常用积分表 (2)
常 用 积 分 公 式
（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．
d x ax b +?＝1
ln ax b C a ++
2．()d ax b x μ
+?
＝
11
()(1)
ax b C a μμ++++（1μ≠-）
3．
d x x ax b +?＝21
(ln )ax b b ax b C a +-++
4．2d x x ax b +?
＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??
+-++++????
5．
d ()x
x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+
6．
2
d ()
x
x ax b +?
＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．
2
d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b
++++ 8．22
d ()x x ax b +?＝2
31(2ln )b ax b b ax b C a ax b
+-+-++ 9．
2d ()x
x ax b +?
＝
2
11ln ()ax b C b ax b b x +-++
的积分
10．
x C +
11．x ?＝2
2(3215ax b C a -
12．x x ?＝2223
2(15128105a x abx b C a
-+
13．
x
?＝22
(23ax b C a -
14．
2x
?
＝2223
2(34815a x abx b C a -+
15
．?
(0)
(0)
C b C b ?+><
16
．
?
2a bx b -- 17
．
x ?
＝b ?18．
2d x x ?
＝2a + （三）含有2
2
x a ±的积分 19．
22d x x a +?=1arctan x C a a
+ 20．
22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x
n a x a n a x a ---+-+-+? 21．
22d x
x a -?=1ln 2x a C a x a -++
（四）含有2
(0)ax b a +>的积分
22．2d x ax b +?
＝(0)
(0)
C b C b ?+>+<
23．
2d x x ax b +?＝2
1ln 2ax b C a
++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+?
25．2
d ()x x ax b +?＝2
21ln 2x C b ax b
++ 26．
22d ()x x ax b +?＝21d a x
bx b ax b --+?
.
27．32d ()x x ax b +?＝2222
1
ln 22ax b a C b x bx
+-+ 28．
22d ()x ax b +?＝221d 2()2x x
b ax b b ax b +++?
（五）含有2
ax bx c ++(0)a >的积分
29．2d x ax bx c ++?
＝22(4)
(4)
C b ac C
b a
c +<+>
30．
2d x x ax bx c ++?＝2
21d ln 22b x ax bx c a a ax bx c
++-++?
(0)a >的积分 31
．
?
＝1arsh
x
C a
+
＝ln(x C ++ 32
．
C +
33
．
x ?
C
34
．
x
＝C +
35
．
2
x
2ln(2a x C + 36
．
2x
＝ln(x C +++
37
．?
1ln a
C a x -+ 38
．
?
C + 39
．
x
2ln(2
a x C ++
40．x ＝2243(25ln(88
x x a a x C ++
41．x ?C +
42．x
x ?
＝422(2ln(88
x a x a x C +++
43．
x ?a C +
44．
x ?
＝ln(x C +++
(0)a >的积分
45．
?
＝
1arch x x
C x a
+=ln x C + 46．
C +
47．
x ?
C
48．
x ＝C +
49．
2
x 2ln 2a x C +++
50．
2
x ＝ln x C +++
51．
?1arccos a
C a x
+
52．
?C +
53．
x 2ln 2
a x C -++
54．
x ＝2243(25ln 88
x x a a x C -++
55．x ?C
56．x
x ?＝422(2ln 88
x a x a x C -+
57．
x ?
arccos a a C x -+
58．
x ?
＝ln x C +++
(0)a >的积分 59．
?
＝arcsin
x
C a
+ 60．
C +
61．
x ?
＝C +
62．
x C +
63．
2
x ＝2arcsin 2a x C a + 64．
2
x arcsin
x
C a
-+
65．
?1C a +
66．
?2C a x -+
67．
x 2arcsin 2a x C a
+
68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a
-+
69．x ?＝C
70．x
x ?
＝422(2arcsin 88x a x x a C a
-+
71．
x ?a C ++
72．
x ?
＝arcsin x
C a
-+
(0)a >的积分
73．
?
2ax b C +++
74．
x
2
2ax b C +
+++
75．
x ?
2ax b C -
+++
76．
?
＝C +
77．
x 2
C +
78．
x ?
＝C ++
79．
x ?＝((x b b a C --+
80．
x ?＝((x b b a C -+-
81．
?
＝C ()a b <
82．
x 2()arcsin 4b a C -+
()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ?
＝cos x C -+ 84．cos d x x ?
＝sin x C + 85．tan d x x ?＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ?＝ln sin x C + 87．sec d x x ?＝ln tan(
)42
x
C π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ?
＝ln tan
2
x
C +＝ln csc cot x x C -+ 89．2
sec d x x ?＝tan x C + 90．2
csc d x x ?
＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ?＝sec x C + 92．csc cot d x x x ?
＝csc x C -+
93．2
sin d x x ?＝
1
sin 224x x C -+ 94．2
cos d x x ?＝1sin 224x x C ++
95．sin d n
x x ?＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n
----+? 96．cos d n x x ?＝12
11cos sin cos d n n n x x x x n n
---+? 97．d sin n x x ?＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n x
n x n x ----?+--?
98．d cos n x x ?＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n x
n x n x
---?+--?
