若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )＞0.
若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1＜0，f ′(x )＞0.
所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.
(2)解 由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值.所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是
?
????
f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1， 即?
????
e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1. 当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0. 故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)单调递增. 又g (1)＝0，g (－1)＝e －
1＋2－e ＜0， 故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.
当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m ＞1时，由g (t )的单调性，g (m )＞0，即e m －m ＞e －1；
当m＜－1时，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1. 综上，m的取值范围是[－1,1].
函数的极值与导数教学设计一等奖
函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．
高二数学函数的极值
高二数学函数的极值 1.32课题：函数的极值(1) 教学目的： 1.理解极大值、极小值的概念. 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. 3.掌握求可导函数的极值的步骤 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 教学过程： 一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式：
；；；；；；； 2.法则1 法则2 ,法则33.复合函数的导数： (理科) 4. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的减函数 5.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数 f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间 二、讲解新课： 1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值 与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论：
导数与函数极值、最值问题(解析版)
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】
试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
高中数知识讲解_函数的极值与最值提高
导数的应用二------函数的极值与最值 【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。 2. 会用导数求函数的极大值、极小值。 3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。 4. 掌握函数极值与最值的简单应用。 【要点梳理】 要点一、函数的极值 （一）函数的极值的定义： 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 由函数的极值定义可知： （1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；
高中数学函数的极值典型例题
利用导数求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2-'x f ， ∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数； 当22<<-x 时，0)(<'x f ， ∴函数在（－2，2）上是减函数． ∴当2-=x 时，函数有极大值16)2(=-f ， 当2=x 时，函数有极小值.16)2(-=f 2．函数定义域为R ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2 令0)(='x f ，得0=x 或2=x ． 当0x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数； 当20<'x f ， ∴函数)(x f 在（0，2）上是增函数． ∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ， 当2=x 时，函数取得极大值2 4)2(-=e f ． 3．函数的定义域为R ． .) 1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222++-=+?-+='x x x x x x x x f
令0)(='x f ，得1±=x ． 当1-x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数； 当11<<-x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在（－1，1）上是增函数． ∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ， 当1=x 时，函数取得极大值.1)1(-=f 说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数 )(x f 在0x 处有极值的必要条件， 如果再加之0x 附近导数的符号相反，才能断定函数在0x 处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误． 复杂函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．)5()(32-=x x x f ；2．.6)(2--=x x x f 分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数)(x f 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数)(x f 在定义内可能取到极值的全部“可疑点”． 解：1．.3)2(533)5(2)5(32 )(33323x x x x x x x x x f -=+-=+-=' 令0)(='x f ，解得2=x ，但0=x 也可能是极值点． 当0x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是增函数； 当20<函数的极值和最值(讲解)
函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值
续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；
高中数学讲义微专题17 函数的极值
微专题17 函数的极值 一、基础知识： 1、函数极值的概念： （1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有 ()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点 （2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有 ()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点 极大值与极小值统称为极值 2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用： （1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点
4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点?()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导 ②单向箭头：在可导的前提下，极值点?导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为 ()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点 ③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令()' 0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点） （2）精选：判断函数通过()' f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为 极值点，否则不是极值点 （3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点 6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。 7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。 8、极值点与函数奇偶性的联系： （1）若()f x 为奇函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极小（极大）值点 （2）若()f x 为偶函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极大（极小）值点 二、典型例题： 例1：求函数()x f x xe -=的极值. 解：()()' 1x x x f x e xe x e ---=-=- 令()'0f x >解得：1x < ()f x ∴的单调区间为：
