《雨滴的收尾速度》
雨滴的收尾速度
平磊
昆山震川高级中学 江苏省昆山市215300
一、雨滴下落产生的困惑
从天空坠落的雨滴是否吸引过同学们的视线？当你伸出双手是否感受雨滴轻轻地落在你的手心？可是我们知道雨滴是从两千米的高空坠落的，如果以自由落体规律来计算，雨滴将以超过s m /200的速度到达地面，近似于子弹的速度，大约是1F 塞车的两倍。这样我们不禁要思考，雨滴下落的规律究竟是如何？其最终的速度究竟是如何的？为什么人体可以承受人体的撞击？ 二、雨滴下落的受力分析与运动分析
我们将雨滴的下落简化为以下三种情景，并将雨滴做匀速运动时的最大速度称为雨滴的收尾速度。
1.无风，雨滴的质量m ，且由静止下落，所受的阻力v k f ?=，试分析：①雨滴的运动情况，并作出t v -图像。②雨滴的收尾速度。
解答：雨滴在竖直下落过程中受恒力mg 和变力v k f ?=的共同作用，由牛顿运动定律可知：m
kv
mg m f mg a -=-=
。
①：雨滴在竖直方向做加速度减小的加速运动。
②：加速度a 等于零时，取得收尾速度v
k
mg
v m kv mg m f mg a m m =?=-=-=
0 评析：由k mg
v m =可知，在确定k 相
同的情况下，雨滴的质量越大，收尾速度越大。在日常生活中我们可以观察：毛毛雨（直径大约在mm 5.0）的收尾速度大概在s m /2，暴雨（直径大约在mm
5
）的收尾速度大概在s m /8。
２.无风，若雨滴在形成时具有水平初速度
0v ，所受的阻力v k f ?=，试分析：①雨滴的运动情况，并作出t v -图像。②雨滴
的收尾速度。
解答：由于雨滴的所受合力与初速度并不在同一直线，雨滴的轨迹是一条曲线，对某一时刻的雨滴进行分析，将其速度和力分别分解到y x 、两个方向，由牛顿运动定律
可
知
：
m
kv m f a x
x x ==
，
kv mg f mg a y
y
y -=
-=
①：由运动的独立性原理可知，在方向雨滴做加速度减小的加速运动，当0=x f 时，0=x v 。在y 方向雨滴做加速度减小的加速运动,当mg f y =时雨滴开始做匀速运动。
00=?===
xm xm
x x v m
kv m f a 在y 方向，当：
k
mg
v m kv mg m f mg a ym ym y =?=-=-=
0所以合速度k mg
v v ym m ==，方向竖直向
下。
评析：雨滴达到收尾速度的时间大概在3秒左右，而总的下落时间大概在3分钟，所以在情景2中地面上观测者得到得结果就是雨滴似乎是竖直下落的。
m
f=kv mg
3．风速水平且恒为0v ，雨滴的质量m ，且由静止下落，所受的阻力v k f ??=（v ?为雨滴相对于空气的速度），试分析：雨滴的收尾速度?
解答：由于雨滴的所受合力与初速度
并不在同一直线，雨滴的轨迹是一条曲线，对某一时刻的雨滴进行分析，将其速度和力分别分解到y x 、两个方向，由运动的独立性原理可知：
在x 方向，由于加速
度
m
v v k m v k m f a x x x x )(0-=?==
，所以雨滴做加速度减小的加速运动，当0=x a 时，0v v xm =。 在y 方向，由于m
kv mg m v k mg m v k mg m f mg a y
y y y y -=--=?-=-=)0(，雨滴同样做加速度减小的加速运动，当
0=y a 时，k
mg
v ym = 根据矢量合成的原则，
2
2
022k
(
）mg v v v v ym xm m +=+= 评析：雨滴在达到收尾速度之后，其轨迹为一条倾斜的直线，与竖直方向的夹角是一个定值（0
kv mg
v v tg xm
ym =
=
α），地面观察者可以看到雨滴倾斜的下落到地面。 三、对阻力系数k 的简单探究 为了便于学生实验中采集数据，我们用小球代替雨滴，对阻力系数k 进行简单的探究。
数据如下：
①利用表格中的数据，求出球形物体所受的空气阻力f 与球的收尾速度v 的关系。 ②表格中的数据，求出球形物体所受的空气阻力f 与球的半径r 的关系。
解①：由１、2两个小球的数据可知，在半
径相同的情况下，收尾速度
5
2
21=v v ，所受空气阻力之比5
2
2121==g m g m f f ，得到结论：
f 与v 成正比。
解②：由2、3两个小球的数据可知，在收尾速度相同的情况下，其半径之比3
132=r r ，空气阻力之比
9
1
3221==g m g m f f ，
得到结论阻力f 与球的半径2
r 的平方成正比。
评析：由①、②中的结论，我们可以发
现阻力系数k 中包含有2
r 这样一个因素。在雨滴的实际下落过程中，雨滴的半径会有所增加，但是在不同的大气环境中，雨滴半
径的增量不尽相同，故而在之前的运动分析
和受力分析中我们都没有考虑雨滴半径的变化。 四、总结
1、为了便于研究，我们将阻力简化为
v k f ??=，这函数一般在速度较小时使
用。若是速度较大可以使用2v k f ??=。
2、在下落过程中雨滴主要受到重力、压差阻力、粘滞阻力的作用。k 值除了和雨滴的半径有关外，还与流体密度ρ等其他因素有关。
3、在实际观测中，雨滴的最大直径大概在mm 5，其收尾速度大概在s m /2～s m /8，产生的冲击力仅在N 6.0左右，如果考虑到风的作用和雨滴的表面弹性，这个作用力可能会更小一些，不会对暴露在地表的动、植物、建筑物产生破坏作用。
4、上述结论也适用于冰雹。冰的密度比水要小一些，冰雹的收尾速度会比雨滴更小，但由于冰雹表面坚硬，且作用时间较短，产生的冲击力会比较大，会对暴露在地表的动植物、建筑物产生一定的破坏作用。
m x =k Δv x ｍV y