小学数学思想与方法与教学

小学数学思想与方法及教学

随着素质教育的不断深入，人们越来越清楚地认识到：数学教育要落实素质教育思想，就应体现其发展性，为学生的持续学习、终身学习做准备。为此，数学教育提供给学生的不应只是只是和技能，更重要的是让学生在获取知识的过程中学会数学思想方法。现代数学教学论认为，数学思想方法是学生形成良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁，是培养学生数学意识（观念）、形成优良思维素质的关键。如果说数学问题是数学的“心脏”、方法是数学的“行为准则”、知识是数学的“躯体”，那么数学思想无疑就是数学的“灵魂”。

一、小学数学思想方法教学意义

1、懂得小学数学思想方法就能更好地理解和掌握数学容。

2、懂得小学数学思想方法有利于记忆。

3、懂得小学数学思想方法有利于数学能力的提高。

4、小学数学思想方法是联结小学数学和中学数学的一条红线。

二、小学数学思想方法的含义

数学思想方法既含有思想，又含有方法。

数学思想就是人们对数学知识和数学方法的本质认识，是数学知识与数学方法的高度抽象与概括，是对数学规律的理性认识，是数学教学的“灵魂”。

数学方法则是在数学研究活动中解决数学问题的具体途径、手段和方式的总和，是数学教学的“行为规则”。

数学思想与教学方法，既有联系，又有区别。思想是方法的升华，方法是思想的体现。运用数学方法解决数学问题的过程就是感性认识不断提高积累的过程。当这种积累达到一定程度时就产生飞跃，从而上升为数学思想。数学思想反过来又对数学方法起着指导作用。

在小学数学中，许多数学思想和方法往往是一致的，如分类思想和分类方法，化归思想和化归法等。没有不含方法的数学思想，也没

有不以数学思想为指导的数学方法。因此，我们可以把小学数学思想和方法视为一体——数学思想方法。

三、小学数学思想方法的基本容

纵观小学数学教材容，归纳起来大致可分为概念型、逻辑型和策略型三种类型。

（一）概念型数学思想方法

概念型数学思想方法依托于某些现代数学概念容，包括集合思想、函数思想、统计思想、极限思想、优化思想等。

1、集合思想

集合论是德国数学家G·康托尔于1874年首先提出的，集合是现代数学中最基本的概念之一，人们在认识事物、解决问题的实践中，经常把某些方面具有共同性质的事物放在一起视为一个整体，对他们做统一的研究和处理，这种将具有某种特征的事物的全体作一整体来考察的思想方法，就是集合思想，它是新课程标准规定渗透的容之一。

举例：（1）偶数集、奇数集、质数集

（2）24和36的公约数

（3）长方形、正方形、平行四边形的关系（越特殊的东西越少）

在小学数学教学中，没有直接出现集合的概念、名称、符号和运算，而是结合数学基础知识的容，通过形式多样、生动活泼的画面，让学生形象地感知集合思想，自然渗透集合思想。

2、函数思想

恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和在规律的。学生对函数概念的理解有一个过

程。在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。（一个量变能引起另一个量随着变化）函数思想的实质是用联系变化的观点建立变量之间的关系式，解决各类问题。函数思想的渗透可以开拓学生的视野，培养学生用发展变化的观点来认识事物的在联系。

函数思想也是大纲规定渗透的容之一。小学数学教材从第一册开始，就通过填数图、韦恩图等形式，将函数思想渗透在许多例题和习题之中；在中高年级教材中出现的几何图形的面积计算公式和体积公式，正反比例实际上就是用解析法来表示变量之间的函数关系；在统计图表学习中，用图表将函数思想的核心即对应关系直观化和具体化。

举例：

（1）“一只青蛙一嘴、两只眼睛、四条腿，两只青蛙……”→用字母表示数→代数式→方程→函数式

（2）几何图形的周长、面积、体积的公式

（3）乘、除法中积、商的变化规律：a×b=c，a不变，b扩大，c扩大；a扩大，b扩大，c扩大；a扩大，b缩小，c变化。

3、统计思想

在生产、生活和科学研究中，人们通常需要有目的的调查和分析一些问题，这就要把收集到的一些原始数据加以分类整理，从而推断研究对象的整体特征，这就是统计的思想方法。

人们在实践活动中常常遇到两类性质截然不同的现象：一类是必然现象，它是在一定条件下必然发生或必然不发生。例如，在标准大气压下，水加热到100℃时必然沸腾，温度低于100℃时必然不沸腾，对于必然现象，条件和结果存在着必然性联系，可以由条件预知结果。另一类是偶然现象，也叫随机现象，它在一定条件下可能发生、也可能不发生，条件与结果之间不存在必然性联系。例如，有了合适的温

