优化设计中的鲍威尔法
本实验用鲍威尔方法求函数f(x)=(x1-5)2+(x2-6)2 的最优解#include
#include
#include
const MAXN = 10;
double xkk[MAXN],xk[MAXN],sk[MAXN];
int N;
double F(double *x)
{
return 4*pow(x[0]-5,2.0)+pow(x[1]-6,2.0);
}
double f(double x)
{
for (int i=0; i return F(xkk); } /* 无约束坐标轮换法 x0--初始点 e1--一维搜索精度 e2--求解精度 */ double nc_trans(double *x0,double e1,double e2) { int i,j,k=1; double a,b,ax,ay,d; for (;;) { for (j=0; j for (i=0; i for (j=0; j else sk[j]=0; find_ab(0,1,&a,&b); search_gold(a,b,e2,&ax,&ay); for (j=0; j } for (j=0; j d+=(x0[j]-xkk[j])*(x0[j]-xkk[j]); d=sqrt(d); printf("k=%d;",k); for (j=0; j printf(",x[%d]=%lf;",j+1,xkk[j]); printf("d=%lf\n",d); if (d<=e1) break; for (j=0; j k++; } for (j=0; j return F(xkk); } /* 鲍威尔法 x0--初始点 e1--一维搜索精度 e2--求解精度 */ double nc_powell(double *x0,double e1,double e2) { int i,j,k=1,m; double a,b,ax,ay,d; double ss[MAXN][MAXN],s1[MAXN], ff[MAXN],x[MAXN],xn[MAXN], xn1[MAXN],f0,f1,f2,f3; for (i=0; i for (;;) { for (j=0; j for (i=0; i for (j=0; j find_ab(0,1,&a,&b); search_gold(a,b,e2,&ax,&ay); for (j=0; j ff[i]=F(xk); for (j=0; j for (j=0; j sk[j]=xkk[j]-x0[j]; s1[j]=sk[j]; } find_ab(0,1,&a,&b); search_gold(a,b,e2,&ax,&ay); for (j=0; j d=0; for (j=0; j printf("k=%d;",k); for (j=0; j printf("x[%d]=%lf;",j+1,x0[j]); printf("d=%lf\n",d); if (d<=e1) { for (j=0; j break; } f0=F(x0); d=f0-ff[0]; m=0; for (j=1; j m=j; d=ff[j-1]-ff[j]; } for (j=0; j f1=F(x0); f2=F(xn); f3=F(xn1); if (0.5*(f1-2*f2+f3)>=d) { if (f2 else for (j=0; j } else { for (i=m+1; i ss[i-1][j]=ss[i][j]; for (j=0; j for (j=0; j } k++; } for (j=0; j return F(xkk); Design-Expert 软件在响应面优化法中的应用 （王世磊郑州大学450001） 摘要：本文简要介绍了响应面优化法，以及数据处理软件Design-ExpertDesign-Expert的相关知识，最后结合实例，介绍该软件在响应面优化法上的应用实例。 关键词：数据处理，响应面优化法，Design-Expert软件 1.响应面优化法简介 响应面优化法,即响应曲面法( Response Surface Methodology ，RSM)，这是一种实验条件寻优的方法，适宜于解决非线性数据处理的相关问题。它囊括了试验设计、建模、检验模型的合适性、寻求最佳组合条件等众多试验和统计技术；通过对过程的回归拟合和响应曲面、等高线的绘制、可方便地求出相应于各因素水平的响应值[1]。在各因素水平的响应值的基础上，可以找出预测的响应最优值以及相应的实验条件。 响应面优化法，考虑了试验随机误差；同时，响应面法将复杂的未知的函数关系在小区域内用简单的一次或二次多项式模型来拟合，计算比较简便，是降低开发成本、优化加工条件、提高产品质量、解决生产过程中的实际问题的一种有效方法[2]。 响应面优化法，将实验得出的数据结果，进行响应面分析，得到的预测模型，一般是个曲面，即所获得的预测模型是连续的。与正交实验相比，其优势是：在实验条件寻优过程中，可以连续的对实验的各个水平进行分析，而正交实验只能对一个个孤立的实验点进行分析。 当然，响应面优化法自然有其局限性。响应面优化的前提是：设计的实验点应包括最佳的实验条件，如果实验点的选取不当，使用响应面优化法师不能得到很好的优化结果的。因而，在使用响应面优化法之前，应当确立合理的实验的各因素与水平。 结合文献报道，一般实验因素与水平的选取，可以采用多种实验设计的方法，常采用的是下面几个： 1.使用已有文献报道的结果，确定响应面优化法实验的各因素与水平。 2.使用单因素实验[3]，确定合理的响应面优化法实验的各因素与水平。 3.使用爬坡实验[4]，确定合理的响应面优化法实验的各因素与水平。 4.使用两水平因子设计实验[5]，确定合理的响应面优化法实验的各因素与水平。 在确立了实验的因素与水平之后，下一步即是实验设计。