概率论与数理统计B考试大纲(带公式)讲解

概率论与数理统计B

考试大纲

第2章描述统计学

1.样本均值、样本方差、样本标准差的计算；

2.样本中位数、分位数；

先对数据按从小到大排序。如果np不是整数，则第[np]+1个数据是100p%分位数。如果np 是一个整数，那么100p%分位数取第[np]和第[np]+1个值的平均值。特别地，中位数是50%分位数。

3.样本相关系数。

，

第3章概率论基础

1. 样本空间，事件的并、交、补，文图和德摩根律；

，

2. 概率的定义、补事件计算公式、并事件计算公式；

对于任何的互不相交事件序列，

3. 等可能概型的计算，排列和组合；

4. 条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；

，

5. 事件独立性及其概率的计算。

第4章随机变量与数学期望

1. 随机变量的分布函数及其性质；

2. 离散型随机变量的概率质量函数及其性质，有关概率的计算；

离散型随机变量：取值集合有限或者是一个数列x i, i=1,2, …。

概率质量函数：，

3. 连续型随机变量的概率密度函数及其性质，有关概率的计算；

连续型随机变量：随机变量的可能的取值是一个区间。

概率密度函数f(x)：对任意一个实数集B有

,

,

4 二维随机变量的联合分布函数、联合质量函数、联合密度函数，有关概率的计算；

,

,

5. 随机变量的独立性，有关概率的计算；

随机变量X与Y独立: ;

分布函数

离散型

连续型

6. 怎样求连续型随机变量函数的密度函数（先求分布函数，再求导）；

Y=g(X)

7. 数学期望（离散型，连续型），函数的数学期望（离散型，连续性）；

离散型

连续型

8. 数学期望的性质

，

当X与Y独立时，E[XY]=E[X] E[Y]

9. 方差和它的性质

；

；

当X与Y独立，，

10 协方差、相关系数，有关性质；

Corr(X,Y)=1或-1，当且仅当X和Y线性相关，即P(Y=a+bX)=1 (当b>0, 相关系数为1; 当b<0, 相关系数为-1)

当X与Y独立时，X与Y不相关，即.

11. 切比雪夫不等式，弱大数定律，概率的频率意义。

切比雪夫不等式

弱大数定律：样本均值趋向于总体均值

频率趋向于概率

第五章特殊随机变量

1 伯努利实验和伯努利分布，数学期望和方差；

伯努利(Bernoulli)试验：在一次试验中，其结果可以归为``成功…?和``失败…?两类。

2. 二项分布：应用背景，概率质量函数，单调性，伯努利分解，可加性，数学期望和方差；应用背景：伯努利试验“成功”的概率每次都为p, 这样独立进行n次，那么“成功”的总次数X服从参数为(n, p)二项分布，记为X~B(n,p)。

单调性：P(X=i)当i<(n+1)p递增，当i>(n+1)p递减。

二项分布的伯努利分解：设X～B(n, p)，那么, 其中X

相互独立，且为相同

的伯努利分布.

可加性: 如果X与Y独立, 且X～B(n, p)，Y～B(m,p)，那么X+Y～B(n+m, p) 。

3. 泊松分布：应用背景，概率质量函数，单调性，数学期望和方差，可加性，二项分布的泊松近似；

应用背景: 根据二项分布的泊松近似，一段时间内某种随机事件发生的次数。

单调性：i < λ时递增，i > λ时递减。

泊松分布的可加性: 设X1和X2为相互独立的泊松随机变量，它们的均值分别为λ1和λ2, 那么X1+X2为均值是λ1+λ2的泊松随机变量。

二项分布的泊松近似：设X~B(n, p) 。当n很大p很小时，其分布近似于参数为λ =np的泊松分布

4. 均匀分布：应用背景，概率密度函数，数学期望和方差，二维均匀分布，有关概率的计算；

应用背景：随机变量X在区间[α, β]上等可能取值

概率密度函数：

，

二维均匀分布：

5. 正态分布：应用背景，概率密度函数及其对称性，数学期望和方差，标准正态分布N(0,1)，正态分布的标准化和概率计算，线性性质，独立和的性质，分位数及其对称性；

应用背景：根据中心极限定理，大量独立随机变量的和近似服从正态分布。

密度函数：X~ N(μ, σ2),

E[X]=μ, Var(X)=σ2

标准正态分布N(0,1)：

线性性质：正态随机变量的线性函数仍是正态分布。设X~ N(μ, σ2), 那么对任意a, b≠0, Y=a+bX~N (a+bμ, b2σ2).