度与湿度，一粒种子可能发芽，也可能不发芽；掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上。然而，这并不意味着随机现象不存在规律。例如实验表明，多次反复地投掷一枚质量均匀的硬币，出现正面的此时与总投掷次数之比总是接近1/2。

以上事实表明，随机现象从个体上看，似乎没有什么规律存在，但当它大量出现时，却呈现一种总体规律性，这就是统计规律性。因此，统计的基本思想是：从局部观测资料的统计特征来推断整个系统的状态。统计的方法是由“局部到整体”科学方法。

统计思想在小学数学中渗透：

（1）低年级的表格式应用题。

（2）通过报刊、杂志、电视、网络等途径收集信息，整理数据；通过实例认识统计图、统计表，并完成相应的图表。

（3）根据图表息提出问题，解决问题，在解题中领会统计思想，学会求“平均数”、“百分率”等。

4、极限思想

极限思想的实质是用一个变量去逼近一个常量，通过无限的过程，使变量最终转化为常量，这就是极限思想。

（1）从有限中认识无限。在认数时渗透有限和无限，如“自然数、奇数、质数有多少个？（特定环境下的个数）”、“循环小数：1÷3=0.333……有多少位小数？”、“在0.6和0.8之间有多少个一位小数、两位小数、小数？”。在几何初步认识中渗透无限，“直线、射线、平行线的一段或两段无限延长？”。

（2）从近似中认识精确。如：0.999……=1

（3）从量变中认识质变。

例如，“在圆的面积”公式推导过程中，圆面经过切割重组可以拼成近似的长方形，切的份数越多，重组后的图形就越逼近长方形。这种近似到精确的过程便是从有限到无限、从量变到质变的发展过

程。（“化圆为方、化曲为直”）在解决数学问题的过程中，有时需要把“线”看成“点”（如把三角形看成是上底为零的三角形）。

5、优化思想

所谓优化，也称为最优化，是指在一定条件下，力求获得最优结果的思想与观念。数学中诸如求最大值、最小值以及最高、最低、最段、最省、最好等问题的解决都需要应用优化的思想。人的本能走路走直线，坐车走最简洁的线路。

例1：丁丁练习写大字，周一至周六，分别写了10个，9个，8个，8个，9个，10个，一共写了多少个？

（1）10 + 9 + 8 + 8 + 9 + 10= 54个

（2）（10 + 10）+ （9 + 9）+ （8+ 8）= 54个

（3）10 ×2+ 9 ×2 + 8×2= 54个

（4）（10 + 9 + 8）×2 = 54个

答：一共写了54个。

学生思维由繁到简，还渗透了移多补少的思想，使计算变得简单，从而让学生得到更高层次的思维训练。

例2：三年级师生一共148人，租船去郊游。4人座:32元/只，6人座:36元/只。问题:可以怎样租船?最少需要几只船?怎样租船最省钱?

因此，我们在解决问题、安排和筹划工作、生产和生活时，要从不同的角度去分析、比较，寻求最佳的解决方法，由此达到最理想的效果，产生最大的效益。

6、符号化思想

所谓符号化思想就是将所研究的对象进行抽象，并用数学符号加以表述，用数学符号表示数学概念、规则和逻辑关系等，并用来解决数学问题的思想。简单说，用字母、数字、图形等来描述数学容，就是符号化思想。

（1）个体符号：阿拉伯数字0、1、2……、9；表示数的字母a 、b 、x ……等。

（2）数的运算符号：四则运算符号+，-，×，÷，乘方符号，比好：，简略的乘号·等。

（3）关系符号：等号=，近似等号≈，不等号＜，＞，≠等。

（4）结合符号：小括号（ ），中括号[ ]，大括号｛｝等。

（5）分隔符号：竖式中的一些短线等。

例题：加法、乘法运算定律，数量关系式，几何图形的公式 a+b=20 a –b= 8 a=( ) b=( )

x+y=20 x ÷y= 3 x=( ) y=( )

（二）逻辑型数学思想方法

逻辑型数学思想方法包括分类思想、归纳思想、演绎思想、类比思想等。这类思想方法都具有确定的逻辑结构。

1、分类思想

把复杂的数学对象按一定的标准不重不漏的分解为不同的类，从而把对象简单化，这就是分类思想。

例如：角的分类、图形分类、数的分类、分类练习等。分类要按一定的标准，以自然数为例，若以能否被2整除可分为奇数和偶数；若以约数的多少来分，可分为质数、合数和1。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。

小学数学教材注意从低年级= 200 +

= + + + + + + +

=

=?

