全等三角形和角平分线专题讲解

C

E O D B

A

2

1C E D

B

A 2143

C O B A

全等三角形专题讲解

专题一 全等三角形判别方法的应用

专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”，“边边边”） 2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”，“边角边”） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”，“角边角”） 4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”，“角角边”）

而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”, “斜边、直角边”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．

三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？

（1）条件充足时直接应用

在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．

例1 已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．

分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90o，

∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC 为公 共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又

∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ．

所以图中全等的三角形一共有4对．

（2）条件不足，会增加条件用判别方法

此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．

例2 如图，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____． 分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2， 所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ．

要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE

即可；

根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ．

故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ．

（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时， 当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系， 使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．

例3 已知：如图，AB=AC ，∠1=∠2．

求证：AO 平分∠BAC ．

G

A B F D E C O

D

A C

B 要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两

个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．

证明：连结BC ．

因为AB=AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．

因为∠1=∠2，所以∠ABC -∠1＝∠ACB -∠2． 即∠3=∠4，所以BO=CO ．

因为AB=AC ，BO=CO ，AO=AO ， 所以△ABO ≌△ACO ．

所以∠BAO=∠CAO ，即AO 平分∠BAC ．

（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法

有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．

例4 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90o，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接

DF ．

求证：∠ADC=∠BDF ． 证明：过B 作BG ⊥BC 交CF 延长线于G ， 所以BG ∥AC ．所以∠G=∠ACE ．因为AC ⊥BC ， CE ⊥AD ，所以∠ACE=∠ADC ．所以∠G=∠ADC ．

因为AC=BC ，∠ACD ＝∠CBG=90o，所以

△ACD ≌△CBG ．所以BG=CD=BD ．因为∠CBF=∠GBF=45o，BF=BF ，所以△GBF ≌△DBF ．所以∠G=∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．

说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．

（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法

新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．

例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒

(1)画出测量图案﹒

(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）

(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒

分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．

解：(1)如右图示．

(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的

延长线上取一点D ，并测

得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．

(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．

又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ． ∴CD=AB=a ．

评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生

F

C

E

D

B

A C

E

D

B

A

A O

Q M C

P

B

N A D C P

B

H

F E

G

A

D C

B

A

学生用数学的意识﹒

练习：

1．已知：如图，D 是△ABC 的边

AB 上一点，AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 求证：AE=CE ．

2．如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点

D 在A

E 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ． 求证：BD=CD ．

3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种 方法：如图所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ， 再取PM=QN ，连接PN 、QM ，得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？

4．如图，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作 GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的 延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图中找出3

对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．

5．已知：如图，点C 、D 在线段

AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图 中存在全等三角形，并给予证明．

所添条件为__________，你得到的一 对全等三角形是△_____≌△_____．

6．如图，∠A=∠D ，BC=EF ，那么需要 补充一个直接条件_____（写出一个即可），才能

A

D C

B

A

O

D

C

B

A

F

C

G

B

E

A

F D

C

B E

7．如图，在△ABD和△ACD中，

AB=AC，∠B=∠C．

求证：△ABD≌△ACD．

8．如图，直线AD与BC相交于点O，

且AC=BD，AD=BC．

求证：CO=DO．

9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别

为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF

交BC于G．求证：EG=GF．

10．已知：如图，AB=AE，BC=ED，

点F是CD的中点，AF⊥CD．

求证：∠B=∠E．

11．如图，某同学把一把三角形的玻璃

打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小

形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）

(A)带①和②去 (B)带①去

(C)带②去 (D)带③去

12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并

4

3O E D

C B A 21F E

D C B

A 21

13．如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O 连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则A' B'的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△OAB 的理由是（ ）

（A ）边角边 （B ）角边角 （C ）边边边 （D ）角角边

专题二 角的平分线

从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．

（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等

例6 如图，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，

BD ⊥OA 于D ，交点为C ．

求证：AC=BC ．

证法：∵AE ⊥OB ，BD ⊥OA ，∴∠ADC=∠BEC=?90． ∵∠1＝∠2，∴CD=CE ． 在△ACD 和△BCE 中，

∠ADC=∠BEC ，CD=CE ，∠3＝∠4． ∴△ACD ≌△BCE(ASA)，∴AC=BC ．

说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证

明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法．

例7 已知：如图，△ABC 中，BD=CD ，∠1＝∠2． 求证：AD 平分∠BAC ．

证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ． 在△BED 与△CFD 中，∠1＝∠2，∠BED ＝∠CFD ＝?90，BD=CD ，

