2009年全国高考理科数学试题及答案-全国1卷1

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2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）

一、选择题

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[u （A

B ）中的元素共有

（A ）3个（B ）4个（C ）5个（D ）6个（2）已知

＋=2+I,则复数z= （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式

X X +-＜1的解集为（A ）｛x }

{}011x x x ??? (B){}01x x ??

（C ）{}10x x -?? (D){

}0x x ?

(4)设双曲线22221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2

+1相切，则该双曲线的离心率等于

（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6

(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同

学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种（B ）180种（C ）300种 (D)345种（6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -?-的最小值为

（A ）2-（B ）22- （C ）1- (D)12-

（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为

（A ）

34（B ）54 （C ）74 (D) 34

（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??

???

，0中心对称，那么π的最小值为（A ）

6π （B ）4π （C ）3π (D) 2

(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

（10）已知二面角α-l-β为600

，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为

23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为

(A)2 (B)2 (C) 23 (D)4

（11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数

（12）已知椭圆C: 2

212

x y +=的又焦点为F ，右准线为L ，点A L ∈,线段AF 交C 与点B 。若3FA FB =,则AF =

(A)2 (B)2 (C) 3 (D)3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） (13) 10

()x y -的展开式中，7

x y 的系数与3

x y 的系数之和等于 . (14)设等差数列{}n a 的前n 项和为n s .若9s =72,则249a a a ++= .

(15)直三棱柱ABC -111A B C 各顶点都在同一球面上.若12,AB AC AA ===∠BAC =120，则此球的

表面积等于 . (16)若

＜X ＜

,则函数3

tan 2tan y x x =的最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

在?ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知

222a c b -=，且

sin cos 3cos sin A C A C =，求b.

18．（本小题满分12分）

上，∠ABM=600

.(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；

（Ⅱ）求二面角S —AM —B 的大小。

(19)(本小题满分12分)

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设ε 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ε 的分布列及数学期望。

（20）（本小题满分12分）

在数列{}n

a 中， 1111

112n n

n a a a n ?? ???’＋’＋＝＝＋

＋. ()I 设n

n a b n

＝

，求数列}{n b 的通项公式；

()II 求数列{}n a 的前n 项和n s .

21．（本小题满分12分）

如图，已知抛物线2

:E y x =与圆2

:(4)M x y r -+=(r ＞0）相交于A B C D 、、、四个点。

（I ）求r 的取值范围：

(II)当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线

A B C D 、、、的交点p 的坐标。

22．（本小题满分12分）

设函数3

()33f x x bx cx =++有两个极值点[][]12211,2.x x x ∈-∈，，0，且

（Ⅰ）求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b ，c ）和区域；

(Ⅱ)证明：1

102

-2≤f(x )≤-

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、选择题 (1)解：{3,4,5,7,8,9}A

B =，{4,7,9}(){3,5,8}U A B

C A B =∴=故选A 。

（2）解：(1)(2)13,13z i i i z i =+?+=+∴=- 故选B 。 (3) 解：验x=-1即可。

(4) 解：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'

0|2x x y

x ==.由题意有

2y x x =又2001y x =+ 解得: 2

201,2,1()5b b

x e a a

=∴

==+=. (5) 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112

536225C C C ??=种选法

(2) 乙组中选出一名女生有211

562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D

（6）解:

,,a b c 是单位向量()()

()a c b c a b a b c c

∴-?-=?-+?+

1||||12cos ,12a b c a b c =-+?=-<+>≥-故选D.

（7）解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知

113

co c s 4

os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠?=?=.故选D

（8）解:

函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??

???

，0中心对称 4232k ππφπ∴?

+=+13()6

k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6π

φ=.故选A

(9) 解:设切点00(,)P x y ，则0000ln 1,()y x a y x =+=+,

又

0'01

|1x x y x a

00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B

（10）解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于

B C A 1

PD l D ⊥于，连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=?则 23,3AQ BP ==，2AC PD ∴==

又

2221223PQ AQ AP AP =+=+≥

当且仅当0AP =，即A P 点与点重合时取最小值。故答案选C 。（11）解:

(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，

∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函

数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。故选D 12.解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故

||3

BM =

.又由椭圆的第二定义,得222||233BF =

?=||2AF ∴=.故选A 二、填空题：

13.解: 373

101010()2240C C C -+-=-=-

14.解:

{}n a 是等差数列,由972S =,得599,S a ∴=58a =

∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==.

15.解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,可得23BC =,由正弦定理,可得ABC ?外接圆半径

r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '?中，易得球半径5R =

，故此球的表面积为

2420R ππ=.

16.解:令tan ,

x t =14

x t π

∴>,

443

222tan 2222

tan 2tan 81111111tan 1()244

x t y x x x t t t t ∴=====≤=------- 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）解法一：在ABC ?中

sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理

有:222222

3,a b c b c a a c +-+-?

=?化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知

222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 解法二:

由余弦定理得:

2222cos a c b bc A -=-.

又 2

2a c b -=,0b ≠。

所以 2cos 2b c A =+…………………………………① 又 sin cos 3cos sin A C A C =，

sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=

sin()4cos sin A C A C +=，

即sin 4cos sin B A C =

由正弦定理得sin sin b

B C c

，故 4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =。 18．解法一：

（I ）作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD ，连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形作MF AB ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形设ME x =，则SE x =，222(2)2AE ED AD x =

+=-+

2(2)2,2MF AE x FB x ==-+=-

由2

tan 60,(2)23(2)MF FB x x =?-+=-。

得解得1x =，即1ME =，从而1

ME DC =，所以M 为侧棱SC 的中点（Ⅱ）222MB BC MC =

+=，又60,2ABM AB ∠==,所以ABM ?为等边三角形，

又由（Ⅰ）知M 为SC 中点

2,6,2SM SA AM ===，故222,90SA SM AM SMA =+∠=

取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,BG AM GH AM ⊥⊥,由此知BGH ∠为二面角

S AM B --的平面角

22312223,,2222

BG AM GH SM BH AB AH =

====+= 所以2226

cos 23

BG GH BH BGH BG GH +-∠==-??