可以进行响应面分析的实验设计有多种，但最常用的是下面两种：Central Composite Design-响应面优化分析、Box-Behnken Design-响应面优化分析。 Central Composite Design，简称CCD，即中心组合设计，有时也成为星点设计。其设计表是在两水平析因设计的基础上加上极值点和中心点构成的，通常实验表是以代码的形式编排的,实验时再转化为实际操作值（,一般水平取值为0,±1,±α,其中0为中值,α为极值, α=F*（1/ 4）； F 为析因设计部分实验次数, F = 2k或F = 2 k×（1/ 2 ），其中 k为因素数，F = 2 k×（1/ 2 一般 5 因素以上采用，设计表有下面三个部分组成[6]：(1) 2k或 2 k×（1/ 2 ）析因设计。(2)极值点。由于两水平析因设计只能用作线性考察,需再加上第二部分极值点,才适合于非线性拟合。如果以坐标表示,极值点在相应坐标轴上的位置称为轴点(axial point) 或星点( star point) ,表示为(±α,0,…, 0) , (0,±α,…, 0) ,…, (0, 0,…,±α)星点的组数与因素数相同。(3)一定数量的中心点重复试验。中心点的个数与CCD设计的特殊性质如正交 食品科学研究中实验设计的案例分析 ——响应面法优化超声辅助提取车前草中的熊果酸 班级：学号：姓名： 摘要：本文简要介绍了响应面曲线优化法的基本原理和使用步骤，并通过软件Design-Expert 软件演示原文中响应面曲线优化法的操作步骤。验证原文《响应面法优化超声辅助提取车前草中的熊果酸》各个数据的处理过程，通过数据对比，检验原文数据处理的正确与否。 关键词：响应面优化法数据处理 Design-Expert 车前草 前言： 响应曲面设计方法(Response SufaceMethodology，RSM)是利用合理的试验设计方法并通过实验得到一定数据，采用多元二次回归方程来拟合因素与响应值之间的函数关系，通过对回归方程的分析来寻求最优工艺参数，解决多变量问题的一种统计方法（又称回归设计）。 响应面曲线法的使用条件有：①确信或怀疑因素对指标存在非线性影响；②因素个数2-7个，一般不超过4个；③所有因素均为计量值数据；试验区域已接近最优区域； ④基于2水平的全因子正交试验。 进行响应面分析的步骤为：①确定因素及水平，注意水平数为2，因素数一般不超过4个，因素均为计量值数据；②创建“中心复合”或“Box-Behnken”设计；③确定试验运行顺序(Display Design)；④进行试验并收集数据；⑤分析试验数据；⑥优化因素的设置水平。 响应面优化法的优点：①考虑了试验随机误差②响应面法将复杂的未知的函数关系在小区域内用简单的一次或二次多项式模型来拟合，计算比较简便，是降低开发成本、优化加工条件、提高产品质量，解决生产过程中的实际问题的一种有效方法③与正交试验相比，其优势是在试验条件寻优过程中，可以连续的对试验的各个水平进行分析，而正交试验只能对一个个孤立的试验点进行分析。 响应面优化法的局限性: 在使用响应面优化法之前，应当确立合理的实验的各因素和水平。因为响应面优化法的前提是设计的试验点应包括最佳的实验条件，如果试验点的选取不当，实验响应面优化法就不能得到很好的优化结果。 原文《响应面法优化超声辅助提取车前草中的熊果酸》采用经典的三因素三水平Box-Behnken 试验设计，以熊果酸的提取率为响应值，通过回归分析各工艺参数与响应值之间的关系，并由此预测最佳的工艺条件。本文利用软件验证原文中的数据处理过程，以检验原文数据是否处理正确。 1 确定实验因素 原文利用超声波辅助提取车前草中的熊果酸，而影响熊果酸提取率的因素有很多，如超声波的功率、提取时间、溶剂温度、溶剂种类、液固比等。原文参考文献《柿叶中总三萜的提取以及熊果酸分离, 纯化研究》中提取熊果酸的方法提取熊果酸，即将干燥的车前草粉碎后过筛，取20～40 目的车前粉，用石油醚在 55℃脱脂 3 次，干燥备用。精密称取一定量的车前粉，加入一定量的乙醇，称量，在一定的超声波功率下提取一定时间后，擦干外壁，再称量，用乙醇补充缺失的质量，离心。用注射器抽取一定量上清液，过μm 滤膜，进行检测。每个实验进行 3 次平行实验。取其平均值。结果以提取率(E)的来表示。 无约束优化方法---鲍威尔方法 本实验用鲍威尔方法求函数f(x)=(x1-5)2+(x2-6)2 的最优解。 一、简述鲍威尔法的基本原理 从任选的初始点x⑴o出发，先按坐标轮换法的搜索方向依次沿e1.e2.e3进行一维搜索，得各自方向的一维极小点x⑴ x⑵ x⑶.连接初始点xo⑴和最末一个一维极小点x3⑴,产生一个新的矢量 S1=x3⑴-xo⑴ 再沿此方向作一维搜索，得该方向上的一维极小点x⑴. 从xo⑴出发知道获得x⑴点的搜索过程称为一环。S1是该环中产生的一个新方向，称为新生方向。 接着，以第一环迭代的终点x⑴作为第二环迭代的起点xo⑵,即 Xo⑵←x⑴ 弃去第一环方向组中的第一个方向e1，将第一环新生方向S1补在最后，构成第二环的基本搜索方向组e2,e3,S1，依次沿这些方向求得一维极小点x1⑵,x2⑵,x3⑵.连接 Xo⑵与x3⑵,又得第二环的新生方向 S2=x3⑵-xo⑵ 沿S2作一维搜索所得的极小点x⑵即为第二环的最终迭代点 二、鲍威尔法的程序 #include "stdafx.h" /* 文件包含*/ #include #include 对分课堂学后感 老师在课堂上创新教学方法引用了对分的教学方式，对分课堂 的核心理念是分配一半课堂时间给老师讲授，另一半时间给学生讨论，并把讲授和讨论时间错开，让学生在课后有一段时间自主学习，加强对知识的理解记忆。 第一次讨论的场景至今记忆犹新，老师布置了两个问题让学生 们分组讨论，第一个问题是你是如何理解市场的含义以及市场是如 何产生的？第二个问题是需求等于市场吗？