高一数学必修一函数的最值问题试题(1)
函数的最值问题（高一） 一．填空题： 1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。1 ()f x x =，[]1,3x ∈的最小值是 。 2. 函数y =的最小值是 ，最大值是 3.函数21 2810y x x =-+的最大值是 ，此时x = 4.函数[]23 ,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是 5.函数[]3 ,2,1y x x x =-∈--的最小值是 ，最大值是 6.函数y=2-x -21 +x 的最小值是 。y x =-的最大值是 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 . 8.函数()2 1f x x =-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。 9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值 11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。 12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值 13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 22225 1x x y x x ++=++的最大值是 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是 15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是 16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为： 18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是 19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。 二、解答题 20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。 21.已知二次函数 在 上有最大值2，求a 的值。 []2,3-∈x 12)(2++=ax x a x f []1,0∈x a ax x x f -++-=12)(2
高等数学(上册)教案15 函数的极值与最值
第3章 导数的应用 函数的极值与最值 【教学目的】： 1. 理解函数的极值的概念； 2. 掌握求函数的极值的方法； 3. 了解最大值和最小值的定义； 4. 掌握求函数的最值的方法； 5. 会求简单实际问题中的最值。 【教学重点】： 1. 函数极值的第一充分条件，第二充分条件； 2. 导数不存在情况下极值的判定； 3. 函数最值的求解方法； 4. 函数的最值的应用。 【教学难点】： 1. 导数不存在情况下极值的判定； 2. 区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点； 3. 区分极值点与极值，最值点与最值； 4. 函数的最值的应用。 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 3.3.1函数的极值 从图3-7可以看出，函数)(x f y =在点2x 、5x 处的函数值2y 、5y 比它们近旁各点的函数值都大；在点1x 、4x 、6x 处的函数值1y 、4y 、6y 比它们近旁各点的函数值都小，因此，给出函数极值的如下定义： 一般地， 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若对 于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大值，0x 称为极大值点；若对于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有 )()(0x f x f >，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极小值，0x 称为极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 注意 可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点. 极值的第一充分条件 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内可导且0)(0='x f ，则 （1）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，0)(0>'x f ；当x 取0x 右侧邻近的值时， 图3-7 y O x a 1 x 2 x 3x 4x 5 x b
函数的极值与最值练习题及答案
【巩固练习】 一、选择题 1．（2015 天津校级模拟）设函数2 ()ln f x x x =+，则（ ） A.1 2x = 为()f x 的极小值点 B. 2x =为()f x 的极大值点 C. 1 2 x =为()f x 的极大值点 D.2x =为()f x 的极小值点 2．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和 1 3 ，则( ) A ．a －2b ＝0 B ．2a －b ＝0 C ．2a ＋b ＝0 D ．a ＋2b ＝0 3．函数y ＝2 3 x ＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．173- B ．10 3 - C ．－4 D ．643- 4．连续函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( ) A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点 B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点 C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点 D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点 5．（2015 金家庄区校级模拟）若函数32()132x a f x x x = -++ 在区间1,43?? ??? 上有极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A.102, 3?? ??? B. 102,3?????? C. 1017,34?? ??? D. 172,4?? ??? 6．已知函数y=―x 2―2x+3在区间[a ，2]上的最大值为 15 4 ，则a 等于（ ） A ．32- B ．12 C ．12- D ．12或32 - 7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( ) A ．－13 B ．－15 C ．10 D ．15 二、填空题 8．函数y=x+2cosx 在区间1 [ ,1]2 上的最大值是________ 。 9. 若f(x)=x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是__ _。 10．f （x ）= 1+3sin x + 4cos x 取得最大值时，tan x = 11．设函数3 ()31(R)f x ax x x =-+∈，若对于任意x ∈[－1，1]，都有()0f x ≥成立，则实数a 的值为________。
导数与函数的极值、最值练习含答案
第2课时 导数与函数的极值、最值 一、选择题 1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －x D ．y ＝x ＋2 x 解析 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，D 选项中的函数既为奇函数又存在极值． 答案 D 2．(2017·石家庄质检)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤? ????a ＋b 22 ＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 答案 D 3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ? ???? a >12，当x ∈(－2,0)时， f (x )的最小值为1，则a 的值等于 ( ) A.14 B.13 C.1 2 D ．1 解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1 a ， 当00；当x >1 a 时，f ′(x )<0.
∴f (x )max ＝f ? ???? 1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 答案 D 4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B 5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是 ( ) 解析 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0. 答案 D 二、填空题 6．(2017·咸阳模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.
