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何天成：从高联到 IMO 金牌，超详细数学竞赛学习方法（一）
本文作者何天成，第 58 届国际数学奥林匹克（ IMO）金牌获得者，华南师大附中 2017 届毕业生，北京大学数学科学学院2017 级新生。本文首发于数学新星网。作者非常详
细地阐述了从高联一试/ 二试，到参加CMO，国家集训队，走向IMO，各级竞赛的心路历程和学习方法，对于参加竞赛的
同学具有非常大的指导意义，因为篇幅较长，故分为三篇分
享给大家。请看过的同学温故知新，没看过的同学一定要认
真做好笔记，满满的干货 ~正文如下： 2017 年 7 月，我有幸作为中国国家队的一员参加了第 58 届国际中学生数学奥林匹克竞赛（ IMO ) ，并获得了一枚金牌。回顾六年竞赛之路，我从开始的一个懵懂无知的新人，一路上经历了不少
挫折，走了不少弯路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一
套学习竞赛的方法，最后的结局也是幸运的。而正是这份幸
运，让我觉得有责任把自己学习数学竞赛的经验与心得分享
出来，希望后来者能吸取我的经验和教训，找到自己的不足，并更好地看清未来。
引言对于一场考试，我喜欢用以下 3 个参数来衡量最终的分数：最终分数 =实力分 x 运气分 x 状态分。其中实力，运气，状态均为非负实数。
这里，“实力”顾名思义，尽管不好量化，但是一般来说实
力相差很大还是能看出来的。
“运气”主要代表“题目是否对路”，比如一个擅长几何的选手参加一场几何送分的考试，当然运气分较低；而参加一
场几何难度他刚刚好能做出来的考试，运气分就比较高了。
当然，运气分是取决于考试本身的，可以认为主观上不能改
变它，但是在集训队这样的多次考试中，平均下来，运气会
比较稳定；并且，我们可以用比如“补短板”或者“狂刷一科”等方法改变运气分的波动大小。另一方面的运气来自于
改卷，即能不能得到预想中的分数，这一点理论上来说也是
不能自己操纵的，但是可以通过加强书写等方法提升。
“状态”源于自身，常见的影响状态的因素有，比如考前一
晚睡不着，考试很冻手、冻僵了，旁边的同学一直发出噪音
等等。当然，也可能会有状态莫名超好的情况，但是我们不
能控制自己超常发挥，只能期望尽量发挥正常。
总结下来，我们当然要“提升实力” ，但同时也要注意一些很容易被忽略的地方——提升运气和状态。这看似很难处理，但实际上还是有迹可循的。
运气方面，一是之前说的“补短板”与“狂刷一科” 。补短板是实力进阶的必经之路，我一直认为，一名真正优秀的
选手并不一定要做出很多人都做不出的超难题，但是一定要
做出有足够多人能做出的题，这就需要了解不同的方法，覆
盖更多知识面，做真题。“狂刷一科”是实力不够的情况下
的赌博，比如就想联赛做出俩题混一等奖，然后狂刷代数与
几何之类的。我对这种方法不予评价，但反正我自己的经历是，凡是赌博的情况都必输，实力不到说啥都没用，不如按
部就班的来，读者可以自己考虑实力不够的时候的做法。
第二点大概就是关于过程的书写，事实上，很多人对自己的
过程非常有自信。如果你批改过其他人的过程，总会觉得“这啥意思啊搞了半天都不知道想干啥”或者“这里一句话带过
根本就不显然嘛” 。一般来说，过程写不好有两种：如果
你讲都讲不清楚，那么可能是语文学的不好，请回炉再造；
如果跟别人讲思路的时候别人可以理解，但是过程写不好的话，可能是没有掌握好写过程的技巧。写过程的主要目的有
两个：一是要准确，不能让老师误解你的意思；二是要通俗
易懂，节省老师的时间，让老师能够比较容易 get 到你的过程的脉络。
所以针对第一点，要学会过程的“数学化”表达：比如很多
组合问题，直接表达就像写小说，如果可以换成集合或者图
论的语言，又或者把它代数化表示，就简单很多了；另外，
过程里的因果关系要清晰，至少要表达出“由什么推出什么”，这就需要多使用连词：因为（由于、注意到）＋所以、若＋则＋所以＋从而、我们断言（证明）＋事实上，以及右
箭头“ =>”。就算连词使用不多样，至少要达到的要求是：
老师知道你的每一个结论是由哪些结论推出的。
而第二点其实容易被忽视。我经常看到有些过程一路往下推，密密麻麻一大堆，又不知道他想干什么；语言又完全用的是
集合的方法，全都是定义和运算，让人摸不着头脑。这时候，一旦出现一些笔误，很有可能老师就“如释重负”地圈起来
给0 分了。这就像写一篇议论文，要是你一直举例子不立论，当然不会给高分。
这就需要把证明的脉络清晰地刻画出来，常见的连词有：证
明分为如下几步、下面证明一个引理（结论）、我们断言（证明）以下结论、我们只需证明如下结论即可证明此题等。这
样的好处是，如果你断言的关键步骤恰好是答案中的步骤，
或者老师知道是对的，那么老师就大致知道你做出来，只需
验证一下细节即可；就算你的证明出现了一些漏洞，老师也
能知道你做出了什么，会更容易得到步骤分。
当然，还有一个大大增加可读性的方法：画图。特别是组合
题，很多组合题用代数语言表达很繁琐，不易找到重点，也
容易出现笔误，那如何让老师知道你想做什么呢那就是画
图。如果要把一个图按照某种策略三染色，就画一个示意图，然后用 ABC 标顶点，看上去就清楚多了嘛；就算几何题是
用复数算的，画个图，让老师不用自己找图，也不是什么难
事吧
最后我谈谈骗分。时间快到了的时候还是做不出题目，想争
取一些过程分的情况是常见的。但是我非常非常反对大家东
扯西扯，然后说证毕——做不出来就做不出嘛，要承认自己
就是在混分，至于能给几分就看你做了什么结论了；但总有
一些人不会做就瞎搞一通然后证毕。这样的人多了，就加大
了老师判卷子的难度，就会连累一些“好人”。反正我觉得，要是明知道是错的还写证毕，绝对是败人品的行为。
