第十九届华杯赛决赛解答_初一
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题解答（初一组）
（时间: 2014年4月12日）
一、填空（每题10分, 共80分）
1. 计算: =÷-+-?+-÷--??? ??-+?---÷+-?-]
6)8()3[(12)3()]27(0[625.385|54|)2(16)5(32
33 . 【答案】2-
【解答】
原式 =??? ??-?+-÷+--÷+-?-31312)3(27920)8(16)5(27=2611225299202135-=-=--+--. 2. 如图，由单位正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称
为格点, 以格点为顶点做了一个三角形, 记L 为三角形边上
的格点数目, N 为三角形内部的格点数目, 三角形的面积可
以用下面的式子求出来：
顶点在格点的三角形的面积=12
1-+N L
如果三角形的边上与内部共有20个格点, 则这个三角形的面积最大等
于 , 最小等于 .
【答案】17.5, 9
【解答】（题目中的公式取自闵嗣鹤教授写的《格点与面积》一本小册子, 只用到顶点数目, 其说明也易于理解. 下面的说明也是取自该书）,
根据
顶点在格点图形的面积=121-+N L ,
因为L 为三角形边上的格点数目, N 为图形内部的格点数目, 要使三角形面积最大, 则要求L 最小. 当L 最小的时候, 三角形只有三个顶点在格点上,
其它
的点在三角形的内部. 此时面积为17.5.
这种图形是存在的, 在相邻的3列格点中, 三角形的三个顶点分别在其中一列上, 使得只有3个顶点在三角形的边上, 见下图.
考虑面积最小的情况, 当所有的格点都在三角形的边上时, 面积最小. 取相邻两行格点, 三角形的一个顶点在其中一行, 底边包含19个格点在另一行, 此时面积为9, 见下图.
下面叙述这个公式的一步步的说明过程.
（1）考虑1+m 行, 1+n 列的矩形, 则图形内的点数为))((11--n m , 边上的点数为)(2n m +, 图形的面积为mn . 而
1))(2(2
1)1)(1(-++--=n m n m mn . 因此公式成立.
（2）对于直角三角形, 设直角边的长度分别为m , n . 设斜边上的点数为K , 则三角形内部的格点数为
2
211+---K n m ))((, 三条边上的格点数为
1-++K n m .
因此,
12
11212211+=-++++---mn K n m K n m )())((. 而三角形的面积为mn 2
1, 故公式成立. （3）对于一般的三角形, 有下面的三种方式：
对于每个上述情况, 可以把这个三角形记为T , 放入一个矩形中. 这样把矩形分割成一些直角三角形, 矩形与T . 对这些直角三角形与矩形进行编号 ,3,2,1. 记i 个图形的内部格点数目为i N , 边上的格点数目为i L , 每个图形面积满足
12
1-+i i L N . 注意到：
a) 每个图形的内部格点一定是外部矩形的内部格点.
b) 每个公共边上内部的格点属于两个图形.
c) 公共边的端点可能为多个图形的顶点. 如上左图中A , B 属于两个
图形边的顶点, C 为3个图形顶点.
把每个点对应一个数, 图形内部的格点对应1, 图形边上的格点对应21. 这样用外部矩形面积公式减去T 之外的其他直角三角形与矩形面积公式.
T 之内的格点为对应的数1, T 边上内部的格点对应的数为21211=-
, T 的三个顶点对应数的和是2
1212212123-=?---, 公式中常数1对应的值为1121=-?--)(, 其他格点对应的数为0. 这样
外部矩形面积公式减去T 之外的其他直角三角形与矩形面积公式
= T 的内部格点数+?21(边的内部格点数3-)+(12
1+-
) = T 的内部格点数+?21(边的内部格点数)1-,
因此公式对T 成立.
对其他两个图形也进行类似的讨论. 3. 长为4的线段AB 上有一动点C , 等腰三角形ACD 和等腰三角形BEC 在过
AB 的直线同侧, DC AD =, EB CE =, 则线段DE 的长度最小为 .
【答案】2.
【解答】 分别从D , E 向AB 作垂线, 过D 或E 做
与AB 的平行线, 可以得到一个矩形, 参见右图. 线
段DE 最短等于该矩形平行于AB 的边的长度（由过一
点D 或E 到另一直线的距离, 垂线最短的结论）. 三
角形ACD 和三角形BCD 是等腰三角形, DE 最短等于AB 的一半, 即为2.
4. 正整数c b a ,,满足等式, c b a =3, 且9432
=???
? ??++c b a , 又6822=+b a , 则=c . 【答案】12.
【解答】由 c
b a
c b a ++==33, 知 943932
2222222=??? ??++=++==c b a c b a c b a , 所以,
1534
99222=+=+)(b a c . 得1442=c , 12=c .
5. 如图, 直角三角形ABC 中, F 为AB 上的点, 且FB AF 2=, 四边形EBCD 为平行四边形, 那么
【答案】2
【解答】连接FC , BD , 设kEF FD =, S S BFE =?, 那么
kS S BDF =?, S k S S FBC BCD )1(+==??. 由FB AF 2=可知
kS S AFD 2=?, 进而S k S A B C )4
1(+=?, 得
又
所以
)1(341k k +=+.
解得, 2=k . 因此, EF FD 2=.
