2018考研数学模拟题完整版及参考答案(数一、数二、数三通用)

2018考研数学模拟题完整版及参考答案（数一、数二、数

三通用）

一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1) 已知函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则()()

233

2lim

x x f x f x x →-=( )

(A) -2()0f '. (B) -()0f '. (C) ()0f '. (D) 0.

(2) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =

，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则

(),D

f x y dxdy =?? ( )

(A)

()1

3sin214

2sin2cos ,sin d f r r rdr π

θπθ

θθθ??

(B)

(

)34

cos ,sin d f r r rdr π

πθθθ?

(C)

()13sin 214

2sin 2cos ,sin d f r r dr π

θπθ

θθθ??

(D)

(

)34

cos ,sin d f r r dr π

πθθθ?

(3) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得

单位矩阵，记11001

10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ?

= ? ???

，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 1

21P P -．

(4) 设4

ln sin I x dx π

=

?

，40

ln cot J x dx π=?，40

ln cos K x dx π=?，则,,I J K 的大小关

系是( )

(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．

(5)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为222

123

2+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为

( )

(A) 222

1232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 222123

2++y y y

（6）设矩阵21111214A a a ??

?

= ? ???，21b d d ?? ?= ? ???

，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无

穷多解的充分必要条件为 ( )

(A) ,a d ?Ω?Ω (B) ,a d ?Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω

（7）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由

321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有

（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关；(D) 21321,,,ββαααk +线性相关．

（8）设1100C α?? ?= ? ???,2201C α?? ?= ? ??? ,3311C α?? ?=- ? ??? ,4411C α-?? ?

= ? ???

,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则

下列向量组线性相关的为( )

(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα

二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =

(10)

2

x =?

(11)(2,1,1)()|z

grad xy +y

=

(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=

++=≥≥≥，则2y ds ∑

=??

(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T

E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()

11

,,23

p AB P C p AB C =

== 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线

()=y f x 在点()()00,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.

(16)(本题满分10分)已知函数(),=++f x y x y xy ，

曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.

(17)求函数22

2

(,)x y f x y xe +-=的极值

(18)求幂级数220

44321n

n n n x n ∞

=+++∑

的收敛域及和函数

（19）设30<

+（n ＝１，２，３，…）．

证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限．

（20）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且

0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时，

)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．

（21）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．

（22）

（23）

2018可锐考研数学模拟卷（二）答案

一、选择题

1.【答案】(B)．

【解析】()()

233

2lim

x x f x f x x →-

()()()()

2233

0220lim

x x f x x f f x f x

→--+=

()()()()33000lim 2x f x f f x f x x →??

--??=-????

()()()0200f f f '''=-=-．

故答案选(B).

2.【答案】（B ）

【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，

所以

(,)D

f x y dxdy =

??3

4

(cos ,sin )d f r r rdr π

πθθθ?，

故选（B ）

3.【答案】 (D)．

【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故

100110001A B ?? ?

= ? ???

， 即1AP B =，1

1A BP -=．

由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故

100001010B E ??

?= ? ???

， 即2,P B E =故122B P P -==．因此，1

21A P P -=，故选(D)．

4.【答案】(B)．

【解析】因为04

x π

<<

时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，

又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<． 故正确答案为(B)． 5.【答案】(A)

【解析】由x Py =，故222

123

()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001T

P AP ??

?= ? ?-??

.

由已知可得:100001010Q P PC ??

?

== ? ?-??

故有200()010001T T T

Q AQ C P AP C ??

?==- ? ???

所以222

123

()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） 6.【答案】(D)

【解析】22111

11111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b a

d a d a d a a d d ????

? ?=→-- ? ? ? ?----????

，

由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ） 7.A 8.C 二．填空题: 9、x

e ； 10、2π； 11、{}1,1,1； 12

13、2； 14、34

三、解答题 15【答案】f x x

=

-8

()4. 【解析】设()f x 在点()()

00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()

()

000f x x x f x =-

+'，

故由题意，()()00142f x x x ?-=，即()()()

0001

42f x f x f x ?='，可以转化为一阶微分方程，

即28y y '=，可分离变量得到通解为：11

8

x C y =-+，

已知()02y =，得到1

2C =，因此11182

x y =-+； 即()8

4

f x x =-+.

