之，久而不怠焉，迄乎成，而亦不知其昏与庸也。吾资之聪，倍人也；吾才之敏，倍人也；屏弃而不用，其与昏与庸无以异也。圣人之道，卒于鲁也传之。然则昏庸聪敏之用，岂有常哉？
蜀之鄙有二僧，其一贫，其一富。贫者语于富者曰：“吾欲之南海，何如？”富者曰：“子何恃而往？”曰：“吾一瓶一钵足矣。”富者曰：“吾数年来欲买舟而下，犹未能也。子何恃而往？”越明年，贫者自南海还，以告富者，富者有惭色。西蜀之去南海，不知几千里也，僧富者不能至，而贫者至焉。人之立志，顾不如蜀鄙之僧哉？
是故聪与敏，可恃而不可恃也；自恃其聪与敏而不学者，自败者也。昏与庸，可限而不可限也；不自限其昏与庸而力学不倦者，自力者也。
注释：
天底下的事有困难和容易的区别吗?只要去做，那么困难也变容易了；如果不去做，那么容易的也就变困难了。人们求学有困难和容易的区别吗?去学的话，困难的也变容易了；不去学的话，容易的也会变困难了。
四川的偏远地方有两个和尚，其中一个贫穷，另一个富有。穷和尚告诉富和尚说:“我想要前往南海，你认为怎么样？”富和尚说：“你凭什么前往呢？”穷和尚说：“我只要一个瓶，一个钵就够了。”富和尚说：“我几年来一直想雇船前去，还是不能。你凭什么前往呢？”过了一年，穷和尚从南海回来，把前往的事情告诉富和尚，富和尚露出惭愧的神色。位于西边的四川距离南海，不知道有几千里远。有钱的和尚不能前往，没有钱的和尚却可以到达。人们在立志上，反而比不上四川偏远地方的和尚吗？
因此，天资聪明和敏捷，虽然可靠却也是不可靠的；自己仗着聪明与敏捷而不努力学习的人，那就是自毁前程的人。愚笨和平庸，好像会限制人，却也限不住人；不被自己的愚笨平庸所局限而努力不倦地学习的人，那就是能成就自己的人了。
《诗经》一首《木瓜》
投我以木瓜，报之以琼琚。匪报也，永以为好也！
投我以木桃，报之以琼瑶。匪报也，永以为好也！
投我以木李，报之以琼玖。匪报也，永以为好也！
注释：
你将木瓜投赠我，我拿琼琚（美玉、美石通称）作回报。不是为了答谢你，珍重情意永相好。
你将木桃投赠我，我拿琼瑶（美石）作回报。不是为了答谢你，珍重情意永相好。
你将木李投赠我，我拿琼玖（美玉）作回报。不是为了答谢你，珍重情意永相好。
《汉乐府》一首《长歌行》
青青园中葵，朝露待日晞。阳春布德泽，万物生光辉。
常恐秋节至，焜黄花叶衰。百川东到海，何时复西归？
少壮不努力，老大徒伤悲。
注释：
园中的葵菜呵郁郁葱葱，晶莹的朝露阳光下飞升。春天把希望洒满了大地，万物都呈现出一派繁荣。常恐那肃杀的秋天来到，树叶儿黄落百草也凋零。百川奔腾着东流到大海，何时才能重新返回西境？少年人如果不及时努力，到老来只能是悔恨一生。
《咏史》其五
左思
皓天舒白日，灵景耀神州。列宅紫宫里，飞宇若云浮。
峨峨高门内，霭霭皆王侯。自非攀龙客，何为歘(xū)来游。
被褐出阊阖(chāng hé)，高步追许由。振衣千仞冈，濯(zhúo)足万里流。
注释：
晴朗的天空，耀眼的阳光普照着神州大地。洛阳城皇宫中一排排高矗的建筑，飞檐如同浮云。在高门大院里，居住着许多王侯。自己不是攀龙附凤之人，为什么到洛阳这种地方来呢？我决心穿着粗布衣服，追随高士许由过隐居高蹈的生活。在高山上抖衣，在长河中洗脚。
《移居》其二
陶渊明
春秋多佳日，登高赋新诗。过门更相呼，有酒斟酌之。
农务各自归，闲暇辄(zhé)相思。相思则披衣，言笑无厌时。
此理将不胜，无为忽去兹。衣食当须纪，力耕不吾欺。
注释：
春秋两季有很多好日子，我经常同友人一起登高赋诗。朋友过门，互相招呼，相聚在一起，如果有酒，大家一起斟酌品尝。
有农活儿时各自回去耕作，有余暇时便彼此想念。思念的时候，大家就披衣相访，聚集在一起谈谈笑笑，没有厌足的时候。
这种登高赋诗、饮酒言笑的生活的确很美好，不能轻易地抛弃它。穿的吃的需要自己亲自去经营，只要努力耕作，就不会徒劳无所得。
《子夜四十歌春歌》
春风动春心，流目瞩山林。
山林多奇采，阳鸟吐清音。
注释：
春天和风吹拂，万物开始萌发出动心的激情。山林葱绿，吸引着人们的目光。山林野花缤纷,异彩纷呈。艳阳下鸟儿的叫声清脆悦耳。
《春晓》
孟浩然
春眠不觉晓，处处闻啼鸟。
夜来风雨声，花落知多少。
注释：
春宵梦酣，天已大亮了还不知道，一觉醒来，听到的是屋外处处鸟儿的欢鸣。昨夜我在朦胧中曾听到一阵风雨声，现在庭院里盛开的花儿到底被摇落了多少呢？
《九月九日忆山东兄弟》
王维
独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲。
遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人。
注释：
我在异乡的时候，每遇到佳节良辰时总会思念起家乡。早就想到今天是重阳节，兄弟们要登高望远，他们在佩戴茱萸时，发现少了我一人。
《静夜思》
李白
床前明月光，疑是地上霜；
举头望明月，低头思故乡。
注释：
那透过窗户映照在床前的月光，起初以为是一层层的白霜。仰首看那空中的一轮明月，不由得低下头来沉思，愈加想念自己的故乡。
《望岳》
杜甫
岱宗夫如何，齐鲁青未了。
造化钟神秀，阴阳割昏晓。
荡胸生层云，决眦入归鸟。
会当凌绝顶，一览众山小。
注释：
五岳之首的泰山是怎么样的景象呢？它的峰峦在齐鲁的大地绵延，青翠的山色无穷无尽，望不到边际。大自然把一切神奇秀丽都汇聚在这里，山南山北，虽在同一个时辰，但一边明亮犹如清晨，一边却阴暗得如同黄昏。山中的浮云一层层地生发出来，心胸因此得到洗涤，薄暮时分，归巢的山鸟正远远地从高空掠过，只有睁大眼睛才能看得清楚。总有一天，我一定要攀登的山的绝顶，到时候，俯瞰群峰，它们将是多么地矮小！
《江南春绝句》
杜牧
千里莺啼绿映江，水村山郭酒旗风。
南朝四百八十寺，多少楼台烟雨中。
注释：
千里江南，到处是黄莺婉转啼叫、绿叶映衬红花，水边的村落，靠山的城镇，酒帘迎风招展。南朝建有四百八十座寺庙，多少楼台隐现在迷茫的烟雾般的细雨中。
《苏幕遮怀旧》
范仲淹
碧云天，黄叶地。秋色连波，波上寒烟翠。山映斜阳天接水，芳草无情，更在斜阳外。
黯乡魂，追旅思。夜夜除非，好梦留人睡。明月楼高休独倚，酒入愁肠，化作相思泪。
注释：
白云满天，黄叶遍地。秋天的景色映进江上的碧波，水波上笼罩着寒烟一片苍翠。远山沐浴着夕阳天空连接江水。岸边的芳草似是无情，又在西斜的太阳之外。
黯然感伤的他乡之魂，追逐旅居异地的愁思，每天夜里除非是美梦才能留人入睡。当明月照射高楼时不要独自依倚。端起酒来洗涤愁肠，可是都化作相思的眼泪。
《浣(huàn) 溪沙》
晏殊
一曲新词酒一杯，去年天气旧亭台。夕阳西下几时回？
无可奈何花落去，似曾相识燕归来。小园香径独徘徊。
注释：
