2014年河南高考数学试题及答案(理科)

2014年普通高等学校招生全国统一测试

理科数学

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

4. 测试结束，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2

230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?=

A .[-2,-1]

B .[-1,2）

C .[-1,1]

D .[1,2）

2.32

(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --

3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是

A .()f x ()g x 是偶函数

B .|()f x |()g x 是奇函数

C .()f x |()g x |是奇函数

D .|()f x ()g x |是奇函数

4.已知F 是双曲线C ：2

2

3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为

A .3

B .3

C .3m

D .3m

5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

A .18

B .38

C .58

D .78

6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为

7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =

A .

203 B .165 C .72 D .158

8.设(0,

)2

π

α∈，(0,)2π

β∈，且1sin tan cos βαβ+=，则

A .32

π

αβ-=

B .22

π

αβ-=

C .32

π

αβ+=

D .22

π

αβ+=

9.不等式组1

24x y x y +≥??-≤?

的解集记为D .有下面四个命题：

1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-.

其中真命题是

A .2p ，3P

B .1p ，4p

C .1p ，2p

D .1p ，3P

10.已知抛物线C ：2

8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 和C 的一个焦点，

若4FP FQ =u u u r u u u r

，则||QF =

A .

72 B .5

2

C .3

D .2 11.已知函数()f x =3

2

31ax x -+，

若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为

A .（2，+∞）

B .（-∞，-2）

C .（1，+∞）

D .（-∞，-1）

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A 62

B .42

C .6

D .4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.8

()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 .(用数字填写答案)

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .

15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2

AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 和AC u u u

r 的夹角为 .

16.已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且

(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 .

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.

(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.

18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2

s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；本文来自有途高考网

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2

(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2

δ近似为样本方差2

s . (i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；

（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX . 附：150≈12.2.

若Z ～2

(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544. 19. (本小题满分12分)如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =；

（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=Bc ，求二面角111A A B C --的余弦值.

20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），

椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为

3

，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为23

，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；有图高考网

（Ⅱ）设过点A 的直线l 和E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程.

21. (本小题满分12分)设函数1

(0ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为

(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线和DC 的延长线交于点E ，且CB=CE .(Ⅰ)证明：∠D=∠E ；

（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形.

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系和参数方程

已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t

=+??=-?（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作和l 夹角为o

30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值和最小值. 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若0,0a b >>，且

11

ab a b

+=. (Ⅰ) 求3

3

a b +的最小值；

（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.

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理科数学试题答案（B 卷）

一选择题

1. A

2.D

3.C

4.A

5.D

6.C 7 .D 8. C 9. B 10.B 11.C 12.B 二填空题

13.-20 14.A 15.90度 16.

三解答题 17.解：

（I ）由题设，=bSn-1，

=bSn-1

两式相减的

=b

由于，所以 （）由题设，由（I ）知 解得b=4 故，由此可得 {}是首项为1，公差为4的等差数列， {}是首项为3，公差为4的等差数列，=4n-1 所以 因此存在b=4，使得数列为等差数列 （18）解

（I ）收取产品的质量指标值的样本平均数a 和样本方差b 分别是 a=200 b=150

（）由上诉可此，Z~N(200，165),从而

P （187.8

一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826 依题意可知X~B(100,0.6826),所以EX=100

（19）解：

（I ） 连结1BC ，交1B C 于点O ，连结AO 。因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C

及1BC 的中点。

又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，由于AO ?平面ABO ，故1B C AO ⊥ 又1B O CO =，故AC=1AB ， ……6分 （II ）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，所以AO=CO 。 又因为AB=BC ，所以BOA BOC ???。

故OA OB ⊥，从而OA 、OB 、1OB 两两相互垂直。

以O 为坐标原点，OB uuu r 的方向为x 轴正方向，OB u u u r

为单位长，建立如图所示的空间指教坐标系O-xyz.