为什么？各个小组围绕 这两个问题展开了讨论，讨论后请一名代表在讲台上发言，小组每 个成员轮流上台，这样做，可以使每一个学生都有发言的机会，也 有听别人说的机会，既有面对几个人发表自己见解的机会，又有面 对全班说话的机会，这样，学生为了表达本组的见解，会更加主动 地思考、倾听、组织、灵活运用新旧知识，使说出的语言更加准确、更全面；讨论学习不仅加深了对知识的理解，也发展了学生的学习 能力和语言表达能力；通过小组合作，提高学习效率，优化了学习 方法；通过小组学习，学生的合作意识和能力得到了培养，使学生 在学习中体会了成功的喜悦，增强了学生的自信心，从小组讨论这 个方面来说对分课堂是一种非常好的教学模式。 课堂是教学活动的主要场所，课堂质量是教学质量高低的一个 决定性因素，在传统课堂上，教师讲授力求完整详尽，学生没有发 挥余地，趋向被动接受。在对分课堂上，老师有引导，但并不穷尽 内容，留给学生进一步主动探索的空间，能够引发学生进行主动性 学习。学生通过课堂上老师讲授获得基本框架，理解重点、难点， 大大降低了课后的学习难度，在对分课堂中，教学过程中的机械性 成分降低,指导性成分提升，教师角色从覆盖内容、灌输知识，变为 引导学生学习。学生在课下不学习很难参与讨论，缺课也会影响整 组讨论，这些都会强化学生的团队合作意识。学生有机会同老师交流，老师也可以随时参与讨论。通过对分课堂生生、师生互动的幅 度都大大提升。 对分课堂保留老师讲授这一传统教学的精华，保证了知识传递 的系统性、准确性和有效性。对分课堂提升了学生的课堂参与度， 老师不必为吸引学生注意去“表演”，而是回归到学生学习“引导者”的正确定位上。老师虽然讲得少了，但其地位和价值不但没有 削弱，反而得到进一步的提升，更能赢得学生的尊重。 基于MATLAB的鲍威尔法求极值问题 姓名：xxx 学号：xxx （北京理工大学机械与车辆学院车辆工程，北京 100081） 摘要：无约束优化方法主要有七种，按照求导与否把这些方法分为间接法和直接法。牛顿法的成败与初始点选择有极大关系，其可靠性最差；坐标轮换法、单纯形法和最速下降法对于高维优化问题计算效率很低，有效性差；由于编制变尺度法程序复杂，其简便性不足。综合考虑后，鲍威尔法、共轭梯度法具有较好的综合性能。本文首先对鲍威尔法的原理进行阐述，根据其迭代过程给出流程图，并编写MATLAB程序。最后用此MATLAB程序求解实际的极值问题，并对求解结果进行简要分析。 1.鲍威尔法的基本思想 1.1其他优化方法对鲍威尔法形成的影响 通过对鲍威尔法的学习，可以很明显看出来其迭代思想中汲取了其他几种优化方法的核心思想。为了更全面、更深入的学习鲍威尔法，很有必要对其他有影响的优化思想进行学习和梳理。 由最基本的数学基础知识可知，梯度方向是函数增加最快的方向，负梯度方向是函数下降最快的方向，于是，利用这个下降最快方向产生了最速下降法。每次迭代都沿着负梯度方向进行一维搜索，直到满足精度要求为止。其特点是相邻两个搜索方向互相正交，所以很明显的一个现象就是刚开始搜索步长比较大，愈靠近极值点其步长愈小，收敛速度愈慢，特别当二维二次目标函数的等值线是较扁的椭圆时，迭代速度更慢。这时，倘若目标函数是等值线长、短轴都平行于坐标轴的椭圆形，则通过坐标轮换法可以很高效的解决问题。通过两次分别沿坐标轴进行一维搜索，便可达到极值点。但对于目标函数的等值线椭圆的长、短轴倾斜于坐标轴时，坐标轮换法的搜索效率也显得极低。抛开这两种特殊情况，对于一般形态的目标函数，如果在某些明显可以直达最优点的情况下（一般为靠近极 食品科学研究中实验设计的案例分析 —响应面法优化超声波辅助酶法制备燕麦ACE抑制肽的工艺研究 摘要：选择对ACE 抑制率有显著影响的四个因素：超声波处理时间(X1)、超声波功率(X2)、超声波水浴温度(X3)和酶解时间(X4)，进行四因素三水平的响应面分析试验，经过Design-Expert优化得到最优条件为超声波处理时间28.42min、超声波功率190.04W、超声波水浴温度55.05℃、酶解时间2.24h，在此条件下燕麦ACE 抑制肽的抑制率87.36%。与参考文献SAS软件处理的结果中比较差异很小。 关键字：Design-Expert 响应面分析 1.比较分析 表一响应面试验设计 因素 水平 -1 0 1 超声波处理时间X1(min) 20 30 40 超声波功率X2(W) 132 176 220 超声波水浴温度X3(℃) 50 55 60 酶解时间X4(h) 2.Design-Expert响应面分析 分析试验设计包括：方差分析、拟合二次回归方程、残差图等数据点分布图、二次项的等高线和响应面图。优化四个因素（超声波处理时间、超声波功率、超声波水浴温度、酶解时间）使响应值最大，最终得到最大响应值和相应四个因素的值。 利用Design-Expert软件可以与文献SAS软件比较，结果可以得到最优，通过上述步骤分析可以判断分析结果的可靠性。 2.1 数据的输入 2.2 Box-Behnken响应面试验设计与结果 2.3 选择模型 2.4 方差分析 在本例中，模型显著性检验p<0.05，表明该模型具有统计学意义。由图4知其自变量一次项A， B，D，二次项AC,A2,B2,C2,D2显著(p<0.05)。失拟项用来表示所用模型与实验拟合的程度，即二者差异的程度。本例P值为0.0861>0.05，对模型是有利的，无失拟因素存在，因此可用该回归方程代替试验真实点对实验结果进行分析。 图 5 由图5可知：校正决定系数R2(adj)(0.9788>0.80)和变异系数（CV）为0.51%，说明该模型只有2.12%的变异，能由该模型解释。进一步说明模型拟合优度较好,可用来对超声波辅助酶法制备燕麦ACE抑制肽的工艺研究进行初步分析和预测。 对分课堂 “对分课堂”是复旦大学心理系张学新老师提出的一个课堂改革新模式，希望通过调动和发挥学生学习的自主性，降低教师教学负担，提高教学质量，改善教学效果。 