听一曲以新词谱成的歌，饮一杯酒。去年这时节的天气、旧亭台依然存在。但眼前的夕阳西下了，不知何时会再回来。
无可奈何之中，春花正在凋落。而去年似曾见过的燕子，如今又飞回到旧巢来了。（自己不禁）在小花园中落花遍地的小径上惆怅地徘徊起来。
《卜算子》
李之仪
我住长江头，君住长江尾。日日思君不见君，共饮长江水。
此水几时休，此恨何时已。只愿君心似我心，不负相思意。
注释：
同住长江边，同饮长江水，却因相隔两地而不能相见，此情如水长流不息，此恨绵绵终无绝期。只能对空遥祝君心永似我心，彼此不负相思情意。
《夏日绝句》
李清照
生当作人杰，死亦为鬼雄。
至今思项羽，不肯过江东。
注释：
人活在这世界上，就要做一个人上之人，就要有杰出的贡献！即使是已经死了，也要成为魔鬼中的霸者，领导群魔！我（指李清照）直到今天还在想念当初楚汉争雄时的项羽，因为兵败，宁愿死去也无颜面对自己的江东父老！这是何等的气概啊！
《观书有感》
朱熹
半亩方塘一鉴开，天光云影共徘徊。
问渠那得清如许？为有源头活水来。
注释：
半亩大的方形池塘像一面镜子被打开，天空的光彩和浮云的影子一齐映入水塘，不停地晃动。问那方塘的水怎么会这样清澈？因为有永不干枯的水从源头不断流出来，从而成了活水！
高中数学子集、全集、补集练习题(附答案)
高中数学子集、全集、补集练习题（附答案）数学必修1(苏教版) 1.2 子集、全集、补集 若一个小公司的财产和职员都是某个大公司的财产和职员，那么这个小公司叫做这个大公司的子公司．同样对于一个集合A中的所有元素都是集合B的元素，那么我们如何给A、B 之间建立一个确切的关系呢？ 基础巩固 1．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则() A．A?B B．B?A C．A＝B D．AB＝ 解析：直接判断集合间的关系． ∵A＝{x－1＜x＜2}，B＝{x－1＜x＜1}，B A. 答案：B 2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则UM＝() A．{2,4,6} B．{1,3,5} C．{1,2,4} D．U 解析：UM＝{2,4,6}． 答案：A 3．已知集合U＝R，集合M＝{x |x2－40}，则UM＝() A．{x|－22} B．{x|－22}
C．{x|x－2或x2} D．{x|x－2或x2} 解析：∵M＝{x|x2－40}＝{x|－22}， UM＝{x|x－2或x2}． 答案：C 4．设集合A＝{x||x－a|1，xR}，B＝{x||x－b|2，xR}，若AB，则实数a、b必满足() A．|a＋b| B．|a＋b|3 C．|a－b| D．|a－b|3 解析：A＝{x|a－1a＋1}，B＝{x|xb－2或xb＋2}，∵AB，a ＋1b－2或a－1b＋2，即a－b－3或a－b3，即|a－b|3. 答案：D 5．下列命题正确的序号为________． ①空集无子集； ②任何一个集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④U(UA)＝A. 解析：空集只有它本身一个子集，它没有真子集，而一个集合的补集的补集是它本身． 答案：④ 6．若全集U＝{xR|x24}，A＝{xR||x＋1|1}，则UA＝________. 解析：U＝{x|－22}，A＝{x|－20}，
1.2 集合之间的关系(含答案)(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 1.2 集合之间的关系 【课堂例题】 例1.设,,A B C 是三个集合，若A B ?且B C ?，试证A C ?. 例2.试判定下列两个集合的包含关系或相等关系并简述理由. (1)? {|23}x x -<<-; (2){|5}x x > {|6}x x >； (3){|n n 是12的正约数} {1,2,3,4,6,8,12}； (4){|n n 是4的正整数倍} {|2,}n n k k Z + =∈. 例3.求出所有符合条件的集合C (1){1,2,3}C ?;
(2){,}C a b ; (3){1,2,3} {1,2,3,4,5}C ?. (选用)例4.已知{|21,},{|A x x k k Z B x x ==+∈=是被4除余3的整数},判断,A B 之间的关系并证明之. . 1.2 集合之间的关系 【知识再现】 1.对于两个集合A 与B , (1)如果 ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作________或________，读作 或者_________________； (2)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 与集合B 相等，记作 ； (3)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 叫做集合
《集合间的基本关系》教学设计(精品)
集合间的基本关系 （一）教学目标； 1．知识与技能 （1）理解集合的包含和相等的关系. （2）了解使用Venn图表示集合及其关系. （3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系. 2．过程与方法 （1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系. （2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义. （3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念. 3．情感、态度与价值观 应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力. （二）教学重点与难点 重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别. （三）教学方法 在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质. （四）教学过程
图表示为： =2}. }.
