无穷级数练习题
无穷级数习题
一、填空题 1、设幂级数
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径为3，则幂级数
1
1
(1)
n n
n na x ∞
+=-∑的收敛区间为 。
2、幂级数
0(21)n
n n x
∞
=+∑的收敛域为 。
3、幂级数
21
1(3)
2
n n
n
n n
x ∞
-=-+∑的收敛半径R = 。 4
、幂级数
n
n ∞
=的收敛域是 。 5、级数21(2)4n
n
n x n ∞
=-∑的收敛域为 。 6、级数0
(ln 3)2n
n
n ∞
=∑的和为 。 7、
1
1
1()2n n n ∞
-==∑ 。 8、设函数2
()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为
01
(cos sin )2
n n n a a nx b nx ∞
=++∑，则其系数3b 的值为 。
9、设函数2
1,
()1,f x x -?=?+? 0,0,
x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数
1
1
(1)(2)n n n n ∞
=++∑的和 。 11、级数21
(2)4n
n
n x n ∞
=-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3
、R = 4、[1,1)- 5、(0,4)
6、
22ln 3- 7、4 8、23π 9、2
12
π 10、14 11、(0,4)
二、选择题
1、设常数0λ>，而级数
21
n n a ∞=∑
收敛，则级数1
(1)n
n ∞
=-∑是（ ）。
（A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=
，2
n n
n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。
（A ）若
1n
n a
∞
=∑条件收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑都收敛。
（B ）若
1n
n a
∞
=∑绝对收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑都收敛。
（C ）若
1n
n a
∞
=∑条件收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑的敛散性都不一定。
（D ）若
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑的敛散性都不定。
3、设0,1,2
n a n >=，若
1n
n a
∞
=∑发散，
1
1
(1)
n n n a ∞
-=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。
（A ）
21
1n N a
∞
-=∑收敛，
21
n
n a
∞
=∑发散. （B ）
21n
n a
∞
=∑收敛，
21
1
n n a
∞
-=∑发散.
（C ）
21
21
()n n n a
a ∞
-=+∑收敛. （D ）2121
()n n n a a ∞
-=-∑收敛.
4、设α
为常数，则级数
21
sin()(
n n n α∞
=∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数
1
(1)(1cos
)n n n
α
∞
=--∑（常数0α）是（ ）
（A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6
、设(1)ln(1)n
n u =-+
，则级数 （A ）
1n
n u
∞
=∑与
21
n
n u
∞
=∑都收敛. （B ）
1n
n u
∞
=∑与
21
n
n u
∞
=∑都发散.
（C ）
1
n
n u
∞
=∑收敛而
20
n
n u
∞
=∑发散. （D ）
1
n
n u
∞
=∑发散而
21
n
n u
∞
=∑收敛.
7、已知级数
1
211
1
(1)
2,5n n n n n a a ∞
∞--==-==∑∑，则级数1
n n a ∞
=∑等于（ ）。
（A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9. 8、设函数2
()(01)f x x x =≤≤，而 1
()sin n
n S x b
n x π∞
==
∑， x -∞<<∞
其中1
2
()sin n b f x n xdx π=?，1,2,3
n =，则1
()2
S -
等于（ ）。 （A ）12-. （B ）14-. （C ）14. （D ）1
2
.
9、设,
()22,x f x x ?=?-? 102
11
2
x x ≤≤
<< 01()cos 2n n a S x a n x π∞==+∑，x -∞<<+∞ 其中1
2
()cos n a f x n xdx π=? (0,1,2,
)n = 则5
()2
S -等于（ ）。 （A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34
-.
10、设级数
1
n
n μ
∞
=∑收敛，则必收敛的级数为
（A ）1(1)n
n
n u n ∞
=-∑. （B ）n ∞
=
∑
2
1
n
n u
∞
=∑. （C ）
21
21
()n n n u
u ∞
-=-∑. （D ）11
()n n n u u ∞
+=+∑.
11、已知级数
1
1
(1)
2n n n a ∞
-=-=∑，
215
1
n n a
∞
-==∑，则级数
1
n
n a
∞
=∑等于（ ）。
（A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9. 12、若级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，则级数（ ）
（A ）
1n n a ∞
=∑
收敛. （B ）1
(1)n
n n a ∞=-∑收敛. （C ）11
n n n a a ∞
+=∑收敛.（D ）1
1
2n n n a a ∞
=++∑
收敛. 13、若
(1)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =处收敛，则此级数在2x =处（ ）。
（A ）条件收敛. （B ）绝对收敛. （C ）发散. （D ）敛散性不能确定.