=? =?

就做分类练习。如，第一册就有把同类的物品圈起来；再如，从1个五分币、4个二分币、8个一分币中，要拿出8分钱，你能想出几种拿法？

2、归纳思想

研究一般性问题时，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从中归纳出一般的规律和性质，这中从特殊到一般的思维方法，称为归纳思想。

归纳法有完全归纳发法和不完全归纳法两种形式，完全归纳法是考察了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论的推理方法。不完全归纳法是考察某类事物中的部分对象后，概括出该类事物一般性结论的推理方法。

在小学数学教学中，许多概念的描述、定律、法则、性质的推导、公式的得出、规律的发现都是采用不完全归纳法。其原因是：一是考察对象有无限多个，二是学生认知水平较低，不能采用其他科学方法。因此，不完全归纳法成了小学数学的重要思想方法。

例如小数的性质，就是通过下列几个具体例子:（1）从商品标价2.50元=2.5元，3.00元=3元；（2）把1分米、10厘米、100毫米写成用米作单位的数，通过比较大小，得出0.1米=0.10米=0.100米；（3）利用正方形图比较0.30和0.3的大小，得0.30=0.3，然后归纳得出小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。

再如用教具、学具学习三角形的角和，用测量、折、剪拼等方法得出锐角三角形的角和是180度，就是不完全归纳法；如果我们再用同样的方法得出直角三角形、钝角三角形的角和都是180度，就是完全归纳法了。

在小学数学教学中应用不完全归纳法应注意的问题;

(1)要鼓励学生自己发现规律，得出正确的结论。教师应该鼓励学生进行猜想，再通过必要的实践活动，自己去得出结论。哪怕是说

错了，不必过严责备，这样做可以使学生思维活跃起来，从而得到正确的结论。

（2）对得到的结论要进行验证。

（3）将结论用于实际，并在实际应用中进一步验证其正确性。

（4）要通过实例说明只考察某类事物中部分对象后就得出的结论有时也会不正确。

例如，如果我们只考察1/2=0.5,1/4=0.25，1/5=0.2,3/8=0.375之后就说：“任何分数都可化成有限小数”就错了，因为有些分数（例如1/3,1/7等）是不能化成有限小数的。这种例子可以使学生认识到在用不完成归纳法寻求结论时必须仔细观察与分析，不能轻易下结论。

3、类比思想

波利亚说过：“类比是一个伟大的引路人”。康德也说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”。

类比是根据两个不同的对象，在某些方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，猜测这两个对象在其它方面也可能有类同之处，并作出某种判断的推理形式。运用类比思想，可以发现两个数学对象之间的异同点，从而有效的迁移知识、经验、技能来解决问题。

例如：（1）除式、分数和比都具有相除的意义，于是我们由“在除法里，除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”（商不变的性质）类比推出：“分数的分子和分母都乘以或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。（分数的基本性质）”以及“比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。（比的基本性质）”。同样“0不能作除数”→“0不能作分母”→“0不能作后项”。

（2）几何图形的面积，已知长方形的面积公式，平行四边形转化成长方形，三角形转化成平行形，梯形转换成平行四边形、三角形，进行面积公式推导。

（3）平面图形和立体图形之间有不少类似的性质。教学“圆柱体体积”时，学生观察到圆柱的底面是圆形，从园通过剪拼可转化成长方形得到启迪，学生运用类比思想方法，推断出圆柱体也可以通过切割，重新组合，转化为长方形。

（4）数学问题：

学校买来一批故事书,若分给五、六年级学生，每人可以分得4本。若只分给五年级学生，每人可分6本，若只分给六年级学生,每人可分几本?

