函数复习之6-- 指数与对数的运算
函数复习之6 指数与对数的运算
一．课标要求
（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；
（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；
二．命题走向
指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
预测2009年对本节的考察是：
1．题型有两个选择题和一个解答题；
2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 三．要点精讲
1、整数指数幂的概念。
（1）概念：*)(N n a a a a a n ∈??= )0(10≠=a a *),0(1
N n a a
a n n ∈≠=-
n 个a
(2)运算性质： )
()(),()()
,(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈=?+
两点解释：① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=n m a -
② n b a )(可看作n
n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?=n n b
a
2、根式：
（1）定义：若),1(+∈>=N n n a x n 则x 叫做a 的n 次方根。
（2）求法：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数 记作：n a x =
② 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数） 记作：
n a x ±=
负数没有偶次方根 0的任何次方根为0
名称：n a 叫做根式 n 叫做根指数 a 叫做被开方数
（3）公式： ①a a n n =)( ；
②当n 为奇数时 a a n n =；
③当n 为偶数时 ???<-≥==)0()
0(a a a a a a n n
3、分数指数幂
（1）有关规定： 事实上，kn n k a a =)( 若设a >0,*),1(N n n n
m
k ∈>=
，m n
n m
n k a a a ==)()(由n 次根式定义, n a a m n
m 的是次方根，即：
n m n
m a a =
（2）同样规定：)1*,,0(1>∈>=
-n N n m a a
a
n
m n
m 且；0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义。
（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。
)
,0,0()(),,0()()
,,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r r s s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
4、对数的概念
（1）定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数。
①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；
②以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； （2）基本性质：
①真数N 为正数（负数和零无对数）； ②01log =a ；
③1log =a a ； ④对数恒等式：N a N a =log 。
（3）运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则
①log ()log log log log log ()a a a a a a MN M N M N MN =+?+=； ②log log log log log log a
a a a a a M M M N M N N N
=-?-=； ③log log ()log log n n a a a a M n M n R n M M =∈?=R ）。 ④b m
n
b a n a m log log =
（4）换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a 两个非常有用的结论①1log log =?a b b a ； 【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
(1) a f(x)=b ?f(x)=log a b, log a f(x)=b ?f(x)=a b ; （定义法）
(2) a f(x)=a g(x)?f(x)=g(x), log a f(x)=log a g(x)?f(x)=g(x)>0（转化法）
(3) a f(x)=b g(x)?f(x)log m a=g(x)log m b (取对数法)
(4) log a f(x)=log b g(x)?log a f(x)=log a g(x)/log a b(换底法) 四．典例解析 题型1：指数运算
例1．（1）计算：25.021
21
32
5.032
0625.0])32.0()02.0()008.0()9
4
5()833[(÷?÷+---；
（2）化简
3
2233--+
（3）化简：
533233
23
233
23
1
3
4)2(248a
a a a a
b a
a
ab b b a a ???-÷++--
。
（4）化简： 33
3
233
23
134)21(428a a
b b
ab a b a a ?-÷++-
例2．已知112
2
3x x
-+=，求
22332
2
23
x x x x
--+-+-的值。
题型2：对数运算 例3．计算
①2(lg2)lg2lg50lg25+?+； ②3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+；
③1
.0lg 2
1
036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2
3--+?。
④log 2
48
7+log 212-2
1log 242-1;
解：（1）原式＝22lg5lg2(1lg5)(lg2)2lg5lg2(1lg5lg2)2lg52lg22+?++=+++=+=
（2
）原式＝333
lg33lg 2)(1lg3)(lg32lg 21)
3222(lg31)(lg32lg 21)(lg31)(lg32lg 21)2
+--?+-==--?+--?+-
(3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83). （1）log 2
48
7+log 212-2
1log 242-1;
例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=
（1）求证：22log (1)log (1)1b c a c
a b +-+
++=； （2）若4log (1)1b c a ++=，82
log ()3
a b c +-=，求a 、b 、c 的值。
例5（1）已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示）
（2）设 1643>===t z y x 求证：y
x z 21
11=-
题型4：指数、对数方程
例6：解方程（1）()()
1123log 2122
=-+-x x x （2）()[]0log log log 432=x
例7．设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241R ），
（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；
（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。 . 【课前预习】
1、已知3234+?-=x x y 的值域为[1，7]，则x 的取值范围是
（ ）
A.［２，４］
B.)0,(-∞
C.]4,2[)1,0(
D.]2,1[)0,( -∞ 2、若,310,210==y
x
则=-2
310
y x
3、【08重庆卷13】已知1
2
4
9a =(a>0) ，则23
log a = . 【课外作业】
1.若0log log log log log log log log log 324243432===z y x ，则z y x ++的值为
A ．50
B ．58
C ．89
D ．111
（ ）
2、若273291=?---x x ，则x = ；
3、．如果函数)1,0(122≠>-+=a a a a y x x 在区间[-1，1]上的最大值是14，求a 的值。
4、设3
421lg )(a x f x x ?++=若]1,(-∞∈x 时)(x f 有意义，求实数a 的范围。
1.化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
;)
(6
5
3
1212
113
2b
a b a b a ????-
-
（2）
.)4()3(6
521
3321212
31----?÷-??b a b a b a 解 （1）原式=
.1006
531216
121316
5613
1212
131=?=?=
?-+-+--b a b a b a b a b a
（2）原式=-)(4
5)4(2523
31
361
21332
361
---
---÷-=?÷b a b a b a b a .45145452
323
21
ab ab
ab b a -=?-=?-=-- 2.已知3a =5b =A ,且b
a
11+=2，则A 的值是 .
