线段之和最短问题

一．常见数学模型：

1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

3. 如图，直线

和

的异侧两点A 、B ，分别在直线

、

上求作一点P 、Q 两点，

使AP+PQ+QB 最小。 4. 如图，直线

的同侧两点A 、B ，分别在直线

上求作一点P 、Q 两点，且PQ=a ，

使AP+PQ+QB 最小。

l 2

l 1B

l 1

5.如图，点P 是∠MON 的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 使△PAB 的长最小。

6.如图，点P ，Q 为∠MON 的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形PAQB 的长最小。

为便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”

5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小

6. .如图，点A 是∠MON 的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小

为便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”

练习题

1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．

3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR长的最小值．

4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

C B

5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；

(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?

(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +(12-x)2+9 的最小值

6．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面长18厘米，在杯口壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

7．著名的大峡谷()A和世界级自然保护区星斗山()B位于笔直的沪渝高速公路x同侧，50km

AB A

，、B到直线x的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．如果拟建的到高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线y的距离为30km，请你在x旁和y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的长最小．并求出这个最小值．

A B

8．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．

9．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值

10．如图，四边形ABCD 是正形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；

⑵ ①当M 点在处时，AM ＋CM 的值最小；

②当M 点在处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为 3 + 1 时，求正形的边长.

参考答案 1．在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n =______时，AC + BC 的值最小．点C （1，n ），说明点C 在直线x=1上，所以作点A 关于

直线x=1的对称点A'，连接A'B ，交直线x=1于点C ，则

AC+BC 的值最小

设直线A'B 的解析式为y=kx+b ，则 -2=-k+b 2=4k+b

解得：k = (4/5) b = - (6/5) 所以：y = (4/5)x-(6/5)

当x = 1时，y = -(2/5) 故当n = -(2/5)时，AC+BC 的值最小

E x

分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接P 1P 2，交OA 、OB 于点Q ，R ，连接OP 1，OP 2，则OP = OP 1 = OP 2 = 10 且∠P 1OP 2 = 90° 由勾股定理得P 1P 2 = 10 2

4．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。即是在直线AB 上作一点E ，使EC+ED 最小

作点C 关于直线AB 的对称点C'，连接DC'交AB 于点E ，则线段DC'的长就是EC+ED 的最小值。

在直角△DBC'中

DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'= 5

5．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接

AC 、EC 。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

Ｃ'ＡＣ