6. 方程023=+++C Bx Ax x 的系数C B A ,,为整数, 5||,5||,5||<< 是方程的一个根, 那么这种方程总共有 个. 【答案】60 【解答】由已知, b x a b x a x b ax x x C Bx Ax x --+-+=++-=+++)()1())(1(23223, 其中, a , b 为实数, 于是有 b C a b B a A -=-=-=,,1, 并且得到a , b 为整数. 由题目条件得 5||,5||,5|1|<<-<-b a b a . 因此 555564<<-+<<-<<-b b a b a ,,. 当0=b 时, 由55,64<<-<<-a a , 得54<<-a , 即a 能够取8个整数值. 类似地, 当b 为1, 2, 3, 4 时, a 分别可以取9, 8, 7, 6个整数值. 同样地, 当1-=b 时, 由46,64<<-<<-a a , 得44<<-a , 即a 能能够取7个整数值. 类似地, 当b 为4,3,2---时, a 分别可以取6, 5, 4个整数值. 这样, ),(b a 的取法, 亦即),,(C B A 的取法有 60)4567()67898(=++++++++（种） 所以, 这种方程共有60个. 7. 一辆公交快车和一辆公交慢车沿某环路顺时针运行, 它们的起点分别在A 站和B 站, 快车每次回到A 站休息4分钟, 慢车每次回到B 站休息5分钟, 两车在其他车站停留的时间不计. 已知沿顺时针方向A 站到B 站的路程是环路全程的5 2, 两车环行一次各需45分钟和51分钟（不包括休息时间）, 那么它们从早上6时同时出发, 连续运行到晚上10时, 两车同在B 站共 次. 【答案】3 【解答】记早上6时为第0分钟, 从6时到22时是 9606016=?分钟, 快车环行一周连同休息时间需49445=+分钟, 294919960+?=, 慢车环行一周连同休息时间需56551=+分钟, 85617960+?=. 即第960分钟时, 快车共环行了19次, 慢车环行了17次. 设慢车第m 次（171≤≤m , 6点出发为第0次）到达B 站的时间为第 m T 分钟, 则有: 556-=m T m . 快车第1次到达B 站是在第185 245=? 分钟, 11491918960+?=-, 快车经过B 站共20次. 记第n 次（201≤≤n ）经过B 站的时间为n t 分钟, 则 3149)1(4918-=-+=n n t n . 两车同在B 站时, m , n 必须满足: m n m 563149556≤-≤-. 26495631n m ≤-≤ 推出 31564926≤-≤m n , 7 3187726≤-≤m n . 既然m n 87-是整数, 故有4874≤-≤m n , 即得到二元整数方程: 487=-m n . 由上面的方程得, 51,4≤≤=k k n , 得到: ,4847=-?m k 127=-m k . 所以, k 为奇数. 当k 为1, 3, 5时, m 分别为3, 10, 17, n 分别为4, 12, 20. 所以, 快车和慢车同在B 站3次. 8. 如果a , b , c 为不同的正整数, 且 222c b a =+?那么乘积abc 最接近2014 的值是 . 【答案】2040 【解答】 解答1. 设如若平方数c 2取3m 或13+m 的形式, 那么a , b 中必有3的倍数, 不然c 2为23+m , 而与原设矛盾. 如若设平方数c 2取5m 或5m ±1的形式, 那么, 要是a , b 都不是5的倍数, 则c 2必为5m 或5m ±2, 而与原设矛盾; 要是a , b 都是5m , 则c 为5的倍数, 要是a , b 是5m ±2, 则c 不是5的倍数, 而与题设矛盾, 则a , b 中必有5的倍数. 若设平方数c 2取4m 或14+m 的形式, 要是a , b 都不是4的倍数, 则c 2必为24+m 的形式, 与题设矛盾. 故, a , b 中必有4的倍数. 因而可知abc 必为3, 4, 5的公倍数, 且4, 5, 6的最小公倍数为60. 又 19803360=?, 3419802014=-, 20403460=?, 2620142040=-, 并且当17,8,15===c b a 时, 22217815=+, 204017815=??. 所以abc 中最接近2014的值是2040. 解答2. 根据a , b , c 为不同的正整数, 满足222c b a =+, 则存在正整数)(,n m n m >, 使得 22n m a -=, mn b 2=, 22n m c +=. 所以 )()(22222n m mn n m abc +-=. 根据 2)(2)2()()2()(2 2222222 2n m mn n m mn n m +=+-≤?-, 知道 2)()(2)(3 222 222n m n m mn n m abc +≤+-=. （*） 当3=m 时, 根据n m >, n 最大为2, 221972492233222 222=+≤+≤+-=)()()()(n m n m mn n m abc . 另外 4222222222m n m mn n m n m n m mn n m abc ≥++-=+-=)())(()()(. （**） 所以当7≥m 时, 48042224222222=≥++-=+-=m n m mn n m n m n m mn n m abc )())(()()(. 考察6,5,4===m m m , 把n 的所有情况代人公式)(2)(2222n m mn n m abc +-=有下表: 所以abc 中最接近2014的值是2040. 二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程） 9. 有三个农场在一条公路边, 如图A 、B 和C 处. A 处农场年产小麦50吨, B 处农场年产小麦10吨, C 处农场年产小麦60吨. 要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦.假设运费从A 到C 方向是1.5元/吨千米, 从C 到A 方向是1元/吨千米. 问仓库应该建在何处才能使运费最低？ A 【答案】A 处 【解答】设仓库离B 处x 公里 (靠C 处), 则运费为： 109503010950)120(6015)50(505.1≥+=-+++?x x x x 元. 设仓库离B 处x 公里 (靠A 处), 则运费为： 10700510950)120(601050505.1≥-=+++-?x x x x ）（元. 因此, 应该将仓库建在A 处. 10. 如图, 在ABC Δ中, D 为BC 中点, FB AF 2=, AE CE 3=. 连接CF 交DE 于P 点, 求DP EP 的值. 【答案】3. 【解答】如图所示, 连接EF , DF . 设x S BDF =Δ. 因为D 为 BC 的中点, 所以x S FDC =?, x S CFB 2=?. 因为BF AF 2=, 所以2==??BF AF S S CFB CAF , 得x S CAF 4=?. 因为3 1==??CE AE S S EFC AFE , 所以x S EFC 3=?. 因为 DP PE S S S S CPD CEP DPF EFP ==????, 所以3==??FDC EFC S S DP PE . 11. 某地参加华杯赛决赛的104名小选手来自当地14所学校. 请你证明：其中一 定存在两所学校选手的人数是相同的. 【解答】如果结论不成立, 则这14所学校的选手数彼此互不相同. 也就是这14所学校的选手数是彼此不同的14个正整数. 而14个彼此不同的正整数之和最小为 1051413121110987654321=+++++++++++++, 104105>, 得出矛盾. 所以这14所学校的选手数彼此不同不能成立. 因此, 一定存在两所学校选手的人数是相同的. 12. 将一个四位数中的各数字和的两倍与这个四位数相加得2379. 求这个四位 数. 【答案】2353, 2347. 