∴△BED ≌△CFD(AAS)．

∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ． 说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．

（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段

例8 如图，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．

A F

H D C

G B E

A D C

B E A F D

C B E C

E

B

A D

点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．

证明：过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，作EG ⊥BC ，垂足为G ，作EH ⊥CD ，垂足为H ． ∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ， ∴EF=EG ．同理EG =EH ．∴EF=EH ． ∵AB ∥CD ，∴∠FAE=∠D ． ∵EF ⊥AB ，EH ⊥CD ，∴∠AFE=∠DHE=90o．

在△AFE 和△DHE 中，∠AFE=∠DHE ，EF=EH ，∠FAE=∠D ． ∴△AFE ≌△DHE ．∴AE=ED ．

②以角的平分线为对称轴构造对称图形

例9 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ． 求证：AB=AC+CD ．

分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．

证明：在AB 上截取AE=AC ，连接DE ． ∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠CAD ． 在△EAD 和△CAD 中，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ，AE=AC ， ∴△EAD ≌△CAD ．∴∠AED=∠C ，CD=DE ．

∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ．

∵∠AED=∠B+∠EBD ，∴∠B=∠EDB ． ∴BE=ED ．∴BE=CD ．

∵AB=AE+BE ，∴AB=AC+CD ．

③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线

例10 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．

分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F ， 即可构造全等三角形．

证明：延长CE 交AB 于点F ．

∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ． ∵CE ⊥AD ，∴∠FEA=∠CEA=90o．

在△FEA 和△CEA 中，

∠FAE=∠CAE ，AE=AE ，∠FEA=∠CEA ．

∴△FEA ≌△CEA ．∴∠ACE=∠AFE ．

∵∠AFE=∠B+∠ECD ，∴∠ACE=∠B+∠ECD ．

（3）利用角的平分线构造等腰三角形

如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作

DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线， 构造等腰三角形．

例11 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．

求证：CD=

2

1

BE ． 1

C

F E B

A

D

Q

P

C

B

A

C

B A

D 然后再证明CD 与这两条线段都相等． 证明：过点D 作DF ∥AB 交BC 于点F ． ∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2．

∵DF ∥AB ，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC ． ∴∠2=∠3，∴DF=BF ．

∵DE ⊥BD ，∴∠2+∠DEF=90o，∠3+∠5=90o． ∴∠DEF=∠5．∴DF=EF ． ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ． ∴∠4=∠C ，CD=DF ． ∴CD=EF=BF ，即CD=

2

1

BE ．

练习：1．如图，在△ABC 中，∠B=90o， AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F ，DE=DC ．

求证：BE=CF ．

2．已知：如图，AD 是△ABC 的中线，

DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：

（1）AD 是∠BAC 的平分线； （2）AB=AC ．

3．在△ABC 中，∠BAC=60o，∠C=40o，

AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ．

求证：AB+BP=BQ+AQ ．

4．如图，在△ABC 中，AD 平分 ∠BAC ，AB=AC+CD ．

求证：∠C=2∠B ．

C

E

B

A D C

B A

D

43

2

1C E

B

A

D

C

E

B

A

D

C

B

A

D

5．如图，E 为△ABC 的∠A 的平分线 AD 上一点，AB ＞AC ．

求证：AB -AC ＞EB -EC ．

6．如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ， AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 求证：∠A+∠C=180o．

7．如图所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交 BC 于点C ．

求证：AD+BC=AB ．

8．已知，如图，△ABC 中，∠ABC=90o， AB=BC ，AE 是∠A 的平分线，CD ⊥AE 于D ．

求证：CD=

2

1

AE ．

9．△ABC 中，AB=AC ，∠A=100o， BD 是∠B 的平分线．

求证：AD+BD=BC ．

A

C

B D A

C

F E B M

D

10．如图，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ， 过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点 E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6

11．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点． 求证：AB=AC ．

12．已知：如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ， 交CA 的延长线于F ． 求证：BM=CF ．