中考数学压轴题专项汇编专题平行四边形的存在性
专题23 平行四边形的存在性
破解策略
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知 识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高， 这类题，一般有两个类型： （1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题： 以A ，B ，C 三点为顶点的平行四边形构造方法有：
①_x0001_ 作平行线：如图，连结AB ，BC ，AC ，分别过点A ，B ，C 作其对边的平行线，三条直线的交点为D ，E ，F ．则四边形ABCD ，ACBE ，ABFC 均为平行四边形．
F
E
D
C
B
A
②倍长中线：如图，延长边AC ，AB ，BC 上的中线，使延长部分与中线相等，得点D ， E ，F ，连结DE ，EF ，F D ．则四边形ABCD ，ACBE ，ABFC 均为平行四边形．
A
B
C
D
E
F
（2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题：
先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问 题，再构造平行四边形．
解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需 要分类讨论．
通常这类问题的解题策略有：
（1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答． 如图，若AB ∥CD 且AB ＝CD ，分别过点B ，C 作一组平行线BE ，CF ，分别过点A ，D 作一组平行线AE ，DF ，则△AEB ≌△DFC ，从而得到线段间的关系式解决问题．
A
B
C
D
E
F
（2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验． 如图．已知平行四边形ABC D ．连结AC ，BD 交于点O ．设顶点坐标为A （x A ，y A ）．B （x B ，y B ），C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）．
O
D
C
B
A
①_x0001_
用平移的性质求未知点的坐标：
,,.B A C D B C A D B
A C D
B
C A
D x x x x x x x x y y y y y y y y 祆-=--=-镲镲眄镲-=--=-镲铑或 ②利用中点坐标公式求未知点的坐标： ,22.22A C B D A C B D x x x x y y y y ì++??=???í?++?=????
有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好． 例题讲解
例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2
＋mx ＋n 经过点A （3，0），B （0，﹣3），P 是直线AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ． （1）分别求出直线AB 和这条抛物线的表达式；
（2）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
y
x
M
O
P
B
A
解：（1）将点A ，B 的坐标代入抛物线的表达式，得y ＝x 2
－2x ＋3．设直线AB 的表达式
为y ＝kx ＋b ，将点A ，B 的坐标代入，得y ＝x －3． （2）存在．
因为PM ∥OB ，所以当PM ＝OB 时，四边形即为平行四边形．
根据题意设点P 的坐标为（p ，p －3），则点M 的坐标为（p ，p 2
－2p －3）．
所以2(3)(23)3p p p ----=．
解得321
p ±=
，故满足条件的点P 的横坐标为321
p ±=
．
例2 边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，D 是OA 边的中点，连结CD ，点E 在第一象限，且DE ⊥DC ，DE ＝DC ，以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点． （1）求抛物线的表达式；
（2）M 为直线上一动点，N 为抛物线上一动点，问：是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
E
x
y O A
B
C
D
G
E
x
y
O
A B
C
D
解 （1）如图1，过点E 作EG ⊥x 轴于点G ． 易证△ODC ≌△GED （AAS ），所以1
12
GE OD OA ==
=． 所以点E 的坐标为（3，1）．
而直线AB 为抛物线的对称轴，直线AB 的表达式为x ＝2，
所以可设抛物线的表达式为y ＝a （x －2）2
＋k ， 将C ，E 两点的坐标代入表达式，得42,1,a k a k ì+=??í?+=??解得1
,32.3
a k ì??=???í??=????
所以抛物线的表达式为()2
21214223333
y x x x =-+=-+ （2）存在．
由题意可设点M 的坐标为（2，m ），N 的坐标为2
14,23
3n n n ?
?-
+ ???
． 以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形有以下可能：
①当DE 为平行四边形的边时， （i ）如图2，若DE ∥MN ，MD ∥NE ，
由平移的性质可得221314
02133n m n n -=-??
?-=-+-??
解得 1.4.
m n =??
=?
此时点M 的坐标为（2，1），N 的坐标为（4，2）． （ii ）如图3，若DE ∥MN ，ME ∥N D ．
由平移的性质可得212 3.1420 1.3
3n n n m -=-??
?-+-=-??
解得 3.
0.
m n =??
=?
此时点M 的坐标为（2，3），N 的坐标为（0，2）． ②当DE 为平行四边形的对角线时，如图4．
由平行四边形对角线互相平分性质可得2132.14
01 2.33n m n n +=+??
?+=+-+??
解得1 .
3
2.
m
n
?
=
?
?
?=
?