【解答】设这个四位数为xyzw . 首先, 2=x . 因为 ,9,,0≤≤w z y 若1=x , 则有 20552541999,54)(20=++≤++≤w z y , 与条件不符. 另一方面x 不能大于2. 于是, yzw xyzw 2=, 即有 23792224101002000=+++++++w z y w z y . 得到 375312102=++w z y . 容易验证, .2,1≠y 因此, .3=y 于是 69312=+w z , 12 369w z -= . 整数解： 4,7;5,3====z w z w . 所求四位数为：2353, 2347. 经验证, 都符合要求. 三、解答下列各题（每小题15分, 共30分, 要求写出详细过程） 13. 求质数c b,a,使得ab+bc=abc a+715. 【答案】29,2,2===c b a ;11,5,11===c b a 或者13,3,13===c b a 【解答】因为bc a |, 所以b a |或者c a |. 因为 a , b , c 都是质数, 所以b a =或者c a =. ① 当b a =时, c a ac a a 2275=++, 所以 ac c a =++715, 2112271?==--))((c a . 若 ???=-=-27111c a , 得???==9 12c a , 与题意不符; 若???=-=-11721c a , 得? ??==1813c a , 也与题意不符; 若???=-=-1 7221c a , 得???==823c a , 也与题意不符. 若???=-=-22711c a , 得? ??==292c a , 与题意相符, 29,2,2===c b a 为一个答案. ②当c a =时, b a a c ab a 2715=++, 所以b a ab a 2815=+, 由ab b =+815变化得到 53151)8(×=×b=a -. 若 ???==-1518b a , 得 ???==15 9b a , 与题意不符; 若 ???==-1158b a , 得 ? ??==123b a , 与题意不符; 若 ?? ?==-538b a , 得 ???==511b a , 与题意相符, 11,5,11===c b a 为一个答案; 若 ???==-358b a , 得 ? ??==313b a , 与题意相符, 13,3,13===c b a 为一个答案.. 14. 如果正数10321,,,,a a a a 满足条件: ,10,10,109432110321≤++++≤+≥≥≥≥a a a a a a a a a a 那么210232221a a a a ++++ 的最大值是多少？ 【答案】100 【解答】记 ?????≤++++≤+≥≥≥≥) 3(,10)2(, 10)1(,109432110321a a a a a a a a a a 由 (2) 和 (3) 得 2010321≤++++a a a a . 根据 (1) 和 (2), ,100)()()())((100)()()()(1002)(1022010)10(10210424323212210210242423232122210 23222103212210 232222210 232222210232221≤-++-+-+-+=-++-+-+-+=++++++++-≤++++-=++++-≤++++a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 并且等号成立当且仅当乘积 10210323212)(,,)(,)(a a a a a a a a a --- 都等于0. 取 0,10104321======a a a a a , 或 0,510654321========a a a a a a a , 则10321,,,,a a a a 都满足 (1), (2), (3), 并且 100210232221=++++a a a a . 综和上述讨论, 210232221a a a a ++++ 的最大值是100. 第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛 决赛试卷(初一组) （红色字为参考答案） (时间20XX 年4月22日10:00~l l :30〉 一、.填空 1、计算：243331(0.25)(2)3()5(2)168?????? ---?-÷?-+÷-=??? ?????? ???（ 47 ） 2、当2m π=时，多项式3 1am bm ++的值是0，则多项式3 1 45 2 a b ππ++=（ 5 ） 3、将若干本书分给几名小朋友,如果每人分4本书,就还余下20本书,如果每人分8本书,就剩有1名小朋友虽然分到了一些书,但是不足8本,则共有(6)名小朋友 4、图l 中的长方形ABCD 是由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH 120平方厘米,则正方形EFGH 的面积等于(10 )平方厘米 5、满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x 的和为(4012 ) 6、一个存有一些水的水池,有一个进水口和若干个口径相同的山水口,进水口每分钟进水3立方米.若同时打开进水口和三个出水口,池中水16分钟放完;若同时 打开进水口与五个出水口,池中水9分钟放完.池中原有水(288)立方米 7、已知1 2005 2006123420052006 (1)24816 2 22 k k k S += -+-++-++ -，则小于S 的最大的整数是(0) 8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是: ,(1),,2,1,0,1,2,,1,n n n n ------ 为了确保从这些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n 的最小值是( 2005 ) 图1图2 n n-10-1-2-(n-1)-n 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初中一年级组） （时间: 2017 年 3 月11 日10:00～11:30） 一、填空题（每小题10 分, 共80 分） 1.数轴上10个点所表示的数分别为a 1, a 2 , , a 10 , 且当i 为奇数时, a i +1-a i =2 , 当i 为偶数时, a i +1 -a i =1, 那么a 10 -a 6 = ?． 2.如右图, △ABC, △AEF 和△BDF 均为正三角形, 且 △ABC, △AEF 的边长分别为3和4, 则线段DF 长度 的最大值等于． 3.如下的代数和 -1?2016+2?2015- + (-1)m m ? (2016-m +1) + +1010?1007 的个位数字是, 其中m 是正整数. 4.已知2015 8.下面两串单项式各有2017个单项式: (1) (2) xy2, x4y5, x7y8, , x3n-2y3n -1, , x6046y6047, x6049y6050; x2y3, x7y8, x12y13, , x5m-3y5m-2, , x10077y10078, x10082y10083, 其中n, m 为正整数, 则这两串单项式中共有对同类项. 二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程） 9.是否存在长方体, 其十二条棱的长度之和、体积、表面积的数值均相等？如 果存在, 请给出一个例子; 如果不存在, 请说明理由. 10.如右图, 已知正方形ABDF 的边长为6 厘米, △EBC 的面 积为6 平方厘米, 点C 在线段FD 的延长线上, 点E 为线 段BD 和线段AC 的交点. 求线段DC 的长度. 11.如右图, 先将一个菱形纸片沿对角线AC 折叠,使顶点 B 和D 重合. 再沿过A, B (D) 和 C 其中一点的直线剪 开折叠后的纸片, 然后将纸片展开. 