核心理念 对分课堂的核心理念是把一半课堂时间分配给教师进行讲授，另一半时间分配给学生以讨论的形式进行交互式学习。这样，在讲授和内化吸收之外，突出了课堂讨论过程。实施中最关键的一点是把讲授和交互式学习在时间上分隔开来（相隔一周），让学生在这两个过程之间有充分的时间按自己的节奏进行个性化的内化吸收。这样，对分课堂把教学刻画为时间上清晰分离的三个过程，分别为讲授（Presentation）、内化吸收（Assimilation）和讨论（Discussion），也可简称为PAD 课堂。 源自实践 2013年10月，张学新向复旦大学社会发展与公共政策学院心理系的教师介绍了对分课堂的理念和实施设想，得到心理系教师、系主任和学院主管教学领导的肯定和支持。2014年春季学期，张学新在复旦大学心理系本科二年级的《心理实验设计与研究方法》课上首次尝试对分课堂，效果良好。同一学期上海理工大学外语学院青年教师何玲将该模式运用到研究生一年级公共英语口语课上，也获得较好效果。 星火燎原 复旦和兄弟院校一些教师了解到对分课堂后，表示出很大的兴趣，9月1号，对分课堂开始网络推广，截至11月16日，对分课堂已覆盖到含香港在内的全国所有八大区域，来自51所学校59个院系的75位高校教师将在本学期使用对分课堂进行84门课程的教学。从高中、中专到专科学校，从本科生到硕士研究生，全国将有134个班级近66oo多名学生体验对分课堂的魅力。 教学创新 当前高校教师科研压力大，亟需有效的方法缓解教学负担、提高教学质量。对分课堂的思路是调动学生的学习积极性。学生主动学习，教师负担必然减轻。 基于响应面法的FSAE赛车悬架优化设计 摘要:用响应面法对大学生方程式赛车悬架参数进行优化设计。基于Adams/Car构建双叉臂悬架模型;在Adams/Insight模块中分析出影响各悬架参数的主要因子;对比优化前与优化后车轮定位参数可知,实现了外倾角和前束角的优化目的,其它车轮定位参数的变化范围也有所缩小。在一定程度上提高了赛车的操纵稳定性,为实车的制造提供了可靠的数据依据。 关键词:响应面法Adams 双叉臂悬架优化设计 Optimization of Suspension Design on FSAE Racing Car based on Response Surface Abstract:Response surface methodology has been used for the structure parameters optimization design of formula student racing car. Double wishbone suspension model was built based on ADAMS/Car.The main factors effecting alignment parameters were found out by using the Adams/Insight module.It is concluded by comparing the wheel alignment parameters before and after optimization that not only the optimization objective of toe-in and camber is achieved,but also the scope of change of other wheel alignment parameters is limited down.To a certain extent,improve the handling stability of the car,for real vehicle manufacturing provides a reliable data basis. 最优化方法结课作业 年级数学121班 学号201200144209 姓名李强 1、几种方法比较 无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。（直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。）在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。 一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。 一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。 在多变量函数的最优化中,迭代格式Xk+1=Xk+akdk其关键就是构造搜索方向dk和步长因子ak 设Φ(a)=f(xk+adk) 这样从凡出发,沿搜索方向dk,确定步长因子ak,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a 的一维搜索问题。其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。 一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。如果求得ak使目标函数沿方向dk达到极小,即使得f (xk+akdk)=min f (xk+ adk) ( a>0)则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,ak叫最优步长因子;如果选取ak使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (xk)一f (xk+akdk)>0是用户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维搜索。