14、设幂级数0n
n n a x ∞
=∑与1n
n n b x ∞
=∑
与13，则幂级数221n n
n n
a x
b ∞
=∑的收敛半
径为（ ） （A ）5. （B
（C ）1.3 （D ）1
.5
参考答案：
三、解答题
1、设()f x 在点0x =的某一邻域具有二阶连续导数，且0()
lim 0x f x x →=，
证明级数1
1()n f n ∞
=∑绝对收敛。
【分析一】0
()
lim
0x f x x
→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小，若能进一步确定()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小，1p >，从而1()f n 也是1
n
的p 阶或高于p 阶的
无穷小，这就证明了
1
1
(
)n f n
∞
=∑
绝对收敛。 【证明一】由0
()
lim
0x f x x
→=及()f x 的连续性?(0)0,(0)0f f '==。再由()f x 在0x =邻域有二阶连续导数及洛必达法则
2000()()()1lim lim lim (0)222
x x x f x f x f x f x x →→→'''''?=== ? 2
()1
lim
(0).2
x f x f x →''= 由函数极限与数列极限的关系? 21
(
)
1lim
(0)2x f n
f n
→+∞
''= 因211n n ∞
=∑收敛11()n f n ∞=?∑收敛，即1
1
()n f n ∞
=∑绝对收敛。
2、设正项数列n a 单调减小，且
1
(1)n
n n a ∞=-∑发散，试问级数1
1(
)1
n
n n a ∞
=+∑是否收敛？
【分析与求解】因{}n a 单调下降有下界0??极限lim 0n x a a →+∞
=≥。若0a =，由莱布
尼兹法则，并错级数
1(1)n
n
n a
∞
=-∑收敛，与假设矛盾，于是0a >。
现在对正项级数
1
1(
)1
n
n n a ∞
=+∑可用根值判别法：因为
11
lim lim 111n n n
a a →+∞==<++，
所以原级数收敛。
3、求幂级数113(2)
n
n n
n x n ∞
=+-∑收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。 【分析与求解】 直接用求收敛半径的公式，先求
1lim
lim .3
n n == 于是收敛半径3R =，收敛区间为(3,3).-
当3x =时是正项级数：1
31
.3(2)n n
n
n n ∞
=?+-∑ 31
1()3(2)n n n n n
n ?
→+∞+-，而11
n n
∞
=∑发散， ? 1
31
3(2)n n
n n n ∞
=+-∑发散，即3x =时原幂级数发散。 当3x =-时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。
31(1)(3(2)(2)13(2)3(2)n n n n n n n n n
n n -+---=?+-+- (1)21
3(2)n n n n n n
-=-?+- 因 1
21
3123(2)lim lim 0,()23(2)33
n n n n n n n n n n n n n
n ∞
→+∞→+∞=+-=?=+-∑收敛，
1213(2)n n n n n ∞
=??+-∑收敛，又1(1)n n n ∞=-∑收敛1
31
3(2)n n n
n n ∞
=?+-∑收敛，即3x =-时原幂级数收敛。
4、（1）验证函数369
3()1()3!6!9
(3)!
n x x x x y x x n =+
+++++-∞<<+∞满足微分方程
x y y y e '''++=；
（2）利用（1）的结果求幂级数30
(3)!n
n x n ∞
=∑的和函数。
【分析与求解】
（1）首先验证该幂级数的收敛区间是(,).-∞+∞这是缺项幂级数，令3
t x =，则
原级数300
(3)!(3)!n n
n n x t n n ∞
∞
====∑∑
由 1
1(3(1))!
lim
lim 01
(33)(32)(31)(3)!
n n n n n n n →+∞→+∞+==+++ (,)t ?∈-∞+∞，从而(,)x ∈-∞+∞时原级数收敛。
其次，在收敛区间对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：
311()(31)!n n x y x n -∞
='=-∑， 32
1
()(32)!n n x y x n -∞
=''=-∑， (,).x ∈-∞+∞
于是 ()()()y x y x y x '''++
32313110(32)!(31)!(3)!
n n n
n n n x x x n n n --∞
∞∞
====++--∑∑∑
级数的线性性质 323131
1(
)(32)!(31)!(3)!n n n
n x x x n n n --∞
=+++--∑ 23456
01()()2!3!4!5!6!