这些纸片中菱形 最多有几个? 请说明理由. 12.证明: 任意5个整数中, 至少有两个整数的平方差是7的倍数. 三、解答下列各题（每小题15 分，共30 分，要求写出详细过程） 13.直线a 平行于直线b, a 上有10个点A 1, A 2 , , A 10 , b 上有11个点B 1 , B 2 , , B 11, 用线段连接A i 和B j ( i=1, ,10 , j=1, ,11), 所得到的图形中一条边 在a 上或者在b 上的三角形有多少个？ 14.已知关于x, y 的方程x2-y2+k 求k 的最大值. =2017有且只有六组正整数解, 且x ≥y , 绝密★启用前 2015-2016学年度???学校12月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．船在江中顺水航行与逆水航行的速度之比为7：2，那么它在两港间往返一次的平均速度与顺 水速度之比为( )。 (A) 14 7 (B) 14 9 (C) 92 (D) 94 。 【答案】D 【解析】分析：设出顺水速度和逆水速度，那么可让总路程÷总时间求得平均速度，相比即可． 解答：解：设船在江中顺水速度为7x ，则逆水速度为2x ，一次的航程为1． ∴平均速度= 2117x 2x += 28 9 x ， ∴它在两港间往返一次的平均速度与顺水速度之比为 289 x ：7x=94． 故选D ． 2． 如右图所示，三角形ABC 的面积为1cm 2 。AP 垂直∠B 的平分线BP 于P 。则与三角形PBC 的面积相等的长方形是( )。 【答案】B 【解析】分析：过P 点作PE ⊥BP ，垂足为P ，交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面 0.5cm 0.5cm 0.9cm 1.0cm 1.1cm 1.2cm (A) (B) (C) (D) B 试卷第2页，总5页 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ 内 ※ ※ 答 ※ ※ 题 ※ ※ 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ 积相等，即可证明三角形PBC的面积． 解答：解：过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∠ABP=∠EBP， 又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°， ∴△ABP≌△BEP， ∴AP=PE， ∵△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC=S△PCE， ∴三角形PBC的面积=1 2 三角形ABC的面积= 1 2 cm2， 选项中只有B的长方形面积为1 2 cm2， 故选B． 3．设a，B的解集为x x的不等式bx-a>0的解集是( )。 (A) x x 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初一组） （时间: 2015年4月11日10:00～11:30） 一、选择题 (每小题10分, 共80分) 1. 计算: ??? ? ??++++?10241108134122112048 = . 2. 一堆彩球只有红、黄两色. 先数出的50个球中有49个红球, 此后, 每数出8 个球中都有7个红球, 恰好数完. 已数出的球中红球不少于90%. 这堆彩球最多有 个. 3. 正整数a ,b ,c ,d 满足 4332<< 8. 从一副扑克牌中抽走一些牌, 在剩下的牌中至少要数出20张, 才能确保数出 的牌中有两张同花色的牌的点数和为15. 那么最多抽走 张牌, 最少抽走 张牌. （J 、Q 、K 的点数分别为11, 12, 13, 大、小王的点数为0；一副扑克牌有54张牌, 其中52张是正牌, 另2张是副牌（大王和小王）. 52张正牌又均分为13张一组, 并以黑桃、红桃、草花、方块四种花色表示各组, 每组花色的牌包括从1至10（1通常表示为A ）以及J 、Q 、K 标示的13张牌）. 二、解答下列各题（每小题10分, 共40分, 要求写出简要过程） 9. 算式20146422013531????+???? 的值被2015除的余数为多少？ 10. （1）右图共含有几个四边形? （2） 在右图的每个顶点处标上 1或1-, 共有4个1和4个1-, 将每个四边形4个顶点处的数 相乘, 再将所得的所有的积相加, 问：至多有多少个不同的和？ 11. 已知,2 343111=++=-+ab c ac b bc a a c b ，,)(024222=---c b b c c b b 与c 同号, 且.c b 2≠ 求.444c b a ++ 12. 加工十个同样的木制玩具, 需用260毫米和370毫米长的标准木方分别为30 根和40根. 仓库里有长度分别为900毫米、745毫米、1385毫米的三种标准木方, 用这三种标准木方锯出所需长度的木方, 每锯一次要损耗5毫米长木方. 问是否可以用三种木方, 每种木方选一些, 恰好锯出十个玩具所需的木方？如果可以, 要求锯的次数最少, 那么三种木方各选多少根？（说明：一根木方被锯一次要得到两个长度大于0的木方, 即不能从一端锯. ） 三、解答下列各题（每小题15分, 共30分, 要求写出详细过程） 13. 如图, △ABC 中, D 是BC 上一点且32::=DB CD , E 是 AB 上一点且12::=EB AE , F 是CA 的延长线上一点且 34::=AF CA . 若△DFE 的面积为1209, 求△ABC 的面积. 14. 求使得n n 22+为完全平方数的自然数n . 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 总决赛小学组一试 2011年7月23日 中国·惠州 一.填空题：（共3题，每题10分） 1.计算 ＝_________.313615176413900114009144736543++++++ 2.如右图所示，正方形ABCD 的面积为12，AE ＝ED ，且EF ＝2FC ， 则三角形ABF 的面积等于_________. 3.某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共1天；白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共9天；6个夜间和7个白天晴朗。则这段时间有_______天，其中全天天晴有_______天。 二.解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程） 4.已知a 是各位数字相同的两位数，b 是各位数字相同的两位数，c 是各位数字相同的四位数，且。求所有满足条件的（a ，b ，c ）。 c b a =+25.纸板上写着100、200、400三个自然数，再写上两个自然数，然后从这五个数中选出若干个数（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k 个不同的非零自然数。那么k 最大是多少？ 6.将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入右图的圆圈中，每个 圆圈恰填一个数，满足下列条件： 1）正三角形各边上的数之和相等； 2）正三角形各边上的数之平方和除以3的余数相等。 问：有多少种不同的填入方法？ ( 注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法 ) 总决赛小学组二试 2011年7月23日 中国·惠州 一.填空题：（共3题，每题10分） 1.某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支。