状态方面，我觉得有两点：一是平时加强模拟考试——模拟
考试绝对不仅仅指的是做一套题那么简单！我觉得模拟考试
要起到效果，必须完完全全地模拟真实的情况。特别是 4 、5小时的考试，很多人只是开始两个小时上三板斧，然后消
极怠工，这其实一点效果都没有。真实考试有 4 、5 小时呢，要是平时这么模拟，真实考试的最后 2 个小时难道你就能
继续保持极高的做题状态吗二是平时做题最好“认真对待”，两天的考试可以带一些心理负担，这样真正考 CMO这样的考试万一面对第一天考试失利，就不会心理太崩盘。
各级竞赛一全国高中数学联赛
全国高中数学联赛是高中竞赛的第一步，但其实也是不确定
性最大的一步。不同的省份有不同的联赛的备考攻略。如果
你来自一些超级联赛强省，比如上海、浙江等，那么你的一
试水平一定要过硬，因为正常的年份很可能会出现很多人二
试并列拼一试的情况；但如果是中等的省份，就拿广东举例
吧，在大部分年份二试 3 题＋一试 90分可以进省队，并
且二试 2题的话几乎进不了省队，所以其实只需要做“适
当”的一试练习，然后把重点放在二试上。
注意，这里的“x题”指的是最终得分，不同的省改卷严
格程度不一，但是一般来说，被判错是少数，并且很有可能
是自己的问题（有些人经常写伪证自己看不出来，或者写过
程水平太差确实没法看，却自我感觉良好），所以在备考的
过程中要训练自己的书写，要尽量写的严谨、工整，避免被
判错；但至于最终结果要是还是被判错了，也没办法啊，尽
力而为，问心无愧。
由于联赛的考场很多，并且各地规则不一，请尽量熟悉自己
将去到的考场与考试细则，并在考前做好充足的准备，避免
出现考试之外的问题。笔者在参加联赛的过程中曾经遇到过
以下问题（都是血的教训啊） :
考场偏僻，当天起的很早赶赴考场，很疲倦；考场空调直吹，
极冷；教室很大，老师发卷不及时，导致开考5 分钟才拿到卷子；考试要求换草稿纸（收一张给一张）；洗手间较少，要等很久等等。总之，在考试之前，一定要做好充分的准备，联赛毕竟没
几次，要按照高考的规格对待，提前踩点，准备
充足的衣物、食物，避免因为考前准备不充足痛失好局。联
赛与之后的比赛的最大的两点区别就是：时间短，对书写要
求高。所以联赛的模拟更注重踏踏实实地掐表做，并认真写
过程，最好让别人批改或者自己对着答案很仔细地检查笔误
和写的不好的地方。部分因为时间原因没有做出的题目可以
考束后再想，在考的候一定要保“分数最大化” ，跳的就跳，
在真正的中才不容易手忙脚乱。
有一个不太好的地方：答的区域非常小，尤其是二第一，
要是想到了一个很复的方法，有可能要挖掉一大半第二的
空才能写下。因此在模的程中也要注意一点千万千万不能
写！在考上若是写了一大半的程都是的，修正思路很，
真是欲哭无泪??不差几分，要想好了再写，多花点写，表
达尽量清楚，因。有一个就是如何快速写出合要求的
程，也是需要平的。很可能最后留一最后一的只有 5
分了，如果你快速完目后直接开始写，抓得分点，不定最
后能有 10 分。
之，模考的最高境界就是“平如考，考如平” 。平的程中一定要作答，做不出来的也要写上
已得到的，完全模考的状。同，在一二都模完成之后，
可以再回做做因不没有完成的目，从各方面思考“如何做
到更好”——新出的型与的原因，考的可能出的的
分配。
1
一
先一。我的一水平来都不算好，但是也不算差，大
概就是所谓的“90 分”标准。我个人认为90 分应该是适当
训练可以达到的，而且在训练得当的情况下，基本可以保证
拿到这个分数。当然，我的训练其实不多，（因为前而说的
弱省原因），但是也不算少。首先，如果你刚学高中竞赛，
对一试的知识点掌握的还不透彻，那么大概还是需要把套路
过一遍的——这个过程有点像准备高考，但是要求更高。如
果有教练当然极好，让教练帮着补补就好了；如果自学的话，
大概需要做一些题。一试我能想到的问题大概是下面的这些东西：
解析几何，其实来来回回方法就那么几种：设直线方程配合韦
达定理，设点，设参数方程；还有稍高级的方法，比如几何法，
曲线系，极坐标，极线方程，仿射变换，等等。当然，解析几
何看着容易，做起来却没那么简单，需要很好的计算能力，也
需要灵活变通，这就需要大量的练习了。
做解析几何题的时候要注意：真正比赛的解析几何题目的答
案一定不会太过于复杂。如果你在做题过程中发现比如求出
的函数是无比困难的，很难求出最小值，那么可以考虑要么
进行一些代换，因为这个表达式里面理论上来说肯定可以提
取一些局部，切勿暴力求导；也可以试图先猜出特殊点，看
看能不能直接证明大小关系。如果求出的动点坐标所要满足
的参数方程很复杂，无从下手。你可以尝试在原来的图形里
猜出动点满足的条件大致是什么——无非就是直线或者二
次曲之的嘛，那么比如把 x , y 坐平方乘系数加加减减不定就全部消掉了。
当然，做解析多了之后，要，在花了一定做不下去，一定
要赶止，个方法，不定不很大力气就做出来了。最后，要住，平行坐的情况。
数列技含量稍高，不大多数数列都是可以用局部
不等式或者裂做出来的。少数有高技巧，比如分估，三角函数元之的。个人得数列其度很估，有
的目确有度。当然，就的真来看，数列目并没有很多模
那么，需要注意的是一定不能着急的瞎放，要多形——大部
分的数列都是用代数形后裂做出的。
大里面可能有一道求的目或者其他目。一目个人得没
技巧，而言之，。代数的硬功夫是很重要的，在之后做更的
代数中会有用。
立体几何于自学的同学来往往会比疼，因答案的做助方法有候真的很匪夷所思。那就不么麻吧！立体几何有一个万金
油方法——算！由于近年都出的是填空，所以其很多都可以不用理（是宜之，我推荐大家多学其他方法，保不准就出大了
??但如果想短提高的，只会算就好了）。自己一下怎么算法向量，然后做几个，了解怎么算二面角、异面直距离，
然后做几个题试试手感，之后就再也不会为立体几何担心
啦！