!
n
n x x x x x x x n ∞
==++
+++++=∑ x
e = ().x -∞<<∞（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）
（2）因为幂级数30
(3)!n
n x n ∞
=∑的和函数()y x 满足微分方程
.x
y y y e '''++= ① 又知 (0)1,(0)0.y y '== ②
所以为求()y x 只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②
该方程相应的齐次方程的特征方程为 2
10.λλ++=
特征根为1,2122
λ=-
± ? 相应齐次方程的通解为
12
12().x y e
c x c x -=+ 设非齐次方程的一个特解为x
y Ae *=，代入方程①得
3.x x y y y Ae e '''*+*+*==
? 1
.3
A =
? 非齐次方程①的通解为
2
121(cos
sin ).223
x x y e c x c x e -
=++ 令0x =，由初始条件② ?
112
1(0)1,311(0)0.
23y c y c ?
=+=??
??'=-+=??
? 1
22,0.3c c == 因此
32021
()(3)!
33x
n x n x y x e x e n ∞
-===+∑ ()x -∞<<+∞
5、求幂级数
1
211
(1)(1)(21)
n n n x n n ∞
-=-+-∑的收敛区间与和函数().f x
【分析与求解】 这是缺项幂级数，令2
,t x =考察
1
n
n n a t
∞
=∑，其中
1
1
(1)
(1).(21)
n n a n n -=-+
-
由 1
n
n
n a ≤ ?
lim
1.n =
1
n n n a t ∞
=?∑的收敛半径为1?原幂级数收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-。
下面求和函数：
21
22
1
2(1)
2
2121
1
()(1)
(1)
(1),1n n
n n n
n
n n n x f x x
x
x
x
x
x
∞
∞
∞
---====-=-=-=+∑∑∑ 1
221
1
()(1)(21)
n n n f x x n n ∞
-==--∑，
? 21
1
21
()2(1)
,21
n n n x f x n -∞
-='=--∑ 12(1)22
1
2
()2(1)1n n n f x x x ∞
--=''
=-=
+∑ (1)x < 注意22(0)0,(0)0f f '==，积分两次得
222
00
1
()()22arctan 1x x
f x f t dt dt x t
'''===+??
, 222
()()2arctan 2arctan 21x
x
x t
f x f t dt tdt x x dt t '=
==-+?
??
2
2arctan 1(1)x x n x =-+ (1).x <
因此，2
2122
()()()2arctan 1(1).1x f x f x f x x x n x x
=+=+-++ 6、求级数
2
1(1)(1)2n
n
n n n ∞
=--+∑的和。 【分析与求解】先将级数分解：
2000
111(1)(1)(1)(1)().222n
n n n n n n n A n n n n ∞
∞∞
====--+=--+-∑∑∑ 第二个级数是几何级数，它的和已知
112
().1231()
2
n n ∞
=-==--∑ 求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察
1
(1)1n n n x x
∞
=-=
+∑ (1)x <
? 2
3
012()(1)(1)(1)()1(1)n
n n n n n S x n n x
x x x ∞
∞-==''??''=--=-==??++??
∑∑ ?
230
111124
(1)(1)().1222427
(1)2
n
n n n n S ∞
=--===+∑ 因此原级数的和 4222.27327
A =
+= 7、求级数
2
2
1
2(1)n n n ∞
=-∑的和。 【分析与求解】 先用分解法将原级数分解。
111222
1
1111()2112(1)2(1)n n n n n n A n n n n ∞
∞∞
+++====-=--+-+∑∑∑ 记 12.A A -
要熟记五个简单函数的幂级数展开式，与此级数和有关的是1(1)n x +，即
11
(1)1(1)n n
n n x x n -∞
=-+=∑ (11).x -<≤ 于是 11
22111
2
(1)2n n n n A n n ∞
∞
++====-∑∑ 111(1)1111
()1(1)1242424
n n n n n n -∞=--=-=--=∑
， 21
2311
2
(1)2n n n n A n n ∞
∞
+====+∑∑ 11231
(1)1(1)1111
()()()22222n n n n n n n n --∞
∞==--=--=-----∑∑ 11151(1)12,2288n n =----=- 因此 1253
12.84
A A A n =-=-
8、将函数1()arctan
1x
f x x
+=-展为x 的幂级数。 【分析与求解】()f x '容易展开。 222
21(1)(1)(1)2
()1(1)(1)(1)1()1x x f x x x x x x
--+?-'=
=+--+++-
2
1
1x =
+， 由
20
1
1(1)(1)1n n
n n n t t t t t
∞
==-+-+-+
=-+∑ (1)t <，得
22
1()(1)(1).1n n
n f x x x x ∞
='==-<+∑ ① 在幂级数的收敛区间可逐项积分得
20
()(1),x
x
n n n f t dt t dt ∞
='=-∑?