如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支的人数是_________. 2.右图中，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ， E 为BC 的中点，三角形ABO 的面积为45，三角形ADO 的面积为18，三角形CDO 的面积为69。则三角形 AED 的面积等于_________. 3.一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以４所得的余数，则这列数中的前2011个数的和是_________. 二.解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程） 4.用57个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角不大于180度的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分。则这个六边形的周长至少是多少？ 5.黑板上写有1，2，3，…，2011一串数。如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串数的的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则 1）最后剩下的这个数是多少？ 2）所有在黑板上出现过的数的总和是多少？ 6.试确定积的末两位的数字。 )12()12)(12)(12(2011321++++ x 2 n ? 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初一组） （时间: 2016 年 3 月 12 日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 已知 n 个数 x 1, x 2 , , x n , 每个数只能取 0, 1, -1中的一个. 若 x 1 + x 2 + + x n = 2016 , 则 2015 1 + x 2015 + + x 2015 的值为 . 2. 某停车场白天和夜间两个不同时段的停车费用的单价不同．张明 2 月份白天 的停车时间比夜间要多 40% , 3 月份白天的停车时间比夜间要少 40% . 若 3 月 份的总停车时间比 2 月份多 20% , 但停车费用却少了 20% , 那么该停车场白 天时段与夜间时段停车费用的单价之比是 . 3. 在 9? 9 的格子纸上, 1?1 小方格的顶点叫做格点. 如右图, 三角形 ABC 的三个顶点都是格点. 若一个格点 P 使得三角 形 PAB 与三角形 PAC 的面积相等, 就称 P 点为“好点”. 那 么在这张格子纸上共有 个“好点”. 4. 设正整数 x , y 满足 xy - 9x - 9y = 20, 则 x 2 + y 2 = . 5. 甲、乙两队修建一条水渠．甲先完成工程的三分之一, 乙后完成工程的三分 之二, 两队所用的天数为 A ; 甲先完成工程的三分之二, 乙后完成工程的三分 之一, 两队所用天数为 B ; 甲、乙两队同时工作完成的天数为 C . 已知 A 比 B 多 5, A 是 C 的 2 倍多 4. 那么甲单独完成此项工程需要 天. 6. 已知 x + y + z = 5 , 1 + 1 + 1 = 5 , xyz = 1, 则 x 2 + y 2 + z 2 = . x y z 7. 关于 x , y 的方程组 ? 1 x + y = a ? 2 ??| x | - y = 1 只有唯一的一组解, 那么 a 的取值为 . 总分 密封 线 内 请勿答 题 学 校 _ ___ __ __ _ ___ 姓名____ ___ __ 参赛证号 1.代数和的个位数字是(). (A)7 (B)8 (C)9 (D)0 2.已知则下列不等式成立的是(). 3.在数轴上, 点A和点B分别表示数a和b, 且在原点O的两侧.若AO=2OB, 则a+b=(). 4.如右图所示, 三角形ABC是直角三角形,∠ABC=60度.若在直线AC或BC上取一点P, 使得三角形PAB为等腰三角形,那么这样的点P的个数为(). (A)4(B)5(C)6(D)7 5.如右图, 乙是主河流甲的支流, 水流流向如箭头所示. 主流和支流的水流速度相等, 船在主流和支流中的静水速度也相等. 已知AC=CD, 船从A处经C开往B处需用6小时, 从B经C到D需用8小时, 从D经C到B需用5小时. 则船从B经C到A, 再从A经C到D需用()小时. 6.甲、乙、丙、丁四种商品的单价分别为2元, 3元, 5元和7元. 现从中选购了6件共花费了36元. 如果至少选购了3种商品, 则买了()件丁商品. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题(每小题10 分, 共40分) 7.如右图, 在平行四边形ABCD中,AB=2AB.点O为平行四边形内一点, 它到直线AB, BC, CD的距离分别为a, b, c, 且它到AD和CD的距离相等,则2a-b+c=. 8.如右图所示, 韩梅家的左右两侧各摆了3盆花.韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花:先选择左侧还 是右侧, 然后搬该侧离家最近的. 要把所有的花搬到家里, 共有种不同的搬花顺序. 9.如右图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=6, CD=14, ∠AEC=90度, CE=CB, 则 10.已知四位数x是完全平方数, 将其4个数字各加1后得到的四位数仍然是完全 平方数, 则x=. 第九届华杯赛总决赛初一组第二试试题 1．甲乙两家医院同时接受同样数量的病人，每个病人患x病或y病中的一种， 经过几天治疗，甲医院治好的病人多于乙医院治好的病人。问：经过这几天治疗，是否可能甲医院对x病的治愈率和对y病的治愈率均低于乙医院的？举例说明。（x病的治愈率 =×100%） 2．在长方形ABCD中，BF=AE=3厘米，DE=6厘米，三角形GEC的面积是20平方厘米，三角形GFD的面积是16平方厘米，那么，长方形ABCD的面积是多少平方厘米？ 3．甲，乙，丙三辆汽车分别从ΔABC的顶点A，B，C出发，选择一个地点相会，每辆车沿直线路段到相会地点（AB=c， AC=b，BC=a），三辆车的单位路程的耗油量分别为1/3，1/6，1/8。要使三辆车路上所用的油量之和最少，相会地点应选在何处？最小耗油量是多少（用a，b，c表示）？ 4．用十进制表示的某些自然数等于它各位数字之和的16倍，求所有这样的自然数之和。5．求同时满足下列三个条件的自然数a,b: (1) a>b; (2); (3)a+b是平方数。 6.如图，101×7长方阵，行距和列距都是1，第6列上（除和第0列相交处外），每一个阵点上放有一个靶标，而前5列上所有的阵点上都放有障碍物。神枪手站在第0行第0列的位置，要击中靶标，必须先扫清子弹前进弹道（直线）上的一切障碍物，若神枪手每发子弹都能击中目标，而且每发子弹能击毁且仅能击毁一个障碍物，那么 （1）不需要扫除障碍物就能击中的靶标有多少个？ （2）要扫清一个障碍物才能击中的靶标有多少个？ ┝┿┿┿┿┿┿┥ 第7行┝┿┿┿┿┿┿┥ 第6行┝┿┿┿┿┿┿┥ 第5行┝┿┿┿┿┿┿┥ 第4行┝┿┿┿┿┿┿┥ 第3行┝┿┿┿┿┿┿┥ 第2行┝┿┿┿┿┿┿┥ 第1行┝┿┿┿┿┿┿┥ 第0行┕┷┷┷┷┷┷┙ 第第第第第 1 2 3 4 5 列列列列列 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 总决赛 小学组一试 2011年7月23日 中国·惠州 一. 填空题：（共3题，每题10分） 1. 计算 313615176413900114009144736543++++++＝_________. 2. 如右图所示，正方形ABCD 的面积为12，AE ＝ED ，且EF ＝2FC ， 则三角形ABF 的面积等于_________. 