16【答案】3

【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.

()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，

故(){},1,1gradf x y y x =++

此题目转化为对函数

(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下

的最大值.即为条件极值问题.

为了计算简单，可以转化为对()()2

2

(,)11d x y y x =+++在约束条件

22:3C x y xy ++=下的最大值.

构造函数：()()()()

2

2

2

2

,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-

()()()()22

2120212030

x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'?=+++=?

'=+++=??'=++-=?，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M =

===

3=.

17解：()()()()()2

2

22

22

2

2

2

2

2

2

2

,10

,0

x y

x y x y x y f x y e xe

x e

x x

f x y xe y y

+

++--

-

+

-??=+-=-=???

?

??=-=???

得驻点()()121

,0,1,0P P -

()()()()()()()()2

2

2

2

2222222

22

2222222

,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x y f x y xe y y

++--+-+-

??=-+--??????=--????

???=-??? 根据判断极值的第二充分条件， 把()11,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以

()11

,0,P -为极小值点，极小值为

()1

2

1,0f e --=-

把()21

,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以

()21

,0P 为极大值点，极大值为

()12

1,0f e

-=

18 解：（Ⅰ）收敛域

22(1)1

222

22211443()4432(1)121lim lim lim 4(1)4(1)3()214(1)4(1)32(1)1

n n n n n n n n n x

a x n n n n R x x n n a x n n n x n ++→∞→∞→∞+-++?+++++===??=+++++++++?++令2

1x <，得11x -<<，当1x =±时，技术发散。所以，收敛域为(1,1)-

（Ⅱ）设

222222000

443(21)22()[(21)](1)212121n n n n

n n n n n n S x x x n x x x n n n ∞

∞∞===++++===++<+++∑∑∑

令210

()(21)n

n S x n x ∞

-=

+∑，2202

()21

n n S x x n ∞

-=+∑

因为

22112

()(21)(1)1x

x

n

n n n x

S t dt n t dt x x x ∞

∞

+===+==

<-∑∑?

? 所以2

1222

1()()(1)1(1)

x x S x x x x +'==<-- 因为21202

()21

n n xS x x n ∞

+-=

+∑ 所以2222

1

[()]222(1)1n

n n n xS x x

x x x

∞

∞

--'=

==?

<-∑∑

所以

220

01111[()]2()ln (1)1111x

x

x x tS t dt dt dt x t t t x

+'=?

=+=<-+--?

?? 即201()ln

1x

x xS x x +=-，故21()ln 1x

xS x x

+=- 当0x ≠时，211()ln

1x

S x x x

+=

- 当0x =时，12(0)1,(0)2S S ==

所以，222

12111ln (1,0)(0,1)

()()()(1)130

x x

x S x S x S x x x x

x ?+++∈-??=+=--??=?

19.

20.

21.

22.【解】 由于(1,2)i i s β= 是12,,s ααα 线性组合,又12,,s ααα 是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β= 均为0Ax =的解.从12,,s ααα 是

0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.

下面来分析12,,s βββ 线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++= ,即

11212112222133211()()()()0

s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++= .由于

12,,s ααα 线性无关,因此有

112211222132110,0,0,0.

s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=??+=??

+=???+=??

(*) 因为系数行列式12211211221

000000

000(1)

000s

s s

t t t t t t t t

t t +=+-

,

所以当112(1)0s s s

t t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ==== .从而12,,s βββ 线

性无关.

23.易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X + 相互独立都服从正态分布

2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样

本.其样本均值为

211

11()2n n

i n i i i i X X X X n n +==+==∑∑,样本方差为

2

111(2)11

n i n i

i X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21

()21

E Y n σ=-,即.2()2(1)E Y n σ=-