剩下的题目，算是其他题目吧，其实套路也有不少，需要大
量练习，通过练习逐渐学会一些技巧。每个人都是从30分做到 100 分的嘛，开始不要着急，如果遇到完全没有办法的
题目可以适当想想暂时跳过，记住答案里面的关键点，在下
一次见到类似的方法时不要忘记就好。
一般来说，在经过至多一年的学习，一试水平大概就可以达
到“ 90 分”目标，偶尔能全对，但也可能算错很多题划水。
这个时候，基础的东西都学会了，剩下的提分点就在考试的
状态上了。关于一试的时间分配，我个人的习惯是，30分钟做完填空题，然后一道一道地做大题（前两个大题大约做
10 到 15分钟，最后二个比较难的话就一直做），但是最后至少留下10 分钟检查。我觉得在练习的过程中找到自己熟
悉的节奏很重要，并且考试的时候要严格执行之前的策略，
不要为了贪最后一个题目放弃检查（当然，如果你的习惯是
不检查，也可以）。
我推荐在至少离考试还有2个月的时候开始进行一试模拟
训练，大概每2到3天做一套计时的一试题。开始的时候
肯定状态不会太好，容易算错，但是经过比较长的熟悉之后，在离考试将近一个月左右的时候应该问题就不大了。但是状
态还是要继续保持，如果突然出现状态特别差，不要疲劳作
战，可以先休息调整一下再仔细分析在考试过程中出现的时
间分配问题（错的多的情况往往是因为花了过多时间做难题
导致时间分配不均）。
2
二试
联赛不确定性最大的地方，大概就在于二试。
我认为联赛二试是数学竞赛中最不容易稳定发挥的考试。时
间太短导致随机性很大，尽管题目一般本质不算太难，却也
都有关键的步骤。从二试到之后的“大题”训练是数学竞赛
的重点，不过好在联赛二试的题目，说难也不难，相对 CMO 等之后的考试而言套路比较少。个人认为有集训队实力的同
学应该做联赛二试的题目不会很困难，具体的专题训练写在
之后了。
这里只提一点联赛二试要注意的问题：联赛二试时间确实很紧，平均每题半小时多，很容易因为慌张或者时间不够发挥失误。
所以万一遇到不对路的题目，在做了一段时间之后，要选择果
断跳过。这里的分寸也是要在模拟考试中慢慢总结出来的，因
为有的时候尽管题目本身可能不难，如果思路陷入“死循
环” ，再浪费一个小时很可能还是做不出来。再者，如果最
后还剩下 1 个小时，并且还剩两个题目，最好的做法是读题之
后选一个做，不要来回跳（剩下多个题目也是类似的）。在时
间不足的情况下静下心来想题也是一种能力。
关于具体的答题，我觉得最要注意的就是不能“超纲”了。
有些人在培训中得到了很多很强的结论和性质，但是在联赛
中，要谨慎使用，最好给出证明（也可以留个空位，看情况，有时间最后补）。特别的，几何题非常不推荐用复数法，重
心坐标！不到万不得己，不要采用这几个方法（当然，要是
真的不行就死马当活马医吧）。
反正，要是有分，你要庆幸；要是没分，不要怨改卷老师。
这些“高级”方法或多或少需要用到一些考纲外的性质，可
能会扣分；并且计算法解几何出现笔误其实很正常。联赛几
何，一般来说最好算的方法是三角，可以多练练三角计算（当然，纯几何也是要练习的）。（未完待续 ... ）
高中数学竞赛模拟试题一汇总
高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2
2016全国高中数学联赛试题及评分标准
2016全国高中数学联赛试题及评分标准 9月将至，开学的同时，每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道高中联赛的前世今生吗？从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学
的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。☆ 试题模式自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。一试考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。依据考试结果评选出各省级赛区级一、二、三等奖。其中一等奖由各省负责阅卷评分，然后将一等奖的考卷寄送到主办方（当年的主办方），由主办方复评，最终由主管单位（中国科协）负责最终的评定并
2019全国高中数学联赛模拟试题(二
A A 1 1 1 图1 2019全国高中数学联赛模拟试题（二） 第一试 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、已知集合()??????+=--=123,a x y y x A ，()()(){} 1511,2=-+-=y a x a y x B ．若?=B A ，则a 的所有取值是 （A ）－1，1 （B ）－1，21 （C ）±1，2 （D ）±1，－4， 25 2、如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 、N 在AB 1、BC 1上，且AM ＝BN ．那么， ①AA 1⊥MN ； ②A 1C 1∥MN ； ③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1； ④MN 与A 1C 1异面． 以上4个结论中，不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3、用S n 与a n 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则n n n S a ∞→lim 的值为 （A ） 43 （B ）45 （C ）47 （D ）4 9 4、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有 （A ）216个 （B ）252个 （C ）324个 （D ）432个 5、对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负 实数．则c b a a b ++-的最大值是 （A ）31 （B ）21 （C ）3 （D ）2 6、双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定 （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）以上情况均有可能