3. 某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共1天；白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共9天；6个夜间和7个白天晴朗。则这段时间有_______天，其中全天天晴有_______天。 二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程） 4. 已知a 是各位数字相同的两位数，b 是各位数字相同的两位数，c 是各位数字相同的四位数，且c b a =+2。求所有满足条件的（a ，b ，c ）。 5. 纸板上写着100、200、400三个自然数，再写上两个自然数，然后从这五个数中选出若干个数（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k 个不同的非零自然数。那么k 最大是多少？ 6. 将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入右图的圆圈中，每 个圆圈恰填一个数，满足下列条件： 1） 正三角形各边上的数之和相等； 2） 正三角形各边上的数之平方和除以3的余数相等。 问：有多少种不同的填入方法？ ( 注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法 ) 总决赛 小学组二试 2011年7月23日 中国·惠州 一. 填空题：（共3题，每题10分） 1. 某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支。如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支的人数是_________. 2. 右图中，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于 O ，E 为BC 的中点，三角形ABO 的面积为45， 三角形ADO 的面积为18，三角形CDO 的面积为 69。则三角形AED 的面积等于_________. 3. 一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以４所得的余数，则这列数中的前2011个数的和是_________. 二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程） 4. 用57个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角不大于180度的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分。则这个六边形的周长至少是多少？ 5. 黑板上写有1，2，3，…，2011一串数。如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串数的的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则 1） 最后剩下的这个数是多少？ 2） 所有在黑板上出现过的数的总和是多少？ 6. 试确定积)12()12)(12)(12(2011321++++Λ的末两位的数字。 2013年18届华杯赛七年级试题(A B卷)卷初赛决赛综合版 第十八届华罗庚金杯少年邀请赛 初赛试题A （初一组） （时间2013年3月23日10：00～11：00） 一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。） 1． 下列的结论中, 正确的有（ ）个: ① 两个正数的和一定是正数； ② 两个正数的差可以是正数； ③ 两个负数的和一定是负数； ④ 两个负数的差可以是负数。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2． 从—6，—4，—3，—2，—1，3，6中任取两个数相乘, 所得积中的最大值记为a , 最小值记为b , 那么 b a 的值为（ ）。 A ．32- B ．43- C ．-1 D ．3 2 3．将? ????352323.0342.0乘积化为小数, 小数点后第2014位数字是（ ）。 A ．0 B ．7 C ．9 D ．1 4．如果a 、b 、c 都是大于21- 的负数, 那么下列式子成立的是（ ）。 A ．a+c-b<0 B ．a 2-b 2-c 2>0 C ．abc>81- D ．∣abc ∣8 1> 5．在方格的每个格中填上数字1,2,3,4中的一个, 要求每行、每列和 每条对角线上所填的数字各不相同。 右图中已经填好了3个数字，请 完成填数, 那么两个阴影方格中所填数的乘积最小值为（ ）。 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 6．满足不等式 m 3n 532<<的有序整数对（m ，n ）的个数是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 二、填空题(每小题 10 分, 满分40分) 7． 如果x=3，y=1时, 代数式ax+by 的值等于9, 那么x=-3，y=-1时代数式ax+by+9的值等于________． 8．一个水池有甲、乙、丙三个进水口和一个出水口。 同时打开出水口和其中的两个进水口, 注满整个水池分别需要6小时、5小时和4 小时；同时打开出水口 华罗庚金杯赛初一初赛 试题及答案 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89- 1.代数和的个位数字是(). (A)7?(B)8 (C)9?(D)0 2.已知则下列不等式成立的是(). 3.在数轴上,?点A和点B分别表示数a和b,?且在原点O的两侧.若AO=2OB,?则a+b=(). 4.如右图所示,?三角形ABC是直角三角形,∠ABC=60度.若在直线AC或BC上取一点P,?使得三角形PAB为等腰三角形,那么这样的点P的个数为(). (A)4(B)5(C)6(D)7 5.如右图,?乙是主河流甲的支流,?水流流向如箭头所示.?主流和支流的水流速度相等,?船在主流和支流中的静水速度也相等.?已知AC=CD,?船从A处经C开往B处需用6小时,?从B经C到D需用8小时,?从D经C到B需用5小时.?则船从B经C到A,?再从A经C到D需用()小时. 6.甲、乙、丙、丁四种商品的单价分别为2元, 3元, 5元和7元.?现从中选购了6件共花费了36元.?如果至少选购了3种商品,?则买了()件丁商品. (A)1?(B)2?(C)3?(D)4 二、填空题(每小题10?分,?共40分) 7.如右图,?在平行四边形ABCD中,AB=2AB.点O为平行四边形内一点,?它到直线AB, BC, CD的距离分别为a,?b,?c,?且它到AD和CD的距离相等,则2a- b+c=. 8.如右图所示,?韩梅家的左右两侧各摆了3盆花.韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花:先选择左侧还是右侧,?然后搬该侧离家最近的.?要把所有的花搬到家里,?共有种不同的搬花顺序. 9.如右图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=6, CD=14, ∠AEC=90度, CE=CB,?则 10.已知四位数x是完全平方数,?将其4个数字各加1后得到的四位数仍然是完全平方数,?则x=. 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题解答（初一组） （时间: 2014年4月12日） 一、填空（每题10分, 共80分） 1. 计算: =÷-+-?+-÷--??? ??-+?---÷+-?-] 6)8()3[(12)3()]27(0[625.385|54|)2(16)5(32 33 . 