备选训练题 例1 能满足关系{a ，b }?{a ，b ，c ，d ，e }的集合的数目是（ A ） A ．8个 B ．6个 C ．4个 D ．3个 【解析】由关系式知集合A 中必须含有元素a ，b ，且为{a ，b ，c ，d ，e }的子集，所以A 中元素就是在a ，b 元素基础上，把{c ，d ，e }的子集中元素加上即可，故A = {a ，b }，A = {a ， b ， c }，A = {a ，b ， d }，A = {a ，b ， e }，A = {a ，b ，c ，d }，A = {a ，b ，c ，e }，A = {a ，b ，d ，e }，A = {a ，b ，c ，d ，e }，共8个，故应选A. 例2 已知A = {0，1}且B = {x |x A ?}，求B . 【解析】集合A 的子集共有4个，它们分别是：?，{0}，{1}，{0，1}. 由题意可知B = {?，{0}，{1}，{0，1}}. 例3 设集合A = {x – y ，x + y ，xy }，B = {x 2 + y 2，x 2 – y 2，0}，且A = B ，求实数x 和y 的值及集合A 、B . 【解析】∵A = B ，0∈B ，∴0∈A . 若x + y = 0或x – y = 0，则x 2 – y 2 = 0，这样集合B = {x 2 + y 2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y ≠0，x – y ≠0. ∴22 220 xy x y x y x y x y =?? -=-??+=+? （I ） 或22 220xy x y x y x y x y =?? -=+??+=-? （II ） 由（I ）得：00x y =?? =?或01x y =??=?或1 0x y =??=? 由（II ）得：00x y =?? =?或01x y =??=-?或1 0x y =??=? ∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去. 当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去. ∴01x y =?? =?或0 1x y =??=-? ， ∴A = B = {0，1，–1}. 例4 设A = {x | x 2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若B A ?，求实数a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集. 【解析】A = {3，5}，∵B A ?，所以
实验五指定子集个数的集合划分
指定子集个数的集合划分 实验名称指定子集个数的集合划分系别信科院 姓名曾会蜜学号3090717116班级计本09-1 实验地点1409J日期2011年10月实验时数4 指导教师叶苗同组成员独立完成成绩 ?实验目的及要求 ?明确递归和递推的基本概念 ?用递归和递推解决指定子集个数的集合划分问题 ?通过本例掌握递归和递推的程序设计方法 ?实验环境及相关情况（包括使用的软件、实验设备） ?工具软件：Microsoft visual C++ 6.0 ?硬件：主板，鼠标，键盘，显示器，U盘 ?操作系统：Windows 7 ?实验内容及步骤（包括简要的实验步骤流程） 1.根据题目确定思路,划分集合,可以找出其中的逻辑关系. 2.根据逻辑关系,运用递归的算法来求,划分为两种情况对于一种情况，等价于把前n-1个元素分成m-1份，然后n号元素单独放。对于第二种情况，等价于把前n-1个元素分成m份，然后把n号元素放入这m个集合中的一个（也就是说有m种放法） 那麽总数就是 F(n,m) = F(n-1,m-1) + m * F(n-1,m) 3.根据分析建立递推方程 ?实验结果（拷贝屏幕，加上必要的文字说明）
四.源代码 1.#include
子集、全集、补集练习题及答案
子集、全集、补集练习题及答案 例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}? (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}??≠ (4)0∈{0} (5){0}(6){0} ??∈＝ 分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的． 说明：含元素0的集合非空． 例2 列举集合{1，2，3}的所有子集． 分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个． 解含有个元素的子集有：； 0? 含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}； 含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个． 说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ? 例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ?? ________． 分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}． 答 共3个． 说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束． 例设为全集，集合、，且，则≠ 4 U M N U N M ?? [ ] 分析 作出4图形． 答 选C ．
说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便． 点击思维 例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ] A A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠ ??? 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1， y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ． 答 选A ． 说明：要注意集合中谁是元素． M 与P 的关系是 [ ] A ．M ＝ U P B ．M ＝P C M P D M P ．．≠?? 分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利 用补集的性质：M ＝ U N ＝ U ( U P)＝P ；三是利用画图的方法．
2集合之间的关系