高中数学函数的极值典型例题.docx
利用导数求函数的极值 例求下列函数的极值： 1．f ( x) x312 x； 2．f (x) x2e x； 3．f ( x)2x 2. x21 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程f ( x)0 求出在函数 f (x) 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解： 1．函数定义域为R． f ( ) 3 x 2123( x 2)( x 2). x 令 f( x)0，得 x 2 ． 当 x 2 或 x 2 时， f ( x)0 ， ∴函数在, 2和 2,上是增函数； 当2x 2 时，f( x) 0， ∴函数在（－2， 2）上是减函数． ∴当 x 2 时，函数有极大值 f ( 2) 16 ， 当 x 2 时，函数有极小值 f ( 2)16. 2．函数定义域为 R．f (x)2xe x x2 e x x(2 x) e x 令 f ( x) 0 ，得x 0或x 2． 当 x0 或 x 2 时， f (x)0， ∴函数 f ( x) 在,0 和 2,上是减函数； 当0 x 2 时， f ( x) 0， ∴函数 f ( x) 在（0，2）上是增函数． ∴当 x0 时，函数取得极小值 f (0)0 ， 当 x 2 时，函数取得极大值 f (2)4e 2． 3．函数的定义域为R．
f ( x)2(1 x2 ) 2x2x2(1 x)(1 x) . ( x 21)2( x21) 2 令 f ( x)0 ，得x 1 ． 当x1或x 1时， f( x)0 ， ∴函数 f ( x) 在,1和 1,上是减函数； 当 1x 1 时，f( x)0 ， ∴函数 f ( x) 在（－1，1）上是增函数． ∴当 x 1 时，函数取得极小值 f ( 1)3 ， 当 x 1 时，函数取得极大值 f (1) 1. 说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意 f (x0 ) 0 只是函数 f ( x) 在 x0处有极值的必要条件，如果再加之 x0附近导数的符号相反，才能断定函数在 x0处 取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误． 复杂函数的极值 例求下列函数的极值： 1．f ( x)3x2 (x 5) ；2． f ( x) x2x 6 . 分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数 f ( x) 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数 f ( x) 在定义内可能取到极值的全部“可疑点”． 解： 1．f ( x)2(x 5) 3 x22( x 5) 3x5( x2) . 33x33 x33x 令 f ( x) 0 ，解得x 2 ，但 x0 也可能是极值点．
高中数学-函数的极值与最值
函数的极值与最值 [题型分析·高考展望] 本部分内容为导数在研究函数中的一个重要应用，在高考中也是重点考查的内容，多在解答题中的某一问中考查，要求熟练掌握函数极值与极值点的概念及判断方法，极值和最值的关系. 常考题型精析 题型一 利用导数求函数的极值 例1 (江西)已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )·1－2x (b ∈R ). (1)当b ＝4时，求f (x )的极值； (2)若f (x )在区间(0，1 3)上单调递增，求b 的取值范围. 点评 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点. (2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内一定不是单调函数，即在某
区间上的单调函数没有极值. 变式训练1 (安徽)已知函数f (x )＝ax (x ＋r )2(a >0，r >0). (1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若a r ＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值. 题型二 利用导数求函数最值 例2 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝2 3时，y ＝f (x )有极值. (1)求a ，b ，c 的值； (2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值.
点评 (1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得. (2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况. 变式训练2 (安徽)设函数f (x )＝x 2－ax ＋b . (1)讨论函数f (sin x )在????－π2，π 2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； (2)记f 0(x )＝x 2－a 0x ＋b 0，求函数|f (sin x )－f 0(sin x )|在????－π2，π 2上的最大值D ； (3)在(2)中，取a 0＝b 0＝0，求z ＝b －a 2 4满足D ≤1时的最大值. 高考题型精练 1.(深圳模拟)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A.a <－1 B.a >－1 C.a >－1e D.a <－1 e 2.已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c 等于( ) A.－2或2 B.－9或3 C.－1或1 D.－3或1 3.已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( ) A.当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B.当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值
高中数学典型例题大全第三章导数函数的极值
高中数学典型例题大全第三章导数函数的极值 例 求以下函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的差不多方法，第一从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判定在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2-'x f ， ∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数； 当22<<-x 时，0)(<'x f ， ∴函数在〔－2，2〕上是减函数． ∴当2-=x 时，函数有极大值16)2(=-f ， 当2=x 时，函数有极小值.16)2(-=f 2．函数定义域为R ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2 令0)(='x f ，得0=x 或2=x ． 当0x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数； 当20<'x f ， ∴函数)(x f 在〔0，2〕上是增函数． ∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ， 当2=x 时，函数取得极大值2 4)2(-=e f ． 3．函数的定义域为R ． .) 1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222++-=+?-+='x x x x x x x x f