答案
15
3.已知log 7［log 3(log 2x )］=0，那么x 2
1
-= .
答案
4
2
例1 计算：（1）);32(log 3
2-+
（2)2(lg 2
)2+lg
2·lg5+12lg )2(lg 2+-;
(3)
2
1lg 4932-34
lg 8
+lg
245.
解 （1）方法一 利用对数定义求值 设32log +（2-3
)=x , 则(2+
3
)x =2-
3
=
3
21+=（2+
3
）-1,∴x =-1.
方法二 利用对数的运算性质求解 32log + (2-3
)=3
2log +3
21
+=32log +(2+
3
)-1=-1.
(2)原式=lg 2（2lg
2
+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg
2
-1|
=lg
2
+(1-lg 2
)=1.
（3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821
+21lg245
=2
1 (5lg2-2lg7)-3
4×2
3lg2+2
1 (2lg7+lg5)
=25lg2-lg7-2lg2+lg7+
21lg5=21lg2+2
1
lg5 =2
1lg(2×5)= 2
1lg10=2
1. 1.化简求值. （1）log 2
48
7
+log 212-2
1log 242-1;
(2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25; (3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 解 (1)原式=log 248
7+log 212-log 2
42
-log 22
=log 2
.2
3
2
log 2
21log 2
42481272
322-===???- (2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.
(3)原式=(.4
5
2lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++
8．计算：（1）2lg 25lg 2lg50(lg 2)+?+；
（2
解：（1）原式＝22lg5lg2(1lg5)(lg2)2lg5lg2(1lg5lg2)2lg52lg22+?++=+++=+=
（2
）原式＝333
lg33lg 2)(1lg3)(lg32lg 21)
3222(lg31)(lg32lg 21)(lg31)(lg32lg 21)2
+--?+-==--?+--?+-
五．思维总结
1．b N N a a N a b n ===log ,,（其中1,0,0≠>>a a N ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；
2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；
3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；
《新课标》必修Ⅰ复习 第四讲 指数与对数的运算(答案详解) 【课前预习】
1、答案:D 先求出x 2范围再求x 的范围；
2、3
6
2 3、3
题型1：指数运算
例1． 解：（1）原式=4
1
32
21
32
)10000
625(]102450)81000()949()278[(÷?÷+-
922)2917(21]1024251253794[=?+-=÷??+-=； （2）原式=
3
3)33(2)
13(2)33(23
242)33(22
-+=
--+=
--+
=
6226
)
3612(2)
33)(33()33(22+=+=
+-+
（注意复习，根式开平方）
（3）原式=
5
131212
13231312
313
13
12
313
313
313
1)()
(2)
2()2()(])2()[(a a a a a
b a b b a a b a a ???-÷
+?+- 23
23
16
1653
13
13
131312)2(a a a a a
a b
a a
b a a =??=?
-?
-=。
（4）原式＝
a b
a b a a a b
a a
b
b a a b a a =--=
?-?