因为160CBB ∠=o ，所以1CBB ?为等边三角角，又AB=BC ，则A 3

，

B （1,0,0），13(0,,0)3B ，3

C(0,,133AB =u u u v ,113(1,0,3A B AB ==-u u u u v u u u v ,11

3(1,0,3B C BC ==-u u u u v u u u v 设(x,y,z)n =式平面1A AB 的法向量，则

1110

n AB n A B ??=???=??u u u r u u u u r 即 33

033

30y z x z -=???

?=??

所以，取n=（133

设m 是平面111A B C 的法向量，则110

10

m AB m B C ??=???=??u u u r u u u u r

同理可取m=（1，33

则cos n m =1

7

m n n m ?=

所以，所求角A-A 2B 2-C 1的余弦值为17

(20)解：

（1）设F(C,0)，由条件知，23c 33

c ==得又

2223

a 2,

b 12

c a c a ===-=所以 故E 的方程为2

14

x y += 故设l:y=kx-2,P(x 1,x 2)

将y=kx-2代入24x +y 2

=1得

（1+4k 2

）x 2-16kx+12=0

当2

16(43)k ?=-＞0，即2

k ＞34时， 1.2x =22

8243

41

k k k ±-+

从而2

1k +|12x x -|=222

41*43

41k k k +-+ 又点O 到直线PQ 的距离2

1

k +。所以OPQ ?的面积

22143.||241

opq k s d PQ k -==+V ………………..9分

243k t -=，则t ﹥0, 244

4

4opq t s t t t

?==

++ 因为t+4t ≥4.当且仅当t=2,即k=±7

时等号成立，且满足?﹥0.

所以，△OPQ 的面积最大时，l 的方程为

………………….12分 （21）解：

（I ）函数f （x ）的定义域为()0,+∞，f ’（x ）=112ln x

x x x a b b a x x x e e e e x

--+-+，

由题意可得f （1）=2 ，f ’（1）=e

故a=1，b=2………………5分

（II ）由（I ）知，f （x ）=12ln x x x x e e -+，从而f （x ）＞1等价于xlnx ＞2x

x e

e --.

设函数g （x ）=xlnx ，则g ’(x)=1+lnx

所以当x ∈(0, 1e ) 时，g ’(x)＜0；当x ∈（1

,e +∞）时，g ’(x)＞0.

故g （x ）在（0，1e ）单调递减，在（1

e

，+∞）单调递增，从而g （x ）在(0,)+∞的最小

值为g （1e ）=- 1

e

……………8分

设函数h （x ）= 2x x e

e --，则h ’（x ）= (1x)x

e --.

所以当(0,1)x ∈时，h ’（x ）＞0；当(1,)x ∈+∞时，h ’（x ）＜0.

故h （1）在（0,1）单调递增，在(1,)+∞单调递减，从而h （x ）在(0,)+∞的最大值为h （1）

= 1e

-

综上，当x ＞0时，g （x ）＞h （x ），即f （X ）＞1……………………….12分 (22)解：

（I ）由题设知A,B,C,D 四点共圆，所以∠D=∠CBE 由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E ……5分

（II ）设BC 的中点为N,连结MN ，则由MB=MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上。 又AD 不是e O 的直径，M 为AD 的中点，故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD 所以AD//BC,故∠A=∠CBE

又∠CBE=∠E ，故∠A=∠E 。由（I ）知，∠D=∠E ，所以?ADE 为等边三角形。 （23）解：

（I ）曲线C 的参数方程为2cos ,

3sin ,

x y θθ=??=?（θ为参数）

直线l 的普通方程为2x+y-6=0

（II ）曲线C 上任意一点P （2cos θ，3sin θ）到l 的距离为

53sin 65

d θθ=+-

则()0

256sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角，且tan α=4

3

当()sin θα+=-1时，PA 25

当()sin θα+=1时，PA 取得最小值，最小值为25

5

（24）解：

（I 11ab a b ab =+≥，得ab ≥2，且当2

故3333a +b 2a b 42a=b=2≥≥，且当时等号成立

所以33a +b 的最小值为42（II ）由（I ）知，2a+3b 26ab ≥≥3由于436，从而不存在a ，b ，使得2a+3b=6