1.2 集合之间的关系 【知识解读】 1、集合与集合之间的关系： （1）子集：对于两个集合A 和B ，若集合A 中______元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集 合B 的子集，记作_______（或B A ?），读作“___________”或“B 包含A ”。 如：每个整数都是有理数，就是说：整数集中Z 的每个元素都属于有理数集Q ，即Z Q ?，同理Q R ?，即N _____Z ______Q ______R ； 注意: 任何集合都是它自身集合的子集，如A_____A 。 （2）相等的集合：对于集合A 和B ，如果______且_______，那么叫做集合A 与集合B 相等。 记作A=B ，读作“集合A 等于集合B ”。因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等。 注意: 当A=B 时，A 一定是B 的子集，B 一定是A 的子集，即A=B ,A B B A ???。 （3）真子集：对于两个集合A ，B ，如果________，且B 中至少有一个元素不属于A ，那么 集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ___ B 或（B _____A ），读作“A 真包于B ”或是“B 真包含A ”。由真子集的定义可见，真子集是子集关系中的特殊关系。 如：对于数集N ，Z ，Q ，R 来说，有N _____ Z _______ Q _______ R ； 注意： 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 2、有关有限集的子集个数的结论： 若集合A 是含有n 个元素的有限集，则集合A 的子集共有____________个， 集合A 的非空子集有__________个，集合A 的非空真子集有_____________个； 【例题讲解】 例1、 确定实数,x y ，使{}{}2,7,4x x y +=。 例2、确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系； （1）{|A n n =为12的正约数 }与}{1,3,2,4,6,12B =； （2）}{ *|2,C m m k k N ==∈与{|D m m =为4的正整数倍数}。
2021年子集全集补集知识点总结及练习
1.2 子集全集补集 学习目的： 1．理解集合之间包括含义，能辨认给定集合与否具备包括关系； 2．理解全集与空集含义． 重点难点：能通过度析元素特点判断集合间关系． 授课内容： 一、知识要点 1．子集、真子集 (1)子集：如果集合A 任意一种元素都是集合B 元素，那么集合A 称为集合B 子集． 即：对任意x ∈A ，均有x ∈B ，则A ____B (或B ?A )． (2)真子集：若A ?B ，且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 真子集，记作A ___B (或B _____A )． (3)空集：空集是任意一种集合______，是任何非空集合____．即??A ，?____B (B ≠?)． (4)若A 具有n 个元素，则A 子集有 个，A 非空子集有 个． (5)集合相等：若A ?B ，且B ?A ，则A ＝B ． 2．全集与补集： 全集：包括了咱们所要研究各个集合所有元素集合称为全集，记作U ． 补集：若S 是一种集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 补集． 简朴性质：（1）S C (S C )=A ；（2）S C S=Φ，ΦS C =S ． 二、典型例题 子集、真子集 1．（1）写出集合{a ，b }所有子集及其真子集； （2）写出集合{a ，b ，c }所有子集及其真子集．
2．设M 满足{1，2，3}?M ≠ ?{1，2，3，4，5，6}，则集合M 个数为 ． 3．设{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A 是B 真子集，则a 取值范畴是 ． 4．若集合A ={1，3，x }，B ={x 2，1}，且B ?A ，则满足条件实数x 个数为 ． 5．设集合M ={(x,y )|x+y <0，xy >0}和N ={(x,y )|x <0，y <0}，那么M 与N 关系为 ______________． 6．集合A ={x |x =a 2-4a +5，a ∈R }，B ={y |y =4b 2+4b +3，b ∈R } 则集合A 与集合B 关系是________． 7．设x ，y ∈R ，B ={(x,y )|y -3=x -2}，A ={(x,y )|32 y x --=1}，则集合A 与B 关系是_______ ____． 8．已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 关系是 ． 9．设集合{}{} 21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a ． 10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ?()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述规定集合P 有 个． 11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a }，C={x 2+(a+1)x-3，1}．求： （1）当A ={2，3，4}时，求x 值； （2）使2∈B ，B A ，求x a ,值； （3）使B=C x a ,值． 【拓展提高】 12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ?求实数m 取值? ≠
集合的并、交、补集测试题(含答案)