【答案】2- 【解答】 原式 =??? ??-?+-÷+--÷+-?-31312)3(27920)8(16)5(27=2611225299202135-=-=--+--. 2. 如图，由单位正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称 为格点, 以格点为顶点做了一个三角形, 记L 为三角形边上 的格点数目, N 为三角形内部的格点数目, 三角形的面积可 以用下面的式子求出来： 顶点在格点的三角形的面积=12 1-+N L 如果三角形的边上与内部共有20个格点, 则这个三角形的面积最大等 于 , 最小等于 . 【答案】17.5, 9 【解答】（题目中的公式取自闵嗣鹤教授写的《格点与面积》一本小册子, 只用到顶点数目, 其说明也易于理解. 下面的说明也是取自该书）, 根据 顶点在格点图形的面积=121-+N L , 因为L 为三角形边上的格点数目, N 为图形内部的格点数目, 要使三角形面积最大, 则要求L 最小. 当L 最小的时候, 三角形只有三个顶点在格点上, 其它 的点在三角形的内部. 此时面积为17.5. 这种图形是存在的, 在相邻的3列格点中, 三角形的三个顶点分别在其中一列上, 使得只有3个顶点在三角形的边上, 见下图. 考虑面积最小的情况, 当所有的格点都在三角形的边上时, 面积最小. 取相邻两行格点, 三角形的一个顶点在其中一行, 底边包含19个格点在另一行, 此时面积为9, 见下图. 下面叙述这个公式的一步步的说明过程. （1）考虑1+m 行, 1+n 列的矩形, 则图形内的点数为))((11--n m , 边上的点数为)(2n m +, 图形的面积为mn . 而 1))(2(2 1)1)(1(-++--=n m n m mn . 因此公式成立. （2）对于直角三角形, 设直角边的长度分别为m , n . 设斜边上的点数为K , 则三角形内部的格点数为 2 211+---K n m ))((, 三条边上的格点数为 1-++K n m . 因此, 第二十届华罗庚杯少年数学邀请赛 初赛A 试题(初一组） （时间：2015年3月14日 10:00—11:00） 一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.） 1.=+++++-++-+-2016 2015...32120162015 (43212) 22222（ ） (A) -4 (B) -3 (C) -2 (D) -1 2.小明用纸剪正方形和凸五边形，若剪出的多边形的边数为35条，则所剪的多边形中的内角最多有（ ）个直角。 (A) 29 (B) 26 (C) 23 (D) 20 3.右图中，正方形ABCD 和正方形''''D C B A 的边长均为a ，正方形AEFG 的边长为b ，正方形''''G F E A 的边长为2 b ，则（ ）. (A) S △BDF ＞S △'''F D B (B) S △BDF ＜S △'''F D B (C) S △BDF=S △'''F D B (D) （A ），（B ），（C ）都不对 4.已知2222+--=--+=+-+x y x y x y y x ，则x+y=（ ） (A) -4 (B) -2 (C) 0 (D) 4 5.红、黄、蓝三种颜色的球上分别写有数字3,4,6，这些球共有10个，每种颜色的球至少有一个，所有球上的数字之和为3 6.则红色球的个数为( ） (A) 0 (B ）1 (C) 3 （D) 6 6.己知非负数a,，b ，c ，d ，e 满足等式a+b+c+d+e=1.若a+b+c ，b+c+d c+d +e 的最大值为M ，则M 的最小值是( ). (A) 32 (B ）21 (C) 31 （D)4 1 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 初赛试卷（初中组广东卷） （建议考试时间: 2008 年3 月22 日10:00～11:00） 一、选择题（每小题10 分.以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的. 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1．若有理数a、b在数轴上的位置如图1所示.则下列各式中错误的是（）. （A）-ab＜2 （B） b 1 ＞ a 1 -（C）b a+＜ 2 1 -（D） b a ＜-1 2．关于数a有下面四个命题: ①若a a= 2,则a必为0; ②若a a= 2,则a,a+1,a-1中至少有一个为零； ③若a a= 2,则a=0,或a=1; ④若a a= 2,则a a- 3的值必为零. 四个命题中正确的个数为（）. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3．图2（a）是长方形纸带，∠SAB=20°，将纸带沿AB折叠成图2（b），再沿BN折叠成图2（c），则图2（c）中的∠TBN为（）. （A） 110（B） 120（C） 140（D） 160 总分 4．今有四个数,其中一个数与其它三个数的平均数之和分别为92,86,80,90,那么,这四个数中 最大的数等于（ ）. （A ）51 （B ）48 （C ）33 （D ）42 5．依次排列4个数:2,11,8,9.对相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差排在这 两个数之间得到一串新的数:2,9,11,-3,8,1,9.这称为一次操作,做二次操作后得到一串新的数:2,7,9,2,11,-14,-3,11,8,-7,1,8,9.这样下去,第100次操作后得到的一串数的和是（ ）. （A ）737 （B ）700 （C ）723 （D ）730 6．如图3所示,一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A 出发,经过每 个面的中心点后,又回到A 点,蚂蚁爬行最短程S 满足（ ）. （A ）5＜S ≤6 （B ）6＜S ≤7 （C ）7＜S ≤8 （B ）8＜S ≤9 二、填空题（每小题 10 分,满分40分,第10题每空5分） 7．计算:[] )2(314122112)1()2(22242-?-+??? ??-?-??????????? ??-÷---?-= . 8．如图4所示,圆的半径为2,圆的两条弦AB ,CD 互相垂直,垂足为E . 若圆心O 到弦AB 的距离OF =1,EF =1.则图中阴影部分的面积等于 .（π取3.41） 9．可将1～30这30个整数写成一行,使得由第二个数开始的每个数都是它前面所排列的所 有数之和的约数.则排在第30个位置上的数最大应是 . 10．把符号“★”放在图5的小方格中,则含有“★”的由小方格组成的 正方形个数随“★”的放法而改变.在所有的放法中,含有“★”的正 方形个数最多时有 个,最少时有 个. 决赛模拟测试题（1） 一、填空题（每小题10分，共80分） 1. [][][][][][][][] 111111111 2.1 6.212.320.430.542.656.772.890.9++++++++ = （其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]22=，[]3.143=，等等） 2.如图1，D 、E 是△ABC 中的点，∠ABE=∠DCE ，∠DBE=∠ACE.若∠A+∠D=210°，则∠E= ° 3.对于自然数N 依次计算全部的相邻数字对的和（例如，对于N=35207，其相邻数字对的和依次是8、7、2、7）.若自然数N 全部的相邻数字对的和中含有1到9的所有数字，则自然数N 的最小值是 4.如图2，D 、E 是△ABC 的边上两点，已知BD=CE ，∠C=72°，∠DAE=54°，则图中共有 个等腰三角形 5.如果现在祖父的年龄大于50岁，但小于90岁，且使孙儿年龄的31倍，那么过 年后，祖父的年龄将是孙儿年龄的7倍 6.