二面角S AM B --的大小为6

arccos()3

- 解法二:

以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设(2,0,0)A ，则(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C S （Ⅰ）设(0)SM MC λλ=?,则

2222

(0,

,),(2,,)1111M MB λλλλλ

-=++++ 又(0,2,0),,60AB MB AB =- 故||||cos 60MB AB MB AB ?=?

即

222

422(2)()()111λλλ

-=+++++ 解得1λ=，即SM MC = 所以M 为侧棱SC 的中点

（II ）由(0,1,1),(2,0,0)M A ，得AM 的中点211

(

,,)222

G 又231

(

,,),(0,1,1),(2,1,1)222

GB MS AM =-=-=- 0,0GB AM MS AM ?=?=

所以,GB AM MS AM ⊥⊥

因此,GB MS 等于二面角S AM B --的平面角

cos ,3||||

GB MS GB MS GB MS ?=

=-? 所以二面角S AM B --的大小为6

arccos()-

19．解：记i A 表示事件：第i 局甲获胜，i=3,4,5

j B 表示事件：第j 局乙获胜，j=3,4

（Ⅰ）记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利

因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

34345345B A A B A A A B A =?+??+??

由于各局比赛结果相互独立，故

34345345()()()()P B P A A P B A A P A B A =?+??+??

=34345345()()()()()()()()P A P A P B P A P A P A P B P A ++ =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 =0.648

（II ）ξ的可能取值为2，3 由于各局比赛结果相互独立，所以

3434(2)()P P A A B B ξ==?+?

=3434()()P A A P B B ?+? =3434()()()()P A P A P B P B ?+? =0.6×0.6+0.4×0.4 =0.52

(3)1(2)P P ξξ==-==1.0.52=0.48

ξ的分布列为

2 3 P

0.52

0.48

2(2)3(3)E P P ξξξ=?=+?=

=2×0.52+3×0.48 =2.48

20．解：（I ）由已知得111b a ==，且

12n n n

a a n n +=++ 即 112n n n

b b +=+

从而 211

2b b =+

3221

b b =+

……

111

(2)2n n n b b n --=+

≥ 于是 121111

......222n n b b -=++++

=11

2(2)2

n n --≥

又 11b = 故所求的通项公式1122

n n b -=- （II ）由（I ）知11

1(2)222

n n n n

a n n --=-

=-, ∴n S =11(2)2n

k k k k -=-∑111(2)2

n n

k k k k

k -===-∑∑

而

(2)(1)n

k k n n ==+∑,又1

k k k

-=∑

是一个典型的错位相减法模型，易得

111

2422n

k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1

242n n -++- 21．（I ）将抛物线2

:E y x =与圆2

:(4)(0)M x y r r -+=>的方程联立，消去2

y ，整理得

227160x x r -+-=．．．．．．．．．．．．．（＊）

抛物线2

:E y x =与圆2

:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.

由此得22122

12(7)4(16)070160r x x x x r ??=--->?

+=>??=->?

解得 215

16r <<

又 0r >所以 15

(

,4)2

r ∈ 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．

（II ）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理

本小题是一个较好的切入点。设E 与M 的四个交点的坐标分别为：

11(,)A x x 、11(,)B x x -、22(,)C x x -、22(,)D x x 。

则直线AC BD 、的方程分别为

11112121

(),()x x x x y x x x y x x x x x x x --+-=

?-+=

?---

解得点P 的坐标为12(,0)x x 设12t x x =

，由216t r =-及（I ）知702

t <<

由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积

211221121

2||()||()2

S x x x x x x x x =??-+=-+

则2212121212[()4](2)S x x x x x x x x =+-?++ 将12127,x x x x t +==代入上式，并令2

()f t S =，得

()(72)(72)(0)2

f t t t t =+?-<<

求导数'

()2(72)(67)f t t t =-+?-

令'

()0f t =，解得77

,62

t t =

=-（舍去）当706

t <<时，'()0f t >；76t =时，'

()0f t =；

t <<时，'()0f t < 故当且仅当7

t =时，()f t 有最大值，即四边形ABCD 的

面积最大，故所求的点P 的坐标为7

(,0)6

22.解（I ）()2

363f x x bx c '=++

依题意知，方程()0f x '=有两个根12x x 、，

1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈等价于()10f '-≥，

()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，

由此得b 、c 满足的约束条件为

2102144

c b c c b c b ≥-??≤?

≤--??≥--? 满足这些条件的点(),b c 的区域为图中阴影部分，

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标()3

222233f x x bx cx =++中的b ，（如果消 c 会较繁琐）再利用2x 的范围，

并借助（I ）中的约束条件得[2,0]c ∈-进而求解，有较强的技巧性。解：由题设知()22223630f x x bx c '=++=，故22211

bx x c =-

- 于是()3

3222222133322

f x x bx cx x x =++=-

+ 由于

2[1,2]x ∈，而由（Ⅰ）知0c ≤，故

213

43()22

c f x c -+≤≤-+

又由（Ⅰ）知[2,0]c ∈- 所以 2110()2

f x -≤≤-