类似题：学校买来一批图书，从车上运到图书馆，五六年级学生运，4次运完。五年级学生运，6次运完，六年级学生运，要几次运完？

（三）策略性的教学思想方法

策略性数学思想方法是解决问题的方法论。包括对应思想、变换思想、化归思想、数学模型思想等。

1、对应思想

对应思想是指人的思维对两个集合元素之间相互联系的把握，它是集合论的最有力的研究工具，离开对应，集合论就难以启动，许多具体的数学方法都来源于对应思想。

对应思想的作用在于分析问题，发现规律，解决问题。

（1）物与物的对应

52元

76元

一个杯子和一个水瓶各多少元?

（2）形与形的对应：对称图形（点与点的对应，边与边的对应）；底和高的对应（三角形、平行四边形的面积计算）等。

△比○多多少？

（3）数与数轴上点的对应，如：9+4=13 13-9=4 13-4=9 （4）数与形的对应（数形结合）就是根据数学问题的条件和结论之间的在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。数形结合的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面 .

例1，计算: 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32

例2，分数的基本性质

例3，点阵规律

（5）应用题中数量关系的对应。

2、化归思想

化归是转化与归结的意思，把有待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决，这就是化归思想。

一切数学问题的解决过程总是将未知的新问题，不断转化成已知的旧问题的过程，这是解决数学问题的基本策略。化归思想的基本形式有：化生为熟、化难为易、化繁为简、化隐为显、化曲为直等。

例如：多位数乘多位数的法则，实际上是把多位数乘多位数归结为一位数乘多位数，而将一位数乘多位数的法则归结为表乘法。又如，异分母分数加减法借助于通分运算归结为同分母分数加减法。再如，根据面积的可加性和全等形等积这两个公理，运用平移、旋转、剪拼、割补等方法，可将平行四边形的面积化归为长方形的面积计算；将三角形和梯形的面积化归为平行四边形的面积计算；将组合图形的面积化归为基本图形的面积计算。

例10.45×17+4 .5×83

1 . 8×0 . 4+4 . 3÷

2 . 5+

3 . 9×40﹪

17/25×36+64/25×17

运用乘法分配率，将计算简单化。

例2 分数应用题中“1”的转化（转化成总数的几分之几？总数不变）

A: 汽车从甲地到乙地，已行路程是剩下路程的1/3，再行20千米，已行路程是剩下路程的1/2，全程多少千米？

20÷（1-1/2+1-1/3+1）

B: 四兄弟修一段路，老大修的是其他三人的1/2，老二修的是其他三人的1/3，老三修的是其他三人的1/4，老四修了39米，求全长？

39÷（1-1/2+1-1/3+1-1/4+1）

C: 某图书室女生人数占看书人数的2/5，走了8个女生后，女

生人数占看书人数的2/7，原来有多少人看书？

2/5÷（1-2/5）=2/3 2/7÷（1-2/7）=2/5

男：8÷（2/3-2/5）=30（人）总：30÷（1-2/5）=50人

3、数学模型思想

所谓数学模型思想就是把所考察的实际问题化为数学问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的思想方法。

案例：小学数学教材中的每一个数学公式、方程式、各种函数关系式都是一个数学模型。

有15条金鱼，每个鱼缸放5条，需要几个鱼缸？实际问题

15里面有几个5？数学问题

15÷5 数学模型

3 数学模型的解

答：需要3个鱼缸。实际问题的解上述解答应用题的过程，可以用下述框图来表示：

四、小学数学思想方法的教学功能

1、数学思想方法是教材体系的主线

小学数学教材体系包括两条主线，其一是数学知识，这是写在教材上的明线，其二是数学思想方法，这是贯穿在教材中，但又不明确写在教材中的一条暗线。前者容易理解，后者不易看明；前者是教材写什么，后者则是明确为什么要这样写。只有理解后者，才能真正理解教材体系。

例如：代数思想的渗透。

2、数学思想方法是教学设计的指导思想

教学设计是构思学生认知数学，建立概念的教学活动过程，是渗透数学思想，实现再创造的过程。如何使学生学得生动，教师教的轻松，以及教与学得彼此渗透、融合，这些只能依靠数学思想作指导。只有以数学思想方法为教学设计的指导思想，才能从整体上、本质上去理解和把握教材，产生智慧闪烁的创新设计，印发波澜起伏的思维活动；如果只看到教材中的数学知识，而忽视蕴含在这些知识中的数学思想方法，那么对教材只会有肤浅的理解，也就不可能产生好的设计方案，而只能是随意的、简单的认识过程。