高二数学竞赛模拟试题及答案
高二数学竞赛模拟试题 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =， N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） (A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．16 2．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ） (A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6 (π 平移后，它的一条对称轴是4 π = x ，则θ的一个 可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6 π (D)12π 4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有 ()200823f x f x x ?? ? ?? +=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 5.已知,αβ分别满足100411004,10g βαα β=?=?，则αβ?等于( ) ﹙A ﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚ ﹙D ﹚2008. 6.直线20ax y a -+=与圆22 9x y +=的位置关系是（ ） （A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定 7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ） (A)．100 (B). 101 (C).200 (D).201 8．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）
最新第36届国际数学奥林匹克试题合集
第36届国际数学奥林匹克试题 1．（保加利亚） 设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证：AM 、DN 和XY 三线共点。 证法一：*设AM 交直线XY 于点Q ，而DN 交直线XY 于点Q ′（如图95-1，注意：这里只画出了点P 在线段XY 上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q 与Q ′重合。 由于XY 为两圆的根轴，故XY ⊥AD ，而AC 为直径，所以 ∠QMC=∠PZC=90° 进而，Q ，M ，Z ，B 四点共圆。 同理Q ′，N ，Z ，B 四点共圆。 这样，利用圆幂定理，可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY ， Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。 所以，QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧，从而，Q 与Q ′重合。命题获证。 分析二* 如图95-2，以XY 为弦的任意圆O ， 只需证明当P 确定时，S 也确定。 证法二：设X （0，m ）,P （0，y 0）， ∠PCA=α， m 、y 0是定值。有2 0.yx x x ctg y x C A c =?-=但α， 则.0 2 αtg y m x A -= 因此，AM 的方程为 ).(0 2 ααtg y m x ctg y ?+=
令0 2,0y m y x s ==得，即点S 的位置取决于点P 的位置，与⊙O 无关，所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。 2．（俄罗斯）设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证： .2 3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一：**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a ， 有.0=++γβα于是， ) (4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c a b c a c b a b c c b a a b c +++++= 112 111121111211)()()(------------+++++++++++=b a b a c c b c b c b γαβα 21112 1112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a .6132)111(23=?≥++≥abc c b a ∴原不等式成立。 