中考数学复习动点问题的解题技巧

知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．由比例式求出点C的坐标(

4

分线可得直线OC的解析式y＝x；联立方程组轻松解得点C的坐标(4

在运动中分析在静态中求解

动态几何问题已成为中考试题的一大热点题型．这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答，解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，本文以2014年江苏无锡卷

第28题为例，谈谈此类问题的思路突破与解题反思，希望能给大家一些启发．题目如图1，已知点A(2，0)，B(0，4)，∠AOB的平分线交AB于点C，一动点P 从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于点Q，作点P、Q关于直线OC的对称点M、N．设点P运动的时间为t(0

(1)求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）．

(2)设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．

①试求S关于t的函数关系式；

②在直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否

有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．

一、探求解题思路

1．利用基础知识轻松求解

由题意不难发现第1问是对基础知识的考查，有多种方法，考生可自行选择解法，

简解1可通过作辅助线，过点C作CF上x轴于点F，CE⊥y轴于点E，由题意，易

4

，)．

33简解2由点A、B的坐标可得直线AB的解析式y＝－2x＋4；由OC是∠AOB的平

4

，)．

33关于求点M、N的坐标，是对相似及对称性的考查，根据相似可得P(0，2t)，Q(t，0)，根据对称性可得M(2t，0)，N(0，t).这样，第1问轻松获解．

结合点 C 的坐标( 4 S = ? 1 ? t 2 - 2t + (1 < t < 2) 2．动静结合找界点，分类讨论细演算

第 2 问的第一小题中，所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论，这是本题的难点

之一；而关键是动静结合找界点，得出 t ＝1 时重叠部分的关系会发生变化，这是本题的难

点之二．解答时需动手画出草图，随着点 M 、N 的位置的变化，△MNC 的位置也随之发

生变化，△MNC 与△OAB 重叠部分的面积 S 也发生变化.S 可能会存在两种情形：①△OAB

将△MNC 全部覆盖；②△OAB 将△MNC 部分覆盖；点 M 从点 O 出发运动到点 A 时，即

t ＝1 时重叠部分的关系会发生变化，函数关系式也随之改变．

由 t ＝1 这个界点确定两个范围，以此界值进行分类讨论：

当 0

△S CMN ＝S 四边形 CMON －△S OMN .

4 ， )，可得 3 3

△S CMN ＝－t 2＋2t ；

当 1

OAB 将△MNC 部分

覆盖，则重叠部分面积为 S △CDN.

另一个关键是要用 t 的代数式表示 D 点的横坐标，即△BDN 的高，这是本题的难点之

三．

由 M (2t ，0)，N (0，t)可先用 t 的代数式表示直线 MN 的解析式 y ＝－ 1 2

x ＋t ． 8 - 2t 再结合直线 AB 的解析式 y ＝－2x ＋4，联立方程组，解出 D 点的横坐标为 ，则 3

重叠部分面积为

△S CDN ＝△S BDN －S △BCN

1 8 = t

2 - 2t +

3 3

综上所述，

?-t 2 + 2t (0 < y ≤ 1) ? 8 ? 3 3

由函数解析式及其自变量的取值范围可画出函数图象，观察图象可知，当t＝1时，S 有最大值，最大值为1．

二、规范解答问题

(1)如图2，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，由题意，易知四边形OECF 为正方形，设正方形边长为x．

∴OP＝2DQ．

∵P(0，2t)，∴Q(t，0).

∵对称轴OC为第一象限的角平分线，

∴对称点坐标为：M(2t，0)，N(0，t).

(2)①当0

当1

设直线MN的解析式为y＝kx＋b，将M(2t，0)、N(0，t)代入，得

?b = t

S = ? 1 ? t 2 - 2t + (1 < t < 2) ?2tk + b = 0 ?

综上所述，

?-t 2 + 2t (0 < y ≤ 1) ? 8 ? 3 3

②画出函数图象，如图 5 所示：

观察图象可知，当 t ＝1 时，S 有最大值，最大值为 1．

三、解题反思

1、关键的一步

本题在突破第 2 问时，能否得出 t ＝1 时重叠部分的关系会发生变化，这是决定性的一

步，否则就不知该如何分类讨论，解题就难以找到前进的方向．

2、解题难点

解决本题的主要困难首先是分类讨论，依据题意知点 P 运动的时间为 t(0

以确定点肘、N 运动过程中的三类点，即起点、界点（有的题中存在多个界点）和终点，

由界点值划分范围，确定分类标准（通常情况下，为了书写方便简洁，可将界点值归入动态的范围），然后进行分类计算（对于几何图形问题，通常需要根据相似、三角函数、勾

股定理以及图形面积建立方程等数学模型计算）．其次是重叠面积分类，当1

们面对的困难是如何对重叠部分的面积进行分割；如何用t的代数式表示点D的横坐标；得出△S CDN＝△S BDN－S△BCN也是比较困难的；再者分类后的计算，稍不注意也可能出错．

3、解题收获

解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解．

首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律．

其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察出各种可能的情况分类讨论，较为精确地将每种情况一一呈现出来．再次，要学会将动态问题静态化，即将动态情境化为几个静态的情境，从中寻找两个变量间的关系，用相关字母去表示几何图形中的长度、点的坐标等，很多情况下是与三角形的相似和勾股定理等联系在一起的，在整个解题过程中，要深刻理解分类讨论、数形结合、化归、相似等数学思想．