?
2121
00(1)(1)()(0)(21
421n n n n n n f x f x x n n π∞
∞++==--=+=+++∑∑ ②
且收敛区间不变，当1x =±时，②式右端级数均收敛，而左端1()arctan 1x
f x x
+=-在1x =-连续，在1x =无定义，因此
[21
01(1)arctan
,1,1)1421
n n n x x x x n π∞+=+-=+∈--+∑
9、将函数111()1arctan 412
x f x n x x x +=
+-- 展开成x 的幂级数。 【分析与求解】111
()1(1)1(1)arctan 442f x n x n x x x =+--+-，先求()f x '的展开式
2
111111
()1414121f x x x x
'=++-+-+ 44224
01
1111111121211n
n n n x x x x x ∞∞
===+-=-=-=-+-∑∑ (1)x < 积分得 41
40
011()(0)()(1).41
n x
x n
n n x f x f f x dx t dt x n +∞
∞
=='=+==<+∑∑?
?
10、设2
1arctan ,0()21,0x x x f x x ?+≠?
=??=?
试将()f x 展开成x 的幂级数，并求级数
2
1(1)14n
n n
∞
=--∑的和。 【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数，然后约去因子x ，再乘上2
1x +并化简即
可。直接将arctan x 展开办不到，且(arctan )x '易展开，即
22
1
(arctan )(1),1,1n n n x x x x ∞
='==-<+∑ ① 积分得
0221
00(1)arctan (arctan )(1)21
x
n
x
n
n n n n x t dt t dt x n ∞
∞+==-?'==-=+∑∑? []1,1.x ∈- ②
因为右端级数在1x =±时均收敛，又arctan x 在1x =±连续，所以展开式在收敛区间端点
1x =±成立。
现将②式两边同乘2
1x x
+得
2222
22000
1(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞
∞∞===+---=+=++++∑∑∑ 12201(1)(1)2121
n n n n
n n x x n n -∞
∞==--=++-∑∑ 2111
1(1)[
]2121
n n n x n n ∞
==+
--+-∑ 22
1
(1)21,[1,1],0.14n n
n x x x n ∞
=-=+∈-≠-∑ 上式右端当0x =时取值为1，于是
22
1
(1)2()1,[1,1].14n n
n f x x x n ∞
=-=+∈--∑ 上式中令2
1
(1)111
1[(1)1][21].1422442n n x f n ππ∞
=-=?=-=?-=--∑
11、将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数11
2
n n ∞
=∑的和。
【分析与求解】 按傅氏系数公式，先求()f x 的傅氏系数n a 与n b 。 因()f x 为偶函数0(1,2,3
).n b n ==
11
002()cos
2(2)cos l l n n a f x xdx x n dx l l
ππ==+??
10
1
11
22
00
22
24cos sin sin cos n xdx xd n x n xdx n x n n n ππππππ
π
=+
=-=
???
22224,21,2(21)[(1)1](1,2,
)2.0,
n
n k k n n n k ππ-?
=-?-=--==?=??
1
002(2) 5.a x dx =+=?