由于在实际计算中,一般做不到精确的一维搜索,实际上也没有必要做到这一点,因为精确的一维搜索需要付出较高的代价,而对加速收敛作用不大,因此花费计算量 对分课堂的解读与分析 一、确认了对分课堂教学改革是一种便于启动的方式 对分课堂（PAD，讲授-作业-讨论三个模块），展开的流程是根据学生学习的认知规律进行规划和设计的。基于三个模块可以灵活开展几个环节的教学活动。它传承了传统教学智慧，使讲授法与讨论法两者长短互补。这种新型教学模式理念深刻、简明易用，变被动学习为主动学习，培养学生批判性思维、创造性思维、沟通能力、合作能力的4C核心素养。最典型的对分课堂包含四个关键环节，分别是讲授、独立学习与做作业、小组讨论、全班交流。这里用我自己的理解归纳一下他的原理和流程。 1.讲授阶段。精讲留白，对所讲述的内容提纲挈领的进行讲授，对重点和难点给出必要的提示。但是这里应该把握一定的原则，不能事无巨细的开展讲授，而是有所取舍的开展讲授。不一定让学生都能听得明白，但是需要让学生了解即将学习的内容的框架结构。从而给学生的自主学习预留一定的空间。 2.独立学习与做作业阶段。学生完全独立的根据教师的提点开展学习，在这个过程中尽量避免与老师和同伴交流。主要目的就是自己学习全部的内容，通过自身努力对内容有一个基本的了解，学习的过程中需要完成一份“亮考帮”的作业或者一份练习提升的作业。所谓的“亮考帮”就是说出一些亮点，把自己认为重要的内容拿出来考考别人以及提出一些自己在独学过程中没有解决的因难问题。而练习提升的作业就是对所学知识开展的必要的练习或者作业。这个环节的认知作用就是让学生对所学内容有一定的理解，为基于理解开展后续深入的讨论奠定基础。需要指出的是，这个环节的内容在“当堂对分”中是在课内发生的，在“隔堂对分”中是在课外发生的。 3.小组讨论环节。主要依托“亮考帮”的作业开展小组合作学习，对于作业题目也基本在小组内部依据标准评判对错。这个环节教师也不随便参与其中，重点是让学生之间相互的解决问题。 4.在全班交流的环节。主动权再次转移到教师手中。教师一方面总结、归纳一些内容，另一方面还得解答一些共性的问题。 试验设计与优化方法，都未能给出直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但难以直观地判别优化区域．为此响应面分析法（也称响应曲面法）应运而生．响应面分析也是一种最优化方法，它是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多个因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图形技术将这种函数关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件． 显然，要构造这样的响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必须通过大量的量测试验数据建立一个合适的数学模型（建模），然后再用此数学模型作图． 建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法．对于非线性体系可作适当处理化为线性形式．设有m个因素影响指标取值，通过次量测试验，得到n组试验数据．假设指标与因素之间的关系可用线性模型表示，则有应用均匀设计一节中的方法将上式写成矩阵式或简记为式中表示第次试验中第个因素的水平值；为建立模型时待估计的第个参数；为第次试验的量测响应（指标）值；为第次量测时的误差．应用最小二乘法即可求出模型参数矩阵B如下将B阵代入原假设的回归方程，就可得到响应关于各因素水平的数学模型，进而可以图形方式绘出响应与因素的关系图． 模型中如果只有一个因素（或自变量），响应（曲）面是二维空间中的一条曲线；当有二个因素时，响应面是三维空间中的曲面．下面简要讨论二因素响应面分析的大致过程． 在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以上间的交互作用，有理由设二因素响应（曲）面的数学模型为二次多项式模型，可表示如下：通过n次量测试验（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的3倍），以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；求出模型后，以两因素水平为X坐标和y坐标，以相应的由上式计算的响应为Z坐标作出三维空间的曲面（这就是2因素响应曲面）．应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求．因此，求出系数的最小二乘估计后，应进行检验．一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于1或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别．如果以表示响应试验值，为计算值，则两者的相关系数R定义为其中对于二因素以上的试验，要在三维以上的抽象空间才能表示，一般先进行主成分分析进行降维后，再在三维或二维空间中加以描述．等等………… 2注意事项 对于构造高阶响应面，主要有以下两个问题： 1，抽样数量将显著增加，此外，普通的实验设计也将更糟。 2，高阶响应面容易产生振动。 响应面法(response surface methodology，记为RSM)最早是由数学家Box和Wilson于1951年提出来的。就是通过一系列确定性的“试验”拟合一个响应面来模拟真实极限状态曲面。其基本思想是假设一个包括一些未知参量的极限状态函数与基本变量之间的解析表达式代替实际的不能明确表达的结构极限状态函数。