背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法？—— 由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。 题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证： .3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+ （第6届IMO 试题） 证明 不失一般性，设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且 abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则 + ++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222
2019-2020年初中数学竞赛模拟试题
2019-2020年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题6分，共30分） 1．方程1) 1(3 2=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ， 使四边形DECB 的面积为 43，则EA CE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）5 1 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 8．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且 198=+q p ，则p ＝ ． 9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． A B F C E D · D C O B A
全国高中数学联赛精选模拟试题一
最新全国2010高中数学精选联赛模拟试题一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 1、函数的最大值是（） A、2 B、 C、 D、3 2. 已知，定义，则 （） A． B．C． D． 3. 已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为（） A．B．C．D． 4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（） A、B、3 C、D、2 5. 已知（R），且 则a的值有（） （A）个（B）个（C）个（D）无数个 6.平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。 若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对（） A．不存在B．至少有一个C．至多有一个D．恰有一个
二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 不等式的解集为，那么的值等于__________. 8. 定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________. 9. 等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等 差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为 _______________的数列也是等比数列． 10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 11. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）． 12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围 三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分） 13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量 (1) 求的取值范围; （2）若试确定实数的取值范围. 14. 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC 把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；
全国初中数学竞赛模拟试题及答案
全国初中数学竞赛初赛模拟试卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30） 一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内 1. 方程 020091 1=-x 的根是 A. 20091 - B. 20091 C. -2009 D. 2009 2. 如果0<+b a ，且0>b ，那么2a 与2b 的关系是 A ．2a ≥2b B ．2a ＞2b C ．2a ≤2b D ．2a ＜2b 3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是 A ．k B ．h C ．e D ．d 4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是 A ．75° B ．72° C ．70° D ．65° 图2 （第3题图） （第4题图） 5. 已知a 2=3，b 2=6，c 2=12，则下列关系正确的是 A ．c b a +=2 B ．c a b +=2 C ．b a c +=2 D. b a c +=2 6. 若实数n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是