令0)(='x f ，得1±=x ． 当1-x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数； 当11<<-x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在〔－1，1〕上是增函数． ∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ， 当1=x 时，函数取得极大值.1)1(-=f 讲明：思维的周密性是解决咨询题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑咨询题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答此题时应注意0)(0='x f 只是函数)(x f 在0x 处有极值的必要条件，假如再加之0x 邻近导数的符号相反，才能确信函数在0x 处取得极值．反映在解题上，错误判定极值点或漏掉极值点是学生经常显现的失误． 复杂函数的极值 例 求以下函数的极值： 1．)5()(32-=x x x f ；2．.6)(2--=x x x f 分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数)(x f 的定义域内寻求可能取到极值的〝可疑点〞，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点确实是函数)(x f 在定义内可能取到极值的全部〝可疑点〞． 解：1．.3)2(533)5(2)5(32 )(33323x x x x x x x x x f -=+-=+-=' 令0)(='x f ，解得2=x ，但0=x 也可能是极值点． 当0x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是增函数； 当20<高中数学 函数的极值
课 题：函数的极值(1) 教学目的： 1.理解极大值、极小值的概念. 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. 3.掌握求可导函数的极值的步骤 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 教学过程： 一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =；；x x sin )'(cos -=； x x )'(ln = e x x a a l o g 1)'(log = ；x x e e =)'(； a a a x x ln )'(= 2.法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=± 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数： x u x u y y '''?= (理科) 4. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 5.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解 不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是
高中数学函数的极大值和极小值
典例剖析题 型一 函数极值的求法 例1 已知3 2 ()f x x ax bx c =+++在1x =与2 3 x =- 时，都取得极值． (1) 求,a b 的值； (2)若3 (1)2 f -=，求()f x 的单调区间和极值； 分析：可导函数在0x 点取到极值时，0)(0=x f ；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。 解：（1）f ′(x )＝3x 2＋2a x ＋b ＝0． 由题设，x ＝1，x ＝－2 3 为f ′(x )＝0的解． －23a ＝1－23，b 3＝1×(－23)．∴a ＝－12，b ＝－2． （2）f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝3 2，c ＝1． ∴f (x )＝x 3－1 2 x 2－2 x ＋1． x （－∞，－2 3 ） （－2 3 ，1） （1，＋∞） f ′(x ) ＋ － ＋ ∴f (x )的递增区间为（－∞，－23），及（1，＋∞），递减区间为（－2 3 ，1）． 当x ＝－23时，f (x )有极大值，f (－23)＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值，f (1)＝－1 2． 评析：列表求单调区间和极值不容易出错。 题型二 例2 设函数3 2 ()f x x ax bx c =+++的图象如图所示，且与0y =在原点相切，若函数的极小值为4-，（1）求,,a b c 的值；（2）求函数的递减区间． 分析;从图上可得0=x 是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）
点且图象与x 轴相切于（0，0）点，可先求出,,a b c 的值。 分析;从图上可得0=x 是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）点且图象与x 轴相切于（0，0）点，可先求出,,a b c 的值。 解：（1）函数的图象经过（0，0）点 ∴ c=0，又图象与x 轴相切于（0，0）点，'y =3x 2+2ax +b ∴ 0=3×02+2a ×0+b ，得b =0 ∴ y =x 3+ax 2，'y =3x 2+2ax 当a x 32- <时，0'y <，当a x 32 ->时，0'y > 当x =a 32 -时，函数有极小值－4 ∴ 4)3 2()32(2 3-=+-a a a ，得a =－3 （2）'y =3x 2－6x ＜0，解得0＜x ＜2 ∴ 递减区间是（0，2） 评析：求出,,a b c 的值后，利用导数就可求出单调区间。 备选题 例3：已知函数21 )(x x f =+lnx, 求)(x f 的极值. 解;因为f ' (x)=-3 23212x x x x -=+, 令f ' (x)=0，则x=2± 注意函数定义域为（0，∞+），所以驻点是x=2, 当x ∈(0, 2)时f '(x)<0, )(x f 为减函数，
