北邮研究生概率论与随机过程试题及答案
北京邮电大学2012——2013学年第1学期
《概率论与随机过程》期末考试试题答案
考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!
一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）
1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则
1
n n A ∞=∈A ;
（D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ???
,则
1
n n A ∞
=∈A .
2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c
（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ???
，则1
li (
)()m n n n n P A A P ∞→∞
==；
（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1
1
(
)()n n n n P P A A ∞
∞===∑.
3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，
表达式为100
0()k A k f kI ω==∑，其中1000
,,
i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ；
若已知100
100!1
!(100)()!2
k k k P A -=
，则2f dP Ω=? . 0
2
10(),2550
2525k
k kP A =+=∑
4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度
2,01,0,
(,)0,x y x f x y <<<
?
其他， 则[[|]]E E X Y = .2/3
5. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为
1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；
（2）20
(())E X t dt π
=? .
,0,(;1)01,x
cos x e cos f x ωω-?>?
=???
其他，20(1())E X t dt π
ω=? 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1
()()X t W t =，则相关
函数2
(1,2)2
X R σ=
.
7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为
0.50.500.50.500.20.30.5P ?? ?= ? ???
则（1）()11
lim n n p
→∞
= ；（2）()
33
0n n p ∞
==∑ . 1/2,2 二. 概率题（共30分）
1.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为
22
12
2
22
1(,)2x x f x y e σπσ
+-
=
,
令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .
解解.（1） 解方程22,,u x y v y ?=+?=?
得|,,u x v y v ??=???≤=
所以雅可比行列式2
20
J u v =
=-, 故
2221||,(,)(,)||20,u e v u g u v f x y J σπσ-?≤?==???
其他. ……5分
（2）对0u >，
2
22
1(,))2(u u U u
g u e g u v d v v σπσ-
∞
-∞-==?
?
2
2
222
2
22u u
u u
e e u u σ
σπσ
σ
-
-
-=
=
?
,
故2
22,0,()20,.u
U e
u u g u σσ-?>?=???
其他
……10分
2.（10分）设(,)U V 的概率密度
,0,0,
(,)0,
u e u v v g u v -?->>=??其他，
（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>?=??，
其他，（2）(|)D V U .
解 U 的边缘概率密度为
00,0,,0,
()(,)0,,0,
,u
u u u
U e dv u e u u u v d u g v g --??>>?===??
?????其他其他 所以条件概率密度
|1
,0,
(,)(|)()0,
V U U v u g u v v u u
g g u ?<
?其他. ……4分
（1）
10
1{1}|10
111
()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====??
……7分
（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2
(|)12
D U U V =。
……10分
3.（10分）设12,,
,n X X X 独立同分布，均服从两点分布，即
11{0},{1}=1-,(01)P X p P X p p ===<<，令12n X X X Y ++
+=，（1）求Y 的
特征函数；（2）求3()E Y .
解: （1）因为Y 服从二项分布(,)B n q ，所以Y 的特征函数
()()it n t p qe φ=+
……5分
（2）132()()n n E E X Y X X ++=+
2
31,1,,,1,()()n
n
n
i
i
j i j k i i j j i
i j k EX E X X E X X X ====/=+
+
∑∑
∑
互不相等
23(1)(1)(2)nq n n q n n n q =+-+--
……10分
三.随机过程题（共40分）
1. （10分）设1()(0)X t t ≥是参数为(0)λ>的泊松过程，即满足： (1)1(0)0;X =
(2)1()X t 为独立增量过程；
(3)对,0,s t ?≥有(){()()},0,1,!
k t
t e P X s t X s k k k λλ-+-==
=.
2()(0)X t t ≥也是参数为(0)λ>的泊松过程，且与1()X t 独立，令12()()()Y t X t X t =+，（1）求()(,)Y Y t R s t μ和；（2）求{(1)1}P Y =.
解：因为12()()()Y t X t X t =+是参数为2λ的泊松过程，所以
（１）2()2(,),min{,}24Y Y t R s t s t st λμλλ==+
……5分
（２）2{(1)1}2e
P Y λ
λ-==
……10分
2. （10分） 设{(),}t X t -∞<<∞是平稳过程，()f λ是其谱密度函数，（1）证明：对于任意的0h >，()()()Y t X t h X t =+-是平稳过程；（2）求()Y t 的谱密度.
解 （1）0[()][()()]E Y t E X t h X t μμ+-=-==,
[()()][()()][()()]E Y t Y t E X t h X t X t h X t τττ+=++-++- ()()(2)X X X h h R R R τττ-=+--
与t 无关，则()()()Y t X t h X t =+-是平稳过程。
……5分
（2）1()()()()]2[2X X X i h h d f e R R R λτηλττττπ
+∞--∞
=
-+--?
2()()()ih ih f e f e f λλλλλ-=-- 2()(1cosh )f λλ=-.
……10分
3. （10分）设齐次马氏链}0,{≥n X n 的状态空间为}2,1,0{=E ，一步转移概率矩阵为
1/21/41/41/201/21/21/20P ??
??=??
????
， 初始分布为0001
{0}{1}{2}3P X P X P X ======, 求
(1) 124 {1,1,2}P X X X ===和1240 {1,1,2|=0}P X X X X ===; (2) 2X 的分布律.
解 (1) 21/21/41/41/23/81/81/21/83/8P ??
??=??????
(1)(1)(2)
011112124 {1,1,2}0}{i i
P X i X p P X p p X ======∑
1240011112 {1,1,2|=0}(2)0P X X X X p p p ===== ……６分
(2) 2
1/21/41/411
1(2)(0)1/23/81/8,24
41/21/83/111,,,3338p p P ??
????
??=== ? ??
?????
????
……10分
4.（10分）齐次马氏链{,0}n X n ≥的状态空间为{1,2,3,}，一步转移概率矩阵为
1100000000221100000000221100000000220001000000111100000044441200000000331200000000331200000000331200
3
3
P ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布.
解. （1）链可分, {1，3}{4}是不可分闭集, 状态空间{3}{1,{4}2,5,6,7,}E ?=?
……2分
（2） 周期
()1,1,2,...d i i ==.
……4分
（3） 设平稳分布为12(,,)πππ=?,则
,11,1,2,i i i P i ππππ==≥=?
??
?
????∑
解之得(,0,,,0,0,)p q p π=,其中0,0,21q p p q ≥≥+=.
……7分
（4） 所以1,3,4正返态,其余都不是常返态，又因为
4224111
1,1,1,6,7,243ii f f f i =<=<=<=?，所以2,4,6,7,?都为非常返态。
……10分