集合的并、交、补集 一、单选题(共12道，每道8分) 1.设集合，，则=( ) A.{0} B.{0，2} C.{-2，0} D.{-2，0，2} 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：并集及其运算 2.若集合，，则=( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：交集及其运算 3.已知集合，，若={2，5}，则a+b的值为( ) A.10 B.9 C.7 D.4 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：交集及其运算 4.设集合，，若，则a的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.±1 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：交集及其运算 5.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：补集及其运算 6.若集合，集合，则( ) A.) B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：补集及其运算 7.设集合，，则满足的集合有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：交集及其运算 8.满足，且的集合M有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：子集与真子集 9.若，则满足条件的集合共有( )个． A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：并集及其运算 10.如图，U是全集，A，B，C是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：Venn图表达集合的关系及运算 11.已知全集，，那么下列结论中不成立的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
集合X={1_2_…n}的几种特殊子集个数浅探
集合X ={1,2,…n}的几种特殊子集个数浅探 陈晶晶1 高爱平 2Ξ (1、武汉科技学院外经贸学院,湖北 武汉 430079;2、阳江职业技术学院,广东 阳江 529566) 摘 要:设集合X ={1,2,…n},本文给出了下列定义:集合X 中距离大于m 的子集,距离小于m 的子集,距离等于m 的子集,文中把求集合X 的这些特殊的子集的个数转化为求相应方程的整数解的个数,并且讨论了这些特殊子集个数之间存在的联系,其中对方程整数解个数的求解主要借助于Ⅱ型分配中的普母函数. 关键词:集合;子集;一一对应;Ⅱ型分配;普母函数中图分类号:O144 文献标识码:A 文章编号:1672-0768(2003)05-0005-03集合X ={1,2,…n}的不含相邻整数的K 元子集的个数在[1]中有精确的求解,如果把X 的k 元子集中的元素按从小到大排列依次记为a 1,a 2,a k ,那么满足条件a i +1-a i >m 的k 元子集的个数在[2]的习题中也有结论,但是这个结论从何而来,并且如果满足条件a i +1-a i 子集、全集、补集·基础练习 (一)选择题 1{0}{012}{0}{01．在以下五个写法中：①∈，，②③，，≠ ?? 2}{120} 01{x|x {12}}???，，④∈⑤∈，写法正确的个数有 [ ] A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2A ={(x y)| y x =1}B ={(x y)|y =x}．集合，与，的关系是 [ ] A A = B B A B C A B D A B ．．．．≠≠ ??? 3{01}M {01234}．满足条件，，，，，的不同集合的个数≠ ??M 是 [ ] A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 4I =R A ={x|x 32}a =1 23 ．全集，＞，则- [ ] A a C A B a C A C {a}C A D {a}A I I I ．．．．∈≠ ?/?? (二)填空题 1．设I={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3，5}，B={0， 1}从“∈、、、”中选择适当的符号填空．??? ①0________A ②{0}________B ③C I A________C I B ④⑤⑥1 C B C A A B I I ? 2M ={x|x 1=0}N ={x|ax 1=0}N M a 2．设－，－，若，则的值为? ________． 3．已知A={x|x=(2n ＋1)π， n ∈Z}，B={y|y=(4k ±1)π，k ∈Z}，那么A 与B 的关系为________． 4M ={(x y)|mx ny =4}{(21)(25)}M ．设，＋且，，－，，则?=m ________，n=________． 5A ={x|4x p 0}B ={x|x 1x 2}A B ．设＋＜，＜－或＞，若使，则?P 的取值范围是________． (三)解答题 1A ={13a}B ={1a a 1}A B 2．已知集合，，，，－＋且，求? a 的值． 2．已知集合A={x ∈R|x 2＋3x ＋3=0}，B={y ∈B|y 2－5y ＋6=0}， A P B P ??≠ ，求满足条件的集合． 3．已知集合A={x|x=a 2＋1，a ∈N}，B={x|x=b 2－4b ＋5，b ∈N}，求证：A=B ． 参考答案 (一)选择题 B(=)A B 1．①集合与集合之间应用，或而不是属于关系．②空集是任何非空集合的真子集．③两集合相等时也可以写成的形式．④中不含任何元素．⑤此集合的元素是集合而不是数字．故② ???? 和③是正确的) 210．注意与这两个式子是不同的，前者只有≠时才B(y x =y=x x 有意义，故A 中少一个点(0，0)，因此A B) 3．C(M 中必须含有0、1，另外再在2、3、4中任取1个、2个或3个，这样集合M 的个数为3＋3＋1=7个) 注：此题也可以理解为求{2，3，4}集合的非空子集个数为23－1=7个 (二)填空题 1 ．①∈②③④⑤⑥????? 2． ±1或0(忽略空集是学生常犯的错误，本题应考虑两方面：① 集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲） 一、集合的划分 例1、将集合{}1,2,,1989 分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i = 使得： （1）每个i A 都含有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和都相同。 