注意到()f x 在[1,1]-分段单调，连续且(1)(1)f f -=，于是有傅氏展开式
[]221541
()2cos(21)
,1,1.2(21)
n f x x n x x n ππ∞==+=--∈--∑ 为了求
21
1
n n ∞
=∑的值，上式中令0x =得 2
2
1
54
1
2,2(21)n n π
∞
==--∑即 2
2
1
1.(21)8n n π∞
==-∑ 现由 2222
21111111111
,(21)
(2)(21)4n n n n n n n n n ∞
∞
∞∞====??=+=+??--??∑∑∑∑ ? 2
2
2211
311,.48
6n n n n ππ∞∞
===
=∑∑
12、将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数。
【分析与求解】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期4的周期延拓，于是得()f x 的傅氏系数：
0(1,2,3
).n b n ==
22002()cos (1)cos 2l l n n x n a f x dx x xdx l l ππ
==
-?? 220022(1)sin sin 22n n x d x xdx n n ππ
ππ=
-=-?? 2
2222
4
4cos
((1)1)2
n
n x n n π
ππ
==
-- =22
8,21,(21)1,2,32,0,
n k k k n k π
-?
=-?-=?=?
?
2
222
0000
21
()(1)(1)0.22
a f x dx x dx x ==-=-=??
由于（延拓后）()f x 在[]2,2-分段单调、连续且(1)(1).f f -=于是()f x 有展开式 []22
18
1(21)()cos ,0,2.(21)2n n f x x x n π
π∞
=-=-∈-∑
13、求幂级数
113(2)n
n n
n x n
∞
=??+-??∑的收敛区间，并讨论该区间端关处的收敛性。 解：设1
0,1,2,,3(2)n n n
a n n
=
>=??+-??
111121()3(2)113lim
lim lim 2333(1)(1)1()
3
n
n
n
n n n x x x n n
n a a n +++→∞
→∞→∞++-??+-??===??+-+??+- 3R ∴= ?收敛区间(3,3).-
当3x =时，3111
223(2)1()3
n n n n n a n n
n ==?>??+-??+- 而
11
2n n
∞
=∑发散?原级数在3x =处发散。 当3x =-时，(3)(1)21
3(2)3(2)n n n n n n n n
a n n n
--==-?+-??+-?? 记1
0,1,2,,3(2)n n n
V n n
=
>=??+-??
1
1
11121()23(2)23,23(2)231
1()3
n
n n
n
n n n n n N
V n n V n ++++++-+-=?=?+-++- 2
13n →∞
???→< 1213(2)n n n n n ∞=??+-∑收敛，又1
(1)n n n ∞
=-∑收敛。 故原级数在3x =-处收敛?收敛域[3,3).-
14、将函数2
()2x
f x x x
=
+-展开成x 的幂级数。 分析 先将()f x 分解成部分分式，再利用等比级数间接展开。 解：2111111
()(),(2)(1)32313112n f x x x x x x x
=
=-=--+-++-
011,22,2
12
n
n
n x x x ∞
==-<<-∑
1
(1),1 1.1n n n x x x ∞
==--<<+∑ 0001111()(1)(1),1 1.3232
n n n n n n n n n n f x x x x x ∞∞∞===????∴=--=---<
15、将函数12()arctan 12x
f x x -=+展开成x 的幂级数，并求级数0(1)21
n n n ∞
=-+∑的和。
分析 直接展开较困难，先将()f x '展开，再递项积分得出()f x 的展开式 解 22
212(12)2(12)2
()12(12)141()12x x f x x x x x
-+---'=
?=-++++ 2
20
112(1)(4)2(1)4,22
n
n
n n n n n x x x ∞
∞
===--=---
<<∑∑ 20
()(0)()2(1)4
4
x
x
n
n
n n f x f f t dt t dt π
∞
='=+=
--∑?
?
21
0(1)24421
n n n n x n π
∞
+=-=-?+∑ 当1
2x =时，2100(1)11(1)4212221n n n n n n n n ∞
∞+==--??=++∑∑收敛 （莱布尼兹判别法） 当1
2n =-时，212100(1)(1)1(1)421
2221n n n n n n n n n +∞
∞+==---??=-++∑∑收敛
210(1)11()24,,421
22n n n n f x x x n π
∞
+=-??