++-8)
8(242)8(3
13
13
13
13
23
13
13
23
1
点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。 例2． 解：∵112
2
3x x
-+=，
∴1
122
2()9x x -+=， ∴129x x -++=， ∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=， ∴2247x x -+=， 又∵331112
2
2
2
()(1)3(71)18x x
x x x x --
-+=+?-+=?-=，
∴
22332
2
2
472
3183
3
x x x x --+--=
=-+-。 点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2：对数运算
例3解：（1）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5=+++=+++
(11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=； （2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3
(
)()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg35
2lg36lg 24
=
?=； （3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++； 分母=4100
6
lg 26lg 101100036lg
)26(lg =-+=?-+； ∴原式=
4
3
。 点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。
例4． 证明：（1）左边2
22log log log ()a b c a b c a b c a b c
a b a b
+++-+++-=+=? 2222222
2222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====；
解：（2）由4log (1)1b c a ++
=得14b c
a
++=， ∴30a b c -++=……………①
由82
log ()3
a b c +-=得2
384a b c +-==………… ……………②
由①+②得2b a -=……………………………………③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=，
∵0a >， ∴430a b -=………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。
点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。 题型3：指对数式的简单应用
例5 （1） 解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 12
18
log 1818
∴log 18 2 = 1 - a ∵ 18 b = 5 ∴ log 18 5 = b ∴
a
b
a -+=
++==
22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 （2） 证：∵1643>===t z y x ∴ 6
lg lg 4lg lg 3lg lg t
z t y t x =
==
，， ∴ y
t t t t x z 21
lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11=
==-=- 题型4：指数、对数方程
例6： 解（1）2,00212123222-==?=+?-=-+x x x x x x x
但必须：???
????>-+≠->-012311201222
2x x x x ∴0=x 舍去 2-=x
（2）()1log log 43=x , ∴3log 4=x , 6443==x
例7． 解：（1）原方程为124+-=x x b ，
11)12(22)2(24221-≥--=?-=-+x x x x x ，
),1[+∞-∈∴b 当时方程有实数解；
（2）①当1-=b 时，12=x ，∴方程有唯一解0=x ； ②当1->b 时，b b x x +±=?+=-1121)12(2 .
b b x x ++=∴>++>112,011,02 的解为)11(log 2b x ++=；
令,0111011<<-?<+?>+-b b b
b b x +-=<<-∴112,01时当的解为)11(log 2b x +-=；
综合①、②，得
1）当01<<-b 时原方程有两解：)11(log 2b x +±=； 2）当10-=≥b b 或时，原方程有唯一解)11(log 2b x ++=；
3）当1-
点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，
二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。 【课外作业】
1. 答案: C 易得9,16,64===z y x ； 2、 -2 3、． 解析：()
()21122
2
-+=-+==t a a y x
a t x
x ，
（1）1>a 时，
a t a
≤≤1
二次函数2)1(2-+=t y 在],1
[a a
上单调递增，
∴142)1(2max =-+=a y ， ∴53-==a a 或（舍去），
（2）当10< ≤ ≤， 二次函数2)1(2-+=t y 在]1 ,[a a 上单调递增， ∴142)11 (2max =-+=a y ， ∴5 1 31-==a a 或（舍去）， 综上3 1 3或=a 。 评析：换元之后，函数解析式变了，函数定义域也变了，二次函数最值问题，一般先讨论开口方向，再讨论对称轴和区间的相对位置。 4、解：由已知得，当(]1,∞-∈x 时 03 421>?++x x a ，∴0124>++?x x a ∴x x a 214-->? ∴() ??? ?????-??? ??+-=???? ?? ??+-=-->412121212 1214122 x x x x x a (]1,∞-∈x ，∴?? ? ???+∞∈??? ??,2121x ， ∴432141-=-->a 。 指数函数与对数函数 [教学目标] 1、知识与技能 （1）梳理知识网络，建构知识体系． （2）熟练掌握指数函数、对数函数的定义、图像与性质． （3）熟练运用指数函数、对数函数的图像和性质解答问题． 2、过程与方法 （1）让学生通过复习对指数函数和对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络．（2）两种函数的图像和性质对比掌握,解决函数问题要做到数形结合． 3、情感．态度与价值观 使学生通过复习指数函数、对数函数的图像和性质，培养研究函数问题的思维方法,．[教学重点]:指数函数、对数函数的图像与性质 [教学难点]：指数函数与对数函数的性质． [课时安排]: 1课时 [学法指导]：学生动脑、动手总结规律,梳理知识． [讲授过程] 【建构知识网络】 指数函数的图像与性质 对数函数的图像与性质 （0，+∞） （0，+∞） R R 增函数 减函数 （1，0） （1，0） 例题: 一、定义域 例1．求下列函数的定义域（1）y =（2）4 12 1 2- = --x y 解:（1）要使函数有意义,须使2log (x 2)0 +≥,即22log (x 2)log 1+≥,因为函数 2y log x =为增函数,所以x 21,x 1+>∴>-,所以函数的定义域为{x |x 1}>- （2）要使函数有意义,须使x 1 x 121 2022,x 12,x 14 ------ ≥∴≥∴--≥-∴≤,所以函数的定义域为{x |x 1}≤ 练习1: 求下列函数的定义域（1）1y lg(x 3) =-;（2）2 2x y -= 二、值域 例2．