例2、对一个由非负整数组成的集合S ，定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数：12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=，问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n = 例3、设集合{}1,2,,A m = ，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A ， 一定存在某个集合()114i A i ≤≤，在i A 中由两个元素,a b ，满足43b a b <≤ 例4、证明：可以把自然数集分划为100个非空子集，使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然 数,,a b c ，都可以从中找出两个数属于同一子集 例5、设集合12,,,n A A A 和12,,,n B B B 是集合M 的两个n -分划，已知对任意两个交集为空集的集合(),1,i j A B i j n ≤≤，均有i j A B n ≥ ，求证：2 2 n M ≥ 例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集：12r N A A A = ，求证其中必有某个子集A ，它具有如下性质P ：存在,m N ∈使对任何正整数k ，都能找到12,,,k a a a A ∈ ，满足 11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤- 例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ，满足条件：（1）1A ∈；（2）A 中没有两个不同的元素，使它们的和形如()220,1,2,k k += ；（3）B 中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。 证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定2007,2008,2009所属的子集 例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合； （2）下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合 例9、设{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M == ,对A 的任一非空子集B ，当B 中任意两数之和不属于M 时，称B 为M -自由集，如果1212,,A A A A A ==? 且12,A A 均为M -自由集，那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数 二、C 族 例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素 1.2 子集、全集、补集 【基础练习】 1． 已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}， 则（ ） A ．A B ? B ． C B ? C ． D C ? D ．A D ? 【答案】B 【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D A ?，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B A ? C A ?，正方形是矩形，所以C B ?． 故选B ． 2．集合2{|440}x x x -+=的子集个数为（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 【解析】由题意，求得{}2{|440}2x x x -+==，即可求解集合子集的个数，得到答案. 3．满足{}{}1123A ??， ，的集合A 的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】由条件{}1A ??{1,2,3}，根据集合的子集的概念与运算，即可求解． 4．设集合{}12M x x =-≤<，{}0N x x k =-≤，若M N ，则k 的取值范围是（ ） A ．k 2≤ B ．k ≥-1 C ．1k >- D ．2k ≥ 【答案】D 【解析】由M N ?，则说明集合M 是集合N 的子集，即集合M 中任意元素都是集合N 中的元素，即2k ≥即可. 5（多选题）已知集合(){},0,0,,M x y x y xy x y = +<>∈R ，(){},0,0,,N x y x y x y =<<∈R ，那么（ ） A ．M N ? B ．M N ? C ．M N D ．M N 【答案】ABC 【解析】若0x <,0y <,则0x y +<,0xy >,故N M ?. 1.1.2集合间的基本关系 一、选择题 1．对于集合A ，B ，“A ?B ”不成立的含义是( ) A ． B 是A 的子集 B ．A 中的元素都不是B 的元素 C ．A 中至少有一个元素不属于B D ．B 中至少有一个元素不属于A [答案] C [解析] “A ?B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C. 2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( ) A ．P M B ．M P C ．M ＝P D ．M P [答案] C [解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0 ∴x 与y 同为负数 ∴??? x ＋y <0 xy >0等价于??? x <0 y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ?C ，B ?C ，则集合C 中元素最少有( ) A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 [答案] C [解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}， ∵A ?C ，B ?C ， ∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素． 