A ．1 B ．21 C ．0 D. -1 7. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A ＞∠B ＞∠C ，则下列结论中错误的是 A ．∠A ＞ 60° B ．∠C ＜60° C ．∠B ＞45° D ．∠B ＋∠C ＜90° 8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是 A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 9. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P 到圆心0的距离为9，则通过P 点且长度是整数值的弦的条数是 A ．5 B ．7 C ．10 D ．12 10. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象 如图所示，记b a p +=2，a b q -=，则下列 结论正确的是 A ．p ＞q ＞0 B ．q ＞p ＞0 C ．p ＞0＞q D ．q ＞0＞p 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11. 已知 |x |=3，2y =2，且y x +＜0，则y x = . 12. 如果实数b a ,互为倒数，那么=+++221111 b a . 13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个， 绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为52 ，那么，随机从中摸出一个黄球的概 率为 . 14. 如图，在直线3+-=x y 上取一点P ，作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ， 若矩形OAPB 的面积为4，则这样的点P 的坐标是 . 15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在AC 、AB 上，且AE=AF ，∠CDE= ∠BAC ，那么，图中长度一定与DE 相等的线段共有 条. （第10题图） D F B A E C C
国际数学奥林匹克IMO试题(官方版)2000_eng
41st IMO2000 Problem1.AB is tangent to the circles CAMN and NMBD.M lies between C and D on the line CD,and CD is parallel to AB.The chords NA and CM meet at P;the chords NB and MD meet at Q.The rays CA and DB meet at E.Prove that P E=QE. Problem2.A,B,C are positive reals with product1.Prove that(A?1+ 1 B )(B?1+1 C )(C?1+1 A )≤1. Problem3.k is a positive real.N is an integer greater than1.N points are placed on a line,not all coincident.A move is carried out as follows. Pick any two points A and B which are not coincident.Suppose that A lies to the right of B.Replace B by another point B to the right of A such that AB =kBA.For what values of k can we move the points arbitrarily far to the right by repeated moves? Problem4.100cards are numbered1to100(each card di?erent)and placed in3boxes(at least one card in each box).How many ways can this be done so that if two boxes are selected and a card is taken from each,then the knowledge of their sum alone is always su?cient to identify the third box? Problem5.Can we?nd N divisible by just2000di?erent primes,so that N divides2N+1?[N may be divisible by a prime power.] Problem6.A1A2A3is an acute-angled triangle.The foot of the altitude from A i is K i and the incircle touches the side opposite A i at L i.The line K1K2is re?ected in the line L1L2.Similarly,the line K2K3is re?ected in L2L3and K3K1is re?ected in L3L1.Show that the three new lines form a triangle with vertices on the incircle. 1