响应面方法是一项统计学的综合试验技术，用于处理几个变量对一个体系或结构的作用问题，也就是体系或结构的输入(变量值)与输出(响应)的转换关系问题。现用两个变量来说明:结构响应Z与变量x1,x2具有未知的、不能明确表达的函数关系Z=g(x1,x2)。要得到“真实”的函数通常需要大量的模拟，而响应面法则是用有限的试验来回归拟合一个关系Z= g’(x1,x2)，并以此来代替真实曲面Z=g(x1,x2)，将功能函数表示成基本随机变量的显示函数，应用于可靠度分析中。响应面方法实际上源于一种试验设计方法，试验设计方法是用来研究设计参数对模型设计状况影响的一种取样策略，决定了构造近似模型所需样本点的个数和这些点的空间分布情况。目前广泛应用于计算机仿真试验设计的主要方法是拉丁超立方体抽样和均匀设计，这两种试验设计能应用于多种多样的模型，且对模型的变化具有稳健性。 3响应面分析 实验报告课程名称：发酵工艺及其优化实验名称：响应面优化实验专业：生物工程 学号： 060512212 姓名：韦达理 实验地点：笃行楼303 实验日期：2015年5月16日常熟理工学院 1. 了解响应面优化实验的原理。 2. 熟悉design expert软件的基本操作。 3. 熟悉响应面优化实验的具体流程。 4. 优化香菇多糖发酵培养基 [实验器材] Design expert软件 [实验原理和方法] 香菇多糖：是一种生理活性物质。它具有抗病毒、抗肿瘤、调节免疫功能和刺激干扰素形成等功能。 提取方法：从香菇子实体或经深层发酵后的发酵液中提取。香菇子实体生长周期长，产量和多糖得率均较低。而深层发酵培养香菇菌丝体不仅发酵液中含有与子实体相当或更高的营养物质，同时还可利用农副产品作原料，成本低，周期短，易于大规模生产，因此已得到广泛应用于重视。 响应曲面设计方法(Response SufaceMethodology，RSM)是利用合理的试验设计方法并通过实验得到一定数据，采用多元二次回归方程来拟合因素与响应值之间的函数关系，通过对回归方程的分析来寻求最优工艺参数，解决多变量问题的一种统计方法（又称回归设计）。 响应面曲线法的使用条件有：①确信或怀疑因素对指标存在非线性影响；②因素个数2-7个，一般不超过4个；③所有因素均为计量值数据；试验区域已接近最优区域；④基于2水平的全因子正交试验。 进行响应面分析的步骤为：①确定因素及水平，注意水平数为2，因素数一般不超过4个，因素均为计量值数据；②创建“中心复合”或“Box-Behnken”设计；③确定试验运行顺序(Display Design)；④进行试验并收集数据；⑤分析试验数据；⑥优化因素的设置水平。 响应面优化法的优点：①考虑了试验随机误差②响应面法将复杂的未知的函数关系在小区域内用简单的一次或二次多项式模型来拟合，计算比较简便，是降低开发成本、优化加工条件、提高产品质量，解决生产过程中的实际问题的一种有效方法③与正交试验相比，其优势是在试验条件寻优过程中，可以连续的对试验的各个水平进行分析，而正交试验只能对一个个孤立的试验点进行分析。 环境变量 一．用牛顿法求函数 2214121)2()2(),(x x x x x f -+-= 的极小值点坐标（迭代二次）。 解 初始点T x ]2,3[0 = 则初始点处的函数梯度、海森矩阵及其逆矩阵为 ?? ????=??????---+-=?42)2(4)2(2)2(4)(21213 1 0x x x x x x f ????? ?--=??????--+-=?844148442)2(12)(21 02x x f ???? ??? ???=?=487241241121 )]([1 02x f 代入牛顿法迭代公式，得 T x f x f x x ? ? ? ???=??-=34,38)()]([0 1 2 1 - ??? ?????=??????---+-=?02732)2(4)2(2)2(4)(212 1311x x x x x x f 代入牛顿法迭代公式，得 ?? ? ???=??-=26.152.2)()]([1 1 12 1 2 x f x f x x - 二、分析比较牛顿法、阻尼牛顿法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔法的特点，找出前四种方法的相互联系。 比较牛顿法：牛顿法收敛很快，对于二次函数只需迭代一次便达到最优点，对非二次函数也能较快迭代到最优点，但要计算二阶偏导数矩阵及其逆阵，对维数较高的优化问题，其计算工作和存储量都太大。 阻尼牛顿法：可以看出原始牛顿法就相当于阻尼牛顿法的步长因子取成固定值1的情况。阻尼牛顿法每次迭代都在牛顿方向上进行一维搜索，避免了迭代后函数值上升的现象，从而保持了牛顿法二次收敛的特性，而对初始点的选取并没有苛刻的要求。 这类方法的主要缺点计算复杂，工作量大，要求计算机存储量大 共轭梯度法：共轭方向主要是针对二次函数的，但也可以用于一般非二次函数。共轭方向法是二次收敛的，计算程序简单，存储量相对较少 变尺度法：只需用到函数的一阶梯度；下降算法，故收敛全局；计算量小（不需要求矩阵逆）；一般可以达到超线性收敛（速度快） 鲍威尔法：多维无约束优化算法是在无约束优化算法之一，首先选取一组共轭方向，从某个初始点出发，求目标函数在这些方向上的极小值点，然后以该点为新的出发点，重复这一过程直到获得满意解，其优点是不必计算目标函数的梯度就可以在有限步内找到极值点。 