4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ?A ，则满足条件的实数x 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] ∵B ?A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1 ∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C. 5．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R }和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R }，则两个集合间的 专题1.1 集合间的基本关系——子集与真子集、空集及集合个数 一．选择题（共10小题） 1．（2020春?宣城期末）从集合{a，b，c}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a}子集的概率是（） A．3 5 B． 2 5 C． 1 4 D． 1 8 2．（2020春?沙坪坝区校级期末）集合A＝{﹣2，1，2，3}的真子集个数为（）A．16B．15C．14D．13 3．（2020?沙坪坝区校级模拟）已知集合A＝{x|x2＜2，x∈Z}，则A的真子集共有（）个． A．3B．4C．6D．7 4．（2020?丰台区二模）集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（）A．4B．6C．7D．8 5．（2020春?新市区校级期中）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则集合A各子集中元素之和为（） A．320B．240C．160D．8 6．（2020?茅箭区校级模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣4x﹣21≤0}，则集合A中的元素个数为（） A．11B．8C．10D．7 7．（2019?辽宁一模）若集合A＝{x|1≤x＜2}是集合B＝{x|x＞b}的子集，则实数b的范围是（） A．b≥2B．1＜b≤2C．b≤2D．b＜1 8．（2020春?河南期末）已知集合{|224}x A x =<<， {|B y y ==，}x A ∈，则下列 关系中正确的是( ) A ．A B ? B ．A B ? C ．A B = D ．A B =? 9．（2020春?沙坪坝区校级月考）已知非空集合A ?{x ∈N |x 2﹣x ﹣2＜0}，则满足条件的集合 A 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．（2020?湖北模拟）已知集合{|A x y ==，集合{|}B x x a =，若A B ?，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞- B ．(-∞，2]- C ．(2,)+∞ D ．[2，)+∞ 二．填空题（共5小题） 11．（2020春?九江期末）设集合A ＝{﹣1，1，m }，B ＝{m 2，1}，且B ?A ，则实数m ＝ ． 12．（2020?浦东新区三模）已知集合A ＝{﹣1，0，a }，B ＝{x |1＜2x ＜2}，若A ∩B ≠?，则 实数a 的取值范围是 ． 13．（2019秋?青州市校级月考）设集合A ＝{x |x 2+2x ﹣a ＝0，x ∈R }，若A 是空集，则实数a 的取值范围是 ． 14．（2020?徐汇区校级期末）已知复数a ，b 满足集合{﹣a ，b }＝{a 2，b +1}，则ab ＝ 15．（2020?溧阳市期中）设M ＝{m ，2}，N ＝{m +2，2m }，且M ＝N ，则实数m 的值是 ． 三．解答题（共4小题） 16．（2020?中山市期末）已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3≤0}，B ＝{x |log 2x ＞1}． （1）集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ?A ，求实数a 的取值范围； （2）对任意x ∈B ，都有函数f （x ）＝x 2﹣kx +3+k ＞0，求实数k 的取值范围． 1.1集合及子集的有关概念 一、 考纲解析与复习目标：理解集合、子集的概念，了解空集的意义，了解属于、包含、相等 关系的 意义，掌握有关术语和符号，并会用它们正确表示集合 二、 知识梳理： 1、集合的基本概念： （1） 一般地，我们把 _________ 统称为元素，-把 _________ 组成的 _______ 叫做集合?集合中的元素具 有 ___________ 性、___________ 性、 __________ 性等特性. （2） ____________________________________ _______________________ 叫空集，记作 . （3） 集合表示方法主要有 ________ 法、 ________ 法，也常用区间和文氏图表示集合 . （4）常见数集符号： N g ,N ,Z,Q,R,C （5）元素与集合之间的关系：“属于”、“不属于”，符号表示为 2、集合与集合的关系： （1） 子集的概念（AUB ）: ______________________________ . （2） 子集的性质：① ________ ，② ___________ ，③ ______________ . （3） 真子集、集合相等的概念及符号表示： _____________________ . （4） _______________________________________________________________ 含n 个元素的集合 A 的所有子集的个数是 _______________________________________________________ 3、几点注意：（1）考虑集合问题应有“空集优先”意识； （2）集合用描述法表示时，要分析代表 元素是什么，尤其分清“数集”与“点集” ，还要分析清楚元素的限制条件； （3）集合中的确定参 数值的问题，要注意集合中元素性质的检验； （4）解题时注意分类讨论、 数形结合等数学思想方法 三、典型例题： （2）下列命题中真命题的个数是 _______ 个 2、用列举法表示下列集合 1、（ 1）下列选项不能形成集合的的 是 A 、大于2的全体实数 （） B 、不等式3x 5 2的所有解 C 、直线y 3x 1上所有点 D 、x 轴附近的点 ①0 ② { }③0 {0}④ {a}⑤ {0} (3)设集合A {x, x 2 x ｝，则x 须满足的条件是 (1) A x Z (2) B {y y (3) C {(x,y) 6, x N,y N}， x 2 6,x N g , y N g }， (4) D {(x,y) x y 6,x N g , y N g } 第 1 页 共 1 页 子集、全集、补集 一、选择题（每小题2分，共12分） 1．