将一个棱长是整数厘米的长方体的各表面都涂满红色，然后将该长方体分割成若干个棱长为1cm 的小正方体，若其中任何一面都没有涂色的小正方体共有11个，则原来的长方体的体积为 立方厘米 7.在不大于100的正整数中，所有偶数的平方和比所有奇数的平方和大 8.正整数m 、n 满足896m n mn +=+，则m 的最大值为 二、解答下面各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程） 9.某人出生于20世纪70年代（出生当年算0岁）.他发现从某年起有连续10年，该年年份的数字之和都等于自己当年的年龄数，那么这个人2018年是多少岁？ 10.四个有理数a 、b 、c 、d 组成记号 a b c d ，规定它的运算法则为 a b ad bc c d =-，例如 232534245 =?-?=-.请你确定：在2018-，12018- ，1 2018和2018中哪些数是满足不等式231x x ->0的x 的值？ 11.如图3，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为AD 边上靠近D 的三等分点，点G 在边CD 上，且三角形EOB 和三角形FOG 的面积都是6，那么正方形ABCD 的面积是多少？ 12.已知1x ，2x ，3x ，……n x 中每一个i x ()1,2,3 ,i n =的数值只能取2,0,1-中的一个，且满足 12317n x x x x +++ +=-，222212337n x x x x ++++=，求33332123()n x x x x ++++的值 第十届全国”华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试题:初一组 一. 填空(每题10分,共80分) 1.①计算: 22111134413(12)(0.5)(2)22412433??-?-÷-÷?-?--=? ? . ②已知: 0abc ≠且0a b c ++=,则a b b c c a a b b c c a ++= . 2.m 和n 均不为零, 233x y 和2235m n x y ++-是同类项,则3223 32233395369m m n mn n m m n mn n -++=+-+ . 3.由于浮力的作用,金放在水里秤量和它的重量比较,在水中的”重量”会减少 119;银放在水里秤量和它的重量相比较,在水中的”重量”会减少110 .某个只含有金银成分的古文物,重量是150克,在水中秤量,”重量”是141克,则古文物中金 占 %.(精确到1%) 4.图1是几何学中非常著名的美丽的轴对称的图形,它 有 条对称轴. 5.甲加工一种零件,乙加工另一种零件.甲用A 型机器需要6 小时才能完成任务,用B 型机器效率降低60%;乙用B 型机器 需要10小时才能完成任务,用A 型机器效率提高20%.如果 甲用A 型机器,乙用B 型机器同时开始工作,中途某一时刻交 换使用机器,甲和乙同时完成任务.则甲完成任务所用的时 间是 小时. 6.一个直角三角形三条边的长度是3,4,5.如果分别以各边为轴旋转一周,得到三个立体,那么三个立体中最大的体积和最小的体积的比是 . 7.一列自然数0,1,2,3……，2005，……，2024.第一个数是0,从第二个数开始,每一个都比它前一个大1,最后一个是2004.现在将这列自然数排成以下数表: 3 8 15 (1) 2 7 14 (4) 5 6 13 …… 9 10 11 12 …… …… …… …… …… …… 规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第 行和第 列。 8。(31)635m x x -=-是关于x 的方程，为确保该方程的解是负整数，m 能取的最大 值 。 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组) 总分 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初中一年级组·练习用） 一、填空题（每小题 10 分, 共80 分） 1. 点O 为线段A B 上一点，∠AOC =10?，∠COD = 50?， A O B 则∠BOD =或． 2.已知m＞0 ，且对任意整数，201812 3 k m + 均为整数，则m的最大值为． 3. []表示不超过的最大整数，如[-1.3] =-2 ，[1.3] =1． 已知 129 [][][]=4 101010 a a a ++++++ K，则a的取值范围是． 4. 使 2n +1 和11n +121都是平方数的最小正整数 n 为 ． 5. 在3? 3 的“九宫格”中填数，使每行每列及每条对角线上的 三数之和都相等．如 图，有 3 个方格已经填的数分别为 3， 10，2018，则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和等 于 ． 6. 已知某三角形的三条高线长 a ，b ，c 为互不相等的整数，则 a + b + c 的最小值 为 ． 7. 16 张卡片上分别写着 1~16 这 16 个自然数，把这 16 张卡片分成 4 组，使得 每组卡片 张数一样，每组卡片上所写数的和相等，且每组有两张卡片上的数 的和为 17，共有 种分法．(说明：不考虑组的顺序，也不考虑组内数字的 顺序．例如将 1~16 分为四组后，保持各组内数字不变，只改变组的顺序或组内数字 的顺序，视为相同的分法．) 8. a ，b ，c 是三个不同的非零整数，则423abc ab bc ca -+的最小值为 ． x 2 n ? 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初一组） （时间: 2016 年 3 月 12 日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 已知 n 个数 x 1, x 2 , , x n , 每个数只能取 0, 1, -1中的一个. 若 x 1 + x 2 + + x n = 2016 , 则 2015 1 + x 2015 + + x 2015 的值为 . 2. 某停车场白天和夜间两个不同时段的停车费用的单价不同．张明 2 月份白天 的停车时间比夜间要多 40% , 3 月份白天的停车时间比夜间要少 40% . 若 3 月 份的总停车时间比 2 月份多 20% , 但停车费用却少了 20% , 那么该停车场白 天时段与夜间时段停车费用的单价之比是 . 3. 在 9? 9 的格子纸上, 1?1 小方格的顶点叫做格点. 如右图, 三角形 ABC 的三个顶点都是格点. 若一个格点 P 使得三角 形 PAB 与三角形 PAC 的面积相等, 就称 P 点为“好点”. 那 么在这张格子纸上共有 个“好点”. 4. 设正整数 x , y 满足 xy - 9x - 9y = 20, 则 x 2 + y 2 = . 5. 甲、乙两队修建一条水渠．甲先完成工程的三分之一, 乙后完成工程的三分 之二, 两队所用的天数为 A ; 甲先完成工程的三分之二, 乙后完成工程的三分 之一, 两队所用天数为 B ; 甲、乙两队同时工作完成的天数为 C . 已知 A 比 B 多 5, A 是 C 的 2 倍多 4. 那么甲单独完成此项工程需要 天. 6. 已知 x + y + z = 5 , 1 + 1 + 1 = 5 , xyz = 1, 则 x 2 + y 2 + z 2 = . x y z 7. 关于 x , y 的方程组 ? 1 x + y = a ? 2 ??| x | - y = 1 只有唯一的一组解, 那么 a 的取值为 . 总分 密封线内请勿答题 学校____________ 姓名_________ 参赛证号第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛华杯赛初一组试卷附答案
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