【高中数学】秒杀秘诀---直线系和圆系方程
直线系和圆系方程
定义：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。利用此结论可得出相关曲线系方程。
一.直线系
概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。它的方程称直线系方程。
几种常见的直线系方程：
（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）
（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）
（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）
（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）
（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）
例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线
分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即?
??-==???=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：
（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。
（2）过两已知圆C 1：f 1（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0。和C 2：f 2（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（λ≠－1）
若λ＝－1时，变为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋F 1－F 2＝0，则表示过两圆的交点的直线。
其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线。
（3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线L ：Ax ＋By ＋C ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交，则过直线L 与圆C 交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ（Ax ＋By ＋C ）＝0。
例
4：求过圆：2x +2y 2x -+2y +1=0与圆：2x
+2
y +4x 2y -4-=0的交点，圆心在直线：2+50x y -=的
例6：求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆01y 4x 2y x =+-++的交点，且过原点的圆方程。
例7：已知圆O ：C 、
例8：求过点(14)
P -，圆例9：平面上有两个圆，它们的方程分别是x +y =16和x +y －6x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程。解：∵x 2+y 2－6x+8y+24=0?(x －3)2+(y+4)2=1∴这两圆是外切∴(x 2+y 2－6x+8y+24)－(x 2+y 2－16)=0?3x －4y －20=0∴所求的两圆内公切线的方程为：3x －4y －20=0
例10：已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，
1.求证：无论m 取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标.
2.求过两直线x -2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线L 的方程.
(1)过点(2,1)(2)和直线3x-4y+5=0垂直.
3.过点P （3，1）作曲线C ：x 2+y 2﹣2x=0的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（
）A ．2x+y ﹣3=0B ．2x ﹣y ﹣3=0C ．4x ﹣y ﹣3=0D ．4x+y ﹣3=0
4.对于任意实数λ，曲线（1+λ）x 2+（1+λ）y 2+（6﹣4λ）x ﹣16﹣6λ=0恒过定点
5.求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝0和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝0交点和坐标原点的圆的方程．
6.求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程.
.
)0,2(),3,1(02024.722的圆的方程且过切于求与圆B A y x y x --=---+8.求过两圆225x y +=和22
(1)(1)16x y -+-=的交点且面积最小的圆的方程。
9.求经过直线l ：2x ＋y ＋4＝0与圆Ｃ：2
2y x ＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程．10.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 过点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得圆C 与直线x+y+a =0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．
11.已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.
（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.
12.已知圆C ：x 2+y 2+4x ﹣2y+a =0，直线l ：x ﹣y ﹣3=0，点O 为坐标原点．（1）求过圆C 的圆心且与直线l 垂直的直线m 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求实数a 的值．
13.已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线相切．（1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线x=8上，过P 点引圆C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试问，直线AB 是否过定点，若过定点，请求出；若不过定点，请说明理由．
1.??
? ??25,27 2.（1）x+2y-4=0，（2）4x+3y-6=0；
3.解：方程x 2+y 2﹣2x=0①可化为（x ﹣1）2+y 2=1，即曲线C 是一个圆，记圆心为C ．
因为PA ，PB 分别切圆C 于A ，B ，所以P ，A ，B ，C 四点在以PC 为直径的圆
即x 2+y 2﹣4x ﹣y+3=0②上，两圆公共弦所在直线即为所求，由①﹣②，得直线AB 的方程为2x+y ﹣3=0．故选：A ．
4.解：曲线（1+λ）x 2+（1+λ）y 2+（6﹣4λ）x ﹣16﹣6λ=0可化为（x 2+y 2+6x ﹣16）+λ（x 2+y 2﹣4x ﹣6）=0，∴x 2+y 2+6x ﹣16=0且x 2+y 2﹣4x ﹣6=0，可得恒过定点．故答案为：．
5.解：由题可设所求圆的方程为：（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０∵（0，0）在所求的圆上，∴有－2＋λ＝０．
从而λ＝２故所求的圆的方程为：0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x 即2277y x +＋7x ＋y ＝０。6.解:构造方程x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy -(4+28λ)=0
此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为13,13(λλλ+-+-
当该圆心在直线x -y -4=0上时,即.7,041313-==-+++-λλ
λλ得∴所求圆方程为x 2+y 2-x+7y -32=0.