99．cos sin d m n x x x ?＝11211cos sin cos sin d m n m n
m x x x x x m n m n -+--+++? ＝112
11cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n
+----+++? 100．sin cos d ax bx x ?
＝11cos()cos()2()2()
a b x a b x C a b a b -
+--++-
101．sin sin d ax bx x ?
＝11
sin()sin()2()2()
a b x a b x C a b a b -
++-++-
102．cos cos d ax bx x ?
＝
11
sin()sin()2()2()
a b x a b x C a b a b ++-++-
103．
d sin x
a b x +?
tan
x
a b C ++22()a b >
104．d sin x a b x +?
C
+22()a b <
105．
d cos x
a b x +?
)2
x C +22()a b >
106．d cos x a b x +?
C +22()a b <
107．
2222d cos sin x a x b x +?＝1arctan(tan )b
x C ab a + 108．
2222d cos sin x
a x
b x -?＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-
109．sin d x ax x ?＝
211
sin cos ax x ax C a a -+ 110．2
sin d x ax x ?＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++
111．cos d x ax x ?＝211
cos sin ax x ax C a a ++
112．2
cos d x ax x ?＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a
+-+
（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）
113．arcsin d x x a ?
＝arcsin x x C a
++
114．arcsin d x
x x a ?
＝22()arcsin 24x a x C a -+
115．2
arcsin d x x x a
?
＝3221arcsin (239x x x a C a ++
116．arccos d x
x a ?
＝arccos
x
x C a
117．arccos d x
x x a ?＝22()arccos 24x a x C a -
118．2
arccos d x x x a
?＝3221arccos (239x x x a C a -+
119．arctan
d x x a ?＝22
arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ?＝22
1()arctan 22
x a a x x C a +-+
121．2
arctan d x
x x a
?＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+
++ （十三）含有指数函数的积分
122．d x
a x ?＝
1ln x
a C a + 123．e d ax
x ?＝1e ax C a +
124．e d ax x x ?＝21(1)e ax
ax C a
-+
125．e d n ax
x x ?＝11e e d n ax n ax n x x x a a
--?
126．d x
xa x ?
＝
21ln (ln )
x x
x a a C a a -+ 127．d n
x
x a x ?＝
11d ln ln n x n x
n x a x a x a a --? 128．e sin d ax
bx x ?＝22
1e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129．e cos d ax
bx x ?＝22
1e (sin cos )ax b bx a bx C a b
+++ 130．e sin d ax n bx x ?＝1
222
1e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n
--+ 22
2
22(1)e sin d ax n n n b bx x a b n
--++? 131．e cos d ax n
bx x ?
＝
1222
1
e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n
-++ 22
2
22(1)e cos d ax n n n b bx x a b n
--++? （十四）含有对数函数的积分 132．ln d x x ?
＝ln x x x C -+ 133．
d ln x
x x
?
＝ln ln x C +
134．ln d n
x x x ?＝
111(ln )11
n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n
x x ?
＝1
(ln )(ln )d n n
x x n x x --?
136．(ln )d m n
x x x ?＝
11
1(ln )(ln )d 11
m n m n n x x x x x m m +--++? （十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ?
＝ch x C + 138．ch d x x ?＝sh x C + 139．th d x x ?
＝lnch x C +
140．2
sh d x x ?＝1
sh224x x C -
++ 141．2
ch d x x ?＝1sh224
x x C ++
（十六）定积分 142．cos d nx x π
-π?
＝sin d nx x π
-π
?＝0
143．
cos sin d mx nx x π
-π
?
＝0
144．
cos cos d mx nx x π
-π
?＝0,,m n
m n
≠??π=? 145．
sin sin d mx nx x π
-π
?＝0,,m n
m n ≠??π=?
146．
sin sin d mx nx x π
?
＝0
cos cos d mx nx x π
?
＝0,,2
m n m n ≠??
?π=??
147． n I ＝20
sin d n
x x π
?＝20
cos d n x x π
?
n I ＝
21
n n I n
-- 1342
253n n n I n n --=????-L （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=?????-L （n 为正偶数），0I ＝2
π
换元积分法
一、第一换元积分法(凑微分法)
.
二、常用凑微分公式
注: 以上使用的多为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有
a) 可令
b) 可令
c) 可令
当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换.
三、第二换元积分法
,
例题：
凑微分法
例1求不定积分.
例2 求不定分
例3计算不定积分.
例4 计算不定积分
例5求不定积分.
例6 求下列不定积分
(1) (2)
例7 求下列不定积分:
(1) ; (2)
例8 求下列不定积分:
(1) ; (2)
例9求不定积分.
例10 求下列不定积分:
(1) ; (2)
例11求下列不定积分
(1) (2)
例12求不定积分.
例13求不定积分.
例14求下列不定积分:
(1) (2)
例15 求下列不定积分:
(1) (2)
例16求不定积分.
例17求.
例18 用换元法求不定积分
例19 试用换元法求不定积分
例20试用换元法求不定积分
例21求不定积分.
例22 求不定积分
第二换元法
例23求不定积分
例24求不定积分
例25计算.
例26 求不定积分
例27求不定积分
例28求不定积分.
例29求不定积分
例30求不定积分.
例31求不定积分. 练习：求下列不定积分
2.设, 求