案例：（1）计算9+4，对应思想的渗透。

（2）函数思想的渗透。

3、数学思想方法是课堂教学质量的重要保证

我们把课堂教学质量理解为学生思维活动的质和量，一堂课新就新在思维过程上，高就高在思想性上，好就好在学生参与活动的程度上。有思想深度的课，给学生留下了长久的思想激动和知识的深刻理解，以后即使具体的知识忘了，但数学地思考问题的思想方法将常存，这样的教学一定会有真正的实效和长效，真正提高学生的素质。

案例：“土石方”的教学，运用类比、化归、数学模型思想方法。

4、数学思想方法是数学教师教学修养的核心。

有思想的知识才是活知识，有创造力的知识。数学思想方法才是

构成数学教师数学修养的核心，教师水平的高低一定程度上反映在数学思想方法的领悟程度上。教师只有努力提高数学思想方法的素养，才能成为专家型教师。

五、小学数学思想方法的教学原理

1、提高教学思想方法渗透的意识性。

2、注重数学思想方法渗透的过程性。

3、把握数学思想方法渗透的时机性。

4、掌握数学思想方法渗透的方法和途径。

六、小学数学思想方法渗透的教学设计案例.

1、基本数学思想方法的渗透教学设计.

2、典型容教学中数学思想方法的渗透。

案例分析

小明手上的钱可以买5支钢笔或9支圆珠笔，已知每支钢笔比每支圆珠笔贵3.6元。每支钢笔和每支圆珠笔各是多少元？

对于这道题，我们可以引导学生运用一下几种思路进行分析解答：

（1）假设思路

解法一：假设小明只买5支圆珠笔，即少买（9-5=）4支圆珠笔，则他手上的钱应该还剩（3.6×5=）18元，这18元就是4支圆珠笔的价钱。由此，即可求出每支圆珠笔的价钱是18÷4=4.5元；每支钢笔的价钱是4.5+3.6=8.1元。

解法二：假设小明买9支钢笔，即多买了（9-5=）4支钢笔，则他手上的钱应该还差（3.6×4=）32.4元，这32.4元就是4支钢笔的价钱。由此，即可求出每支钢笔的价钱是32.4÷4=8.1元；每支圆珠笔的价钱是8.1-3.6=4.5元。

（2）化归思想

解法三：由题意得知，小明手上的钱是一定的，根据总价一定，

单价和数量成反比例，可以求出每支圆珠笔和每支钢笔价钱的比是5:9，这样，就可把这个问题化归成比例分配问题来解。不难求出每支钢笔的价钱是3.6÷（9-5）×9=8.1元；每支圆珠笔的价钱是3.6÷（9-5）×5=4.5元。

解法四：由解法三可知，每支钢笔的价钱是每支圆珠笔价钱的9÷5=1.8倍。这样，又可把这个问题化归成倍数问题来解。容易求出每支圆珠笔的价钱是3.6÷（1.8-1）=4.5元；每支钢笔的价钱是4.5+3.6=8.1元。

解法五：由解法三可知，每支圆珠笔的价钱是每支钢笔价钱的5÷9=5/9。这样，还可把这个问题化归成分数问题来解。容易求出每支钢笔的价钱是3.6÷（1-5/9）=8.1元；每支圆珠笔的价钱是8.1-3.6=4.5元。

（3）对应思路

解题六：把小明手上的钱看作单位“1”，则每支钢笔的价钱是1/5，每支圆珠笔的价钱是1/9，每支钢笔比每支圆珠笔贵（1/5-1/9），这就是3.6元的对应分率。这样既可求出小明手上的钱有3.6÷（1/5-1/9）=40.5元。进而可求出每支钢笔的价钱是40.5÷5=8.1元，每支圆珠笔的价钱是40.5÷9=4.5元。

（4）代数思路

解法七：设每支钢笔的价钱是x元，则每支圆珠笔的价钱是（x-3.6）元，根据题意可列方程：5x=9（x-3.6）。

解得，x=8.1.

当然还可以设每支圆珠笔的价钱是x元。

上述的每一种解题思路就是一种数学思想方法，学生每掌握一种解题思路，就等于受到了一次数学思想方法的教育。