滑铁卢大学欧几里得数学竞赛
该考试是学生申请滑铁卢大学数学学院本科专业的重要参考。众所周知滑铁卢大学数学学院 是全球最大的数学、统计学、计算机科学等学科教学中心比尔?盖茨曾于 2005 年、 2008 年 两度造访该大学是比尔?盖茨大学巡回讲座的北美5 所大学之一也是唯一的一所加拿大大学。考试范围：大部分的题目基于高三或者12年级数学课学习的内容。我们的竞赛题目主要包 括以下的数学内容： ? 欧几里德几何和解析几何 ? 三角函数，包括函数、图像、性质、正弦余弦定理 ? 指数和对数函数 ? 函数符号 ? 方程组 ? 多项式，包括二次三次方程根的关系、余数定理 ? 数列、数列求和 ? 简单的计算问题 ? 数字的性质 考试时间为 2.5 个小时， 10 道题。每题 10 分，共计 100 分。考试题有两种，一种只需要给 出答案，另一种则需要写出整个解题过程，这种题的最终得分不仅取决于结果正确与否，还 与解题思路有关。 ? 笔试 ? 10道题：大部分要求写出完整的解题步骤； ? 根据解题的方法和步骤获得相应的分数； ? 步骤不完整的解题无法得到全部的分数； ? 竞赛时长为2.5小时； ? 共100分； ? 可以使用无编程无绘图功能的计算器； ? 不可以使用任何可接入互联网的设备，如手机、平板电脑等均不能携带 如何准备： ? CEMC官网可以免费下载历年的竞赛原题以及标准答案； ? CEMC官网提供各种免费的数学资源； ? www.cemc.uwaterloo.ca； 如何参加： ? 学校可以申请注册为考点，安排组织欧几里德数学竞赛； ? 学生需要通过自己所在的学校报名参加欧几里德数学竞赛； ? 如果学生所在学校未注册考点，学生可以报名在我们北京或者上海的考点参加欧几里德数 学竞赛； ? 竞赛结束之后，学校需要将全部的试卷寄回滑铁卢大学； ? 改卷结束之后，滑铁卢大学会在CEMC官网录入学生的成绩。学校可以用学校注册号以及 密码登录系统查询成绩并且下载电子版获奖证书； ? 欧几里德竞赛没有纸质成绩单，只发放电子版或者纸质的前25%的证书；每个考点的第一 名的学生会有竞赛的奖牌。 ? 欧几里德竞赛成绩一般在竞赛结束之后3个星期左右公布。 为何参加： ? 喜欢数学、对数学解题感兴趣；
2018年初中数学竞赛模拟试题(含答案)
2018年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题5分，共30分） 1．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且 3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EA CE 的值为（ ） （A ） 21 （B ）31 （C ）4 1 （D ）51 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 6．从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p 和q(p ≠q)，构成函数y=px-2和y=x+q ，若两个函数图象的交点在直线x=2的左侧，则这样的有序数组(p ，q)共有( ) (A)12组 (B)10组 (C)6组 (D)15组 二、填空题（每小题5分，共30分） 7．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 8．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜ 2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 9．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且198=+q p ，则p ＝ ． 10．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． · D C O B A
高中数学竞赛大纲(修订稿)
高中数学竞赛大纲（修订稿） 在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学日的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养......，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 二试 1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
高中数学竞赛模拟试题及参考答案(可编辑)
数学奥林匹克高中训练题 第一试 一、填空题（每小题8份，共64分） 1.函数3 ()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____. 2.在数列{}n a 中,11 3 a = ,且12[]n n n a a a +=-,则20092010a a +=_____. 3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____. 4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<