特别地，，。

假设相互独立，且，则。

：。

标准正态分布Z的100(1- α)%(下)百分位数Z

对称性：z1-α= - zα

6. 指数分布：应用背景，概率密度函数，数学期望和方差，无记忆性，有关概率的计算；应用背景：如果单位时间内“事件发生”数是参数λ泊松分布（称为泊松过程），那么两次“发生”之间的间隔时间长度就是参数λ的指数分布。

概率密度函数：

无记忆性

7. 卡方分布：定义，可加性，分位数；

定义：若Z

, Z2, …, Z n相互独立, 且都服从N(0,1) ，则称其平方和

1

服从自由度n的χ2（卡方）分布。

可加性：当X1和X2分别为自由度为n1 和n2的χ2随机变量且相互独立时，则X1+X2服从自由度为n1+n2的χ2分布.

100(1- α)%百分位数 χ2α,n：

8. t-分布：定义，对称性，与N(0,1)的关系，分位数；

设Z～N(0,1), X～χ2n，Z和X独立，则称随机变量服从自由度n的t-分布。当n →∞，T n→N(0,1)

，

9. F分布：定义，分位数, 倒数性质。

设X和Y分别服从自由度为n和m的χ2分布，且相互独立，称服从自由度为n和m的F-分布。

，

第六章统计抽样的分布

1. 总体、样本及其观测值、统计量；

样本：若X1, X2, …, X n是独立随机变量, 且具有相同的分布F, 则称它们构成来自分布F的一个样本. n称为样本容量。样本的观测数据称为样本观测值x1, x2, …, x n

。

统计量：不含未知参数的样本函数。

2. 样本均值：定义，数学期望和方差；

设总体X(不一定是正态分布), E[X]=μ, Var(X)=σ2。样本X1, X2, …, X n。

样本均值，，

3. 中心极限定理：基本定理，二项分布的正态近似，样本均值的近似分布；

基本定理：设X1, X2, …, X n为独立同分布的随机变量序列, 并均具有均值μ和方差σ2(无

论分布类型是什么), 则对充分大的n （30以上），X1+X2+ …+ X n近似服从正态分布N(nμ,nσ2)。

二项分布的正态近似：设X~B(n,p), 对充分大的n（30以上）, X近似服从正态分布N(np, np(1-p))

样本均值的近似分布:设总体X(不一定是正态分布), E[X]=μ, Var(X)=σ2。样本X1, X2, …,

X n。当n充分大（30以上），近似有

4.样本方差：定义，数学期望；

样本方差,

样本标准差

5.正态总体：样本均值按N(0,1)（方差已知时）或t-分布（方差未知时），样本方差按卡方

分布，样本均值与样本方差独立.

定理: 设总体X~N(μ,σ2)。样本X1, X2, …, X n。则

(1) , (2) , (3)与S2独立，(4) 。

第七章参数估计

1. 估计量与估计值

参数估计：设总体分布为Fθ，其中θ为未知参数。样本X1, X2, …, X n，独立且与总体同分布。需要估计θ。

估计量：用来估计未知参数θ的统计量，记为

估计值：估计量的观察值

无偏估计量：

2. 极大似然估计：定义，似然函数，对数似然方程；

似然函数：若总体的密度函数（或质量函数)为f(x|θ), 其联合概率函数(称为似然函数)

极大似然估计: 求使得

对数似然方程

3. 伯努利分布、泊松分布、正态分布的极大似然估计；

贝努里分布：p的极大似然估计是观测数中成功的比例。

泊松分布极大似然估计。

正态分布N(μ,σ2)的极大似然估计：

正态分布方差σ2的无偏估计

4. 置信区间的定义；

参数θ的100(1-α)%置信区间满足

5. 正态总体均值的双侧置信区间（方差已知）；

6. 正态总体方差的双侧置信区间.

第八章假设检验

1. 假设检验的基本概念：原假设与备择假设，拒绝域构造原理，显著性水平，两类错误；原假设H0, 备择假设H1；

显著性检验：H1是否显著，以至于可以拒绝H0；

第一类错误——拒绝了正确的假设，第二类错误——接受了错误的假设；

显著性水平α=P(样本观测值落入拒绝域|H0真)=犯第一类错误的概率。

2. 方差已知时正态总体均值的Z检验(双侧，右侧，左侧);

双侧检验(临界值法或p值法)

左侧检验(临界值法或p值法) 右侧检验(临界值法或p值法)

3. 置信区间与拒绝域的关系；

若原假设落在未知参数的100(1-α)%的置信区间内，则在显著性水平α下，接受H0 ，否则拒绝H0。

4. 方差已知时两个正态总体均值相等的Z检验(双侧);

5. 方差未知但相等时两个正态总体均值相等的t检验(双侧);

6. 成对样本均值相等的t检验(双侧)；

令W i=Y i-X i化为关于W i的单样本检验: H0: μ=μ0, H1: μ≠μ0, (μ0=0)

7. 两个正态总体方差相等的检验。