中考数学直角三角形的边角关系(大题培优易错难题)附详细答案

一、直角三角形的边角关系

1．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；

（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）

【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截.

【解析】

【分析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；

（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．

【详解】

（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ?????∠=-∠-∠=--=.

在Rt ABC V 中，sin AC B AB =，所以3sin 3725155

AC AB ?=?=?=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.

（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM V 中，4sin 15125

CM AC CAM =?∠=?=，3cos 1595

AM AC CAM =?∠=?=. 在Rt ADM △中，tan MD DAM AM

∠=，所以tan 7636MD AM ?=?=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =+=+==-=，.

设缉私艇的速度为v海里/小时，则有24917

=，解得617

v=.

经检验，617

v=是原方程的解.

答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，

∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：

（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数．

（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．

（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．

【答案】（1）∠BME=15°；

（2BC=4；

（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，

当h≥2时，S=18﹣3h．

【解析】

试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；

（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；

（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．

试题解析：解：（1）如图2，

∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．

∴OA=OB，

∴∠OAB=45°，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OCE=60°，

∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，

∴∠BME=∠CMA=15°；

如图3，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OBC=∠DEC=30°，

∵OB=6，

∴BC=4；

（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，

∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，

∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，

∵△CMN∽△CED，

∴，

解得FM=4﹣，

∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，

S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．

考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形

3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．

（1）求证：△ABC∽△BCD；

（2）求x的值；

（3）求cos36°-cos72°的值．

【答案】(1)证明见解析；（2）

；（3）

．

【解析】

试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；

（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；

（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．

试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；

（2）∵∠A=∠ABD=36°，

∴AD=BD，

∵BD=BC，

∴AD=BD=CD=1，

设CD=x，则有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，

∴AB BC BD CD

，即

=，

整理得：x2+x-1=0，

解得：x1=

，x2=

（负值，舍去），

则x=

；

（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，

∵BD=CD，

∴E为CD中点，即15

在Rt△ABE中，cosA=cos36°=

151

，

在Rt△BCE中，cosC=cos72°=

==，

则cos36°-cos72°=

．

【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．

4．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．

（1）AE的长为 cm；

（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；

（3）求点D′到BC的距离．

【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．

【解析】

试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：

∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．

∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．

∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．

（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．

（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则

∠D′B G=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．

试题解析：解：（1）．

（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，

∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．

∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．

∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．

∴点E，D′关于直线AC对称．

如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．

∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，

∴，即DP+EP最小值为12cm．

（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，

∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，

∵AE=EC，∴AD′=CD′=．

在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′

（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．

设D′G长为xcm，则CG长为cm，

在Rt△GD′C中，由勾股定理得，

解得：（不合题意舍去）．

∴点D′到BC边的距离为cm．

考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．

5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？

（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．

（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，

△CPD是等腰三角形？

【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.

【解析】

试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.

（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.

（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．

试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm

∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.

（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm

∴t=s=3s．

（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，

则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1

∴BM=cm.∴t=s.

当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，

设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，

∵AD=AH+DH=x+x=x=4，

∴x=3．

当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．

当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2

∴S关于t的函数关系式为：.

（3）分两种情况：

①∵当DP=PC 时，易知此时N 点为DC 的中点，∴MN=6cm

∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s

故当t=9s 的时候，△CPD 为等腰三角形；

②当DC=PC 时，DC=PC=12cm

∴NC=6cm

∴EN=16cm ﹣1cm ﹣6cm=（15﹣6）cm

∴t=（15﹣6）s

故当t=（15﹣6）s 时，△CPD 为等腰三角形．

综上所述，当t=9s 或t=（15﹣6

）s 时，△CPD 为等腰三角形．考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.

6．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是?AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．

（1）求证：△PAC ∽△PDF ；

（2）若AB ＝5，??AP BP

=，求PD 的长．

【答案】(1)证明见解析；（2310 【解析】

【分析】（1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到??AD

AC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；

（2）连接OP ，由??AP

BP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝BC AC ，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP GE ED

=，然后根据勾股定理即可得到结果．

【详解】

（1）证明：连接AD ，

∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴??

AD AC

=，

∴∠ACD＝∠B＝∠ADC，

∵∠FPC＝∠B，

∴∠ACD＝∠FPC，

∴∠APC＝∠ACF，

∵∠FAC＝∠CAF，

∴△PAC∽△CAF；

（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝15 22 AB=，

∵??

AP BP

=，

∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝2BC，

∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝BC

，

∴

2 CE BE

AE CE

==，

∴AE＝4BE，

∵AE+BE＝AB＝5，

∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，

∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，

∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，

∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED

=，

∴

2.5

2 OE GE OP

GE CE

==，

∴GE＝2

3，OG＝

，

∴PG

5 6 =，

3 =，

∴PD＝PG+GD

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG ∽△EDG 是解题的关键．

7．如图①，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA ，试求5PA+4PC 的最小值；

（3）如图②，若直线l 经过点T （﹣4，0），Q 为直线l 上的动点，当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式．

【答案】（1）233384y x x =-

++；（2）5PA+4PC 的最小值为18；（3）直线l 的解析式为334y x =+或334

y x =--. 【解析】

【分析】

（1）设出交点式，代入C 点计算即可（2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，易证△CDP ∽△COB ，得到比例式

PC PD BC OB =，得到PD=45PC ，所以5PA+4PC ＝5（PA+45

PC ）＝5（PA+PD ），当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小，利用等面积法求出AE=

185，即最小值为18 （3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°，即

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)附详细答案

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优易错难题)附详细答案