下列四个命题中，正确的个数为 ①空集没有子集 ②空集为任一集合的真子集 ③?={0} ④任一集合必有两个以上子集 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．满足关系式{1，2}?A {1，2，3，4，5}的集合A 的个数为 A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．下列各式中，错误的个数为 ①1∈{0，1，2} ②{1}∈{0，1，2} ③{0，1，2}{0，1，2} ④?{0，1，2} ⑤{0，1，2}={2，0，1} A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设I 为全集，P 、Q 为非空集合，且P Q I ，下列结论不正确的为 A ．I P ∪Q=I B ．I P ∩Q=? C ．P ∪Q=Q D ．P ∩I Q=? 5．集合M={x|x=2n+1，n ∈Z }与集合N={x|x=4k ±1，k ∈Z }之间的关系为 A ．M N B ．M N C ．M=N D ．M ∈N 6．设全集S={2，3，a 2 +2a －3}，A={|a+1|，2}，S A={5}，则a 的值为 A ．2 B ．－3或1 C ．－4 D ．－4或2 二、填空题（每小题2分，共8分） 7．设全集U={x|1≤x ≤5}，A={x|2≤x ＜5}，则U A=_____________________________． 8．已知集合M={0，1，2}，则M 的真子集有_________个，它们分别是___________________________________． 9．设集合A={x ∈R |x 2+x －1=0}，B={x ∈R |x 2－x+1=0}，则集合A 、B 之间的关系为__________． 10．已知集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|x ＜a }，若A B ，则实数a 的范围是__________． 三、解答题（共30分） 11．（8分）求满足{x|x 2 +1=0，x ∈R }M {a|42+a ≤3，a ∈Z }的集合M 的个数． 12．（11分）设集合U={（x ，y ）|y=3x －1}，A={（x ，y ）| 12--x y =3}，求U A ． 13．（11分）设U={－ 31，5，－3}，－31是A={x|3x 2+px －5=0}与B={x|3x 2+10x+q=0}的公共元素，求U A ，U B ． 参考答案 一、1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．D 二、7．{x|1≤x ＜2或x=5} 8．7 ?，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2} 9．B A 10．a ≥4 三、11．31个 12．{（1，2）} 13．U A={－3}，U B={5} 一集合A的子集个数 1 n个元素每个都有两种选择，即有或没有，那么n个元素就有2^n种 2 有n个元素，每个元素进行一次判断要不要把它选出来放进子集里，。。。这样子判断n次，产生了2^n种不同子集 二若集合A有n个元素，则集合A的子集个数为2^n（即2的n次方）真子集个数是什么非空真子集个数是什么并证明 最佳答案 2^n - 1, 2^n - 2 证：设元素编号为1, 2, ... n。每个子集对应一个长度为n的二进制数, 数的第i位为1表示元素i在集合中，0表示元素i不在集合中。 00...0(n个0) ~ 11...1(n个1) [二进制] 一共有2^n个数，因此对应2^n个子集，去掉11...1(即全1，表示原来的集合A)则有2^n-1个真子集，再去掉00...0(即全0，表示空集）则有2^n-2个非空真子集 比如说集合{a, b, c}元素编号为a--1, b--2, c--3 111 <--> {a, b, c} --> 即集合A 110 <--> {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中 101 <--> {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中 ... ... 001 <--> { , , c} 000 <--> { , , } --> 即空集 如果你学过排列组合，可以有更简单的证明。 三关于含有n个元素的集合的真子集个数问题 最近发现这么一类问题，让你求对于含有n个元素的集合，其含有m个元素真子集的个数是多少？（n>m） 这里有一道例题： 1个集合里有10个元素，那么他有3个元素的子集是多少个？ 首先，我们来逐步解决这个问题。 引入一：1个集合里有10个元素，那么他有1个元素的子集是多少个？ 答：这个貌似不用说都知道吧。。。10个。。。这个小学生都会做。。。即有n个 引入二：1个集合里有10个元素，那么他有2个元素的子集是多少个？ 答：这个就有一些难度了，但并不很难，这里有一个思路： 先定住一个元素，然后另一个元素逐渐往后移动，可能我说不清楚，请看图解： （◎定住元素★移动元素☆其他元素，下同） ◎★☆☆☆☆☆☆☆☆ 下一步是：子集、全集、补集·基础练习
集合的分划与子集族(打印)
1.2 子集、全集、补集(练习)(解析版)
1.1.2集合间的基本关系练习题
(新教材2019)集合间的基本关系-子集与真子集、空集及集合个数(原卷版)
集合及子集的有关概念
高一数学 子集、全集、补集 练习二
集合子集个数