求下列函数的值域 （1）x y -=215 （2） x y 21-= （3）13 y log (4x 5)=+ 分析:要求函数的值域,必须先求函数的定义域,要在函数的定义域范围内求出． 解:（1） 函数x y -=215 的定义域为{x |x 2}≠,指数 1 0x 2 ≠-,所以y 1≠,函数的值域为{y |y 0,y 1}>≠; （2）函数x y 21-=有意义,必须x x 12021x 0-≥∴≤∴≤,函数的定义域为(,0]-∞,因为x x 20,0121>∴≤-<,所以函数的值域为[0,1)． （3）13 y log (4x 5)=+要有意义,须使5 4x 50x 4 +>∴>-,函数的定义域为 5 {x |x }4 >-,此时真数4x 50+>,所以函数的值域为R 练习2: 求下列函数的值域（1） x y -? ?? ??=131 （2） 121-?? ? ??=x y （3）1y ln 5x =- 解:（1）函数x y -? ? ? ??=131的值域为()∞+， 0; （2）函数121-??? ??=x y 有意义,则x 110,x 02?? -≥∴≤ ??? 所以函数的定义域为 {x |x 0}≤,值域为[0,)+∞． （3）函数1y ln 5x =-要有意义,须使 1 0x 55x >∴<-,函数的定义域为{x |x 5}<,函数的值域为R ． 三、单调性 幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b， 其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 练习1 把下列指数式写成对数形式： 练习2 把下列对数形式写成指数形式： 练习3 求下列各式的值： 因为22=4，所以以2为底4的对数等于2． 因为53=125，所以以5为底125的对数等于3． 师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R． 师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．） 生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？ 生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1． 师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……． 练习4 计算下列对数： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4． 生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27． 生：10lg105=105． 生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线） 证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N． 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知 C 咨询电话：4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ：：： a ：：： 1两种不同情况。 1、指数函数： 定义：函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数，指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于X 轴上方； （1）X 取任何实数值时，都有 a X A0 ； （2）图象都经过点（0, 1）； （2）无论a 取任何正数，X = 0时，y = 1 ； （3） y — 2 ， y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 （3）当 a > 1 时，｛ →, X 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — ［的图象正好相反； 当 0 ca c1 时，< X ￡ 0 ,贝U a x A 1 k （4） y =2X ， y=10X 的图象自左到右逐渐 （4）当a >1时，y =a x 是增函数， 当0cac1时，y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ：：;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 ， y = 0 a =1 时，y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ，y =Iog a X 在 上升，y = f l］的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y=2x和y=10x相交于（0，1）， 的图象在y =2x的图象的上方，当X ：：：0 ,刚好相反，故有1 0 2. 22及10 ^ ：：： 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a tl = N（a . 0且a ■■ 1）,那么数b就叫做以a为底的对数，记作b = Iog a N （a是底数，N是 真数，log a N是对数式。） 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如: 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成 比较好办。 解：设Iog 0.32 X ■? 0 时，y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象，可以画出任意一个函数y = a 示意图，如y =3x的图象，一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间，且过点（0, 1）,从而y = X 也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就 第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数． 【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】 （一）选择题（共15题） 1.（安徽卷文7）设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾，选D 。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】 D 解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a 指数与对数函数 I 题型 一、利用指数和对数函数性质比较大小 1. （2010 3 52 2 53 2 52 ， ， c 的大小 安徽文）设 a （ ） , b （ ）， c （ ） ，则 5 5 5 a b 关系是（ ） A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 2、下列大小关系正确的是（ ） A. 0.42 30.4 log 4 0.3 ； B. 0.42 log 4 0.3 30.4 ； C. log 4 0.3 0.42 30.4 ； D. log 4 0.3 30.4 0.42 3、比较下列比较下列各组数中两个值的大小： （ 1） log 6 7 ， log 7 6 ； （ 2） log 5 3 ， log 6 3， log 7 3 ． 