第41届国际数学奥林匹克解答
第41届国际数学奥林匹克解答 问题 1.圆Γ1和圆Γ2 相交于点M和N.设L是圆Γ 1 和圆Γ2的两条公切线中距离 M较近的那条公切线.L与圆 Γ1相切于点A，与圆Γ2相切 于点 B.设经过点M且与L平 行的直线与圆Γ1还相交于点 C，与圆Γ2还相交于点 D.直 线C A和D B相交于点E；直线 A N和C D相交于点P；直线 B N 和C D相交于点Q. 证明：E P=E Q. 解答:令K为M N和A B的交点.根据圆幂定理,,换言之K是A B的中点.因为P Q∥A B,所以M是P Q的中点.故只需证明E M⊥P Q.因为C D∥A B,所以点A是Γ1的弧C M的中点,点B是Γ2的弧D M的中点.于是三角形A C M与B D M都是等腰三角形.从而有 , . 这意味着E M⊥A B.再由P Q∥A B即证E M⊥P Q. 问题 2.设a,b,c是正实数，且满足a b c=1.证明： . 解答:令,,,其中x,y,z为正实数,则原不等式变为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≤x y z.记u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.因为这三个数中的任意两个之和都是正数,所以它们中间最多只有一个是负数.如果恰有一个是负数,则u v w≤0 数学竞赛讲义第一节 一．高中数学竞赛介绍 一试 考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。 加试（二试） 考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学。 二．答题策略 保证1试所有知识点都练习过的基础上，2试选择平面几何+1题的方式去练习。 三．考试知识点 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 二试 1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数及周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。 ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列及组合，简单的组合恒等式。 一元n次方程（多项式）根的个数，根及系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。 3、立体几何 多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体，欧拉定理。 体积证法。 全国高中数学联赛模拟试题(十) 姓名______ 学校______ 得分_______ 第一试 一、选择题：（每小题6分，共36分） 1、 设集合M ={-2,0,1}，N ={1,2,3,4,5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有 x +f (x )+xf (x )是奇数，则这样的映射f 的个数是 （A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11 2、 已知sin2=a ，cos2=b ，0＜＜ 4π，给出??? ? ? +4tan πθ值的五个答案： ① a b -1； ② b a -1； ③ a b +1； ④ b a +1； ⑤1 1 -++-b a b a ． 其中正确的是： （A ）①②⑤ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）③④⑤ 3、 若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体 的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 （A ）64 （B ）66 （C ）68 （D ）70 4、 递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是 若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A ）729 （B ）972 （C ）243 （D ）981 5、 1 4951C C C C +++++m n n n n Λ（其中?? ? ???-=41n m ，[x ]表示不超过x 的最大整数）的值为 （A ）4 cos 2π n n （B ）4 sin 2πn n （C ） ?? ? ??+-4cos 22211πn n n （D ） ?? ? ??+-4sin 22211πn n n 6、 一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞e （如 12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是 （A ）8568 （B ）2142 （C ）2139 （D ）1134 二、填空题：（每小题9分，共54分） 1、 过椭圆12 32 2=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =PH （≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的 取值范围是 ．数学竞赛三角形五心讲义
全国高中数学联赛模拟试题(十)