三、已知约束优化问题minf(x)=(x 1-2)2+(x 2-x 1)2 function f=fun(x) f=10*(x(1)+x(2)-5)^2+(x(1)-x(2))^2; function f=fx(x0,alpha,s) x1=x0+alpha*s; f=fun(x1); function f=fsearch(x0,s) %利用进退法确定高低高区间 alpha1=0; h=0.1; alpha2=alpha1+h; f1=fx(x0,alpha1,s); f2=fx(x0,alpha2,s); if f1>f2 alpha3=alpha2+h; f3=fx(x0,alpha3,s); while f2>f3 alpha1=alpha2; alpha2=alpha3; alpha3=alpha3+h; f2=f3; f3=fx(x0,alpha3,s); end else h=-h; v=alpha1; alpha1=alpha2; alpha2=v; v=f1; f1=f2; f2=v; alpha3=alpha2+h; f3=fx(x0,alpha3,s); while f2>f3 alpha1=alpha2; alpha2=alpha3; alpha3=alpha3+h; f2=f3; f3=fx(x0,alpha3,s); end end a=min(alpha1,alpha3); b=max(alpha1,alpha3); %利用黄金分割点法求解 alpha1=a+0.382*(b-a); alpha2=a+0.618*(b-a); f1=fx(x0,alpha1,s); f2=fx(x0,alpha2,s); while abs(a-b)>0.001 if f1>f2 a=alpha1; alpha1=alpha2; f1=f2; alpha2=a+0.618*(b-a); f2=fx(x0,alpha2,s); else b=alpha2; alpha2=alpha1; f2=f1; alpha1=a+0.382*(b-a); f1=fx(x0,alpha1,s); end end f=0.5*(a+b); clear %初始点 x0=[0;0]; %搜索方向 e1=[1;0]; e2=[0;1]; G0=fun(x0); F0=G0; %第一次迭代 %沿着e1 alpha1=fsearch(x0,e1); x1=x0+alpha1*e1; F1=fun(x1); delta1=F0-F1; % 沿着方向e2； alpha2=fsearch(x1,e2); x2=x1+alpha2*e2; F2=fun(x2); G2=F2; delta2=F1-F2; deltam=max(delta1,delta2); %映射点 x3=2*x2-x0; G3=fun(x3); if G3 响应面法试验设计与优化方法，都未能给出直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但难以直观地判别优化区域．为此响应面分析法（也称响应 曲面法）应运而生．响应面分析也是一种最优化方法，它是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多个因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图 形技术将这种函数关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件． 显然，要构造这样的响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必须通过大量的量测试验数据建立一个合适的数学模型（建模），然后再用此数学模型 作图． 建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法．对于非线性体系可作适当处理化为线性形式．设有ｍ个因素影响指标取值，通过次量测试验，得到ｎ组试验 数据（）．假设指标与因素之间的关系可用线性模型表示，则有应用均匀设计一节中的方法将上式写成矩阵式或简记为式中表示第次试验中第个因素的水平值；为建 立模型时待估计的第个参数；为第次试验的量测响应（指标）值；为第次量测时的误差．应用最小二乘法即可求出模型参数矩阵Ｂ如下将Ｂ阵代入原假设的回归方 程，就可得到响应关于各因素水平的数学模型，进而可以图形方式绘出响应与因素的关系图．模型中如果只有一个因素（或自变量），响应（曲）面是二维空间中的一条曲线；当有二个因素时，响应面是三维空间中的曲面．下面简要讨论二因素响应面分析的 大致过程． 在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以上间的交互作用，有理由设二因素响应（曲）面的数学模型为二次多项式模型，可表示如下：通过ｎ次量测试验 （试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的３倍），以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以相应 的由上式计算的响应为Ｚ坐标作出三维空间的曲面（这就是２因素响应曲面）． 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求．因此，求出系数的最小二乘估计后，应进 行检验．一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于１或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别．如果以表示响应试 验值，为计算值，则两者的相关系数Ｒ定义为其中 对于二因素以上的试验，要在三维以上的抽象空间才能表示，一般先进行主成分分析进行降维后，再在三维或二维空间中加以描述． 实验报告 实验名称：鲍威尔法 院（系）：机电学院 专业班级：机械制造及其自动化 姓名： 学号： 2013年5 月13 日 实验一：鲍威尔法实验日期：2013年5 月 13 日 一、实验目的 了解MATLAB的基本运用 了解MATLB在优化中的使用 二、实验原理 鲍威尔法也是一种共轭法，利用函数值来构造共轭方向，同时引入坐标轮换的概念，利用搜索前后两个点之间的连线形成新的共轭方向，替换旧的共轭方向。 