4. 设 a 0 3 , b log 3, c 1，则 a,b, c 的大小关系是（ ） A. a b c B. a c b C. b a c D. b c a 二、指数与对数运算 1、若 m ＝ lg5 － lg2 ，则 10m 的值是（ ） 5 B 、 3 C 、 10 D 、 1 A 、 2 1 2、 若 log 4 [log 3 (log 2 x)] 0 ，则 x 2 等于（ ） A 、 1 2 B 、 1 2 C 、 8 D 、 4 4 2 3、化简计算： log 2 1 · log 3 1 · log 5 1 25 8 9 4. 化简： log 2 5+log 4 0.2 log 5 2+log 250.5 5、已知 3a 2 ，那么 log 3 8 2log 3 6 用 a 表示是（ ） A 、 a 2 B 、 5a 2 C 、 3a (1 a) 2 D 、 3a a 2 6、 2log a ( M 2N ) log a M log a N ，则 M 的值为（ ） A 、 1 N B 、4 C 、 1 D 、 4 或 1 4 1 指数函数与对数运算 一、选择题 1.下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．3124 3)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3.对数式b a a =--)5(log 2中，实数a 的取值范围是 （ ） A ．)5,(-∞ B ．(2,5) C ．),2(+∞ D ． )5,3()3,2( 4.如果c b a x lg 5lg 3lg lg -+=，那么 （ ） A ．x =a +3b －c B ．c ab x 53= C ．53 c ab x = D ．x =a +b 3－c 3 5.已知指数函数()y f x =，且35 ()225 f -= ，则函数()y f x =的解析式是（ ） A 、32 y x = B 、5x y -= C 、5 y x = D 、5x y = 6.设123()4a -=，144()3b =，3 43 ()2 c -=则,,a b c 的大小顺序是 （ ） A c a b << B c b a << C b a c << D b c a << 7.为了得到函数13()3 x y =?的图象，可以把函数1()3 x y =的图象 （ ） A 向左平移3个单位长度 B 向右平移3个单位长度 C 向左平移1个单位长度 D 向右平移1个单位长度 8.函数13x y =-的定义域是（ ） A 、(,0]-∞ B 、(,1]-∞ C 、[0,)+∞ D 、[1,)+∞ 9. 若{} |2x M y y ==,{ } |1N x y x == -则M N = ( ) A {}|1y y > B {}|1y y ≥ C {}|0y y > D {}|0y y ≥ 10.函数?????>≤-=-0 ,0 ,12)(2x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （ ） A ．)1,1(- B ． ),1(+∞- C ．}20|{-<>x x x 或 D ．}11|{-<>x x x 或 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2. 函数且叫做指数函数 图象过定点，即当时，. 在上是增函数在上是减函数 变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质： 函数且叫做对数函数 图象过定点，即当时，. 在上是增函数在上是减函数 变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小. 指数函数习题 一、选择题 1．定义运算a ?b ＝??? ?? a (a ≤ b )b (a >b ) ，则函数f (x )＝1?2x 的图象大致为( ) 2．函数f (x )＝x 2 －bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系 是( ) A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )>f (c x ) D ．大小关系随x 的不同而不同 3．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2) 4．设函数f (x )＝ln [(x －1)(2－x )]的定义域是A ，函数g (x )＝lg(a x －2x －1)的定义域是B ，若A ?B ，则正数a 的取值范围( ) A ．a >3 B ．a ≥3 C ．a >5D ．a ≥ 5 5．已知函数f (x )＝????? (3－a )x －3，x ≤7， a x －6 ，x >7. 若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N * )，且{a n }是递 增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．[94，3) B ．(9 4，3) C ．(2,3) D ．(1,3) 6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围 是( ) A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[1 4，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，1 4)∪[4，＋∞) 二、填空题 7．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值是________． 8．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x 1，x 2](x 1 【教学设计中学数学】 区县雁塔区 学校西安市航天中学 姓名贾红云 联系方式 邮编710100 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计 一、设计理念 《普通高中数学课程标准》明确指出：“学生的数学学习活动，不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则；教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉等”。本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容，本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 二、教学目标 1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性； 2．能借助信息技术，利用函数图像和表格，对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较，体会它们增长的差异； 3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用，体会数学的价值. 三、教学重难点 教学重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。 