∴=-??∈-??+??∑
又01(1)()arctan002421
n
n f n π∞==-==+∑
(1).214n n n π∞
=-∴=+∑
16、求幂级数121
1
(1)(21)n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数().s x
解：求收敛域，由于该幂级数缺项幂级数，则直接用比值判别法求之，设
121
(1)(),1,2
(21)
n n n x u x n n n -+-==
-
23
21
21()(21)
lim lim ()(1)(21)n n n x x n
x u x n n x u x n n x ++-→∞→∞-==++ 当2
1x <，即1x <时，原级数绝对收敛； 当2
1,x >即1x >时，原级数发散。
所以原级数的收敛半径为1，收敛区间是(1,1).-
当1x =时，1
1
(1)(21)n n n n -∞
=--∑绝对收敛211
(
)(21)n n n
<-
同理，当1x =-时，1(1)(21)
n
n n n ∞
=--∑绝对收敛，
因此，该级数的收敛域为[]1,1-
[]121
1(1)(),
1,1(21)
n n n x S x x n n -+∞
=-=∈--∑
17、求幂级数
121
1
(1)(1)(21)
n n n x n n ∞
-=-+
-∑(1)的收敛区间与和函数()f x 。
解：此级数(1)是缺项的幂级数
令1
121(21)1()(1)
(1),1,2
,(21)(21)
n n n
n n n u x x x n n n n n ---+=-+
=--
2
21()(1)(21)1(21)lim
lim ()(1)(21)(21)1
n n n n u x n n n n x x u x n n n n +→∞
→∞+++-=?=++-+ 当2
1x <，即1x <时，级数(1)绝对收敛； 当2
1x >，即1x >时，级数(1)发散。
∴级数(1)的收敛区间为(1,1)-
11
21221111(1)(1)(1)(1)(21)2(21)n n n n n
n n n n x x x n n n n -∞
∞∞
--===--+=-+--∑∑∑ 记2
1
221
()(1)
,(1,1)1n n
n x g x x
x x
∞
-==
-=∈-+∑
1(7)
221(1)1()(1)2(21)
2n n n S x x xarctamx lin x n n -∞
=-=-+-∑例
2
22
()()2()2arctan (1),(1,1)1x f x g x S x x lin x x x
∴=+=+-+∈-+
18、（1）讨论级数1
1(1)!n n n n ∞
+=+∑的敛散性，（2）已知级数2n a ∞∑n=1和2
1n n b ∞
=∑都收敛，试证明级数1
n n n a b ∞
=∑绝对敛。
（1）解
1122
(2)!(2)111()1(1)(1)!(1)(1)n n n n n u n n n n n u n n n e n +++++=?=→<→∞++++
1
1
(1)!
n n n n ∞
+=+∴
∑收敛 （2）证
21n n a
∞
=∑与
21
n
n b
∞
=∑都收敛?
1
2n n
n a b
∞
=∑收敛1
n n
n a b
∞
=?
∑收敛
即 1
n
n x α∞
=∑绝对收敛。
19、设有方程10n
x nx +-=，其中n 为正整数，证明此方程存在唯一的正实根n x ，并证明
当1α>时，级数
21
n
n xn
∞
=∑收敛。
分析 （1）存在性用根的存在定理，唯一的性用函数的严格可调性 （2）用比较判别法证明
1
n n x α∞
=∑收敛。
证 （1）取()10n
n f x x nx =+-=，则()n f x 在[]0,1上连续，且
(0)10,(1)0(0,1)n n f f n n =-<=>??∈，使()0n f x =，
又[]1()0,0,()n n n f x nx n x f x -'=+>∈+∞?在[]0,+∞上严格递增?方程
10n x nx +-=存在唯一正实根(0,1).n x ∈
由 10n
n n x nx +-=且(0,1)n x ∈，有
11100(1)n
n
n n n x x x n n n αα-<=
又 11n n α∞
=∑收敛1
n n n α
∞
=?∑收敛。
20、设4
tan .n n a xdx π
=
?
（1）试证：
21
1
()n n n a a n ∞
+=+∑ （2）试证：对任意常数0λ>，级数
1
n
n a n λ∞
=∑收敛。 （1）解 直接求2n n a a ++的表达式
2
24
4420
tan
tan (1tan )n
n n n n o
a a tan xdx xdx x x dx π
π
π
+++=+=?+???
2
440
tan sec tan (tan )n
n x xdx xd x π
π
=
?=?
?
4111
tan 11
0n x n n π
+==
++ 211
11()(1)n n n n a a n n n ∞
∞+==∴+=+∑∑
11
111
()(1)1n n n S k k k k ∞
∞
====-++∑∑
1
11()1
n n =-
→→∞+ 111
()1n n n a a n
∞
+=∴
+=∑ （2）证 4
00tan n n a xdx π
<=
?