02018477,7
8)0,2(0)1543(202401543)3,1(.72222=-+-+==+++---+=++--y x y x y x y x y x y x A 所以所求圆方程为得，代入。与已知圆构造圆系
的圆的切线为解：过λλ8.解：圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的公共弦方程为22110x y +-=过直线22110x y +-=与圆225x y +=的交点的圆系方程为2225(2211)0x y x y λ+-++-=，即
2222(1125)0x y x y λλλ+++-+=依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(,)λλ--必在公共弦所在直线22110x y +-=上。即22110λλ--+=，则
114λ=-代回圆系方程得所求圆方程22111179(()448x y -+-=9.解：设圆的方程为：22y x +＋2x －4y ＋1＋λ（2x ＋y ＋4）＝0即22y x +＋y
x )4()1(2-++λλ＋（1＋4λ）＝0则[]
5458(45)41(4)4()1(4412222+-=+--++=λλλλr ，当λ＝58时，2r 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：2255y x +＋26x －12y ＋37＝０10.解：（Ⅰ）设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，把点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）分别代入，得：
，解得D=﹣6，E=8，F=7，∴圆C 的方程为x 2+y 2﹣6x+8y+7=0．
（Ⅱ）过直线+0x y a +=与圆22
6870x y x y +-++=的交点的圆系方程为：22687()0x y x y x y a λ+-+++++=，即22(6)(8)7+0x y x y a λλλ++-+++=①
依题意，O 在以AB 为直径的圆上，则圆心68(,)22λλ-+--显然在直线0x y a ++=上，则68022
a λλ-+--+=，解之可得+1a λ=，又(0,0)O 满足方程①，07=+a λ，故072=+-a a 无解，故不存在a ，使得OA ⊥OB 。
【参考答案】
11.解：（1）证明：l 的方程可化为（x +y －4）+m （2x +y －7）=0.∵m ∈R ，∴27040x y x y +-=??+-=?，得31x y =??=?
，即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径），∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于
两点.（2）弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－12
，∴l 的方程为2x －y －5=0.12.解：（1）由题意得，C （﹣2，1），k l =1，由m ⊥l 得，k m ?k l =﹣1，∴k m =﹣1．∵直线过圆心（﹣2，1），∴直线m 的方程为x+y+1=0．
（2）过直线30x y --=与圆22
420x y x y a ++-+=的交点的圆系方程为：2242(3)0x y x y a x y λ++-++--=，即22(4)(2)30x y x y a λλλ+++-++-=①
依题意，O 在以MN 为直径的圆上，则圆心4+2(,)22λλ+-显然在直线30x y --=上，则423022
λλ++---=，解之可得6λ=-，又(0,0)O 满足方程①，则30a λ-=，故18a =-。13.解：（1）依题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r ，∴r=d==2，∴圆C 的方程为x 2+y 2=24①；
（2）连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是圆C 的两条切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴A ，B 在以OP 为直径的圆上，设点P 的坐标为（8，b ），b ∈R ，则线段OP 的中点坐标为（4，），∴以OP 为直径的圆方程为（x ﹣
4）+（y ﹣）2=16+，②∵AB 为两圆的公共弦，∴①﹣②得：直线AB 的方程为8x+by=24，b ∈R ，即8（x ﹣3）+by=0，则直线AB 恒过定点（3，0）．
高一数学圆的方程经典例题
典型例题一 例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 343322 1=+-?+?=d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?=d ． ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个． 显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1． 到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 典型例题三 例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 124-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为： 23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C
(推荐)高中数学直线与方程知识点总结
直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，
如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2