三、实验内容 鲍威尔法程序： x0=[12;10]; xk=x0; ie=10^(-7); ae=1; %初始化搜索方向 d=zeros(2,2); d(:,1)=[1;0]; d(:,2)=[0;1]; Inc=zeros(2,1); k=0; MLN=100; %迭代求解 while (ae>ie&&k syms x1; syms x2; xk1=xk+a*d(:,1); x1=xk1(1); x2=xk1(2); fun1=fun(x1,x2); fxa=diff(fun1,'a'); a=solve(fxa); xk1=inline(xk1); xk1=feval(xk1,a); xk1(1)=eval(xk1(1)); xk1(2)=eval(xk1(2)); syms x1; syms x2; fun1=fun(x1,x2); fun1=inline(fun1); f1=feval(fun1,xk1(1),xk1(2)); f1=eval(f1); Inc(1)=f0-f1; 对分课堂的看法以及分析建议 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《对分课堂的看法以及分析建议》的内容，具体内容：分课堂的主要目的就是根据学生不同的学习能力及特产来整合成一个特别强的班集体，这也是因材施教的一种方法。下面是我整理的对分课堂的看法，希望对您有所帮助。对分课堂的看法篇一... 分课堂的主要目的就是根据学生不同的学习能力及特产来整合成一个 特别强的班集体，这也是因材施教的一种方法。下面是我整理的对分课堂的看法，希望对您有所帮助。 对分课堂的看法篇一 每个学生都有各自的特长、个性和交际能力，充分尊重学生的个体差异，要求因人而异，运用各种手段鼓励、激发学生的学习兴趣，教学中时刻以学生为主体，不断增强他们的自信心和合作精神，上课就会越来越省时省力，从而收到令人满意的教学效果。这就需要"分层教学"。 首先，分层教学会使教师转变教学观念，从而激发教师教学改革的积极性。 更新教育观念是实施素质教育的根本。在我们过去的教学过程中，在教学方法上，大多停留在"满堂灌""填鸭式"的传统的教学方法上，滞留在老师怎么教我，我怎么教学生的传统模式上。思想上残留着老师高高在上，我讲你听，我讲你就应该会┅┅。在注意学科特点，开发学生潜能，帮助学生如何树立自信心上考虑的少，学生作业、练习不会只是谴责，如何帮助学生克服困难的少。这样的教学方法，结果不论各类测试都有相当数量 的学生英语成绩不及格。我认为通过分层教学实验，会让老师体会到自己肩上的压力，感觉到传统教学方法的危害。 其次，分层教学要求教师更加准确地把握课堂教学目标，更加精确地选择教学内容，更加恰当地运用课堂教学方法，在教学中既要面向全体学生，又关心每一个体，这促使教师要更认真地对待课堂教学的各个环节，认真分析学情，刻苦钻研教材和教学大纲，积极探索适合本层特点的课堂教学方法。 此外，分层教学会使学生愿意学习，参与竞争，从而使学习有较大进步。因为分层教学能充分关注学生的个性差异特点，设立了恰当的教学目标，选择了合适的教学内容，保证了课堂教学内容最大限度地被学生接受，学生从中感受到成功的喜悦从而增强学习的信心，开始尝试参与学习。因此，分层教学存在着竞争的氛围。这种氛围，对 那些要求上进的学生来说是一种动力，将促使他们增强学习的主动性和积极性;而对那些处于中下游的学生也是一种促进，他们在自觉与不自觉之间都置身在这竞争的氛围中，学习的效果也得到了提高。 然而，在具体操作过程中，可能我们还会受传统教学方法的影响，无意中会忽视"因人而异"的价值而片面地看待后进生的成绩，一句不经意的批评指责之辞有可能会让他们丧失所有的学习热情。因此，作为教育工作者应该切记一条：耐心、细心地呵护每一位学生，多看到他们的长处，多鼓励他们的进步。其他成功的实验证明，分层教学是面向全体学生，提高英语听说读写四种技能，全面调动学生积极性和创造性的一种值得借鉴与深化的教学探索。 学校 食品科学研究中实验设计的案例分析 —响应面法优化超声波辅助酶法制备燕麦ACE抑制肽的工艺研究 摘要：选择对ACE 抑制率有显著影响的四个因素：超声波处理时间(X1)、超声波功率(X2)、超声波水浴温度(X3)和酶解时间(X4)，进行四因素三水平的响应面分析试验，经过Design-Expert优化得到最优条件为超声波处理时间28.42min、超声波功率190.04W、超声波水浴温度55.05℃、酶解时间2.24h，在此条件下燕麦ACE 抑制肽的抑制率87.36%。与参考文献SAS软件处理的结果中比较差异很小。 关键字：Design-Expert 响应面分析 1.比较分析 表一响应面试验设计 因素 水平 -1 0 1 超声波处理时间X1(min) 20 30 40 超声波功率X2(W) 132 176 220 超声波水浴温度X3(℃) 50 55 60 酶解时间X4(h) 1 2 3 2.Design-Expert响应面分析 分析试验设计包括：方差分析、拟合二次回归方程、残差图等数据点分布图、二次项的等高线和响应面图。优化四个因素（超声波处理时间、超声波功率、超声波水浴温度、酶解时间）使响应值最大，最终得到最大响应值和相应四个因素的值。 利用Design-Expert软件可以与文献SAS软件比较，结果可以得到最优，通过上述步骤分析可以判断分析结果的可靠性。 2.1 数据的输入 图 1 2.2 Box-Behnken响应面试验设计与结果 图 2 2.3 选择模型 2.4 方差分析 在本例中，模型显著性检验p<0.05，表明该模型具有统计学意义。由图4知其自变量一次项A，Design-Expert软件在响应面优化法中的应用详解
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