令tan ,arctan n t n t ==
1
120011.11n n
t dt t dt t n n
=<=<++?? 于是 110n a n n
λλ
+<
< 由于 1
1
11,
1n λλ∞
=+>+∑收敛 因此
1n
n a n
λ
∞
=∑收敛。 21、求级数2
1
(3)n
n x n ∞
=-∑的收敛域。 【解】因系数21
(1,2
),n a n n
==故 2
12
lim
lim 1.(1)n x x n
a n a n +→∞→+∞==+ 因此当131x -<-<，即24x <<时级数绝对收敛。
当2x =时，得交错级数11(1)2n
n n ∞
=-∑；当4x =时，得正项级数211
n n
∞
=∑，二者都收敛，
于是原级数的收敛域为[]2,4.
22、已知函数, 1.
()2,x x f x x ≤≤?=?
-<≤?
若0若1x 2. 试计算下列各题：
2
00
(1)();x
s f x e dx -=? 412
(2)(2);x s f x e dx -=-?
22
02(3)(2)(2,3
)n x
n
s f x n e dx
n +-=-=?
； 0
(4)n n s s ∞
==∑
【解】用分段积分法，分部积分法和换元积分法，分别可得
12122
00
1
1
1
(1)(2)2x x x x x s xe dx x e dx xe dx xe dx e dx -----=+-=-+?????
1
2
11
2
22
220112111(1)(1)x
x x x xe
e dx xe e dx e e e e e
----=-+++=
-+=-=-??； 2222
20
10200(2)2()()t t s s x t f t e dt e f t e dt s e e ------====??； 2222200200(3)2()()t n n
t n n n s s x n t f t e dt e f t e dt s e e
------====??；
(4)利用以上结果，有2200022200
2
1(1)1
()11111n n n n S e s e e s s s e e e e e
∞
∞
==--===
===--+-∑∑
23、设有两条抛物线2
1y nx n =+和21(1)1
y n x n =+++，记它们交点的横坐标的绝对值为n a 。
（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积n s ； （2）求级数
1n
n n
s a ∞
=∑的和。 【解】（1）用n L 与n 1L +分别表示两条抛物线
21y nx n =+
与2
1(1),1
n y n x L n =+++与1n L + 有两个交点(,)n n a y -与(,)n n a y ，如图5.2.
令 2
211
(1)1nx n x n n +
=++
+
，容易求得n a =抛物线围成的平面图形的面积。
22
011(1)1n
n a a s nx n x dx n n -??=+-+-??+?
??
22(1)n n a n a a x dx n n -=
-=+? （2） 因为
41411()(1,2)3(1)31n n s n a n n n n ==-=++，
于是
1411111141
()()(
)(1).31223131
n
k k k
s a n n n =??=-+-++-=-??++??∑ 故 11414lim lim(1).313n
n k n n n k n k
s s a a n ∞→∞→∞====-=+∑∑
24、设40
sin cos ,0,1,2,
n
n I x xdx n π
=
=?
，求
.n
n I
∞
=∑
【解】由
40
1
1
401
1sin (sin )(sin )1
1n
n n n I xd x x n n ππ
++===
++?，有
1
001()1
2n n n n I n ∞
∞
+===+∑∑
令1
1
()1n n s x x
n ∞
+==
+∑，因其收敛半径1R =，且(0)0s =，故在(1,1)-有
1
()1n n s x x x
∞
='=
=
-∑ 于是 0
1
()(0)1(1),1 1.1x
s x s dt n x x t
=+
=----?
令(1,1)2
x =
∈-， 即得
101()()1(1)1(221
22n n s n n n ∞
+===--=++∑
从而
40
sin cos (
)1(22
n n n n I x xdx s n π
∞
∞
=====∑∑?
25、已知()n f x 满足1()()n x
n n f x f x x e -'=+（n 为正整数），且(1)n e
f n
=
，求函数项级数1
()n n f x ∞
=∑之和。
【解】由已知条件可知()n f x 满足一阶线性微分方程
1()(),n x
n n f x f x x e -'-=?其通解为 ()().n
x
n x f x e c n
=+ 由条件(1)n e
f n
=，得0c =，故().n x n x e f x n =从而
1
11().n x n x
n n n n x e x f x e n n
∞
∞
∞
=====∑
∑∑