教学难点：比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异 四、教学准备 ⒈提醒学生带计算器； ⒉制作教学用幻灯片； ⒊安装软件：几何画板 ，准备多媒体演示设备 五、教学过程 ㈠基本环节 ⒈创设情景，引起悬念 杰米和韦伯的故事 一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你 10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米说：“真的？！你说话算数？” 合同开始生效了，杰米欣喜若狂。第一天杰米支出一分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元；第四天，杰米支出8分钱，收入10万元…..到了第二十天，杰米共得到200万元，而韦伯才得到1048575分，共10000元多点。杰米想：要是合同定两个月、三个月多好！ 你愿意自己是杰米还是韦伯？ 【设计意图】创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标 ⒉复习旧知，提出问题 图1-1 图1-2 图1-3 ⑴ 如图1-1，当a 时，指数函数x y a =是单调 函数，并且对于0x >，当底数a 越大时，其 函数值的增长就越 ； ⑵ 如图1-2当a 时，对数函数log a y x =是单调 函数，并且对1x >时，当底数a 越 时 其函数值的增长就越快； ⑶ 如图1-3当0x >，0n >时，幂函数n y x =是增函数，并且对于1x >，当n 越 时，其函数值 漯河体校师生共用教学案【43】 高一必修一 科目：数学 执笔：张亚丽 审核：数学组 内容:第二章 基本初等函数 课型：复习 学法：议展点练 时间：2014-12-1 教学目标： 1．全面认识和理解指数函数、对数函数的概念与基本性质，了解五种幂函数；并且能够清晰明辨三类函数，弄清它们的区别与联系； 教学重难点： 1．会运用三种函数解决一些相关的实际问题以及较简单综合问题； 2．会利用方程函数、数形结合、转化等数学思想方法解决与三类初等函数有关的问题； 3．在解题过程中引导学生探究、提问，促使学生形成良好的学习习惯，养成积极向上的学习精神；通过对相关知识的简介，使学生了解数学问题的实际背景，从而增强学生学习数学的兴趣。 教学过程： 一、知识梳理： 二、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()10,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 指数与指数幂的运算 【学习目标】 1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算. 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理. 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数 与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1). 【要点梳理】 要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质 2.分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且 m n 为既约分数，分数指数幂可如下定义： 3．运算法则 当a ＞0,b ＞0时有： （1）n m n m a a a +=?； （2）()mn n m a a =； （3）()0≠>=-a n m a a a n m n m ，； （4）()m m m b a ab =. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-； (3)幂指数不能随便约分.如2 142 )4()4(-≠-. 要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义： 若x n =y(n ∈N * ，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y . n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ； n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n =. 2．两个等式 （1）当1n >且*n N ∈时， ()n n a a =； （2）???=)(||) (,为偶数为奇数n a n a a n n 要点诠释： ①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误． ②指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算． 负指数幂化为正指数幂的倒数． 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如 )，先要化成假分数（如15/4）， 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 指数函数与对数函数检测题 一、选择题： 1、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ） A 、510 B 、10 5 C 、lg10 D 、lg5 2、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） ①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若2 2 log log a a M N =则M N =； ④若M N =则2 2 log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2 {|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ，则（ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()2 2 lg 2lg 52lg 2lg 5++?等于（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、52a - B 、2a - C 、2 3(1)a a -+ D 、2 31a a -- 9、若210 25x =，则10x -等于（ ） A 、15 B 、15- C 、150 D 、1625 指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值 （1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5）6323 1.512??= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。 ②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数指数函数与对数函数复习教案
幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案
对数指数函数公式全集
指数函数与对数函数高考题
(完整版)指数与对数函数综合复习题型.doc
指数函数与对数运算解读
指数函数和对数函数
《指数函数对数函数》练习题(附答案)
指数函数对数函数幂函数增长速度的比较教学设计
指数函数和对数函数复习
指数对数幂函数总结归纳
《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)
《指数函数与对数函数》测试题与答案
指数对数概念及运算公式
指数、对数函数公式
指数函数与对数函数知识点总结