此时点M的坐标为
1
2,
3
??
?
??
，N的坐标为
2
2,.
3
??
?
??
例3 如图，抛物线2
y x bx c
=++的顶点为D（－1，－4），与y轴交于点C（0，－3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解（1）将点C，D的坐标代入抛物线的表达式，得22 3.
y x x
=+-
（2）存在．
令2
12
230,1, 3.
x x x x
+-===-
解得
所以点A的坐标为（－3，0），B的坐标为（1，0）．
由点F在抛物线上可设点F的坐标为()
2
,23
m m m
+-．
方法一：①如图1、图2，当AC为平行四边形的边是，
图1 图2
过点F作FP垂直于抛物线的对称轴，垂足为P．
y
x
O
P
F
E
D
C
B
A
y
x
O
P
F
E
D
C
B
A
易证△PEF ≌△OC A ． 所以PF ＝AO ＝3，
从而点F 的坐标为（2，5）或（－4，5）． ②如图3，当AC 为平行四边形的对角线时，
过点F 作FP ⊥y 轴于点P ．令抛物线的对称轴交x 轴于点Q ， 易证△PCF ≌△QE A ．
所以PF ＝AQ ＝2，从而点F 的坐标为（－2，－3），此时点F 与点C 纵坐标相同，所以点E 在x 轴上．
图3
方法二：①如图3，当AC ，EF 为平行四边形的对角线时，
可得()()2
302303E E
x m y m m +=-+???++-=+-??，． 又因为点E 在抛物线的对称轴上， 所以m ＝－2，
则点F 的坐标为（－2，－3）．
②如图1，当AE ，CF 为平行四边形的对角线时，
可得2
325E E
x m y m m =??=+-?+，． 又因为点E 在抛物线的对称轴上， 所以m ＝－4，
则点F 的坐标为（－2，－3）．
③如图2，当AF ，CE 为平行四边形的对角线时，
可得2
32E E
x m y m m =-+??=+?，． 又因为点E 在抛物线的对称轴上，所以m ＝2．
则点F 的坐标为（2，5）．
综上可得，满足平行四边形的点F 的坐标为（－2，－3）（－4，5）（2，5） 进阶训练
1．如图，四边形ABCD 是直角梯形，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝28cm ，点P 从点A 出发，沿AD 以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，沿CB 以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．问：从运动开始，经过多长时间，四边形PQCD 成为平行四边形？
y
x
O P F
E D
C
B
A
P
C
A B
D Q
2．如图，抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 过A （－3，0），B （1，0），C （0，3） 三点，抛物线的顶点位P ．
（1）求抛物线的表达式； （2）直线y ＝2x ＋3上是否存在点M ，使得以A ，P ，C ，M 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
x
y P O C
B
A
3．如图，在矩形OABC 中，OA ＝5，AB ＝4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴．y 轴建立平面直角坐标系．若点N 在过O ．D ．C 三点的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，问是否存在这样的点M 与点N ，使得以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在．请求出M 点坐标;若不存在，请说明理由．
答案：存在满足条件的点M ，其坐标为（2，16），（－6，16）或（－2，－
3
16
）． [提示]：易证△DAE ∽△EOC ，从而点D 的坐标为)5-,2
3
-(，得到过点O ，D ，C 的抛物线的
解析式为x x y 3
16
342+=．再分类讨论，由对角线互相平分，中点横纵坐标相等列出方程，
从而找到符合条件的点M ．（参考例3的方法二）
4．如图，抛物线与x 轴交于点A （－5，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x 轴方向平移，与y 轴平行的一组对边交抛物线于点P ，Q ．交直线AC 于点M ，N ．在矩形的平移过程中，当以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．
答案：点M 的坐标为（－2，3），)63,62-()6-3,6-2-(++或
[提示]．由点A ，B ，C 的坐标可得抛物线的表达式为532
-31-2+=x x y ，直线AC 的表达式为
y ＝x ＋5，设点M 的坐标为（t ，t ＋5），则点N （t －1，t ＋4），P （t ，)3
16
31-,1-(),532-31-22++t t Q t t ．
在矩形平移的过程中，以P ，Q ，N ，M 为顶点的平行四边形有两种情况：①当P ，Q 在直线AC 同侧时，有y P －y M ＝y Q －y N ，得到点M 的坐标为（－2，3）;②当P ，Q 在直线AC 异侧时，有y P －y M ＝y N －y Q ．得到点M 的坐标为（－2－6，3－6）或（－2＋6，3＋6）．