椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)

椭圆与双曲线常见题型归纳

题型一：弦的垂直平分线问题

弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。

例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2y x =相交A 、B 两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂

直平分线的方程，得出E 点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的2

倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2(1)y k x y x

=+??=?消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ?=--=-+>即2104

k << ② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22211(,)22k k k

--。 线段的垂直平分线方程为：2

2

1112()22k y x k k k --=--

令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴211(,0)22

E k -到直线AB 的距离d 。

AB =Q 2k =g d ==

解得k =满足②式此时053

x =。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直

k 确定，进而求出0x 的坐标。 例题2、已知椭圆12

22

=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；

（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐

标的取值范围。

分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x 轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB 所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB 的方程求出中点的总坐标，再有弦AB 的斜率，得到线段AB 的垂直平分线的方程，就可以得到点G 的坐标。

解：(I) ∵a 2=2，b 2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O 、F,∴圆心M 在直线x=-上21 设M(-t ,2

1)，则圆半径：r =|(-21)-(-2)|=23 由|OM|=r ，得23)21

(22=+-t ，解得t=±2，∴所求圆的方程为(x+21)2+(y ±2)2=4

9. (II)由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不等于0,设直线AB 的方程为y=k(x+1)(k ≠0)，

代入2

2

x +y 2=1，整理得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0∵直线AB 过椭圆的左焦点F ， ∴方程一定有两个不等实根,设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点N(x 0，y 0)，

则x 1+x 1=-,12422+k k 2012212(),221k x x x k =+=-+002(1)21

k y k x k =+=+ ∴AB 垂直平分线NG 的方程为)(100x x k

y y --=-令y=0，得 22002222121C k k x x ky k k =+=-+++2221121242k k k =-=-+++∵.02

1,0<<-∴≠c x k ∴点G 横坐标的取值范围为（0,2

1-）。 技巧提示：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理，将弦的中点用k 表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB 的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k 的函数）。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。

练习1：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。 （Ⅰ）求椭圆方程；